Curso de matematica financeira

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CURSO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 Prof: Jorge Edmundo
 SUMÁRIO
JUROS SIMPLES ................................................................................................. Pág. 3
 Determinação do prazo “n” ............................................................................ Pág. 3
 Determinação da taxa de juros “i” ................................................................ Pág. 4
 Determinação do Capital Inicial ou VP ......................................................... Pág. 4
 Montante em Juros Simples ........................................................................... Pág. 4 
DESCONTO SIMPLES ou POR DENTRO ...................................................... Pág. 5
 Valor descontado ............................................................................................. Pág. 5
JUROS COMPOSTOS ........................................................................................ Pág. 6
 Cálculo do VP ou capital inicial .................................................................... Pág. 6 
 Cálculo do Juros na capitalização composta ................................................ Pág. 7
 Determinação da taxa de juros “i” ............................................................... Pág. 7
 Determinação dos períodos de capitalização ................................................ Pág. 8
TAXA DE JUROS REAL .................................................................................... Pág. 8
TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES ............................................................ Pág. 10
UTILIZAÇÃO DO FLUXO DE CAIXA .......................................................... Pág. 11
TÉCNICAS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTO ......................................... Pág. 12
 Payback .......................................................................................................... Pág. 12
 Payback Simples .................................................................................... Pág. 12
 Payback descontado ............................................................................... Pág. 14
 Valor Presente Líquido ( VPL) ..................................................................... Pág. 15
 Taxa Interna de Retorno (TIR) .................................................................... Pág. 16
SÉRIES UNIFORMES ..................................................................................... Pág.17
 Definições .............................................................................................. Pág.17
 Modelo básico de série ......................................................................... Pág.18 
 Valor do principal ................................................................................ Pág.19
 Valor da parcela ................................................................................... Pág.19
 Montante ou Valor Futuro (VF) ......................................................... Pág.20
A REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS DA 
MATEMÁTICA
1) Expressões matemáticas
 - Para soluções de expressões matemáticas, regras básicas devem ser 
seguidas
 Em operações algébricas deve-se seguir a seguinte ordem.
 1º - operações que envolvam potenciação (YX ) e radiciação (√ ).
 2º - operações que envolvam mulitplicação (X ) e divisão (/ ).
 3º - operações que envolvam adição (+) e subtração ( - )
 Em operações que envolvam parênteses, colchetes e chaves.
1º - resolver as operações algébricas dentro dos parênteses.
 2º - resolver as operações algébricas dentro dos 
 colchetes. 
 3º - resolver as operações algébricas dentro das chaves.
2) Operações com porcentagens
 Existem duas formas de expressar valores percentuais
 1) NA FORMA PERCENTUAL :Quando envolve o símbolo de (%).
 2) NA FORMA DECIMAL: Quando são aplicadas em operações e 
cálculos matemáticos.
 
 Ex: 10% = 10/100 = 0,10
 25% = 25/100 = 0,25
 7% = 7/100 = 0,07
 1% = 1/100 = 0,01
 364% = 364/100 = 3,64 
3) Potenciação.
 Resume a quantidade de multiplicações de “um mesmo valor”. 
 an = P a = valor a ser multiplicado ( valor da base )
 n = número de vezes em que o valor é multiplicado por ele 
mesmo.
 P = valor do produto da potenciação
 Ex: 43 = 4 x 4 x 4 = 64
 52 = 5 x 5 = 25
4) Radiciação.
 Trata-se da situação inversa da potenciação, consistindo desta forma 
calcular a partir do valor do produto encontrar o valor da base considerando o 
número de vezes que foi multiplicado.
 a = n√ P ou a = P1/n
 Exemplo :
 3√ 81 = 3√ 33 = 3 
 5√ 3125 = 5√ 55 = 5 
5) Proporção.
 Consiste no quociente entre o número de uma parte da soma pelo valor 
total da soma.
 
 Seja : n1+ n2 + n3 + n4 + n5 = N portanto as proporções
são n1/N , n2/N , n3/N etc.
 
