MAT 141 - Cálculo Diferencial e Integral I (UFV) - Lista de Pré- Cálculo

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
MAT 141 (Turma 1) – Ca´lculo Diferencial e Integral I – 2017/II
Lista de Pre´-Ca´lculo
1) Determine k e m tais que 27 · 322 = 3−k e 25 · 5
2m+1
5−3
= 5−2.
2) Escreva 27
4
√
413915 na forma 2x3y.
3) Determine p q inteiros tais que
p
q
=
811/4
9−1/2
· 3
−3
30
4) Racionalize o denominador:
(a)
3
√
x+ 1
1 +
√
x
(b)
3
√
4− 1
3
√
2− 1
5) Determine o mı´nimo mu´ltiplo comum entre:
(a) 10x e 5x2 − 15x
(b) 6x+ 6 e 2x3 + 4x2 + 2x
(c) x3 + 8 e x2 + 4x+ 4
(d) x2 − 3x+ xy − 3y e x2 − y2
6) Escreva na forma mais simplificada poss´ıvel:
(a)
2y2 − 10y
y − 5 +
8− 2y2
y + 2
(b)
x3 + 8
x2 − 4 +
2x2 − 4x− 16
x2 − 2x− 8
(c)
x3 + 8
x2 − 4 +
x2 − 16
4− x
(d)
(x2 − 1) + (x+ 1)
(x2 − 1)− (x− 1)
(e)
1
x
− 1
y
1
x
+
1
y
+ 1
7) Considere a expressa˜o alge´brica: p =
2x√
x2 + 3x
(a) Determine o domı´nio de validade de p.
(b) Mostre que se x < −3, enta˜o p = − 2√
1 + 3x
.
8) Considere a expressa˜o alge´brica: p =
2−√x+ 1
x− 3
(a) Determine o domı´nio de validade de p.
(b) Mostre que na˜o existe x ∈ R tal que p ≥ 0.
(c) Mostre que se x 6= 3, enta˜o p = −1
2 +
√
x+ 1
.
9) Considere a expressa˜o alge´brica: p =
3
√
x− 1
x− 1
(a) Determine o domı´nio de validade de p.
(b) Mostre que p ≥ 0, ∀x 6= 1.
(c) Mostre que se x 6= 1, enta˜o p = x2/3 + x1/3 + 1.
10) Considere a expressa˜o alge´brica: p =
√
x2 − x− x
(a) Determine o domı´nio de validade de p.
(b) Determine o conjunto soluc¸a˜o de p = 1.
(c) Mostre que se x ≤ 0, enta˜o p = 1√
1− x−1 + 1.
11) Considere a expressa˜o alge´brica: p =
(x− 1)4
x4 − 1
(a) Determine o domı´nio de validade de p.
(b) Determine o conjunto soluc¸a˜o de p ≥ 0.
(c) Mostre que se x 6= 1, enta˜o p = x
3 − 3x2 + 3x− 1
x3 + x2 + x+ 1
.
12) O gra´fico de y = f(x) e´ dado abaixo. Esboce o gra´fico da func¸a˜o y = 2− f(x− 2).
13) Esboce o gra´fico da relac¸a˜o R = {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y < x+ 2}.
14) Esboce o gra´fico da func¸a˜o modular f definida por f(x) = |x+ 2| − |x|.
Encontre as ra´ızes de f e as intersec¸o˜es com os eixos x e y, caso existam.
Determine o domı´nio natural e a imagem de f .
Determine os intervalos onde f e´ crescente, decrescente ou constante.
Encontre os extremos relativos e absolutos de f , caso existam.
15) Construa um plano cartesiano e marque nele o ponto A(−3, 7).
(a) Identifique o quadrante ou eixo em que A esta´.
(b) Encontre o ponto sime´trico a A em torno do eixo x.
(c) Encontre o ponto sime´trico a A em torno do eixo y.
(d) Encontre o ponto sime´trico a A em torno da origem.
