Matemática Elementar para o Ensino Superior

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Prof. Kenedy A. Freitas 
2014 
 
1 
 
Apresentação 
Este material tem como origem o entendimento da dificuldade dos alunos que 
ingressam no ensino superior e se deparam com as nuances da matemática apresentada 
nas disciplinas de cálculo. Seu intuito é complementar os livros textos adotados e 
auxiliar o aluno no entendimento dos conceitos e resultados desenvolvidos pela 
Matemática Elementar. 
 O material está dividido de forma a permitir uma breve revisão dos conceitos 
básicos em matemática e ainda contém exemplos, exercícios resolvidos e listas de 
exercícios propostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
Capítulo 1 – Matemática 
Capítulo 2 – Potenciação, Radiciação e Logaritmo 
Capítulo 3 – Cálculos Algébricos 
Capítulo 4 – Trigonometria 
 
 
 
Capítulo 1 – Matemática 
A matemática é componente importante na construção da cidadania, na medida 
em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de conhecimentos cientifícos e recursos 
tecnológicos, dos quais os cidadãos devem se apropriar. Esta constatação de 
importância deve-se ao fato de que a Matemática desempenha papel decisivo, pois, 
permite resolver problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do 
trabalho e funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em 
outras áreas curriculares. 
A Matemática, surgida na Antiguidade por necessidades da vida cotidiana, 
converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas. Como as demais 
ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do 
mundo e domínio da natureza. 
A Matemática move-se quase exclusivamente no campo dos conceitos abstratos 
e de suas interrelações. Para demonstrar suas afirmações, o matemático emprega apenas 
raciocínios e cálculos. 
Freqüentemente, a Matemática tem sido apontada como disciplina que contribui 
significativamente para elevação das taxas de retenção. Outra distorção perceptível 
refere-se a uma interpretação equivocada da idéia de “cotidiano”, ou seja, trabalha-se 
apenas com o que se supõe fazer parte do dia-a-dia do aluno. Desse modo, muitos 
conteúdos importantes são descartados ou porque se julga, sem uma análise adequada, 
que não são de interesse para os alunos, ou porque não fazem parte de sua “realidade”, 
ou seja, não há uma aplicação prática imediata. Essa postura leva ao empobrecimento 
 
3 
 
do trabalho, produzindo efeito contrário ao de enriquecer o processo ensino-
aprendizagem. 
Portanto, é importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno 
como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de 
sua capacidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação. 
 
Capítulo 2 – Potenciação, Radiciação e Logaritmo. 
Potenciação é o caso particular da multiplicação quando os fatores são todos 
iguais. Por exemplo: 
4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024 = 4
5
 
Esse produto pode ser expresso dessa maneira: 4
5
, onde 4 é chamado de base e 
indica o fator que está sendo repetido e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade 
de fatores 4. O resultado da operação é chamado de potência. 
 Da mesma forma que podemos calcular o resultado da operação de potência 
quando sabemos os valores da base e do expoente, também é possível determinarmos o 
valor da base se conhecemos o resultado e o expoente. Esse processo inverso é 
denominado radiciação. Utilizando o exemplo acima, temos que: 
5 54 1024 1024 4  
 
No entanto, certos cálculos exponenciais não podem ser resolvidos usando-se 
apenas as propriedades da potenciação ou radiciação. Com as propriedades dos 
logaritmos podemos resolver problemas de potências com qualquer expoente real, por 
exemplo: 
1,410
, 
5 3
, 23 , etc. 
A seguir temos uma breve revisão das propriedades das operações de potenciação, 
radiciação e logaritmos. 
Potenciação 
Para 
a
, 
b
 e 
c
, temos: 
 
 
Definido que: 
 
4 
 
0 1a 
 
1a a 
 se 
2n 
 
1
, 0n
n
a a
a
  
 
 
→ Propriedades: 
Para 
m
, 
n
, 
a
e 
b
, temos: 
a) 
m n m na a a  
 b) 
: , 0m n m na a a a 
 
c) 
( )m n m na a
 d) 
( )m m ma b a b  
 
e) 
( : ) : , 0m m ma b a b b  
Potenciação com expoente racional, irracional e real 
Sendo
p
, *n , temos: 
*
p
pnna a a  
 
0 0, 0
0
0 0
p
n
p
n
p
para
n
a
p
não é definido para
n

 

  
 

 
*
p
n
p
pnn
a nem sempre é real se n for par
a
a a se n for ímpar



  
 
 
Obs.: Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são validas para a 
potenciação com expoente racional. 
Radiciação 
Para 
a
, 
b
 e 
*c
, temos: 
 
