PC_2019-2_AD2-Parte 1_GABARITO

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AD2-Parte 1 – 2019-2 GABARITO Pré-Cálculo 
CEDERJ 
GABARITO da Parte 1 da Avaliação a Distância 2 (AD2-Parte 1) 
Pré-Cálculo 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,4] Considere a equação sen(2𝑥) + sen(4𝑥) = 0. 
(a) Usando uma identidade trigonométrica, simplifique a equação e resolva-a para −
𝝅
𝟐
≤ 𝒙 ≤
𝝅
𝟐
. 
(b) Resolva a equação para −∞ < 𝑥 < ∞. 
RESOLUÇÃO 
(a) Vamos usar uma identidade de modo que na nova equação só apareça sen(2𝑥). 
Sabemos que sen(4𝑥) = sen(2 ∙ 2𝑥) e que sen(2𝑎) = 2 sen(𝑎) cos(𝑎), substituindo 𝑎 por 2𝑥, 
obtemos sen(4𝑥) = 2sen(2𝑥) cos(2𝑥). Assim, podemos substituir sen(4𝑥) na equação original. Então, 
sen(2𝑥) + sen(4𝑥) = 0 ⟺ sen(2𝑥) + 2sen(2𝑥) cos(2𝑥) = 0 ⟺ sen(2𝑥) ∙ (1 + 2cos(2𝑥)) = 0 ⟺
sen(2𝑥) = 0 ou 1 + 2cos(2𝑥) = 0 
Sabemos que −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 ⟺ −𝜋 ≤ 2𝑥 < 𝜋. 
Vamos usar o círculo trigonométrico para auxiliar a encontrar as soluções 
de cada equação no intervalo acima, −𝜋 ≤ 2𝑥 < 𝜋. 
• sen(2𝑥) = 0 𝑒 − 𝜋 ≤ 2𝑥 < 𝜋 ⟺ 
2𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑥 = −𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 = 𝜋 ⟺ 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
2
 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
2
. 
• 1 + 2cos(2𝑥) = 0 𝑒 − 𝜋 ≤ 2𝑥 < 𝜋 ⟺ 2cos(2𝑥) = −1 𝑒 − 𝜋 ≤ 2𝑥 < 𝜋 ⟺ 
cos(2𝑥) = −
1
2
 𝑒 − 𝜋 ≤ 2𝑥 < 𝜋 ⟺ 2𝑥 =
2𝜋
3
 𝑜𝑢 2𝑥 = −
2𝜋
3
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
 . 
Solução final 𝑆 = {0, −
𝜋
2
, −
𝜋
3
,
𝜋
3
 ,
𝜋
2
 }. 
 
(b) Como a equação original é a mesma do item (a), vamos usar as simplificações do item(a), trocando 
apenas o intervalo. 
• sen(2𝑥) = 0 𝑒 − ∞ < 𝑥 < ∞ ⟺ 2𝑥 = 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑥 =
𝑘𝜋
2
 , 𝑘 ∈ ℤ . 
• 1 + 2cos(2𝑥) = 0 𝑒 − ∞ < 𝑥 < ∞ ⟺ cos(2𝑥) = −
1
2
 𝑒 − ∞ < 𝑥 < ∞ 
⟺ 2𝑥 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 = −
2𝜋
3
 + 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ ⟺ 𝑥 =
𝜋
3
+ 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
 + 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. 
Solução final 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 =
𝑘𝜋
2
 𝑜𝑢 𝑥 =
𝜋
3
+ 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
3
+ 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ } 
 
 
AD2-Parte 1 – 2019-2 GABARITO Pré-Cálculo 
Questão 2 [1,0] Resolva a inequação no intervalo indicado. 
0 ≤ 2 cos (𝑥 +
𝜋
3
) ≤ 1 −
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
5𝜋
3
 
RESOLUÇÃO 
Simplificando, 0 ≤ 2 cos (𝑥 +
𝜋
3
) ≤ 1 ⟺ 0 ≤ cos (𝑥 +
𝜋
3
) ≤
1
2
 
Para resolver essa inequação é preciso saber em qual intervalo se encontra o argumento 𝑥 +
𝜋
3
 : 
−
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
5𝜋
3
 ⟺ −
𝜋
3
+
𝜋
3
≤ 𝑥 +
𝜋
3
≤
5𝜋
3
 +
𝜋
3
 ⟺ 0 ≤ 𝑥 +
𝜋
3
≤ 2𝜋 
Assim, temos que resolver: 0 ≤ cos (𝑥 +
𝜋
3
) ≤
1
2
 e 0 ≤ 𝑥 +
𝜋
3
≤ 2𝜋 . 
Visualizando no círculo trigonométrico ao lado concluímos que: 
 
𝜋
3
≤ 𝑥 +
𝜋
3
≤
𝜋
2
 ou 
3𝜋
2
≤ 𝑥 +
𝜋
3
≤
5𝜋
3
 
Para resolver em 𝑥 basta subtrair 
𝜋
3
, 
 
𝜋
3
−
𝜋
3
≤ 𝑥 +
𝜋
3
−
𝜋
3
≤
𝜋
2
−
𝜋
3
 ou 
3𝜋
2
−
𝜋
3
≤ 𝑥 +
𝜋
3
−
𝜋
3
≤
5𝜋
3
−
𝜋
3
 ⟺ 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
6
 ou 
7𝜋
6
≤ 𝑥 ≤
4𝜋
3
. 
Solução: {𝑥 ∈ ℝ; 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
6
 𝑜𝑢 
7𝜋
6
≤ 𝑥 ≤
4𝜋
3
} = [0,
𝜋
6
] ∪ [
7𝜋
6
,
4𝜋
3
]. 
 