16) Descreva algebricamente a relac¸a˜o H.
17) Fatore, colocando os termos comum em evideˆncia:
a) 4x4 + 4;
b) 3x3 + 6x2 + 9x;
c) (x2 − 1) + (4x3 − 4x).
18) Se f(x) =
√
x− 4− 3x, determine o domı´nio de f e calcule f(4), f(8), f(13).
19) Seja a func¸a˜o real f definida por f(x) =
{
4x+ 2, se x > 3
x2, se x 6 3
. Determine f(1), f(5), f(3), f(4) e f(−6).
20) Dada a func¸a˜o f(x) =
1
x
− 1
x+ 1
, determine o valor de f(1) + f(2) + f(3).
21) Uma loja de departamento vende CD por R$18, 00 a unidade. Seja x a quantidade de CD’s vendida. Pede-se:
(a) Encontre a func¸a˜o receita R(x) (a func¸a˜o em func¸a˜o da quantidade de CD’s vendidos).
(b) Calcule R(40).
(c) Qual a quantidade de CD’s vendia par dar uma receita igual a R$450, 00.
22) Um retaˆngulo tem per´ımetro de 20 metros. Expresse a a´rea do retaˆngulo como func¸a˜o do comprimento de um
de seus lados.
23) Considere uma caixa retangular aberta de volume 2 m3 cuja base seja quadrada. Expresse a a´rea superficial
desta caixa como uma func¸a˜o do comprimento de um de seus lados.
24) Determine o conjunto soluc¸a˜o das equac¸o˜es:
(a) |3x− 7| = x+ 2
(b) |x− 5| = |3x− 1|
(c) x4 − 5x2 + 4 = 0
(d) x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0
(e) |x2 − 3| = 13
(f) |x|2 − 5|x|+ 6 = 0
25) Determine o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es:
(a) |2x− 5| < 1
(b) x2 ≤ 4
(c) 3 < 5x ≤ 2x+ 11
(d)
5
3− x ≥ 2
(e)
x+ 2
x− 1 ≤
x
x+ 4
(f) (x− 2)(−2x− 4)(x− 4) ≤ 0
(g)
3x
x+ 1
+
5
2
≤ 7
2x+ 2
(h) −6 ≤ x2 − 5x < 6
(i) (x2 + 2x− 3)(3x2 − 4x+ 8) < 0
(j) |x2 − x| > 2
(k) |x+ 2| − |x− 3| > x
26) Sejam f1, f2, f3, f4, f5, f6 func¸o˜es definidas por f1(x) =
1
x
, f2(x) = x, f3(x) =
3
x+ 2
,
f4(x) = |2x− 4| − |3x− 9|, f5(x) =
√
2x2 − 5x− 3 e f6(x) = x+ 3. Determine os valores de x tais que
(a) f1(x) < f2(x) < f3(x)
(b) f4(x) < −3
(c) f5(x) > f6(x)
27) Sejam f, g func¸o˜es dadas por f(x) =
√
4− x2 e g(x) = √x2 − 3x. Determine:
(a) domı´nio de f ;
(b) domı´nio de g;
(c) domı´nio de f + g, f − g e f.g;
(d) domı´nio de
f
g
;
(e) (f.g)(x);
(f)
(
f
g
)
(x).
28) Seja a func¸a˜o quadra´tica definida por f(x) = mx2 + 2x+ 1, m 6= 0. Determine m para que a func¸a˜o admita um
valor ma´ximo em x = 1.
29) Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o. Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica para o quociente f(x)− f(a)
x− a , x ∈ (a, b].
30) Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo, com cada transformac¸a˜o solicitada, sendo f(x) =
√
x.
(a) f(x) + 1
(b) f(x+ 1)
(c) f(2x) (d) −1
2
f(x) (e) f(|x|)
(f) |f(x)|
31) Dadas as func¸o˜es f e g, determine as compostas f ◦ g e g ◦ f e seus respectivos domı´nios.