 Exemplo: 2 + 3 + 4 + 6 + 9 +12 = 36 
 2/36 , 3/36 , 4/36 , 6/36 , 9/36 , 12/36 
6) Razão.
 Trata-se do quociente, entre dois valores ou termos
 RAZÃO = Termo ou valor antecedente
 Termo ou valor conseqüente
 n1/n2 , n3/n4 ,n1/n3 ou n2/n4
 Exemplo: 2/3 , 4/3 , 2/4 ou 3/4 
 
7) Regra de três
 Consiste na comparação entre duas razões ou grandezas. Trata-se 
especificamente de determinar um proporção que pode ser direta ou inversa
 Se 5 litros de leite custam R$ 7,50 então:
 8 litros de leite custam R$ X,XX
 R$ X,XX = ( 8 x 7,50 ) / 5 = R$ 12,00
 define-se desta forma como:
 K : Z = X :Y
 5: 7,50 = 8 : Y 
8) Progressões
 A) Aritmética
 - Trata-se de uma seqüência de termos, na qual a determinação dos 
termos subseqüente é resultado da soma de um valor constante, tratando-se da 
diferença comum.
 A1, A1+ d, A1+ 2d, A1+ 3d, ........, A1+ (n – 1)d
Sendo assim qualquer termo ou valor de um progressão aritmética pode ser 
calculado como:
 Aj = A1+ (j – 1)d
 7, 13, 18, 24, 30, 36, 40, 46, 52
 B) Geométrica
 - Consiste numa seqüência de números, no qual qualquer valor após 
o primeiro é obtido pela multiplicação de uma constante, chamado de razão
 
 G1, G1 x R , G1 x R2, G1 x R3, G1 x R4, ......., G1 x R(n-1) 
Sendo assim qualquer termo ou valor de um progressão geométrica pode ser 
calculado como:
 Gj = G1 x R(n-1)
 
 Exemplo : 2, 6, 18, 54, 162, 486
 - Qual o valor do 8º termo ?
 G8 = 2 x 3(8-1) = 2 x 37 = 2 x (3x3x3x3x3x3x3)
 G8 = 2 x 2187 = 4374 
A Matemática Financeira trata do valor do dinheiro no 
tempo. 
 JUROS SIMPLES 
 J = C x i x n 
 Onde :
 J = Juros obtido no fim do prazo ou período.
 C = Capital inicial ou valor presente (VP)
 n = Período ou prazo deaplicação 
Exemplo 1: Um correntista, a partir da sugestão do gerente de banco, aplicou 
$1.000,00 A juros simples de 5% durante 8 meses, quanto receberá de juros no 
final do período?
 
 Procedimento inicial, converter a taxa percentual em valor decimal.
 5% = 5/100 = 0,05
 J = 1.000,00 x 0,05 x 8 = $400
 
 Determinação do prazo “n”:
 J
 n = ---------
 C x i
 
Determinação da taxa de juros “i”:
 J
 I = ---------
 C x n 
 Determinação do valor do Capital inicial ( C ) ou Valor presente (VP)
 VF
 C = VP = -------
 i x n
 
 # O MONTANTE EM JUROS SIMPLES
 O montante ( M ) representa o valor final (VF) de uma aplicação, 
resultante da soma do Capital inicial ( C ) ou valor presente (VP), com os Juros 
( J ), obtidos ao longo dos períodos.
 M = C + J
 M = C + ( C x i x n )
 
  M = C x ( 1 + i x n )
 Exemplo 2 : Uma empresa aplicou junto ao BANCO DO BRASIL, rendendo 
a juros simples de 5% a . m . um capital inicial de $2.000.000,00 ao longo de 10 
meses. Quanto a companhia ira resgatar ao final do período
 M = 2.000.000,00 x ( 1 + 0,05 x 10)
 
 M = 2.000.000,00 x ( 1,5) M = $ 3.000.000,00 
 
 Com se encontraria o volume de capital necessário para se um obter um 
determinado montante no futuro?
 
 VF M 
 Fórmula geral: VP = --------------- ou C = ---------------- 
 ( 1 + i x n) ( 1 + i x n )
Exemplo 3: Quanto um poupador deverá aplicar hoje, rendendo a juros 
simples de 3% a . m . sabendo-se que daqui a 8 meses, será resgatado 
uma quantia de $ 350.000,00. 
 
 350.000 350.000 350.000
 VP = ------------------ = --------------------- = ---------------- 
 ( 1 + 0,03 x 8) ( 1 + 0,24 ) (1,24) 
 
 VP = 282.258,06 
 
 # TAXA DE JUROS PROPOCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES
 Taxa de juros proporcional, significa determinar a taxa de juros ao 
período de capitalização
 I1 = n1
 I2 n2 
Exemplo 4 : Considere um investimento aplicado a 18% a . a . Qual seria a 
taxa proporcional mensal
 0,18 = 12 meses
 Im 1 mês
 0,18 x 1 = Im x 12 0,18/12 = Im Im = 0,15
 ou 1,5% a. m.
 Taxa de juros equivalente, trata-se de obter-se o mesmo juros a duas 
taxas dentro do mesmo intervalo de tempo com capitalizações distintas. Sendo 
assim “i” representa a taxa de um período de tempo, enquanto que “im” 
represnta a taxa equivalente a uma fração do período de tempo “m”.
 Im = I/m 
 Exemplo 5 : Investidor dispões de $ 40.000,00 para aplicar durante 3 anos a 
uma taxa de juros anuais de 18% ao ano ou 1,5% ao mês. Será que o juros 
final será o mesmo ?
 J = C x I x 1 # J = C x Im x m
 J = 40.000 x 0,18 x 3 J = 40.000 x 0,015 x 36 
 J = $ 21.600 J = $ 21.600
 # DESCONTO
 # O DESCONTO RACIONAL OU POR DENTRO
 Essa modalidade de desconto, tem pouco uso no mercado, pelo fato de 
que o desconto ter como base de cálculo o valor atualizado de cada parcela 
dentro do período, o que torna o seu valor cada vez menor a medida que se 
aproxima da data presente.
 
 M = montante ou valor nominal
 C = Capital ou valor atual
 Dr = Desconto racional
 
 M = C x ( 1 + in ) C = M 
 ( 1 + in )
 Dr = M - M Multiplicando-se pelo denominador
 ( 1 + in ) 
 
 Dr = M( 1 + i) - M Dr = Min
 
 ( 1 + in ) ( 1 + in ) 
 Valor descontado é : Vr = M
 ( 1 + in ) 
 
 # DESCONTO SIMPLES, COMERCIAL OU POR FORA
 
 Trata-se da forma de desconto praticada no mercado, consiste em 
determinar o valor que não será incorporado ao montante do título quando é 
resgatado antes do prazo previsto. Existem dois tipos, o desconto “por dentro” 
e por “por fora”. 
 No nosso caso consideraremos o desconto comercial ou “ por fora” 
 
 D = VF x i x n 
 
 # VALOR DESCONTADO (VD)
Significa o valor líquido deduzido do desconto, ou seja a diferença entre o valor 
futuro VF e o desconto D. 
 
 VD = VF - D
 VD = VF – ( VF x i x n ) 
 
 VD = VF x ( 1 – in ) 
 
 # DESCONTO BANCÁRIO
 Consiste no mesmo princípio, do desconto comercial apenas acrescenta-se 
taxa de despesa administrativa dos bancos.
 h : Taxa bancária Db = M(in + h) 
 
 Já para o valor descontado Vb = M[ 1 - (in + h )]
 
 Exemplo 4 : Um estudante pretende quitar uma promissória da sua Honda 
Falcon, no valor de $ 12.000,00 que terá vencimento daqui a 3 meses, sabe-se 
que a taxa de juros simples aplicada pelo B.B. é de 5% a . m .Quanto ele obterá 
de desconto pelo fato de pagar o título antecipadamente?
 
 D = 12.000 x 0,05 x 3
 Valor do desconto : D = 1.800,00 
 Quanto Gutierrez pagou pelo titulo hoje? 
 VD = 12.000 - 1.800 = 10.200 
 
 Exemplo 5 : Um comerciante foi descontar uma promissória junto ao 
Banco do Brasil, no valor nominal de $ 80.000,00 considerando 4 meses antes 
do vencimento com taxa de juros 30% a . a . considerando a taxas bancárias de 
1%. Qual o valor do desconto e o valor descontado ?
 Db = 80.000,00 x ( 0,3/12 x 4 + 0,01) 
 Db = 80.000 x ( 0,025 x 4 + 0,01 ) 80.000 x (0,1 + 0,01 )
 Db = 80.000 x (0,11) Db = $ 8.800,00
 Vb = 80.000 x [ 1 – ( 0,025 x 4 + 0,01)]
 Vb = 80.000 x [ 1 – ( 0,10 + 0,01 ) ]
 Vb = 80.000 x 0,89 Vb = $ 71.200,00 
 # TAXA DE JUROS EFETIVA 
 
