Matrizes e Sistemas Lineares

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Matrizes 
• Uma matriz A, m X n, é uma tabela de mn números 
dispostos em m linhas e n colunas. 
 
• Os elementos de uma matriz também são chamados 
de entradas da matriz. 
• Indicamos por aij o elemento que ocupa a linha i 
e a coluna j da matriz A. 
 
• Assim, qualquer matriz m X n pode ser denotada 
por: 
 
Diagonais da Matriz 
• Toda matriz possui diagonal principal e diagonal 
secundária. A diagonal principal é formada pelos 
elementos em que i = j. 
• A diagonal secundária é composta por elementos 
em que a soma de i com j sempre resulta em uma 
mesma solução. 
Tipos de Matriz 
 
• Matriz Linha (1 x n) 
• Possui apenas uma linha m; 
 
 
 
• Matriz Coluna (m x 1) 
• Possui apenas uma coluna n; 
 
Matriz Quadrada 
• Quando o número de linhas é o mesmo do 
número de colunas. 
• Ex: 
Matriz Triangular 
• É uma matriz quadrada em que todos os 
elementos acima OU abaixo da diagonal principal 
são iguais a zero. 
 
• Ex: 
Matriz Diagonal 
• É uma matriz quadrada em que todos os 
elementos acima E abaixo da diagonal principal 
são iguais a zero. 
• Ex: 
Matriz Identidade 
• Matriz quadrada de ordem n cujos elementos da 
diagonal principal são iguais a 1 e os elementos 
acima e abaixo desta diagonal são nulos (iguais a 
zero). 
• Ex: 
Matriz Nula 
• Todos os elementos são iguais à zero. 
 
• Ex: 
Operações com Matrizes 
• Soma 
• Se A e B são duas matrizes de mesma ordem, a 
soma delas é obtida pela soma das entradas de A 
com as correspondentes de B. 
Subtração 
• Dadas duas A e B matrizes de mesma ordem, 
denomina-se matriz diferença a matriz obtida 
subtraindo-se os elementos correspondentes de A 
e B. 
Multiplicação 
• Processo que pode ser feito somente quando o 
número de colunas da primeira matriz é igual ao 
número de linhas da segunda matriz. 
 
 
Determinante 
• A toda matriz quadrada, está associado um 
determinante; 
• O determinante de uma matriz 1X1 é a própria 
entrada; 
 
 
• O determinante de uma matriz de ordem 2 é 
dado pela diferença entre o produto dos 
elementos da diagonal principal e o produto dos 
elementos da diagonal secundária. 
• Ex: 
Regra de Sarrus (3X3) 
• Procedimento: 
 
1. Repete-se ao lado da 
matriz as duas primeiras 
colunas 
 2. A partir da diagonal 
principal, três setas são 
traçadas da direita para a 
esquerda. 
 - Soma-se os produtos de 
cada diagonal; 
 (1) 
3. O mesmo feito em 
(2), mas na direção 
contrária. 
4. O determinante é 
então obtido pela 
diferença entre (1) e 
(2). 
 
Assim, 
det = (1) – (2) 
= 94 – 92 
= 2 
(2) 
Sistemas Lineares 
• Equação linear é toda equação da forma: 
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b 
 
• a1, a2, a3 - são os coeficientes reais; 
• b - termo independente e representado pelo 
número real; 
• x1, x2,x3 – incógnitas; 
 
• Quando b = 0 – Equação Linear Homogênea 
 
• Um sistema linear é um conjunto de equações 
lineares. 
• Sistema linear de m equações e n incógnitas. 
 
 
 
 
 
 
 
• As soluções das equações lineares do sistema 
formam um conjunto solução. 
Classificação dos Sistemas Lineares 
• SPD – Sistema Possível e Determinado (única 
solução) ; 
• SPI – Sistema Possível e Indeterminado (infinitas 
soluções); 
• SI – Sistema Impossível (não existe solução); 
 
 
Representação Matricial de um S.L 
• Usando o produto de matrizes, podemos escrever 
o S.L 
 
 
 
 
 
 
• Como a equação matricial: 𝐴𝑋=𝐵, em que 
 
 
 
 
 
• A matriz A é a matriz dos coeficientes do sistema. 
• As soluções do sistema são representadas pela 
matriz coluna: 
 
 
 
• Tal que as equações do sistema são satisfeitas 
quando substituímos x1 = s1; x2 = s2; : : : ; xn = sn. 
 
• O sistema 
 
 
 
• Pode ser substituído pela matriz 
 
 
 
 
• E suas soluções (conjunto solução) 
Regra de Cramer 
• Maneira de resolver S.L na forma matricial; 
• Simples para matrizes de ordem menores; 
• O sistema precisa ter um número de equações igual 
ao de incógnitas; 
• É montada uma matriz com os coeficientes e as 
incógnitas e encontra-se esse determinante (D); 
 
• Em seguida, substituí-se os coeficientes pelos 
termos independentes e temos outro determinante 
(Dx). 
• O último determinante (Dy) é tido substituindo a 
coluna das incógnitas pelos termos independentes. 
 
• Com esses três determinantes é possível encontrar 
as soluções do sistema da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
• Ex: