Polígrafo_CálculoI

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DA REGIÃO DOS VINHEDOS 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, DA NATUREZA E DE TECNOLOGIA 
 
 
 
 
CCáállccuulloo DDiiffeerreenncciiaall ee IInntteeggrraall II 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professora: Regine Marie Pascale Langon Lorenzi
 
 
 
1 
 
 
1. LIMITES 
 
1.1. Noção intuitiva 
 
Exemplo 1: Duplicando sucessivamente o número de lados de um polígono regular inscrito numa 
circunferência observa-se que o perímetro de cada polígono é maior que o do anterior. 
Quando o número de lados aumenta indefinidamente (n→∞) o polígono “tende” a se 
confundir com a circunferência e o seu perímetro “tende” ao comprimento da 
circunferência. 
 
 
Exemplo 2: Sejam P e Q dois pontos de uma circunferência e tracemos a secante PQ. Girando o ponto Q 
em direção ao ponto P, a reta secante irá girar em direção a uma posição limite. 
Quando a distância entre P e Q “tender” a zero, a secante “tenderá” à posição da 
tangente à circunferência no ponto P. A tangente é a posição limite da secante. 
 
 
 
Exemplo 3: Considerando a sucessão de números 
 ,
n
,,,,,
1
4
1
3
1
2
1
1
 com 
n
N*. 
 Escrevendo alguns destes termos na forma decimal: 

2
1
............. 

3
1
............. 

4
1
............. 

20
1
............. 

50
1
............. 

00010
1
.
............., notamos que quanto maior for o valor de n, menor o 
valor de 
n
1
, tendendo este valor para ........ Mas por mais que aumentemos o valor de n, o valor de 
n
1
 
nunca será exatamente igual a zero. Na realidade dizemos que quando n “tende” ao infinito, 
n
1
 “tende” a 
zero. Para anotar esta conclusão escrevemos: 
 
1.2. Interpretação geométrica de limite 
 O uso mais básico de limites é descrever como uma função se comporta quando a variável 
independente tende a um dado valor. 
 
 
 
2 
 
Exemplo 4: Como a função 
  12  xxxf
 se comporta próximo de 
2x
? 
 
 
Quando x se aproxima de 2 por valores menores do que 2, f(x) se 
aproxima de ................. Simbolicamente ……………................ 
Quando x se aproxima de 2 por valores maiores do que 2, f(x) se 
aproxima de ................. Simbolicamente ……………................ 
Como os limites laterais são iguais, escreve-se..........…………… 
 
 
 
OBS: A existência de 
)x(flim
ax
 exige que 
)x(flim)x(flim
axax  

. 
 
Exemplo 5: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. 
Através de exame do gráfico, encontre os limites: 


)x(flim
x 1
 ............ 


)x(flim
x 1
.............. 


)x(flim
x 1
 ............. 
 
 
Exemplo 6: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. 
Através de exame do gráfico, encontre os limites: 


)x(flim
x 1
 ............ 


)x(flim
x 1
.............. 


)x(flim
x 1
 ............. 
Embora 
)(f 1
 .............. 
 
 
 
 
        








x
y
        








x
y
        







x
y
 
 
 
3 
 
Exemplo 7: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. 
Através de exame do gráfico, encontre os limites: 


)x(flim
x 1
 ............ 


)x(flim
x 1
.............. 
Nesse caso, como 
)x(flim)x(flim
xx  

11
, dizemos que o 
)x(flim
x 1
 não 
existe. 
 
Exemplo 8: Construa o gráfico de 
 
x
|x|
xf 
 e determine: 
)(f 0
, 
)x(flim
x 0
, 
)x(flim
x 0
 e
)x(flim
x 0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Construa o gráfico de 
 






32
32
xsex
xsex
xf
 e determine: 
)(f 3
, 
)x(flim
x 3
, 
)x(flim
x 3
 e
)x(flim
x 3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
        








x
y
      














x
y
    



x
y
 
 
 
4 
 
      



x
y
Exemplo 10: Construa o gráfico de 
 






37
32
xse
xsex
xf
 e determine: 
)(f 3
, 
)x(flim
x 3
, 
)x(flim
x 3
 e
)x(flim
x 3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Limites Infinitos 
 Vamos determinar estes limites intuitivamente por observação do gráfico. 
 
Exemplo 11: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. 
 
Através de exame do gráfico, encontre os limites: 


)x(flim
x 0
 ............ 


)x(flim
x 0
.............. 


)x(flim
x 0
 ............. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     








x
y
 
 
 
5 
 
Exemplo 12: Construa o gráfico da função definida por 
 
3
5


x
xf
 e determine: 
)(f 3
, 
)x(flim
x 3
, 
)x(flim
x 3
 e
)x(flim
x 3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13: Construa o gráfico da função definida por 
 
2
1
x
xf 
 e determine: 
)(f 0
, 
)x(flim
x 0
, 
)x(flim
x 0
 e
)x(flim
x 0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4. Cálculo de Limites – Propriedades dos Limites 
 
1) 
kklim
ax


 
Exemplo 14: 


3
2x
lim
 
 
    




x
y
      









x
y
 
 
 
6 
 
2) 
axlim
ax


 
Exemplo 15: 


xlim
x 1
 
 
3) 
  )x(glim)x(flim)x(g)x(flim
axaxax 

 
 Exemplo 16: 
 

2
1
xlim
x
 
 
4) 
  )x(glim.)x(flim)x(g).x(flim
axaxax 

 
Exemplo 17: 
 

xlim
x
7
2
 
 
5) 
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f
lim
ax
ax
ax








 
Exemplo 18: 






 x
lim
x
5
1
 
 
6) 
 
p
ax
p
ax
)x(flim)x(flim 







 
Exemplo 19: 
 

2
3
xlim
x
 
 
7) 
n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim


 
Exemplo 20: 
 

3
3
xlim
x
 
 
Exemplo 21: 
 

342
5
xxlim
x
 
OBS: Em geral, o limite de um polinômio quando x → a é o próprio valor de 
)a(p
. 
Exemplo 22: 
 

12 57
1
xxlim
x
 
 
 
 
7 
 
Exemplo 23: 



 3
45 3
2 x
x
lim
x
 
Exemplo 24: 


 x
xx
lim
x
72
0
 
Exemplo 25: 



 2
42
2 x
x
lim
x
 
Exemplo 26: 



 3
962
3 x
xx
lim
x
 
Exemplo 27: 



 12
82
24 xx
x
lim
x
 
 
 
1.5. Limites no Infinito 
Exemplo 28: Seja a função f cujo gráfico é o da figura abaixo. 
 Através de exame do gráfico, encontre os limites: 
 


)x(flim
x
 ............. 


)x(flim
x
 .............. 
 
 
 
Exemplo 29: Construa o gráfico da função definida por 
  3xxf 
 e determine 
)x(flim
x 
 e 
)x(flim
x 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
      















x
y
    








x
y
 
 
 
8 
 
Exemplo 30: Construa o gráfico da função definida por 
 
x
xf
31
10


 e determine 
)x(flim
x 
 e 
)x(flim
x 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6. Limite de polinômios quando x → 

∞ 
 O comportamento final de um polinômio coincide com o comportamento final de seu termo de 
maior grau. 
 
Exemplo 31: 
 

9247 35 xxxlim
x
 
Exemplo 32: 
 

15174 38 xxxlim
x
 
 
1.7. Limite de funções racionais quando x → 

∞ 
 O comportamento final de uma função racional coincide com o comportamento final do 
quociente dos termos de maior grau do numerador e do denominador. 
 
Exemplo 33: 



 86
53
x
x
lim
x
 
Exemplo 34: 



 52
4
3
2
x
xx
lim
x
 
Exemplo 35: 



 x
xx
lim
x 31
125 23 
 
      










x
y
 
 
 
9 
 
1.8. Continuidade 
Uma função f é contínua no ponto c se as seguintes condições forem satisfeitas: 
(a) f é definida no ponto c; 
(b) 
)x(flim
cx
 existe; 
(c) 
)c(f)x(flim
cx


. 
 Se f for contínua em cada ponto de seu domínio, dizemos que f é “função contínua”. 
Geometricamente, uma função contínua é uma função cujo gráfico não apresenta quebra ou buraco. 
 
Exemplo 36: Através do exame dos esboços dos gráficos analise a continuidade das funções (justifique): 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) e) f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Exercícios 
Através de exame dos gráficos das funções responda: 
1) 
 
a) 


)x(flim
x 1
 b) 
)(f 1
 
c) 


)x(flim
x 1
 d) 
 )(f 1
 
 e) f é contínua? 
 
 
2) 
 
a) 
)x(flim
x 0
= b) 
)(f 0
 
c) 
)x(flim
x 1
= d) 
)(f 1
 
 e) f é contínua? 
 
3) 
 
a) 
)x(flim
x 1
= b) 
)x(flim
x 1
= c) 
)x(flim
x 1
= 
 d) 
)(f 1
 
 e) f é contínua? 
 
 
 
4) 
 
a) 
)x(flim
x 2
= b) 
)x(flim
x 2
= c) 
)x(flim
x 2
= 
 d) 
)(f 2
 
 e) f é contínua? 
 
 
    










x
y
-2 -1 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-2 -1 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
x
y
 
 
 
11 
 
5) 
a) 
)x(flim
x 0
= b) 
)x(flim
x 0
= c) 
)x(flim
x 0
= 
 d) 
)(f 0
 
e) 
)x(flim
x 
= f) 
)x(flim
x 
= 
 g) f é contínua? 
 
 
a) 
)x(flim
x  2
= b) 
)x(flim
x  2
= c) 
)x(flim
x 2
= 6) 
 d) 
)(f 2
 
e) 
)x(flim
x  1
= f) 
)x(flim
x 1
= g) 
)x(flim
x 1
= 
 h) 
)(f 1
 
i) 


)x(flim
x
 j) 
)x(flim
x 
= 
 l) f é contínua? 
 
7) 
a) 
)x(flim
x  2
= b) 
)x(flim
x  2
= c) 
)x(flim
x 2
= 
 d) 
)(f 2
 
e) 


)x(flim
x
 f) 
)x(flim
x 
= 
 g) f é contínua? 
 
 
8) 
a) 
)x(flim
x  3
= b) 
)x(flim
x  3
= c) 
)x(flim
x 3
= 
d) 
)x(flim
x  3
= e) 
)x(flim
x  3
= f) 
)x(flim
x 3
= 
g) 


)x(flim
x
 h) 
)x(flim
x 
= 
 i) f é contínua? 
 
-2 -1 1 2 3
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
x
y
 
 
 
12 
 
9) 
a) 
)x(flim
x 
= 
 
b) 
)x(flim
x 
= 
 c) f é contínua? 
 
 
 
Calcule os limites indicados: 
10) 
 

2
0
573 xxlim
x
 14) 



 2
652
2 x
xx
lim
x
 
11) 
 

26 45
1
xxlim
x
 15) 
 

xxlim
x
2
 
12) 



 13
4
2 x
x
lim
x
 16) 



 x
xx
lim
x 3
2 
13) 



 1
12
1 x
x
lim
x
 
Respostas: 
1) a) 1 b) 1 c) –1 d) –1 e) contínua 2) a) 2 b) 2 c) 1 d) 4 e) descontínua em x = 1 
3) a) –1 b)3 c) ∄ d) 1 e) descontínua em x = 1 4) a) 3 b) 1 c) ∄ d) 1 e) descontínua em x = 2 
5) a) 1 b)1 c)1 d) 1 e) 0 f) +∞ g) contínua 
6) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 1 f) 1 g) 1 h) 3 i) –∞ j) +∞ l) descontínua em x = 1 
7) a) +∞ b) +∞ c) +∞ d) ∄ e) 0 f) 0 g) descontínua em x = 2 
8) a) –∞ b) +∞ c) ∄ d) –∞ e) +∞ f) ∄ g) 0 h) 0 i) descontínua em x = –3 e x = 3 
9) a) 0 b) 2 c) contínua 10) 3 11) 9 12) 6/5 13) 2 14) –1 15) +∞ 16) –∞ 
 
 
 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
1
2
x
y
Exercícios 2.1 – pág. 110: 1, 2, 3, 4, 5, 6 
Exercícios 2.2 – pág. 121: 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11 
Exercícios 2.3 – pág. 131: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 11, 12, 13, 15, 25, 26 
 
 
 
13 
 
2. FUNÇÃO LINEAR 
 
2.1. Definição 
As funções mais importantes e, ao mesmo tempo, as mais simples são as funções lineares. 
 Uma função linear tem a forma 
bmx)x(f 
, onde m e b são constantes. Seu gráfico é uma 
reta tal que 
 m é a inclinação da reta; 
 b é o intercepto vertical, ou valor de y quando x é zero. 
Interpretações da Inclinação: 
 A inclinação m da reta tem duas interpretações importantes: 
 m é uma medida da declividade da reta. 
 m é a taxa de variação de y com relação a x. 
 
Exemplo 1: A variação de temperatura de uma barra de ferro (em ºC) em função do tempo (em minutos) 
é dada por 
306  t)t(T
. 
a) Qual é a temperatura inicial da barra? 
b) Qual é a taxa de variação da temperatura da barra em relação ao tempo? 
c) Ao fim de quantos minutos a temperatura da barra será de 9ºC? 
d) Faça o gráfico dessa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. A Equação da Reta 
 Uma reta com inclinação m passando pelos pontos 
 11 y,xP
 e 
 22 y,xQ
, tem 
12
12
xx
yy
x
y
m






 
e equação 
 11 xxmyy 
. 
 
 
 
 
14 
 
Exemplo 2: Considere os seguintes valores para a temperatura e o volume de um gás: 
temperatura (ºC) Volume (cm
3
) 
27 500 
90 605Com base nesses dados: 
a) Encontre a expressão da função linear para o volume (V) do gás em função da temperatura t. 
b) Qual a taxa de variação do volume do gás em relação à temperatura? 
c) Determine o volume de gás para uma temperatura de 45ºC. 
d) Determine a temperatura para um volume de 0 cm3. 
e) Faça o gráfico dessa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. Retas Paralelas e Perpendiculares 
As inclinações podem ser usadas para mostrar se duas retas são paralelas ou perpendiculares: 
 Duas retas não verticais são paralelas se e somente se tiverem a mesma inclinação: 
sr mm 
. 
 Duas retas são perpendiculares se e somente se suas inclinações são recíprocas negativas: 
s
r
m
m
1

. 
 
Exemplo 3: Determine as inclinações das retas: 
 r que passa pelos pontos (1, 2) e (2, 4); 
 s que passa pelos pontos (1, 1) e (0, 3); 
 t que passa pelos pontos (0, 1) e (1, 
2
1
). 
 
 
 
15 
 
Com base nas inclinações determinadas, quais as posições relativas das retas r, s e t? Represente 
graficamente as retas r, s e t, num mesmo sistema de eixos cartesianos e, confirme as conclusões acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Construa o gráfico da reta que passa por (4, 2) com inclinação m = 3. 
2) Uma partícula inicialmente em (7, 5) move-se ao longo de uma reta com inclinação m = 2 para uma 
nova posição (x, y). 
a) Ache y se x = 9 b) Ache x se y = 12 
3) Ache a inclinação e o intercepto y de: 
a) 
23  xy
 b) 
xy
4
1
3
 c) 
853  yx
 
4) Escreva as equações das retas abaixo: 
 a) Reta com inclinação 2 e intercepto y = 4; 
 b) Reta paralela a 
24  xy
 e intercepto y = 7; 
 c) Reta perpendicular a
95  xy
 e que passa por (3, 4); 
 d) Reta que passa por (3, 6) e (2, 1). 
5) Em cada item, classifique as retas como paralela, perpendiculares ou nenhum dos dois: 
a) 
74  xy
 e 
94  xy
 c) 
 342  xy
 e 
 3
4
1
7  xy
 
b) 
32  xy
 e 
xy
2
1
7 
 d) 
xy
2
1

 e 
yx
2
1

 
 
 
 
16 
 
6) Considere a reta r, cuja equação é dada por 
3 xy
 e que passa pelo ponto (1, 2): 
 a) Encontre a equação da reta s que passa pelo ponto dado e é perpendicular à reta dada; 
 b) Encontre a equação da reta t paralela à r e que passa pelo ponto (2, 1). 
 c) Represente as retas r, s e t num mesmo gráfico. 
7) A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem 
decrescendo constantemente nos últimos anos. Em 2000 a média foi de 582 pontos, enquanto que, em 
2005, foi de 552 pontos. 
 a) Expresse a média do teste M como função do tempo t; 
 b) Se a tendência atual se mantiver, qual será a média dos pontos obtidos em 2010? 
 c) Em que ano, a média será 534 pontos, nestas condições? 
8) À medida que o ar seco move-se para cima ele se expande e esfria. Se a temperatura do solo for de 
20
o
 C e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10
 o
 C; 
 a) Expresse a temperatura T (em 
o
 C) como uma função da altura h (em km); 
 b) Faça um gráfico da função; 
 c) O que representa a inclinação? 
 d) Qual é a temperatura a 2,5 km de altura? 
9) Sabe-se que a pressão da água ao nível do mar é de 1 atm e que a cada metro em que você se 
aprofunda, a pressão se eleva de 0,1 atm. 
 a) Expresse a pressão da água (p) em função da profundidade (h); 
 b) Faça o gráfico da função; 
 c) Determine a pressão a que estamos submetidos numa profundidade de 10 metros; 
 d) Determine a profundidade em que estamos quando a pressão é de 3 atm; 
 e) Qual é a taxa de variação média entre dois “pontos” quaisquer do domínio de p(h)? 
Respostas: 
2) a) 1 b) 7/2 3) a) 3 e 2 b) -1/4 e 3 c) -3/5 e 8/5 
4) a) 
42  xy
 b) 
74  xy
 c) 
5
17
5
1
 xy
 d) 
95  xy
 
5) a) paralelas b) perpendiculares c) nenhum dos dois d) nenhum dos dois 
6) a) 
1 xy
 b) 
1 xy
 
7) a) 
5826  t)t(M
 b) 522 pontos c) 2008 
8) a) 
2010  h)h(T
 c) representa a taxa de variação da temperatura do ar em relação à altura (-10ºC/km) 
 d) -5ºC 
9) a) 
110  h,)h(p
 c) 2 atm d) 20 m e) 0,1 atm/m 
 
 
 
 
 
17 
 
3. DERIVADA 
 
3.1. Velocidade Instantânea no Movimento Retilíneo 
Se você observar o velocímetro de um carro no tráfego urbano, verá que o ponteiro não fica parado 
por muito tempo; isto é, a velocidade do carro não é constante. Podemos supor da observação do 
velocímetro que o carro tenha uma velocidade definida em cada momento. Mas como está definida essa 
velocidade “instantânea”? 
 
Exemplo 1: A equação horária de uma partícula em movimento é 
  294 t,ts 
 (t em segundos e s em 
metros). 
a) Sabendo que 
t
s
decorridotempo
todeslocamen
vméd



 , encontre a velocidade média para os intervalos de 
tempo entre: 
st 5
e 
st 6
 
 
 
st 5
e 
s,t 15
 
 
 
st 5
e 
s,t 015
 
 
 
st 5
e 
s,t 0015
 
 
b) A velocidade instantânea quando 
st 5
 é definida como o valor limite dessas velocidades médias 
em períodos de tempo cada vez menores começando em 
st 5
. Assim sendo, qual a velocidade 
instantânea da partícula quando 
st 5
? 
 
Considerando-se uma partícula em movimento retilíneo com função posição 
)t(fs 
, onde s é o 
deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. No intervalo de tempo entre 
0t
 e 
ht 0
 o 
deslocamento será de 
)t(f)ht(f 00 
. A velocidade média nesse intervalo é 
 
h
)t(f)ht(f
decorridotempo
todeslocamen
vméd
00 
 
 
 
 
 
18 
 
Define-se a velocidade instantânea da partícula instante 
0t
 como o limite, quando 
0h
, das 
velocidades médias nos intervalos de tempo entre 
0tt 
 e 
htt  0
, isto é: 
 
 
 
Exemplo 2: Seja 
tts 103 2 
 a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica. 
Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule: 
a) a velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2,4]; 
b) a velocidade instantânea no instante t = 2. 
 
 
 
 
 
 
3.2. A Reta Tangente 
Sejam 
)x(f,x(P 00
 e 
)hx(f,hx(Q  00
 dois pontos distintos da curva 
)x(fy 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A inclinação 
PQm
 da reta secante que passa pelos pontos P e Q é: 
 
 
Se fizermos h tender a zero, o ponto Q se moverá sobre a curva 
)x(fy 
 e tenderá ao ponto P; 
além disso, a reta secante irá girar em torno do ponto P e tenderá para a reta tangente. Assim, enquanto 
0h
, a inclinação 
PQm
 da reta secante tende para a inclinação m da reta tangente; ou seja 
 
h
)t(f)ht(f
limv
h
i
00
0



h
)x(f)hx(f
mPQ
00 
h
)x(f)hx(f
limm
h
00
0



 
 
 
19 
 
Exemplo 3: Dada a função 
2x)x(f 
; 
a) Determine a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto genérico
0x
; 
b) Determine a inclinação da reta que é tangente ao gráfico da função 
2x)x(f 
 nos pontos (1, 1), (2, 
4) e (4, 16); 
c) Escreva a equação da reta tangente à parábola no ponto (3, 9); 
d) Construa o gráfico da função 
2x)x(f 
 e da reta tangente ao gráfico da função no ponto (3, 9).3.3. Outras Taxas de Variação 
 A velocidade pode ser vista como uma taxa de variação da posição em relação ao tempo. As 
taxas de variação também ocorrem em outras aplicações: 
 Taxa com que a quantidade de bactérias de uma colônia muda com o tempo. 
 Taxa com que o comprimento de um cano de metal muda com a temperatura. 
 Taxa com que os custos de produção mudam com a quantidade de produto que está sendo 
produzido. 
 Taxa com que o raio de uma artéria muda com a concentração de álcool na corrente sanguínea. 
Se 
)x(fy 
, então definimos a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo de 
0x
 a 
hx 0
 como 
 
 
 
E dizemos que a taxa de variação instantânea de y em relação a x é 
 
 
h
)x(f)hx(f
x
y
rm
00 



h
)x(f)hx(f
limr
h
i
00
0



 
 
 
20 
 
Exemplo 4: Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente como conseqüência de ter sido 
aquecido. Calcule: 
a) A taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando x aumenta de 2 para 2,01 
centímetros. 
b) A taxa de variação instantânea de seu volume em relação à aresta no instante em que 
2x
cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4. A Derivada de uma Função 
 O problema de encontrarmos a taxa de variação de uma variável em relação a outra e o problema 
de encontrarmos coeficiente angular da reta tangente a um gráfico são resolvidos pelo cálculo do mesmo 
limite. Esse limite é tão importante que possui notação especial: 
 
 
 
Como a função 
'f
 é derivada da função original f, é chamada de derivada de f. Assim, 
substituindo 
0x
 por x estabelecemos a fórmula que define a derivada de f em relação a x: 
 
h
)x(f)hx(f
lim)x('f
h


0
 
 
O domínio de
'f
consiste de todo x para o qual o limite existe. 
 
Exemplo 5: Ache a derivada em relação a x de 
xx)x(f  2
. 
 
 
 
 
 
h
)x(f)hx(f
lim)x('f
h
00
0



 
 
 
21 
 
3.5. Diferenciabilidade 
Uma função f é diferenciável ou derivável em x0 se existe o limite 
 
 
 
   
h
xfhxf
limx'f
h
00
0
0



 
 
Geometricamente, uma função f é diferenciável em x0 se o gráfico de f possuir uma reta tangente 
em x0. Ela não terá derivada nos pontos em que o gráfico apresentar, por exemplo: 
 
1) Picos ou pontos de quina 2) Pontos de tangência vertical 3) Pontos de descontinuidade 
 
 
 
 
 
 
 
Outras Notações 
 Se usarmos a notação tradicional 
)x(fy 
 para indicar que a variável independente é x 
enquanto y é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a derivada são como se 
segue: 
 
)x(fD)x(Df)x(f
dx
d
dx
df
dx
dy
'y)x('f x
 
 Os símbolos D e 
dx
d
 são chamados operadores diferenciais, pois indicam a operação de 
diferenciação, que é o processo de cálculo de uma derivada. 
 O símbolo 
dx
dy
, introduzido por Leibniz, não deve ser encarado como um quociente (por ora); 
trata-se simplesmente de um sinônimo para
)x('f
. 
Exercícios 
1) a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola 
xxy 22 
 no ponto ( 3, 3); 
 b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a); 
 c) Faça os gráficos da parábola e da reta tangente num mesmo sistema de eixos cartesianos. 
 
 
 
22 
 
2) a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva 
3xy 
 no ponto ( 1,  1 ); 
 b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a); 
 c) Faça os gráficos da curva e da reta tangente num mesmo sistema de eixos cartesianos. 
3) O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo da reta é dado pela equação 
1882  tts
, onde t é medido em segundos. 
 a) Encontre a velocidade média no intervalo [3, 4]; 
 b) Encontre a velocidade instantânea quando t = 4. 
4) Seja 
2
2
1
xy 
. 
 a) Ache a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [3, 4]; 
 b) Ache a taxa de variação instantânea de y em relação a x num ponto genérico x = x0; 
 c) Ache a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto x = 3. 
5) Um triângulo equilátero feito de uma folha de metal é expandido pois foi aquecido. Sua área A é dada 
por 
2
4
3
xA 
 cm
2
, onde x é o comprimento de um lado em cm. Calcule a taxa de variação instantânea 
de A em relação a x no instante em que 
10x
 cm. 
6) Se 
xx)x(f 53 2 
, encontre 
)('f 2
. 
7) Se 
2423 xx)x(f 
, encontre 
)a('f
. 
8) Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa, e o custo da produção, em reais, de x metros 
desse material é 
)x(fC 
. 
 a) Qual o significado da derivada 
)x('f
? Quais suas unidades? 
 b) Em termos práticos, o que significa dizer que 
91000 )('f
? 
Respostas: 
1) a) 
4m
 b) 
94  xy
 2) a) 
3m
 b) 
23  xy
 
3) a) 
s/mvméd 1
 b) 
0iv
 
 4) a) 
2
7
mr
 b) 
0xri 
 c) 
3ir
 5) 
cm/cm235
 
 6) 
72 )('f
 7) 
a)a('f 82
 
 8) a) A derivada 
)x('f
 é a taxa de variação instantânea de C em relação a x; isto é, 
)x('f
 significa a taxa de variação do 
custo de produção em relação ao número de metros produzidos. A unidade para 
)x('f
 é reais por metro. 
 b) Significa que, depois de 1.000 metros da peça terem sido fabricados, a taxa segundo a qual o custo de produção 
está aumentando é R$ 9,00 por metro. 
 
 
 
 
 
23 
 
4. TÉCNICAS DE DIFERENCIAÇÃO 
 
O uso da definição para o cálculo de 
 x'f
 é muitas vezes um processo longo e trabalhoso. Para facilitar o cálculo 
de derivadas usaremos as regras de derivação. 
 
4.1. Derivada de uma constante 
 
1. 
  0c
dx
d
 
Exemplo 1: 
  5xf
 → 
 x'f
 
 
Exemplo 2: 
   2
dx
d
 
 
4.2. Derivadas de potências de x 
 
2. 
  1x
dx
d
 3. 
  1 nn xnx
dx
d
 
Exemplo 3: Derive: 
a) 
  5xxf 
 b) 
4ty 
 c) 
 
9
1
x
xf 
 d) 
xy 
 e) 
3 2
1
x
y 
 
 
4.3. Derivada de uma constante vezes uma função 
 
4. 
  )x(f
dx
d
c)x(fc
dx
d

 
Exemplo 4: Encontre 
 x'f
: 
a) 
  84xxf 
 b) 
  12xxf 
 c) 
 
x
xf


 d) 
 
x
xf
2

 
 
4.4. Derivadas de somas e de diferenças 
 
5. 
  )x(g
dx
d
)x(f
dx
d
)x(g)x(f
dx
d

 6. 
  )x(g
dx
d
)x(f
dx
d
)x(g)x(f
dx
d

 
 
 
 
24 
 
Exemplo 5: Encontre 
dx
dy
: 
a) 
xxy  53
 b) 
9
6 12
x
xy 
 c) 
xy 21
 d) 
12623 58  xxxy
 
Exemplo 6: Em quais pontos, se em algum, o gráfico de 
433  xxy
 tem uma reta tangente 
horizontal? (Construa o gráfico indicando as tangentes) 
 
4.5. Derivadas de Ordens Superiores 
Se f é uma função diferenciável, então sua derivada 
'f
 é também uma função, logo 
'f
 pode ter 
sua própria derivada. Essa novafunção 
''f
 é chamada derivada segunda de f. Enquanto tivermos 
diferenciabilidade, podemos continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, 
quinta, etc. Essas derivadas em sucessão são denotadas por: 
 
    xf
dx
d
dx
yd
x''f''y
2
2
2
2

 
 
    xf
dx
d
dx
yd
x'''f'''y
3
3
3
3

 
 
       xf
dx
d
dx
yd
xfy
4
4
4
4
44 
 
 

 

 
Exemplo 7: Se 
  2423 234  xxxxxf
 encontre   xf 5 . 
 
Exemplo 8: Se 
3xy 
 encontre 
''y
. 
 
Exemplo 9: Um objeto move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação de movimento 
ttts 96 23 
 onde t é medido em segundos e s em metros. 
a) Encontre a velocidade no instante t. Qual é a velocidade após 2 segundos? Quando o objeto está em 
repouso? 
b) Encontre a aceleração no instante t. Qual é a aceleração depois de 4 segundos? 
Exercícios de compreensão 3.3 – pág. 196: 2 
Exercícios 3.3 – pág. 196: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 29, 31, 33 
 
 
 
25 
 
 
4.6. Derivadas de produtos e de quocientes 
 
7. 
  )x(f
dx
d
)x(g)x(g
dx
d
)x(f)x(g)x(f
dx
d

 
Exemplo 10: Encontre 
'y
 se 
   xxxy  32 714
. 
 
Exemplo 11: Encontre 
dt
ds
 se 
  tts  1
. 
 
8. 
 2)x(g
)x(g
dx
d
)x(f)x(f
dx
d
)x(g
)x(g
)x(f
dx
d






 
Exemplo 12: Encontre 
 x'y
 para: 
a) 
5
12 23



x
xx
y
 b) 
1
1
4
2



x
x
y
 
 
Exemplo 13: Encontre uma equação da reta tangente à curva 
4
8
2 

x
y
 no ponto 
 12,
. 
Exercício: A função 
  44 24  ttts
 descreve a posição de uma partícula movendo-se ao 
longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t em segundos. 
a) Encontre as funções velocidade e aceleração. 
b) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t = 1. 
 
Exercícios 3.3 – pág. 196: 37(a), 37(b), 39, 41 
Exercício: A função 
 
42 

t
t
ts
 descreve a posição de uma partícula movendo-se ao longo de 
um eixo coordenado, onde s está em metros e t em segundos. 
a) Encontre as funções velocidade e aceleração. 
b) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t = 1. 
 
Exercícios de compreensão 3.4 – pág. 202: 1 e 3 
Exercícios 3.4 – pág. 203: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 23, 25 
 
 
 
26 
 
4.7. Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
1. 
  xx
dx
d
cossen 
 3. 
  xx
dx
d 2sectg 
 5. 
  xxx
dx
d
tgsecsec 
 
 
2. 
  xx
dx
d
sencos 
 4. 
  xx
dx
d 2cosseccotg 
 6. 
  xxx
dx
d
cotgcosseccossec 
 
Exemplo 14: Encontre 
dx
dy
 se: 
a) 
xxy sen
 b) 
x
x
y
cos1
sen


 
 
Exemplo 15: Encontre 
 4''f
 se 
  xxf sec
. 
 
Exemplo 16: Suponha que uma massa presa na ponta de uma mola seja espichada 3 cm além de seu 
ponto de repouso e largada no instante t = 0. Supondo que a função posição do topo da massa presa à 
mola seja 
ts cos3
 onde s está em centímetros e t em segundos. 
a) Encontre a função velocidade. 
b) Encontre a posição do topo da massa e a velocidade no instante 
 2t
. 
 
 
 
4.8. Regra da Cadeia 
 Se 
 uf
 é derivável no ponto 
 xgu 
 e 
 xg
 é derivável em x, então a função composta 
  xgfgf 
 é derivável em x e 
        x'gxg'fx'gf 
. 
 Na notação de Leibniz, se 
 ufy 
 e 
 xgu 
, então 
dx
du
du
dy
dx
dy

 onde 
du
dy
 é calculada em 
 xgu 
. 
 Obs: Ao usarmos a Regra da Cadeia trabalhamos de fora para dentro. 
Exemplo 17: Encontre 
dx
dy
 se  72 25  xxy . 
Exercícios de compreensão 3.5 – pág. 207: 2 
Exercícios 3.5 – pág. 207: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21, 23, 25(a) 
 
 
 
27 
 
4.9. Regra Geral para Potências 
 
 
dx
du
unu
dx
d nn 1
 
Exemplo 18: Derive: 
a)  523 3 xxxy  b) 32  xy c)  
9
12
2









t
t
tf
 d) 
   435 112  xxxy 
 
4.10. Regras Gerais para Funções Trigonométricas 
 
1. 
 
dx
du
uu
dx
d
cossen 
 4. 
 
dx
du
uu
dx
d 2cosseccotg 
 
 
2. 
 
dx
du
uu
dx
d
sencos 
 5. 
 
dx
du
uuu
dx
d
tgsecsec 
 
 
3. 
 
dx
du
uu
dx
d 2sectg 
 6. 
 
dx
du
uuu
dx
d
cotgcosseccossec 
 
Exemplo 19: Encontre 
dx
dy
 se: 
a)  3cos xy  b)  xxy  34tg c)  xy 3cos2 d)    xtgcosseny 
Exercício: A função 
  




 

3
cos99
t
ts
 descreve a posição de uma partícula movendo-se ao 
longo de um eixo coordenado, onde s está em metros e t em segundos. 
a) Encontre as funções velocidade e aceleração. 
b) Encontre a velocidade e a aceleração no instante t = 1. 
 
Resolva o exemplo 5 – pág. 212 
 
Exercícios de compreensão 3.6 – pág. 214: 3 e 4 
Exercícios 3.6 – pág. 214: 7, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25,31, 35, 37, 43, 51 
Exercícios 4.1 – pág. 241: 1 e 3 
 
 
 
28 
 
Os exercícios abaixo envolvem as aplicações das derivadas; Para o cálculo das derivadas use as 
regras de derivação. 
1) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função 
209)( 2  xxxf
 no ponto 
(2, 1). 
2) Suponha que o gráfico da função 
cbxxxf  2)(
 tem uma tangente no ponto (0, 1) cujo 
coeficiente angular é 2. Determine b e c. 
3) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 
2)(3)( xxsenxf 
 no ponto de abscissa 
x
. 
4) (a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 
4)( 2  xxf
 e que seja paralela à reta 
s: 
12  xy
. 
 (b) Faça o gráfico da curva, da reta tangente e da reta s no mesmo sistema de eixos cartesianos. 
5) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 
)cos(3)( xxf 
 no ponto em que 
2

x
. 
6) (a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 
14)( 2  xxxf
, que é perpendicular à reta 
r: 
052  xy
. 
 (b) Faça o gráfico da curva, da reta tangente e da reta r no mesmo sistema de eixos cartesianos. 
7) (a) Encontre uma equação para a reta perpendicular à tangente à curva 
143  xxy
 no ponto 
(2, 1). 
 (b) Faça o gráfico da curva e da reta perpendicular à tangente no mesmo sistema de eixos cartesianos. 
8) (a) Encontre uma equação da reta tangente à curva 
21
1
x
y


 no ponto 







2
1
,1
. 
 (b) Faça o gráfico da curva e da reta tangente no mesmo sistema de eixos cartesianos. 
9) Uma partícula move-se de acordo com uma lei do movimento 
tttts 3612)( 23 
, onde s está em 
metros e t, em segundos. Encontre: 
 (a) A velocidade e a aceleração como funções em t; 
 (b) A aceleração depois de 3 s. 
10) Uma partícula move-se de acordo com uma lei do movimento 












 ttsents
6
cos
6
)(
 , onde s 
está em metros e t, em segundos. Encontre: 
 (a) A velocidade e a aceleração como funções em t; 
 (b) A aceleração depois de 1 s; 
 
 
 
2911) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal de forma que sua coordenada no instante t 
seja 
222 tcbx 
, 
0t
, onde b e c são constantes positivas. Encontre as funções velocidade e 
aceleração. 
12) Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo onde bactérias estavam crescendo, a população de 
bactérias continuou a crescer por um tempo, mas depois parou de crescer e começou a diminuir. O 
tamanho da população no instante t (em horas) era dado por 
2346 101010)( tttb 
. Determine as taxas 
de crescimento para: 
(a) 0 horas; (b) 5 horas; (c) 10 horas. 
13) Depois de aberta a válvula inferior de um tanque de armazenamento, é necessário esperar 12 horas 
para esvaziá-lo. A profundidade y (em metros) do líquido no tanque, t horas depois que a válvula foi 
aberta, é dada por 2
12
16 






t
y
. Encontre a taxa de esvaziamento do tanque no instante t. 
14) De acordo com a fórmula de Debye em físico-química, a polarização de orientação P de um gás 
satisfaz 







kT
NP
33
4 2

 onde μ, k e N são constantes positivas e T é a temperatura do gás. Ache a taxa 
de variação de P em relação a T. 
 
Respostas: 
1) 
5m
 2) 
12  cb
 3) 
   323 2xy
 4) 
52  xy
 5) 





 

2
3 xy
 6) 
82  xy
 
7) 
4
5
8



x
y
 8) 
1
2
1
 xy
 9) 
36243 2  tt)t(v
; 
246  t)t(a
; 
263 s/m)(a 
 
10) 











 





 
 tsentcos)t(v
666
; 











 





 
 tcostsen)t(a
6636
2
; 
  2
2
31
72
1 s/m)(a 


 
11) 
222
2
tcb
tc
'x


 
 3222
22
tcb
bc
''x


 12) 
h/bactérias410
; 
h/bactérias0
; 
h/bactérias410
 
13) 
1
12

t
dt
dy
 14) 







 



2
2
33
4
kT
N
dT
dP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
5. TAXAS RELACIONADAS 
 
 Em problemas de taxas relacionadas, procura-se encontrar a taxa de variação de uma grandeza 
em relação a outras, cujas taxas de variação são conhecidas. 
O procedimento é escrever uma equação com as variáveis envolvidas e então usar a Regra da 
Cadeia para diferenciar ambos os lados em relação ao tempo, obtendo assim uma equação que relaciona 
a taxa procurada às taxas conhecidas. 
 
Exemplo 1: Suponha que x e y sejam funções diferenciáveis de t relacionadas pela equação 
3xy 
. 
Encontre 
dt
dy
 quando 
2x
 e 
4
dt
dx
. 
 
 
 
Exemplo 2: Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe em 
uma forma circular, cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que velocidade a área do 
derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 pés? 
 
 
 
Exemplo 3: Uma bola de neve está derretendo de modo que seu volume está decrescendo a uma razão 
de 0,17 m
3
/min. Ache a razão segundo a qual seu raio está decrescendo no instante em que o raio é de 
0,46 m. 
 
 
 
 Exemplo 4: Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da 
escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está 
escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede? 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Exemplo 5: Na figura abaixo mostramos uma câmera montada em um ponto a 3.000 pés da base de uma 
plataforma de lançamento de um foguete. Se o foguete estiver subindo verticalmente a 880 pés/s quando 
estiver 4.000 pés acima da plataforma de lançamento, quão rápido deve mudar o ângulo de elevação da 
câmera naquele instante para que se mantenha apontada para o foguete? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Suponha que um líquido deva ser purificado por decantação, através de um filtro cônico 
com 16 cm de altura e raio de 4 cm no topo. Suponha também que o líquido seja forçado a escoar para 
fora do cone a uma taxa constante de 2 cm
3
/min. Com que taxa está variando a profundidade do líquido 
no instante em que a profundidade for de 8 cm? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio de 2 m e 
altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 m
3
/min, 
encontre a taxa na qual o nível de água estará se elevando quando a água estiver com profundidade de 
3 m. 
 
 
 
 
 
Exercícios de compreensão 3.7 – pág. 221: 1 e 2 
Exercícios 3.7 – pág. 221: 1, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 17, 20, 25, 27 
 
 
 
32 
 
6. APROXIMAÇÕES LINEARES E DIFERENCIAIS 
 
6.1. Aproximação linear local 
 Quanto mais ampliamos o gráfico de uma função próximo a um ponto 
oxx 
onde a função é 
derivável, mais “reto” o gráfico se torna e mais se assemelha à sua tangente cuja equação é: 
))((' )( ooo xxxfxfy 
 
Assim, para valores de x próximos de 
ox
, podemos aproximar os valores de 
 xf
 por: 
 
)xx)(x(f)x(f)x(f ooo  ' 
 
 
Exemplo 1: (a) Encontre a aproximação linear local de 
xxf )(
 em 
1ox
. 
 (b) Use a aproximação linear local obtida em (a) para aproximar 
11,
 e compare sua 
aproximação com o resultado obtido com uma calculadora. 
 (c) Faça o gráfico de f e de sua reta tangente em 
1ox
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: (a) Encontre a aproximação linear local de 
xsen)x(f 
 em 
0ox
. 
 (b) Use a aproximação linear local obtida em (a) para aproximar 
osen 2 
e compare sua 
aproximação com o resultado obtido com uma calculadora. 
 
 
 
 
 
 
33 
 
6.2. Diferenciais 
 Se f é diferenciável em um ponto x, então: 
 
)(' xf
dx
dy

 
 
dxxfdy )(' 
 forma diferencial 
 
Interpretação Geométrica 
 
 
 
 
 
 
dy representa a distância que a reta tangente sobe ou desce 
quando x varia de dx unidades. 
 
 
 
Exemplo 3: Seja 
xy 
. Encontre 
dy
e 
y
 em 
4x
com 
3 xdx
. Faça, então, um esboço de 
xy 
, mostrando 
dy
e 
y
 na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Mesmo que 
y
 e 
dy
 sejam geralmente diferentes, 
dy
 é uma boa aproximação de 
y
 no caso 
em que 
xdx 
 esteja próximo de zero. 
 
Propagação do erro em aplicações 
 Quando quantidades são medidas ocorrem pequenos erros. Quando essas quantidades forem 
usadas para cálculos, aqueles erros serão propagados para as quantidades calculadas. Esse erro 
propagado 
y
 pode ser estimado por: 
 
dxxfdyy )(' 
 
 
Exemplo 4: Suponha que com uma régua meçamos o lado de um quadrado como sendo de 10 cm, com 
um erro de medição de 
20
1

cm. Estime o erro na área calculada no quadrado. 
 
 
 
7. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
 
7.1. Funções explícitas e implícitas 
 
Até aqui, estudamos funções que envolvem duas variáveis expressas na forma explícita 
 xfy 
, isto é, uma das duas variáveis é dada explicitamente em termos da outra. Por exemplo, 
53  xy
 ou 
 xxy sen
. 
Muitas funções, entretanto, são definidas na forma implícita por uma relação entre x e y, tal 
como 
1xy
 ou 
242 32  yyx
. 
 
Em alguns casos, para obter a derivada de umafunção na forma implícita, é possível resolver a 
equação dada em y, ou seja, “isolar” y no primeiro membro da equação e daí diferenciá-la. 
Exemplo 1: Se 
1xy
, encontre 
dx
dy
. 
 
Exercícios 3.8 – pág. 229: 1a, 1c, 3a, 5, 6, 7, 8, 29, 31, 45a, 46a 
 
 
 
35 
 
 O processo usado no exemplo 1 só é possível quando podemos explicitar facilmente a função 
dada, o que não ocorre, por exemplo, com 
242 32  yyx
. Em vez disso, usamos o método da 
derivação (ou diferenciação) implícita que nos permite derivar uma função sem a necessidade de 
explicitá-la. 
 
7.2. Derivação implícita 
 
Esse método consiste em diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e então resolver a 
equação resultante em relação à derivada 
dx
dy
'y 
. 
Exemplo 2: Se 
242 32  yyx
, encontre 
dx
dy
. 
 
Exemplo 3: Encontre 
dx
dy
 se 
2566 32 yyyxx 
. 
 
Exemplo 4: Se 
225 xsenyy 
, encontre 
dx
dy
. 
 
Exemplo 5: Encontre 
2
2
dx
yd
 se 
924 22  yx
. 
 
Exemplo 6: Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos 
 12 ,
 e 
 12,
 da curva 
012  xy
. 
 
Exemplo 7: Encontre a equação da reta tangente ao fólio de Descartes 
xyyx 333 
 no ponto 






2
3
2
3
,
. 
 
 
 
 
 
Exercícios 4.1 – pág. 241: 9a, 11, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 27→só por derivação implícita 
 
 
 
36 
 
8. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS 
 
8.1. Função exponencial de base a 
 A função real definida por 
  xaxf 
 (com 
1a
 e 
0a
) é chamada de “função exponencial de 
base a”. 
Assim, são funções exponenciais: 
  xxf 2
 
 
x
xf 






8
1 
Gráfico da função exponencial 
xay 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a
 
10  a
 
 
8.2. O número e 
 O número e é um número irracional cujo valor aproximado com 5 dígitos é 
718282,e 
. Este 
número é conhecido como número de Euler e é amplamente usado como base de potências. 
 
Exemplo 1: Com o uso da calculadora, determine as potências de e: 
2e
 2e 050,e e 31e e 
 
8.3. Função exponencial natural 
A função exponencial mais importante para a modelagem de fenômenos naturais, físicos e 
econômicos é a função exponencial natural, cuja base é o número e. Essa base é importante no Cálculo 
porque o gráfico de 
xey 
 tem coeficiente angular 1 quando cruza o eixo y. 
 
 
1 1 
 
 
 
37 
 
Exemplo 2: Construa o gráfico das funções: 
a) 
  xexf 
 b) 
  xexf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.4. Logaritmos 
Dados dois números reais positivos a e b, com 
1a
, chamamos de logaritmo de b na base a o 
expoente x ao qual se deve elevar a base a para obter b. 
Representa-se por: 
xbloga 
 
Exemplo 3: 
382 log
, pois ...................................... 
 
2
16
1
4 log
, pois ............................................. 
 
8.5. Sistemas de logaritmos 
Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, os dois sistemas mais 
importantes são: o sistema de logaritmos decimais e o sistema de logaritmos naturais. 
 
Chama-se logaritmo decimal o logaritmo de base 10. Por convenção omitimos a base na sua 
representação. 
Exemplo 4: Com o uso da calculadora, determine os logaritmos decimais: 
100log
 
12log
 
5 10log
 
50log
 
 
O logaritmo natural de x é o logaritmo de base e, indicado por 
xln
. 
Exemplo 5: Com o uso da calculadora, determine os logaritmos naturais: 
 
5ln
 
2000ln
 
5
1
ln
 
 
 
 
38 
 
8.6. Mudança de base 
 Uma calculadora científica permite calcular apenas logaritmos decimais e logaritmos naturais. 
Pode-se obter, numa calculadora, um logaritmo com uma base qualquer utilizando a fórmula de 
mudança de base com uma das formas: 
 
alog
xlog
xloga 
 ou 
aln
xln
xloga 
 
 
Exemplo 6: Com o uso da calculadora, determine os logaritmos: 
52log
 
43log
 
 
8.7. Função logarítmica 
 Função logarítmica é toda função real definida por 
  xlogxf a
 com 
0a
 e 
1a
. 
 Assim, são funções logarítmicas: 
  xlogxf 
 
xlogy 5
 
  xlogxf 41
 
  xlnxf 
 
 
Exemplo 7: Construa o gráfico das funções: 
a) 
xlny 
 b) 
  xlogxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.8. Propriedades algébricas dos logaritmos 
a) 
  BlogAlogBAlog aaa 
 
b) 
BlogAlog
B
A
log aaa 





 
c) 
AlogmAlog a
m
a 
 
 
 
 
39 
 
Exemplo 8: Aplicando as propriedades dos logaritmos, resolva as equações exponenciais: 
a) 
32 x
 b) 
827 5 x
 
 
Exemplo 9: Com o uso da calculadora, determine: 
2eln
 
4eln
 
3eln
 
 2lne 4lne 2
1
ln
e 
 
Observação: As funções 
xeln
 e xlne não modificam a variável x, isto é: 
xeln x 
 e 
xe xln 
 
 
Exemplo 10: Resolva as equações: 
a) xe203  b) 
12 xln
 c) 23 ex  
 
Exemplo 11: Um satélite que requer 7 watts de potência para operar em plena capacidade está equipado 
com uma fonte de potência de radioisótopo, cuja saída em watts é dada pela equação 12575 teP  onde 
t é o tempo em dias que a fonte é usada. Por quanto tempo o satélite pode operar na capacidade máxima? 
 
 
Exercícios 
1) Resolva as equações: 
 a) x,e 0602  e) xe 4523  
 b) 
14061 ,, x 
 f) 
237  xe
 
 c) xe 53 g)   5433 xln 
 d) 
20050 0350 x,e
 
2) Um medicamento é ministrado por via intravenosa para aliviar a dor. A função 
   tlntf  15290
, 
40  t
 
dá o número de unidades do medicamento remanescentes no corpo depois de t horas. 
 a) Qual foi a quantidade inicial ministrada em termos de unidades de medicamento? 
 b) Quantas unidades estarão presentes depois de duas horas? 
 
 
 
40 
 
3) A equação 
 
12
2
1
8
t
tQ 






 dá a massa Q em gramas de certa substância radioativa que irá restar de 
uma quantidade inicial após t horas de decaimento radioativo. 
 a) Quantos gramas havia inicialmente? 
 b) Em quanto tempo restará apenas 1 grama dessa substância? 
Respostas: 
1) a) 11,5525 b) 24,2151 c) 0,5108 d) 39,6084 e) 0,4023 f) −0,5108 g) 4,3956 
2) a) 90 unidades b) aproximadamente 33 unidades 
3) a) 8 gramas b) 36 horas 
 
 
8.9. Derivadas de Funções Logarítmicas 
 
 
dx
du
u
uln
dx
d 1

 
 
dx
du
u
uln
dx
d 1

 
 
dx
du
blnu
ulog
dx
d
b
1

 
 
Exemplo 12: Encontre 
dx
dy
se 
xlny 
. 
 
Exemplo 13: Encontre 
dxdy
se  12  xlny . 
 
Exemplo 14: Encontre 
dx
dy
se 
 xsenlogy  2
 
 
Exemplo 15: 
















 x
senxx
ln
dx
d
1
2 = 
 
Exemplo 16: Encontre 
)x('f
 se 









2
1
x
x
ln)x(f
. 
 
Exemplo 17: 
 senxln
dx
d
 
 
 
 
 
41 
 
 
8.10. Diferenciação Logarítmica 
 É uma técnica para derivar funções compostas de produtos, quocientes e potências. 
1º) Toma-se o 
ln
 em ambos os lados da equação 
 xfy 
 e usam-se as propriedades dos logaritmos 
para simplificar; 
2º) Diferencia-se a equação resultante implicitamente em relação a 
x
. 
3º) Resolve-se a equação para 
'y
. 
 
Exemplo 18: Encontre 
dx
dy
 usando diferenciação logarítmica: 
 a) 
xxy 
 
 b) 
xxy 
 
 c)   xsenxy 12  
 d) 
 42
32
1
147
x
xx
y



 
 
 
 
 
 
8.11. Derivadas das Funções Exponenciais 
 
 
dx
du
blnbb
dx
d uu 
 
 
dx
du
ee
dx
d uu 
 
 
Exemplo 19: Encontre 
dx
dy
se: 
 a) 
xey x  2
 d) 
xey 2
 
 b) 
xxey 
 e) 3xey  
 c) 
xy 2
 f) 
xcosey 
 
 
Exercícios 4.2- pág. 247: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 39 
 
 
 
42 
 
9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
 
 Um problema comum em trigonometria é encontrar um ângulo cujas funções trigonométricas são 
conhecidas. 
Exemplo 1: Qual é o ângulo , medido em radianos, tal que 
2
1
sen
? 
Exemplo 2: Qual é a medida do arco cujo cosseno vale 0? 
Exemplo 3: Qual é a medida do arco cuja tangente vale 1? 
Obs: Para determinar funções trigonométricas inversas deve-se restringir o domínio das funções 
trigonométricas. 
 
9.1. Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas 
 
 
dx
du
u
usenarc
dx
d
21
1


 
 
dx
du
u
ucosarc
dx
d
21
1


 
 
 
 
dx
du
u
utgarc
dx
d
21
1


 
 
dx
du
u
ugcotarc
dx
d
21
1


 
 
 
 
dx
du
uu
usecarc
dx
d
1
1
2 

 
 
dx
du
uu
useccosarc
dx
d
1
1
2 

 
 
Exemplo 4: Encontre 
dx
dy
 se 
a)  3xsenarcy  b)  xesecarcy  
 
Exemplo 5: 
  xtgarcx
dx
d
 
 
 
 
 
 
Exercícios 4.3- pág. 254: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 33, 35, 37, 41, 43 
 
 
 
43 
 
10. ANÁLISE DE FUNÇÕES 
 
10.1. Ponto crítico 
Um ponto crítico de uma função f é um número “c” no domínio de f onde 
0)c(' f
 ou 
)c(' f
 
não existe. 
A figura abaixo apresenta o gráfico de uma função que possui pontos críticos em 
edcba ,,,,x 
. Observe que 
0)x(' f
 em 
cba ,,x 
 e 
)c(' f
 não existe em 
ed,x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Encontre os pontos críticos das funções: 
 a) 
xx5(x) f 42 
 
b) 
234 643 xxx(x) f 
 
c) 
 xx(x) f  453
 
 
10.2. Funções crescentes e decrescentes 
 
Uma função f é crescente em um intervalo se, para 
qualquer x1 e x2 no intervalo, 
 
x1 < x2 implica f (x1) < f (x2) 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Uma função f é decrescente em um intervalo se, 
para qualquer x1 e x2 no intervalo, 
 
x1 < x2 implica f (x1) > f (x2) 
 
 
10.3. Sinal da derivada 
Pode-se reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal da sua 
derivada, porque a derivada é o coeficiente angular da reta tangente. Quando a derivada é positiva, o 
coeficiente angular da tangente é positivo e a função é crescente. Caso contrário, quando a derivada é 
negativa, o coeficiente angular é negativo e a função é decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja f uma função diferenciável num intervalo aberto I. Nestas condições: 
(a) Se 
0(x)' f
 para todo 
Ix
, então f é crescente em I. 
(b) Se 
0(x)' f
 para todo 
Ix
, então f é decrescente em I. 
(c) Se 
0(x)' f 
 para todo 
Ix
, então f é constante em I. 
 
Exemplo 2: Determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento das funções: 
 a) 
342  xx(x) f
 
b) 
3x(x) f 
 
c) 
21243 234  xxx(x) f
 
 
 
 
 
 
45 
 
10.4. Extremos relativos 
Um máximo relativo de uma função é um “pico”, o ponto máximo do gráfico em relação a 
qualquer outro ponto vizinho a ele no gráfico. 
Um mínimo relativo é um “fundo de vale”, o ponto mínimo do gráfico em relação a qualquer 
outro ponto vizinho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função representada na figura acima possui um máximo relativo em x = b, e mínimos relativos 
em x = a e x = c. O máximo relativo não precisa ser o ponto mais alto do gráfico, é máximo somente em 
relação aos pontos vizinhos. Da mesma forma, o mínimo relativo não é o ponto “mais baixo” do gráfico. 
Observe que os extremos relativos ocorrem em pontos críticos. 
Os pontos críticos de uma função constituem a coleção completa dos candidatos a extremos 
relativos do interior do domínio de uma função. 
 
10.5. Teste da derivada primeira 
Suponha que “c” seja um ponto crítico de uma função contínua f. 
(a) Se o sinal de 
' f
 mudar de positivo para negativo em “c”, o ponto é um máximo relativo. 
(b) Se o sinal de 
' f
 mudar de negativo para positivo em “c”, o ponto é um mínimo relativo. 
(c) Se o sinal de
' f
 for o mesmo em ambos os lados de “c”, o ponto não é máximo nem mínimo 
relativo. 
 
Exemplo 3: Determine os pontos críticos, os intervalos de crescimento e decrescimento e os extremos 
relativos de: 
 a) 
35 53 xx(x) f 
 c) 
2
4 1
x
x
(x) f


 
 b) 
133 23  xxx(x) f
 d)   322 4 x(x) f 
 
c b a 
 
 
 
46 
 
10.6. Concavidade 
Nos intervalos em que o gráfico de f tiver uma curvatura para cima, f é côncava para cima, e nos 
intervalos em que o gráfico tiver uma curvatura para baixo, f é côncava para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função representada na figura acima é côncava para baixo em 
 ba,
, e é côncava para cima em 
 cb,
. 
 
10.7. Ponto de inflexão 
Um ponto no gráfico de uma função diferenciável f no qual a concavidade muda é chamado um 
ponto de inflexão. 
A função representada na figura acima possui um ponto de inflexão em x = b. 
Os candidatos a pontos de inflexão são os pontos em que 
" f
 é zero ou não está definida. 
 
10.8. Teste da concavidade 
Seja f duas vezes diferenciável num intervalo aberto I. Nestas condições: 
(a) Se 
0(x)" f
 para todo 
Ix
, então o gráfico de f é côncavo para cima em I. 
(b) Se 
0(x)" f
 para todo 
Ix
, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I. 
 
Exemplo 4: Encontre os intervalos de concavidade das funções e os pontos de inflexão: 
 a) 
13 23  xx(x) f
 
 b) 
xxe(x) f 
 
 c) 
4x(x) f 
 
 
 
 
47 
 
Exemplo 5: Para as funções abaixo, pede-se: 
a) Os pontos críticos; 
b) Intervalos de crescimento e decrescimento; 
c) Extremos relativos; 
d) Intervalos onde o gráfico de f é côncavo paracima ou para baixo; 
e) Os pontos de inflexão; 
f) Esboço do gráfico. 
1) 
34 4xx(x) f 
 2) 
xx(x) f 32 
 3) 
3235 xx(x) f 
 
 
 
 
10.9. Máximos e Mínimos Absolutos 
O máximo absoluto de uma função f em um intervalo I é o maior valor possível de 
)x(f
 quando x 
varia em todo o intervalo I. Analogamente o mínimo absoluto de uma função f em um intervalo I é o 
menor valor de 
)x(f
 quando x varia em todo o intervalo I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função representada na figura possui: máximo absoluto em x = c1 e mínimo absoluto em x = c4. 
 
Exercícios 5.1 – pág. 276: 7, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 23 
Exercícios 5.2 – pág. 287: 31, 33, 35, 37, 39 
 
 
 
48 
 
 Para encontrar os extremos absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado 
 b,a
, 
deve-se: 
1º) Encontrar os pontos críticos de f em (a, b). 
2º) Encontrar o valor de f em todos os pontos críticos e nos extremos a e b. 
3º) O maior valor encontrado é o máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto. 
 
Exemplo 6: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função 
xxxxf 36152)( 23 
 no 
intervalo 
 51,
 e determine onde esses valores ocorrem. 
 
Exemplo 7: Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de 
12  x)x(f
 no intervalo 
 41,
. 
 
Exemplo 8: Encontre os extremos absolutos de 
3134 36 xx)x(f 
 no intervalo 
 11,
 e determine 
onde eles ocorrem. 
 
 
 
10.10. Problemas de Máximos e Mínimos em Aplicações 
 
Exemplo 9: Devemos projetar um jardim de área retangular e protegido por uma cerca. Qual é a maior 
área possível de tal jardim se dispusermos de apenas 100 m lineares de cerca? 
 
Exemplo 10: Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 cm por 30 cm, 
destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos 
quadrados para se obter uma caixa com o maior volume? 
 
Exemplo 11: Um fazendeiro tem 2.400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na 
margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que 
tem maior área? 
 
Exemplo 12: Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que 
minimizarão o custo do metal para produzir a lata. 
Exercícios 5.4 – pág. 307: 1, 7, 8, 9, 10 
 
 
 
49 
 
Exemplo 13: Se 1.200 cm
2
 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base 
quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. 
 
Exemplo 14: A figura abaixo mostra um poço de petróleo no mar em um ponto W a 5 km do ponto A 
mais próximo, em uma praia reta. O petróleo é bombeado de W até um ponto B na praia a 8 km de A da 
seguinte forma: de W até P na praia entre A e B sob a água, e de P até B através de uma tubulação 
colocada ao longo da praia. Se o custo for $ 1.000.000,00/km, em dólares, sob a água e $ 500.000,00/km 
por terra, onde P deve estar localizado para minimizar o custo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. v.1, 8.ed . Porto Alegre: Bookman, 2007. 
 
 
Exercícios 5.5 – pág. 318: 3, 5, 11, 15 (a), 17, 19, 21, 22, 29