(a) f(x) = x+ 2 e g(x) = 4x2 − 1; (b) f(x) = x2 − 2 e g(x) = √x;
32) Dadas as func¸o˜es f(x) =
{
x2 + 2, se x ≤ 1
4− x2, se x > 1 e g(x) = 2 − 3x, determine as leis que definem f ◦ g e
g ◦ f.
33) Esboce o gra´fico de f(x) =

−2x− 1, se x ≤ 0
x2 − 3, se 0 < x ≤ 3
x, e x > 3
.
34) Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es
(a) f(x) =
√
3− x
(b) f(x) =
√
x2 − 1
x− 2
(c) f(x) =
x+ 1
x2 − 7
(d) f(x) =
√
x− 2√
x+ 2
(e) f(x) = 6
√
x2 + 3x− 4
(f) f(x) = ln(x2 + x− 2)
(g) f(x) =
√|3 + x| − |4− x|
(h) f(x) =
1
1−√x
(i) f(x) =
√
x
x2 − 1
(j) f(x) =
√
1
x+ 1
− 2
x− 3
(k) f(x) =
√
1− x2 +√x2 − 1
35) Estude a variac¸a˜o de sinal da func¸a˜o f , isto e´, determine os intervalos em que f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0.
(a) f(x) = −3x+ 9
(b) f(x) = x2 − 5x+ 6
(c) f(x) =
x2 − 3x− 4
x− 2
(d) f(x) =
x2 − x+ 12
x3 + x2 − 14x+ 6
(e) f(x) =
x(2x− 1)
x+ 1
(f) f(x) = 2− 1
x
− x
36) Considere f uma func¸a˜o dada por f(x) =
(x− 3)(x+ 4)
(x+ 2)(x2 + 4x− 5) . Determine:
(a) domı´nio de f ;
(b) f(0);
(c) valores de x tais que f(x) = 0;
(d) o sinal da func¸a˜o f.
37) Usando func¸o˜es elementares conhecidas, escreva a func¸a˜o dada como composic¸a˜o de n func¸o˜es.
(a) f(x) = 1 +
√
1 + x (n = 2)
(b) f(x) = sen2(2x+ 1) (n = 3)
(c) f(x) = cos
(
1
x2 + 1
)
(n = 3)
(d) f(x) = − 2
(|t|+ 1)2 (n = 5)
38) Determine a equac¸a˜o da reta que:
(a) passa por (3, 5) e coeficiente angular m = −2;
(b) passa pelos pontos (1, 6) e (1,−3);
(c) passa pelos pontos (1, 2) e (4, 4);
(d) passa pelo ponto (5, 3) e e´ perpendicular a y = 2x− 7;
(e) passa por (−4, 3) e e´ paralela a` reta determinada por (−2, 2) e (1, 0).
39) Encontre o ponto de intersec¸a˜o dos seguintes pares de retas:
(a) 2x+ 2y = 2 e y = x+ 1 (b) 2x− 3y = 7 e 6y = −14 + 4x
40) Verdadeiro ou falso, justifique:
(a) Se x < y, enta˜o −5x < −5y.
(b) Se x2 ≤ 16, enta˜o x ≤ 4.
(c) Se x 6= 0, y 6= 0 e x < y, enta˜o 1
x
>
1
y
.
(d) Se x < y, enta˜o x2 < y2.
(e) Se x < 1, enta˜o x3 < x.
41) Determine as ra´ızes reais das seguintes equac¸o˜es:
(a) x2 − 3x+ 2 = 0
(b) x3 + 4x2 + 4x = 0
(c) 4x4 − x2 = 0
(d) x3 − x2 + x− 1 = 0
42) Simplifique as expresso˜es trigonome´tricas:
(a) (1 + cosx)(1− cosx)
(b)
1 + cotg2 x
sec 2x
(c)
cosx− 1
secx− 1
(d)
sen2 2x
(1 + cos 2x)2
+ 1
(e) cos2 2x− sen2 x
(f) tg x− cossecx(1− 2 cos2 x)secx43) Fac¸a a divisa˜o do polinoˆmio p(x) pelo polinoˆmio q(x), nos seguintes casos.
(a) p(x) = 10x2 − 43x+ 40 e q(x) = 2x− 5
(b) p(x) = 12x3 − 19x2 + 15x− 3 e q(x) = 2x2 − x+ 2
(c) 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5 e q(x) = 2x2 − 4x+ 5
44) A taxa de variac¸a˜o me´dia de uma func¸a˜o real f no intervalo [a, b] e´ dada por
f(b)− f(a)
b− a Calcule a taxa de
variac¸a˜o me´dia da func¸a˜o f no intervalo especificado.
(a) f(x) = x3, [−1, 2].
(b) f(x) =
x+ 3
x+ 4
, [5, 7].
45) Seja o par de func¸o˜es f e g, definidas por f(x) = x3 e g(x) = (x+ 2)3 + 1. Esboce o gra´fico de y = g(x) a partir
do gra´fico de y = f(x) aplicando transformac¸o˜es. Acompanhe o efeito das transformac¸o˜es sobre treˆs pontos de
sua escolha. Indique o domı´nio natural e a imagem de g.
46) Determine o ma´ximo e mı´nimo de f(x) = (x− 1)2 + 2 nos intervalos:
(a) [0, 3].
(b) [2, 3].
47) Determine a imagem da func¸a˜o real g tal que g(x) = (3− x)2 − 5.
48) Encontre todos os pontos da forma (x,−1) que esta˜o a 4 unidades do ponto (3, 2).
49) Encontre a expressa˜o da func¸a˜o modular f que possui o gra´fico abaixo.
50) Fatore p(x) = 4x4 − 28x3 + 61x2 − 42x+ 9 sabendo-se que c = 12 e´ uma raiz de multiplicidade 2.
51) Determine a expressa˜o de um polinoˆmio p com as caracter´ısticas: as ra´ızes de p sa˜o c = 1 e c = 3; a multiplicidade
de c = 3 e´ 2; e o termo principal de p(x) e´ −5x3.
52) Mostre que a func¸a˜o real f e´ injetora. Restrinja o contradomı´nio (se for preciso) para que seja bijetora.
Determine a func¸a˜o inversa.
(a) f(x) = 2−√x− 5.
(b) f(x) = x2 − 10x, x ≥ 5.
(c) f(x) =
3
4− x .
(d) f(x) =
x− 2
2x− 1.
53) Use a propriedade ab = c ⇔ loga c = b para reescrever a equac¸a˜o de outra forma. Isto e´, se for equac¸a˜o
exponencial, reescreva como equac¸a˜o logar´ıtmica. Se for logar´ıtmica, reescreva como exponencial.
(a) 5−3 =
1
125
.
(b)
(1
3
)−2
= 9.
(c) log 4
3
(34) = −1.
(d) ln( 1√
e
) = −1
2
.
54) Calcule.
(a) log 1
6
(216).
(b) 7log7(3).
(c) log(
3
√
105).
(d) log5(3
log3(5)).
55) Determine o domı´nio natural da func¸a˜o f definida por:
(a) f(x) = ln(4x− 20).
(b) f(x) = log(x2 + 9x+ 18).
(c) f(x) = log
( x+ 2
x2 − 1
)
.
(d) f(x) = ln(
√
x− 4− 3).
56) Esboce o gra´fico de y = g(x) a partir do gra´fico de y = f(x) aplicando transformac¸o˜es. Acompanhe o efeito
das transformac¸o˜es sobre treˆs pontos de sua escolha. Indique o domı´nio natural e a imagem de g.
(a) f(x) = 2x, g(x) = 2x − 1.
(b) f(x) =
(1
3
)x
, g(x) =
(1
3
)x−1
.
(c) f(x) = 3x, g(x) = 3−x + 2.
57) Expanda o logaritmo e simplifique.
(a) log5
( z
25
)3
.
(b) log(1000x3y5).
(c) log√2(4x
3).
58) Use as propriedades de logaritmos para reescrever a expressa˜o em um u´nico logaritmo.
(a) log3(x)− 2 log3(y).
(b) −1
3
ln(x)− 1
3
ln(y) +
1
3
ln(z).
(c) log7(x) + log7(x− 3)− 2.
(d) log2(x) + log 1
2
(x− 1).
59) Resolva as equac¸o˜es exponenciais:
(a) 37x = 814−2x.
(b) e2x = 2ex.
(c) e2x = ex + 6.
(d) 4x + 2x = 12.
60) Resolva as equac¸o˜es logar´ıtmicas:
(a) log(3x− 1) = log(4− x).
(b) log3(x− 4) + log3(x+ 4) = 2.
(c) log3(x) = log 1
3
(x) + 8.
61) Determine o sinal de seno e cosseno de β = pi − 1 e θ = 1 + 3pi/2.
62) Sabendo que senβ = −2/3, determine os poss´ıveis valores para cosβ.
63) Sabendo que tg γ = −5 e que cos γ > 0, determine sen γ
64) Determine em termos de sen a e cos a (utilizando fo´rmulas de sen (a+ b) e cos(a+ b)): cos(3a) e sen (−4a)
65) Determine o valor de cos(2b) sabendo-se que sen (a+ b) = 1 e cos(a) = 0.
66) Considere o triaˆngulo retaˆngulo:
θ
a
x
Determine sec θ.
67) Suponha que cotg (θ) > 0 e sec (θ) < 0. Determine o quadrante de θ.
68) Simplifique a expressa˜o: sen x (cossecx− sen x).
69) Sabendo que o raio de um c´ırculo e´ 3 cm, determine a medida de um aˆngulo de um arco de tamanho 6 cm.
70) Se um aˆngulo θ esta´ no terceiro quadrante e sen θ = −3
5
, encontre cos θ.
71) Um triaˆngulo retaˆngulo tem lados de tamanhos 3, 4 e 5. Determine o cosseno do menor aˆngulo.
72) Suponha sen (a) = 1, cos(b) > 0, sen (b) = 1/2, enta˜o determine sen (a+ b).
73) Seja f uma func¸a˜o real definida por f(x) =
ex − e−x
2
.
(a) Mostre que f e´ invers´ıvel e determine sua inversa g.
(b) Esboce os gra´ficos de f e g.
74) Dadas as func¸o˜es hiperbo´licas sinhx =
ex − e−x
2
e coshx =
ex + e−x
2
, mostre que:
(a) tanhx =
sinhx
coshx
(b) cothx =
coshx
sinhx
(c) sechx =
1
coshx
(d) cschx =
1
sinhx
(e) cosh2 x– sinh2 x = 1
(f) sinh(a+ b) = sinh a cosh b+ sinh b cosh a
(g) cosh(a+ b) = sinh a sinh b+ cosh b cosh a
Gabarito
1) k = −25,m = −4
2) x = 13/2, y = 21/2
3) p = 1, q = 3
4) (a)
−3x+ s√x+ 1
1− x
(b) 3
√
2 + 1
5) (a) 10x(x− 3)
(b) 6x(1 + x)2
(c) (x+ 2)2(x2 − 2x+ 4)
6) (a) 4
(b)
x2
x− 2
(c) −4(x− 3)
x− 2
(d)
x+ 1
x− 1
(e)
2y
x+ y
7) (a) (−∞,−3) ∪ (0,∞)
8) (a) [−1, 3) ∪ (3,∞)
9) (a) R− {1}
10) (a) (−∞, 0] ∪ [1,∞)
(b) −1
3
11) (a) R− {1}
(b) (−∞,−1) ∪ (1,∞)
12)
13)
14) f(−1) = 0;
Intersec¸a˜o com o eixo x (−1, 0);
Intersec¸a˜o com o eixo y (0, 2);
D = R;
Im = [−2, 2];
Crescente em [−2, 0];
Constante em (−∞,−2];
Constante em [0,∞);
∀(x, 2); x ≥ 2 e´ ma´ximo absoluto.
∀(x,−2); x ≤ −2 e´ mı´nimo absoluto.
15) (a) 2◦ quadrante.
(b) (−3,−7)
(c) (3, 7)
(d) (3,−7)
16) H = {(x, y) ∈ R2 : −3 < x ≤ 2}
17) a) 4(x4+1); b) 3x(x2+2x+3); c) (x2−1)(1+4x).
18) Df = {x ∈ R : x ≥ 4}, f(4) = −12, f(8) = −22,
f(13) = −36.
19) f(1) = 1, f(5) = 22, f(3) = 9, f(4) = 20, f(−6) =
36.
20) 3/4.
21) a) R(x) = 18x, b) R(40) = 720, c) 25.
22) A(x) = 10x− x2, 0 ≤ x ≤ 10.
23) A(x) =
8
x
+ x2, x > 0.
24) (a) S = {9
2
,
5
4
}
(b) S = {3
2
,−2}
(c) S = {−2,−1, 1, 2}
(d) S = {1, 2, 3}
(e) S = {−4, 4}
(f) S = {−3,−2, 2, 3}
25) (a) S = (2, 3)
(b) S = [−2, 2]
(c) S = (
3
5
,
11
3
]
(d) S = [
1
2
, 3)
(e) S = (−∞,−4) ∪ [−8
7
, 1)
(f) S = [−2, 2] ∪ [4,∞)
(g) S = (−1, 2
11
]
(h) S = (−3, 1)
(i) S = (
−5−√13
2
,−2) ∪ (−1, −5 +
√
13
2
)
(j) S = (−∞,−1) ∪ (2,∞)
(k) S = (−∞,−5) ∪ (1, 5)
26) (a) S = (−1, 0)
(b) S = (−∞, 2) ∪ (8,∞)
(c) S = (12,∞)
27) (a) Dom(f) = [−2, 2]
(b) Dom(g) = (−∞, 0] ∪ [3,∞)
(c) Dom(f + g) = [−2, 0], Dom(f − g) = [−2, 0] e
Dom(f.g) = [−2, 0]
(d) Dom(
f
g
) = [−2, 0)
28) m = −1
29) coeficiente angular da reta secante que passa pelos
pontos (x, f(x)) e (a, f(a))).
30) (a)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−1
1
2
3
y
0
(b)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−1
1
2
3
y
0
(c)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−1
1
2
3
y
0
(d)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−1
1
2
3
y
0
(e)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−1
1
2
3
y
0
(f)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−1
1
2
3
y
0
31) Neste ordem, f ◦ g e g ◦ f.
(a) 4x2 + 1, 4x2 + 16x+ 15
(b) x− 2, √x2 − 2
32) (f◦g)(x) =

9x2 − 12x+ 6, x ≥ 1
3
−9x2 + 12x, x ≤ 1
3
(g◦f)(x) =
{
−3x2 − 4, x ≤ 1
3x2 − 10, x ≥ 1
33)
−4 −2 2 4
x
−3
−1
1
3
5
y
34) (a) (−∞, 3]
(b) [−1, 1] ∪ (2,∞)
(c) R \ {−√7,√7}
(d) [2,∞)
(e) (−∞,−4) ∪ (1,∞)
(f) (−∞,−2) ∪ (1,∞)
(g) (
1
2
,∞)
(h) (0,∞)
(i) (−1, 0] ∪ (1,∞)
(j) (−∞,−5] ∪ (−1, 3)
(k) {−1, 1}
35) (a) (−∞, 3), (3,∞), e {3}.
(b) (−∞, 2) ∪ (3,∞), (2, 3), e {2, 3}.
(c) (−1, 2) ∪ (4,∞), (−∞,−1) ∪ (2, 4), e {−1, 4}.
(d) (−2−√6,−2+√6)∪ (3,∞), (−∞,−2−√6)∪
(−2 +√6, 3), e {−2−√6,−2 +√6, 3}.
(e) (−1, 0) ∪ (1
2
,∞), (−∞,−1) ∪ (0, 1
2
), e {0, 1
2
}.
(f) (−∞, 0), (0, 1) ∪ (1,∞), e {1}.
36) (a) R \ {−5,−2, 1}
(b)
6
5
(c) {−4, 3}
(d) (−5,−4)∪(−2, 1)∪(3,∞); (−∞,−5)∪(−4,−2)∪
(1, 3); {−4, 3}
37) (a)
√
1 + x; 1 + x
(b) 2x+1; sen(x); x2
(c)
1
x
; x2 + 1; cosx
(d) −2x; |x|; x+ 1; x2; 1
x
38) (a) y + 2x = 11
(b) x = 1
(c) 3y + 2x = 4
(d) x+ 2y = 11
(e) 2x+ 3y = 1
39) (a) x = 0, y = 1
(b) x =
7
2
, y = 0
40) (a) F
(b) V
(c) V
(d) F
(e) V
41) (a) {1, 2}
(b) {−2, 0}
(c) {−1
2
,
1
2
, 0}
(d) {1}
42) (a) sen2 x
(b) tg2 x
(c) − cosx
(d) cossec2x
(e) 4 cos4 x− 3 cos3 x
(f) cotg x
43) quociente e resto do polinoˆmio:
(a) 5x− 9, −5
(b)
12x− 13
2
, −7x− 20
2
(c) 3x2 + x− 1, 0
44) (a) 3
(b)
1
99
.
45) D = R;
Im = R.
Gra´fico de f :
−2 1
−8
1
Gra´fico de g:
−4 −3 −2
−7
1
x
y
46) (a) Mı´nimo: f(1) = 2. Ma´ximo: f(3) = 6.
(b) Mı´nimo: f(2) = 3. Ma´ximo: f(3) = 6.
47) Im(g) = (−5,∞)
48) (3 +
√
7,−1), (3−√7,−1).
49) f(x) = ||x| − 4|
50) p(x) = 4(x− 12)2(x− 3)2
51) p(x) = −5(x− 1)(x− 3)2
52) (a) Sejam a, b ≥ 5 e suponha f(a) = f(b). Logo,
2 − √a− 5 = 2 − √b− 5 que e´ equivalente a√
a− 5 = √b− 5. Elevando os dois membros
da igualdade ao quadrado, obtemos a − 5 =
b − 5, o que implica em a = b. Portanto, f e´
injetora.
A func¸a˜o f e´ sempre decrescente e tem seu
ponto ma´ximo em (5, 2), o que implica que
Imf = (−∞, 2]. Portanto, para Df = [5,∞)
e CDf = (−∞, 2], a func¸a˜o f e´ bijetora e tem
inversa.
Como f(x) = 2 − √x− 5, para −y + 2 =√
x− 5, obtemos y2 − 4y + 4 = x − 5, o que
implica que a func¸a˜o inversa de f e´ definida
por f−1(x) = x2 − 4x+ 9.
(b) Sejam a, b ≥ 5 e suponha f(a) = f(b). Logo,
(a− 5)2− 25 = (b− 5)2− 25 que e´ equivalente
a |a − 5| = |b − 5|. Como a, b ≥ 5, obtemos
a− 5 = b− 5, implicando em a = b. Portanto,
a func¸a˜o f restrita a [5,∞) e´ injetora.
Como f tem concavidade voltada para cima
e o ponto de mı´nimo no gra´fico de f ocorre
em (5,−25), temos que Imf = [−25,∞). Por-
tanto, para Df = [5,∞) e CDf = (−∞,−25],
a func¸a˜o f e´ bijetora e tem inversa. Como
f(x) = (x − 5)2 − 25, para y = (x − 5)2 − 25,
obtemos
√
y + 25 = |x− 5| = x− 5 pois x ≥ 5
e y ≥ −2, o que implica que a func¸a˜o inversa
de f e´ definida por f−1(x) =
√
x+ 25 + 5.