 Consiste na taxa de juros aplicado ao valor descontado, produz o valor do 
montante ou valor nominal.
 M = C(1 + If x n ) M = 1 + If x nC
 
 If x n = M - 1 If = (M/C) - 1
 C n
 
 Exemplo 6: Considerando os dados do problema “5”, calcule a taxa de juros 
efetiva ?
 If = (80.000/71.200) – 1 (1,12) -1 
4 4
 If = 0,12/4 If = 0,03 ou 3,0% a . m . 
 Considerando que 30% a . a . é 2,5% a . m.
 # OS JUROS COMPOSTOS
Nos juros compostos são, aqueles incorporados ao montante dentro de cada 
período de capitalização, que por sua vez ira incidir juros. 
 M = Co + ( Co x i )
 M1 = Co ( 1 + i ) 
 M2 = M1 ( 1 + i ) = Co (1 + i ) (1 + i )  M2 = Co(1 + i)2 
 M3 = M2 ( 1 + i ) = Co (1 + i )2(1 + i )  M3 = Co(1 + i)3
 M4 = M3 ( 1 + i ) = Co (1 + i )3 (1+ i )  M4 = Co(1 + i)4 
 Fórmula geral  M = Co(1 + i)n ou VF =VP( 1 + i )n
Exemplo 5 : Uma firma aplicou $2.000.000,00 no BANRISUL durante de 10 
meses a uma taxa de juros de 5% a . m . Quanto poderá resgatar no 
final do período? 
 M = 2.000.000,00 x ( 1 + 0,05)10 
 M = 2.000.000,00 x (1,63 )  3.260.000,00 
 
 
 Qual seria o valor do “capital aplicado hoje” para se obter um certo 
montante no futuro? 
 * CÁLCULO DO VALOR PRESENTE (VP)
 Deduzido a partir da fórmula de juros compostos, pode-se encontrar o 
capital inicial ( C ) ou valor presente ( VP ). 
 VF M 
 Fórmula geral: VP = ----------- OU Co = ----------- 
 ( 1 + i )n ( 1 + i )n 
 
 Exemplo 6 : Um correntista, pretende aplicar uma certa quantia hoje no 
Banco Logus para adquirir um apartamento no valor de $180.000,00 daqui a 5 
anos. Sabe-se que a remuneração que o mercado financeiro paga ao ano é de 
20%. Quanto ele deverá investir hoje para obter tal quantia no futuro? 
 
 180.000,00 180.000,00
 VP = ---------------------- = -------------------- 
 ( 1 + 0,2 )5 ( 2,49 ) 
 O capital necessário é: VP = 72.337,96 
Cálculo dos juros na capitalização composta 
 J = M – C 
 J = C x ( 1+ i )n – C 
  J = C x [ ( 1 + i )n – 1 ] 
Determinação da taxa de juros “i” na capitalização composta
 M 1/n 
 i = -------- - 1
 C 
 Qual a taxa de juros que o capital está sendo remunerado? 
 Exemplo 7: Uma empresa de saneamento, investirá na rede de água e 
esgoto numa localidade, uma quantia de $120.000,00 onde o que está previsto o 
montante final daqui a 8 anos um valor de $600.000,00. Qual a taxa de juros 
que remunera o capital aplicado ? 
 600.000 1/8
 i = ---------------- - 1  i = 5 0,13 - 1
 120.000
 i = 1,22 – 1  i = 0,22 ou 22% a . a . 
* Determinação dos períodos de capitalização 
 
 
 M 
 ln ---------
 C 
 n = ------------------------- 
 ln ( 1 + i )
 
 Exemplo 8 : Um certo aplicador, fez uma aplicação no Banco Sigma, no 
valor de $ 30.000,00 ao final do período resgatou um montante de $ 58.000,00 a 
uma taxa de juros de “r” de 15% a . a . Qual foi o prazo do resgate da 
aplicação?
 58.000,00 
 ln -------------------
 30.000,00 ln ( 1,93 ) 0,657520 
 n = --------------------------------- = ---------------------- = ---------------- ln 
( 1 + 0,15 ) ln ( 1,15 ) 0,139762 
 n = 4,704 anos = 4 anos, 8 meses e 13 dias 
 