Questão 3 [1,2] Se cos(2𝜃) =
1
5
 e 𝜃 ∈ [
𝜋
2
, 𝜋] , calcule: 
(a) tan(2𝜃) − cot(2𝜃) (b) 3sec(𝜃) + 4 csc(𝜃) 
RESOLUÇÃO 
(a) Usando a identidade trigonométrica fundamental sen2(2𝜃) + cos2(2𝜃) = 1, temos: 
sen2(2𝜃) +
1
25
= 1 ⟺ sen2(2𝜃) =
24
25
 ⟺ sen(2𝜃) = ±
√24
√25 
 ⟺ sen(2𝜃) = ±
2√6
5
. 
Dado que 𝜃 ∈ [
𝜋
2
, 𝜋], sabemos que 
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤ 𝜋 ⇒ 𝜋 ≤ 2𝜃 ≤ 2𝜋 ⟹ sen(2𝜃) < 0. 
Logo, sen(2𝜃) = ±
2√6
5
 𝑒 𝜋 ≤ 2𝜃 ≤ 2𝜋 ⟹ sen(2𝜃) = −
2√6
5
. 
Usando que: tan(2𝜃) =
sen(2𝜃)
cos(2𝜃)
 e cot(2𝜃) =
cos(2𝜃)
sen(2𝜃)
 , temos: 
tan(2𝜃) − cot(2𝜃) =
− 
2√6
5
1
5
−
1
5
− 
2√6
5
= −2√6 +
1
2√6
=
−24+1
2√6
=
−23
2√6
 . 
 
(b) Como sec(𝜃) =
1
cos (𝜃)
 e csc(𝜃) =
1
sen (𝜃)
, precisamos determinar cos(𝜃) e sen(𝜃). 
 Para isso podemos usar as seguintes identidades: 
AD2-Parte 1 – 2019-2 GABARITO Pré-Cálculo 
cos2(𝜃) =
1+cos(2𝜃)
2
 e sen2(𝜃) =
1−cos(2𝜃)
2
. 
Substituindo cos(2𝜃) =
1
5
 nas identidades acima, temos: 
cos2(𝜃) =
1+cos(2𝜃)
2
 ⟹ cos2(𝜃) =
1+
1
5
2
=
6
5
2
=
3
5
 ⟹ cos(𝜃) = ±
√3
√5
 . Logo, 
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤ 𝜋 e cos(𝜃) = ±
√3
√5
 ⟹ cos(𝜃) < 0 e cos(𝜃) = −
√3
√5
 . 
sen2(𝜃) =
1−cos(2𝜃)
2
 ⟹ sen2(𝜃) =
1−
1
5
2
=
4
5
2
=
2
5
 ⟹ sen(𝜃) = ±
√2
√5
 . Logo, 
𝜋
2
≤ 𝜃 ≤ 𝜋 e sen(𝜃) = ±
√2
√5
 ⟹ sen(𝜃) > 0 e sen(𝜃) =
√2
√5
 . 
3sec(𝜃) + 4 csc(𝜃) = 3 ∙
1
− 
√3
√5
+ 4 ∙
1
√2
√5
= −
3√5
√3
+
4√5
√2
= 
= −
3√3√5
√3√3
+ 
4√2√5
√2√2
= −
3√3√5
3
+ 
4√2√5
2
= −√15 + 2 √10. 
 
Questão 4 [1,4] Considere 𝑓(𝑥) = 1 − 2 | sen 𝑥 | 
(a) Determine os pontos onde o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) corta ou toca o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
(b) Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) usando transformações a partir do gráfico de 𝑦 = sen 𝑥. Marque no 
gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) a interseção com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 e pelo menos seis pontos onde o gráfico de 𝑦 =
𝑓(𝑥) intersecta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. Esboce os gráficos intermediários até obter o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
RESOLUÇÃO 
(a) Interseção com 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦: 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 − 2 |sen 0| = 1 − 2 ∙ 0 = 1. 
Logo o gráfico de 𝑓 corta o eixo 𝑦 em 𝑦 = 1. 
Interseção com 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥: 𝑦 = 0, temos que resolver 1 − 2 |sen𝑥| = 0. 
1 − 2 |sen 𝑥| = 0 ⟺ 2 |sen 𝑥| = 1 ⟺ |sen 𝑥| =
1
2
 ⟺
 sen 𝑥 =
1
2
 𝑜𝑢 sen 𝑥 = −
1
2
. Resolvendo cada equação, 
sen 𝑥 =
1
2
 ⟺ 𝑥 =
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 =
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. 
sen 𝑥 = −
1
2
 ⟺ 𝑥 = −
𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −
5𝜋
6
+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. 
Ou, observando o círculo, podemos escrever as soluções de outra forma, que 
conduzem às mesmas soluções anteriores, 𝑥 =
𝜋
6
+ 𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −
𝜋
6
+ 𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ. 
 
(b) Uma possível sequência de transformações, 
𝑦 = sen 𝑥 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜:
 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥,
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) < 0 
→ 𝑦 = |sen 𝑥 | 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 2
→ 𝑦 = 2 |sen 𝑥 | 
AD2-Parte 1 – 2019-2 GABARITO Pré-Cálculo 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −2 |sen 𝑥 | 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 1 − 2 |sen 𝑥 |