(c) Sejam a, b 6= 4 e suponha f(a) = f(b). Logo,
3
4−a =
3
4−b que e´ equivalente a 4− a = 4− b, o
que implica em a = b. Logo, f e´ injetora.
Como ∀x, f(x) 6= 0, temos que 0 6∈ Imf .
Ale´m disso, ∀y 6= 0, existe x = 4y−3y tal que
f(4y−3y ) = y. Logo, Imf = R
∗. Portanto, para
Df = R − {4} e CDf = R∗, a func¸a˜o e´ bije-
tora e tem inversa. Como f(x) = 34−x , para
y = 34−x , obtemos 4y − yx = 3 pois x 6= 4, o
que implica que a func¸a˜o inversa de f e´ defi-
nida por f−1(x) = 4x−3x .
(d) Sejam a, b 6= 12 e suponha a−22a−1 = b−22b−1 o que
implica em (a − 2)(2b − 1) = (2a − 1)(b − 2).
Multiplicando e reordenando os termos obte-
mos −4a+a = −4b+b, o que equivale a a = b.
Portanto, f e´ injetora.
Como ∀x, f(x) 6= 12 , temos que 12 6∈ Imf .
Ale´m disso, Ale´m disso, ∀y 6= 12 , existe x =
y−2
2y−1 , f(
y−2
2y−1) = y. Logo, Imf = R − {12}.
Portanto, para Df = R − {4} e CDf = R −
{12}, a func¸a˜o e´ bijetora e tem inversa. Como
f(x) = x−22x−1 , para y = fracx− 22x− 1, ob-
temos 2xy − y = x − 2 pois x 6= 12 , o que
implica a func¸a˜o inversa de f e´ definida por
f−1(x) = x−22x−1 .
53) (a) log5(
1
125) = −3
(b) log(
1
3)(9) = −2
(c) (
4
3
)−1 =
3
4
(d) e−
1
2 =
1√
e
54) (a) -3
(b) 3
(c)
5
3
(d) 1
55) (a) (5,∞)
(b) (−∞,−6) ∪ (−3,∞)
(c) (−2,−1) ∪ (1,∞)
(d) (13,∞)
56) (a) −4 −2 2 4
2
4
6
−4 −2 2 4
−2
2
4
Dg = R, Img = (−1,∞).
(b) −2 2 4 6
2
4
6
−2 2 4 6
2
4
6
Dg = R, Img = (0,∞).
(c) −6 −4 −2 2
2
4
6
−2 2 4 6
2
4
6
Dg = R, Img = (2,∞).
57) (a) 3 log5(z)− 6
(b) 3 + 3 log(x) + 5 log(y)
(c) 3 log√2(x) + 4
58) (a) log3(
x
y2
)
(b) ln( 3
√
z
xy )
(c) log7(
x(x−3)
49 )
(d) log2(
x
x−1)
59) (a) x =
16
15
(b) x = ln(2)
(c) x = ln(3)
(d) x =
ln(3)
ln(2)
60) (a) x =
5
4
(b) x = 5
(c) x = 81
61) senβ > 0, cosβ < 0, sen θ < 0, cos θ > 0
62) cosβ = −√5/3 ou cosβ = √5/3
63) sen γ = −5/√26
64) cos(3a) = 4 cos3 a−3 cos a e sen (−4a) = 4 cos a sen a−
8 cos3 a sen a
65) cos(2b) = 1
66) sec θ =
a√
a2 − x2 .
67) 3◦ quadrante.
68) cos2 x
69) 2
70) −4
5
71)
4
5
72)
√
3
2
73) (a)
(b)
y = sinhx
−4 −2 2 4
−40
−20
20
40
y = sinhx
−4 −2 2 4
−2
2
74)