 
 # A taxa de JUROS REAL
 Em certas ocasiões é preciso avaliar o ganho real de uma aplicação, visto 
que o efeito inflacionário, esconde o ganho de uma aplicação.
 
 in = Taxa de juros nominal
 iR = Taxa de juros real
  = Taxa de inflação 
 Fórmula geral : ( 1 + in ) = ( 1 + iR ) x ( 1 +  )
 Valor da taxa de juros nominal :
 in = (1 + iR) x (1 + ) - 1
 Valor da taxa de juros real : ( 1 + in )
 ( 1 + iR ) = --------------
 ( 1 +  )
 ( 1 + in ) 
 Fórmula final : iR = ------------------ - 1 
 ( 1 +  ) 
 Exemplo 9 : Sabendo-se que a poupança rendeu, em anos gordos, 50% ao 
ano e que a inflação do período foi de 45,63%,calcular a taxa de juros real de 
juros proporcionada pela aplicação.
(1 + 0,50) = (1 + iR) * (1 + 0,4563)
(1 + iR) = (1,50) (1 + iR) = 1,03 iR = 1,03 -1 
 ---------------
 (1,4563)
iR = 0,03 ao ano ou 3% ao ano
A juros simples, o capital cresce em progressão aritmética ao longo do tempo, 
enquanto a juros compostos o crescimento é em progressão geométrica.
Em períodos inferiores ao período em que a taxa de juros está referenciada, o 
montante é maior usando-se juros simples.
 
 * Taxas de JUROS EQUIVALENTES
 O procedimento consiste, em converter taxas de juros a períodos de 
capitalização diferente, dentro do sistema de capitalização composta.
1) Conversão da taxa para o período de capitalização maior:
 i a. a . = ( 1 + i a. m. )n - 1 
 
 n = Número de períodos que corresponde ao processo da capitalização maior.
 Exemplo 10 : Um pessoa pretende adquirir um veículo, sabe-se que a taxa 
de juros é de 2% a . m . ,sabendo-se que aa prestações são anuais. Qual a taxa 
de juros anual equivalente, praticada pela financeira?
 i a. a . = ( 1 + 0,02)12 - 1 i a . a . = ( 1,02)12 - 1 
 
 i a .a. = 1,27 – 1 i a. a. = 0,27 ou 27% a . a .
2) Conversão da taxa para o período de capitalização menor:
 i a . m . = ( 1 + i a . a .)1/n – 1
 n = Número de períodos que corresponde a uma parte do processo da 
capitalização menor. 
 
 Exemplo 11 : Um investidor pretende aplicar seus recursos em uma 
instituição financeira, que paga 24% a . a . com capitalizações mensais. Qual a 
taxa de juros mensal equivalente, praticada pela instituição?
 i a. m . = ( 1 + 0,24 )1/12 - 1 i a . a . = ( 1,24) 1/12 - 1
 
 i a. m. = ( 1,0181) - 1 i a . a . = 0,0181 ou 1,81% a . a. 
 
 UTILIZAÇÃO DE FLUXOS DE CAIXAS
 Com saída inicial (caso de realização de investimentos)
 
0 ENTRADAS
 1 23 4 5 
 SAÍDA 
 Com entrada inicial (caso de pagamento de empréstimo)
ENTRADA 
 1 2 3 4 5 
0
 
 SAIDAS 
Séries Uniformes :Anuidades, Rendas Certas e 
Empréstimos
 Definições : Trata-se de uma série de pagamentos ou recebimentos iguais 
realizados em períodos de tempo iguais
 As séries uniformes podem ser classificadas:
1) Prazo: 
 TEMPORÁRIAS Tempo de duração determinado
 PERPÉTUAS O prazo é ilimitado 
2) Valor dos pagamentos ou recebimentos:
 CONSTANTES Todos valores são iguais
 VARIÁVEIS Os valores não são iguais ao longo da 
 série.
 
3) A Forma:
Imediatas: Quando os pagamentos ou recebimentos
 são efetuados no primeiro período.
- Postecipada : Os pagamentos ou recebimentos
 exigíveis no fim dos períodos.
- Antecipadas : Os pagamentos ou recebimento
 exigíveis no início dos períodos.
 Diferidas: Os pagamentos ou recebimentos são efe-
 tuadas em data que não seja o período ini-
 cial ( Casos de períodos de carência) .
- Postecipada : Os pagamentos ou recebimentos
 exigíveis no fim dos períodos.
- Antecipadas : Os pagamentos ou recebimento
 exigíveis no início dos períodos.
4) Periodicidade: São os prazos como são efetuados 
 os pagamentos e recebimentos. 
 Constante: Os pagamentos e recebimentos, são
 em prazos iguais.
 Variável : Os pagamentos e recebimentos não
 são efetuados em prazos iguais. 
 
 * O MODELO BÁSICO DE SÉRIE
 O modelo básico tem como características: Temporário, Cons-
 tante, imediato e postecipado.
1) VALOR ATUAL ou PRINCIPAL (VP ou P):
 
 R R R R R R 
 0 1 2 3 4 n-1 n 
 Períodos
 R R R R
 P = + + + ....... + 
 ( 1 + i) ( 1 + i)2 ( 1 + i)3 ( 1 + i)n 
 P = R x 1 + 1 + 1 + + 1
 ( 1 + i) ( 1 + i)2 ( 1 + i)3 ( 1 + i)n 
 
 1 + 1 + 1 + + 1
 a =
 n i ( 1 + i) ( 1 + i)2 ( 1 + i)3 ( 1 + i)n
 Valor do Principal P = R x a onde a = ( 1 + i)n - 1
 ou Valor atual n i n i i ( 1 + i)n
 
 Valor da parcela R = P Verificar na tabela de fatores dos livros 
 de Matemática Finaceira. 
 a 
 n i 
Exemplo 1: Um automóvel zero KM, numa concessionária pode ser financiado 
em 12 parcelas de R$ 1.500,00 com taxa de juros de 1,5% a . m . Qual 
o valor do veículo caso a compra seja a vista?
 P= ? # R = 1.500,00 # a = 10,907505
 12 1,5 
 Valor encontra-se
 calculado nas tabelas dos livros de matemática
 financeira. 
 P = 1500 x 10,907505 P =R$ 16.367,26
Exemplo 2: Uma loja de eletrodoméstico, marcou o preço a vista de um 
Televisor de tela plana, por R$ 2.500,00 ou financia em 6 parcelas com 
juros de 2% a . m . Qual o valor de cada prestação?
 
 P = R$ 2.500,00 # R = ? 
 
 a = 5,601431
 6 2,0 
 R = 2.500,00 R = R$ 446,31
 5,601431
2) O MONTANTE (S) ou VALOR FUTURO (VF)
 Consiste na totalização de todas as parcelas ajustadas na data do período 
“n”.
 S
 
 R R R R R
 0 1 2 3 4 n+1 n
 
 S = 1 + (1+ i )1 + (1+i)2 +…….. + ( 1+ i )n-1 
 n i 
 A fórmula do montante M ou VF:
 ( 1 + i )n - 1
 S = R x S onde S = 
 n i n i i 
 Verificar na tabela de fatores dos livros 
. de Matemática Finaceira
 
 Valor da parcela “R”
 S
 R = 
 S
 n i
 
Exemplo 3: Um funcionário da TELEPETRO, tem pretensões contribuir para 
a TELPETPREV anualmente R$ 4.200,00 durante 25 anos, 
considerando uma taxa de juros de 15% a . a . Qual será o montante 
das aplicações ?
 S = ? # R = 4.200 # S = 212,793017
 25 15 
 S = R x S # S = 4.200 x 212,793017 
 25 15
 S = R$ 893.730,67
 Exemplo 4 : Uma pessoa tem pretensões de adquirir um imóvel daqui a 5 
anos, no valor de R$ 200.000,00 sabe-se que as aplicações financeiras 
estão em média 5% a . m . Quanto deve fazer de aplicações mensais 
para adquirir o imóvel ?
 S = 200.000 # R = ? # S = 353,583718
 60 5 
 200.000 
 R = R = 565,64 
 353,583718
 
 # EMPRÉSTIMOS
 
 Os empréstimos são sistemas, cuja asparcelas são compostas de duas 
partes: OS JUROS e AS AMORTIZAÇÕES.
 Os principais sistemas de amortizações são os seguintes: SISTEMA DE 
AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC), O SISTEMA FRANCÊS, O SISTEMA 
AMERICANO, SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEIS e O SACRE 
 1) No SAC, a parcela da amortização dentro da prestação é constante, 
enquanto que a parcela dos juros vai diminuído, o que torna o valor das 
prestações decrescentes.
 Prestação
 
 
 juros
 amortização
 Períodos
 - A sistemática de pagamento do SAC
Saldo Devedor 
(Sdk)
Amortização 
(Ak) Juros (Jk)
Prestação Pn 
=(Ak+Jk)
C0 
Sdk1=C0 - AK1 Ak1 Jk1 = C0 x i P1 =(Ak1+Jk1)
Sdk2=Sdk1 - 
AK2 Ak2 Jk2 = C0 x i P2 =(Ak2+Jk2)
Sdk3=Sdk2 - 
AK3 Ak3 Jk3 = C0 x i P3 =(Ak3+Jk3)
Sdk4=Sdk3 - 
AK4 Ak4 Jk4 = C0 x i P4 =(Ak4+Jk4)
Sdk5=Sdk4 - 
AK5 Ak5 Jk5 = C0 x i P5 =(Ak5+Jk5)
 Ak6 Jk6 = C0 x i P6 =(Ak6+Jk6)
 Σ Akn =C0 Σ Jkn Σ Jkn 
 2) No SISTEMA FRANCÊS, as prestações são iguais apenas a proporção 
da amortização é crescente enquanto que a de juros é decrescente.
 Prestação 
 amortização
 juros 
 
 Períodos
No sistema Francês o primeiro procedimento é calcular o valor das parcelas 
 P 
 R = 
 a 
 n i 
em seguida calcula-se para cada período os juros do saldo devedor do período 
anterior 
 
 J = i x Sdk-1 
Para se calcular a amortização, faz-se para cada parcela a diferença entre a 
prestação e juro,
 Ak = R - Jk
 
Para se calcular o valor do saldo devedor calcula-se a diferença entre o saldo 
devedor do período anterior e a amortização do período .
 Sdk = Sdk-1 - Ak
Saldo Devedor 
(Sdk) Amortização (Ak) Juros (Jk)
Prestação R = P/ a 
 n i 
C0 
Sdk1=C0 - AK1 Ak1= R - Jk1 Jk1 = C0 x i R1
Sdk2=Sdk1 - 
AK2 Ak2= R – Jk2 Jk2 = Sdk1 x i
 R2
Sdk3=Sdk2 - 
AK3 Ak3= R – Jk3 Jk3 = Sdk2 x i
 R3
Sdk4=Sdk3 - 
AK4 Ak4= R – Jk4 Jk4 = Sdk3 x i
 R4
Sdk5=Sdk4 - 
AK5 Ak5= R – Jk5 Jk5 = Sdk4 x i
 R5
 Ak6= R – Jk6 Jk6 = Sdk5 x i R6
 Σ Akn =C0 Σ Jkn 
 #TÉCNICAS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
1) PERÍODO DE PAYBACK
A) Payback Simples
 
 Significa calcular o tempo exato de retorno necessário para se recuperar 
um investimento.
 CRITÉRIO DE DECISÃO  Depende do tempo que se estabelece para 
recuperar o investimento, ou seja, o tempo máximo aceitável. Portanto se:
 Payback for menor que o tempo máximo aceitável aceita-se o projeto 
 Payback for maior que o tempo máximo aceitável rejeita-se o projeto
 PV
 PAYBACK = ---------
 PMT 
 
 Exemplo 12 : Uma empresa de ônibus, acaba de renovar a concessão das 
linhas de ônibus em um município, e pretende realizar investimentos no 
montante de $ 1.800.000,00, que gera uma entrada caixa líquido anual de 
$500.000,00 nos próximos 5 anos. Determine o PAYBACK,O projeto deve ser 
aceito?
 PAYBACK = 1.800,00 = 3,6 anos
 ---------------
 500,00 
 0,6 anos = 0,6 x 12 = 7,2 meses 
 0,2 meses = 0,2 x 30 = 6 dias
 Portanto 3,6 anos = 3 anos, 7 meses e 6 dias
 3,6 anos  5 anos
 Neste caso projeto é aceito pois 3,6 anos está abaixo do período máximo 
aceitável que é o de 5 anos.
 
 Exemplo 13 : Uma empresa de saneamento pretende investir no sistema de 
esgotamento sanitário no município Gama, um valor de $ 2.500.000,00 gerando 
um fluxo de entrada de caixa líquido anual, de $300.000,00 pelos próximos 6 
anos. Qual deve ser o payback? O projeto deve ser aceito?
 2.500.000,00 
 PAYBACK = ------------------------ = 8,33 anos
 300.000,00
 0,33 anos = 0,33 x 12 = 3,96 meses
 0,96 meses = 0,96 x 30 =
 8,33 anos  6 anos
 Neste caso o projeto é rejeitado pois 8,33 anos está acima do tempo 
máximo aceitável que são 6 anos.
B) Payback descontado (PBD)
 A diferença em relação ao SIMPLES, é que no descontado considera-
se o valor do dinheiro no tempo.
 Neste caso os valores dos fluxos gerados ao longo da linha de tempo 
tem que ser atualizados para valor presente, da data inicial do projeto. Neste 
caso avalia-se através da taxa de juros “r” aplicada.
 Exemplo 14 : A CODIEL, acaba de renovar a concessão de energia no 
estado Beta, e pretende realizar investimentos no montante de $ 1.800.000,00, 
que gera uma entrada caixa líquido anual de $500.000,00 nos próximos 5 anos, 
sabe-se que o custo de oportunidade é de 12% a. a. Determine o PAYBACK 
DESCONTADO ( PBD ),O projeto deve ser aceito?
 PMTo = Valor presente o fluxo liquido de caixa
 PMT = Valor corrente do fluxo líquido de caixa
 i = Taxa de juros
 n = Períodos a ser descontado
 PMT
 PMTo = ----------------
 ( 1 + i )n
 
 “n” Investimento Flux Cx. Corrent.
 (PMT)
Valor Presente PMT
 (PMTo)
Valor presente 
acumulado 
0 (1.800.000,00) ------------------ ---------------------- (1.800.000,00)
1 ------------------ 500.000,00 446.428,57 (1.353.714,43)
2 ------------------ 500.000,00 398.596,94 (954.974,49)
3 ------------------ 500.000,00 355.890,12 (599.084,37)
4 ------------------ 500.000,00 317.759,04 (281.325,33)
5 ------------------ 500.000,00 283.713,43 2.388,10
 Intervalo de tempo
 recuperação do in-
 vestimento.
 
 
# Determinação do tempo de recuperação (TR) : 
 PBDN 
 TR = N + ------------------------- 
 PBDN + PBDN+1 
 281.325,33 
 TR = 4 + ------------------------------ = 4,99 anos 
 281.325,33 + 2.388,10 
 
2) O Valor Presente Líquido (VPL)
 Trata-se de uma das técnicas mais sofisticadas, é obtida através do cálculo 
do valor presente de uma série de fluxos de caixa, baseada em uma taxa de 
custo de oportunidade “r”.
 VPL = Valor presente das entradas ou saídas de caixa – investimento 
inicial (VPo)
 
 VPL =  FCn - VPo
 (1 + i )n
 
 Se VPL > 0 o projeto deveser aceito
 Se VPL < 0 o projeto deve ser recusado
 Se VPL = 0 o projeto não oferece ganho ou prejuizo.
 Exemplo 14 : A AERONORTE pretende investir nas linhas aéreas na no 
norte e nordeste, $600.000,00. Sabe-se que o fluxo de caixa líquido de entrada 
anual é $150.000,00 com taxa mínima requerida de 5% a . a . 
 150.000 150.000 150.000 
 VPL = -------------- + -------------- + -------------- + 
 ( 1 + 0,05)1 (1 + 0,05)2 ( 1 + 0,05)3 
 150.000 150.000 
 + -------------- + ------------------ - 600.000 
 ( 1 + 0,05)4 ( 1 + 0,05 )
VPL= 142.857,14 +136.054,42 +129.575,64 + 123.405,37 +117.528,93 
– 600.000
 VPL = 649.421,50 – 600.000,00 VPL = 49.421,50  VPL  0
 PROJETO DEVE SER ACEITO 
 
 
2) A TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
 A taxa interna de retorno, consiste no cálculo da taxa de juros que 
tornaria o somatório dos fluxos descontados idêntico ao VP do capital 
investido.
 Em outras palavras, a TIR consiste na taxa que faz com que o VPL 
seja igual a zero ( VPL = 0 ).
 FC1 FC2 FC3 FCn
VP = + + + ......... + 
 ( 1 + i)1 ( 1 + i)2 ( 1 + i )3 ( 1 + i )n 
 Fórmula geral: VP =  FCj onde o VPL = 0
 ( 1 + i )j