GABARITO SEÇÃO 2

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Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Dada a função 𝑦 = ξ𝑥5, se desejamos obter o sólido de rotação em 
torno do eixo y, precisamos isolar x de modo a representa-lo em função de 
y. Assim, temos: 
𝑦 = ඥ𝑥5 ⇔ 𝑦2 = 𝑥5 ⇔ ඥ𝑦2
5
= 𝑥 ⇔ 𝑦
2
5 = 𝑥 
Logo, 
𝑉 = න 𝐴ሺ𝑦ሻ
𝑏
𝑎
𝑑𝑦 = න 𝜋൫𝑥ሺ𝑦ሻ൯
2
𝑏
𝑎
𝑑𝑦 
Assim, 
𝑉 = න 𝜋 ൬𝑦
2
5൰
22
1
𝑑𝑦 = 𝜋 න 𝑦
4
5
2
1
𝑑𝑦 = 𝜋 ൤
5
9
𝑦
9
5൨
1
2
= 𝜋 ൤
5
9
⋅ ඥ29
5
−
5
9
⋅ ඥ19
5
൨
= 𝜋 ቈ
5ξ512
5
9
−
5
9
቉ =
5ξ512
5
− 5
9
𝜋 u. v. 
 
 
1. Alternativa Correta: D 
 
 
 
 
3. Alternativa Correta: D 
Comentário: Vamos fazer a seguinte escolha: 
൞
𝑎ሺ𝑥ሻ = lnሺ𝑥ሻ ; 𝑎′ሺ𝑥ሻ =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑏′ሺ𝑥ሻ = 𝑥 𝑑𝑥; 𝑏ሺ𝑥ሻ =
𝑥2
2
 
Substitua as funções na regra de integração por partes. 
න 𝑥 lnሺ𝑥ሻ 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
lnሺ𝑥ሻ − න
𝑥2
2
⋅
1
𝑥
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
lnሺ𝑥ሻ − න
𝑥
2
𝑑𝑥
=
𝑥2
2
lnሺ𝑥ሻ −
𝑥2
4
+ 𝐶 
Sendo assim, 
න 𝑥 lnሺ𝑥ሻ
𝑒3
𝑒2
𝑑𝑥 = ቈ
𝑥2
2
lnሺ𝑥ሻ −
𝑥2
4
቉
𝑒2
𝑒3
= ቈ
ሺ𝑒3ሻ2
2
lnሺ𝑒3ሻ −
ሺ𝑒3ሻ2
4
቉ − ቈ
ሺ𝑒2ሻ2
2
lnሺ𝑒2ሻ −
ሺ𝑒2ሻ2
4
቉
= ቈ
𝑒6
2
⋅ 3 −
𝑒6
4
቉ − ቈ
𝑒4
2
⋅ 2 −
𝑒4
4
቉ = ቈ
6𝑒6
4
−
𝑒6
4
቉ − ቈ
4𝑒4
4
−
𝑒4
4
቉
=
5𝑒6
4
−
3𝑒4
4
≈ 463,34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Alternativa Correta: C 
Comentário: 
න ඥ4 − 𝑥2
0
−2
𝑑𝑥 
A substituição trigonométrica nos auxiliará. Comparando com a expressão 
ξ𝑎2 − 𝑥2, percebemos que 𝑎 = 2 e, portanto, adotando a substituição 
trigonométrica 𝑥 = 2 senሺ𝜃ሻ: 
𝑦 = ඥ4 − 4 sen2ሺ𝜃ሻ 
𝑦 = ඥ4ሺ1 − sin2ሺ𝜃ሻሻ = ඥ4 cos2ሺ𝜃ሻ 
𝑦 = 2 cosሺ𝜃ሻ 
Substituindo 𝑑𝑥 temos 
𝑑𝑥 = ሺ2 sinሺ𝜃ሻሻ′𝑑𝜃 = 2 cosሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃 
Sendo assim, 
න ඥ4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = නሺ2 cosሺ𝜃ሻሻሺ2 cosሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃ሻ = න 4cos2ሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃 
Considerando 
cos2ሺ𝜃ሻ =
1
2
cosሺ2𝜃ሻ +
1
2
 
então 
න 4cos2ሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃 = න 4 ൬
1
2
cosሺ2𝜃ሻ +
1
2
൰ 𝑑𝜃 = නሺ2 cosሺ2𝜃ሻ + 2ሻ 𝑑𝜃 
 = න 2 cosሺ2𝜃ሻ 𝑑𝜃 + න 2 𝑑𝜃 + 𝐶 
 = 2
𝑠𝑒𝑛ሺ2𝜃ሻ
2
+ 2𝜃 + 𝐶 
 = 𝑠𝑒𝑛ሺ2𝜃ሻ + 2𝜃 
 = 2𝑠𝑒𝑛ሺ𝜃ሻ cosሺ𝜃ሻ + 2𝜃 
Sabendo que cos2ሺ𝜃ሻ = 1 − sen2ሺ𝜃ሻ, então 
න 4cos2ሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛ሺ𝜃ሻ cosሺ𝜃ሻ + 2𝜃 + 𝐶
= 2𝑠𝑒𝑛ሺ𝜃ሻඥ1 − sen2ሺ𝜃ሻ + 2𝜃 + 𝐶 
Como 𝑥 = 2 senሺ𝜃ሻ então 
𝑥
2
= senሺ𝜃ሻ → 𝜃 = sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ 
Aplicando a mudança na função obtida a partir da integração, obtemos 
2𝑠𝑒𝑛ሺ𝜃ሻඥ1 − sen2ሺ𝜃ሻ + 2𝜃 + 𝐶 = 2 ቀ
𝑥
2
ቁ ඨ1 − ቀ
𝑥
2
ቁ
2
+ 2 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶
= 𝑥ඨ1 −
𝑥2
4
+ 2 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶 = 𝑥ඨ
4 − 𝑥2
4
+ 2 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶
=
1
2
𝑥ඥ4 − 𝑥2 + 2 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶 
Logo, 
න ඥ4 − 𝑥2 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥ඥ4 − 𝑥2 + 2 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶 
Considerando os limites de integração, 
න ඥ4 − 𝑥2
0
−2
𝑑𝑥 = ൤
1
2
𝑥ඥ4 − 𝑥2 + 2 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ൨
−2
0
= ሾ0 + 2 sen−1ሺ0ሻሿ − ൤
1
2
ሺ−2ሻඥ4 − ሺ−2ሻ2 + 2 sin−1 ൬−
2
2
൰൨
= ሾ0 + 2 sen−1ሺ0ሻሿ − ൤
1
2
ሺ−2ሻඥ4 − ሺ−2ሻ2 + 2 sin−1 ൬−
2
2
൰൨
= 0 − ሺ0 − 𝜋ሻ = 𝜋 
 
 
 
 
 
A substituição trigonométrica nos auxiliará. Comparando com a expressão 
ξ𝑎2 − 𝑥2, percebemos que 𝑎 = 2 e, portanto, adotando a substituição 
trigonométrica 𝑥 = 2 senሺ𝜃ሻ: 
𝑦 = ඥ4 − 4 sen2ሺ𝜃ሻ 
𝑦 = ඥ4ሺ1 − sin2ሺ𝜃ሻሻ = ඥ4 cos2ሺ𝜃ሻ 
𝑦 = 2 cosሺ𝜃ሻ 
Substituindo 𝑑𝑥 temos 
𝑑𝑥 = ሺ2 sinሺ𝜃ሻሻ′𝑑𝜃 = 2 cosሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃 
Sendo assim, 
2 න ඥ4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 2 නሺ2 cosሺ𝜃ሻሻሺ2 cosሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃ሻ = න 8cos2ሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃 
Considerando 
cos2ሺ𝜃ሻ =
1
2
cosሺ2𝜃ሻ +
1
2
 
então 
න 8cos2ሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃 = 2 න 4 ൬
1
2
cosሺ2𝜃ሻ +
1
2
൰ 𝑑𝜃 = 2 නሺ2 cosሺ2𝜃ሻ + 2ሻ 𝑑𝜃 
 = 2 න 2 cosሺ2𝜃ሻ 𝑑𝜃 + 2 න 2 𝑑𝜃 + 𝐶 
 = 2 ⋅ 2
𝑠𝑒𝑛ሺ2𝜃ሻ
2
+ 2 ⋅ 2𝜃 + 𝐶 
 = 2𝑠𝑒𝑛ሺ2𝜃ሻ + 4𝜃 
 = 4𝑠𝑒𝑛ሺ𝜃ሻ cosሺ𝜃ሻ + 4𝜃 
Sabendo que cos2ሺ𝜃ሻ = 1 − sen2ሺ𝜃ሻ, então 
න 8cos2ሺ𝜃ሻ 𝑑𝜃 = 4𝑠𝑒𝑛ሺ𝜃ሻ cosሺ𝜃ሻ + 4𝜃 + 𝐶
= 4𝑠𝑒𝑛ሺ𝜃ሻඥ1 − sen2ሺ𝜃ሻ + 4𝜃 + 𝐶 
Como 𝑥 = 2 senሺ𝜃ሻ então 
𝑥
2
= senሺ𝜃ሻ → 𝜃 = sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ 
Aplicando a mudança na função obtida a partir da integração, obtemos 
4𝑠𝑒𝑛ሺ𝜃ሻඥ1 − sen2ሺ𝜃ሻ + 4𝜃 + 𝐶 = 4 ቀ
𝑥
2
ቁ ඨ1 − ቀ
𝑥
2
ቁ
2
+ 4 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶
= 2𝑥ඨ1 −
𝑥2
4
+ 4 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶
= 2𝑥ඨ
4 − 𝑥2
4
+ 4 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶 = 𝑥ඥ4 − 𝑥2 + 4 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶 
Logo, 
න ඥ4 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥ඥ4 − 𝑥2 + 4 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁ + 𝐶 
Considerando os limites de integração, 
𝐴 = 2 න ඥ4 − 𝑥2
2
−2
𝑑𝑥 = ቂ𝑥ඥ4 − 𝑥2 + 4 sen−1 ቀ
𝑥
2
ቁቃ
−2
2
 
= ൤ሺ2ሻඥ4 − ሺ−2ሻ2 + 4 sin−1 ൬
2
2
൰൨ − ൤ሺ−2ሻඥ4 − ሺ−2ሻ2 + 4 sin−1 ൬−
2
2
൰൨ 
= ሾ0 + 4 sen−1ሺ1ሻሿ − ሾ0 + 4 sin−1ሺ−1ሻሿ = 2𝜋 − ሺ−2𝜋ሻ = 4𝜋