 
Assim, 
nn b a b a  
. 
→ Propriedades: 
a) n nn a b a b   b) 
, 0
n
n
n
a a
b
bb
 
 
 
5 
 
c) 
n mn m aa 
 d) 
  *,n
p
pn aa p 
 
e) 
*,
n pn m m pa a p 
 
Exemplos: 
2
3 3 2 3 2 12 2 2 2 2
1
2
2
  
 
 
    
 2 36 34 2 32 22 2 2 4   
Logaritmos 
Sendo 
a
 e 
b
 números reais positivos, com 
1b 
, chamamos de logaritmo de 
a
 
na base 
b
 o expoente real 
x
 ao qual se eleva 
b
 para obter 
a
: 
log xb a x b a  
 , com 
0a 
, 
0b 
 e 
1b 
. 
 
As restrições impostas a 
a
 e 
b
 são chamadas de condições de existência dos 
logaritmos: 
1 0 0 0xb b a     
 
Exemplos: 
2log 8 3
, pois 
32 8
. 
10log 100 2
, pois 
210 100
. 
1
3
log 9 2 
, pois 21
9
3

 
 
 

. 
Consequências da definição 
a) 
log 1 0b 
, pois 
0 1b 
. b) 
log 1b b 
, pois 
1b b
. 
c) 
log mb b m
, pois 
m mb b
. d) logb ab a , pois, sendo 
logb a x
, 
xb a
. 
Propriedades dos Logaritmos 
 Logaritmo do Produto: 
log ( ) log loga a ab c b c  
 
 Logaritmo do Quociente: 
log ( ) log loga a a
b
b c
c
 
 
 Logaritmo da Potência: 
log logma ab m b 
 
Onde 
a
, 
b
 e 
c
 números reais e positivos, 
1a 
 e 
m
 um numero real. 
Mudança de Base 
 
6 
 
As propriedades dos logaritmos só são válidas se aplicadas a mesma base. 
Portanto, às vezes torna-se necessário uma mudança de base. Que pode ser feita da 
seguinte maneira: 
log
log
log
c
b
c
a
a
b

 
Como conseqüências, temos: 
 
1
log
log
b
a
a
b

 
 
log log loga c cb a b 
 
Exemplos: 
1) Dados 
log2 a
 e 
log3 b
, calcule 
2log 72
. 
Solução 
3 2
2
log72 log(2 3 )
log 72
log 2 log 2

  
3 log 2 2 log3 3 2
log 2
a b
a
   

 
▄ 
2) Simplifique a expressão: 
    4 81 27 8log 9 log 16 log 8 log 3
 
Solução 
4 4 4
4
4 4 4
log 16 log 8 log 3
log 9
log 81 log 27 log 8
   
4 4
4
4 4
log 2 log 3
log 3
log 3 3 log
2
3
  


 
4 4
2 1
log 2 2 log 2
3 3
    4 4
21 1log 2 log 4
3 3
  
1 1
1
3 3
 
 
▄ 
Logaritmo Natural ou Neperiano 
É um sistema que utiliza a base e = 2,71828... (número irracional), seu nome vem do 
matemático Jonh Neper (1550-1617), que foi o primeiro a tabalhar com esse tipo de 
base. O nome natural deve-se ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais 
geralmente aparece uma lei exponencial de base e. 
Por definição sua representação é: 
ln xIsto porque, 
log lne x x
. 
 
7 
 
Todas as propriedades e considerações a cerca dos logaritmos em uma base qualquer 
são válidas para o logaritmo natural. 
Antilogaritmo 
Sejam 
, ,0 1a b a  
 e 
0b 
, então: 
 
log loga ab x b anti x  
 
Exemplos: 
3log 2 9anti 
, pois, 
3log 9 2
 
 2
1
log 2
4
anti  
, pois, 
2
1
log 2
4
 
 
 1
2
1
log 3
8
anti 
, pois, 
1
2
1
log 3
8

 
 
Na época de seu desenvolvimento o logaritmo tinha como principal utilidade 
aumentar a capacidade de cálculo dos astrônomos. Notemos que, com as propriedades 
dos logaritmos podemos transformar uma multiplicação em uma soma, uma divisão em 
uma subtração e uma potenciação em uma multiplicação, isto é, com o emprego da 
teoria dos logaritmos podemos transformar uma operação em outra mais simples de ser 
realizada. 
Existe uma especial atenção ao estudo dos logaritmos decimais, isto é, àqueles 
que possuem base 10. Essa atenção surge porque qualquer que seja o número real 
positivo x que consideremos, estará necessariamente compreendido entre duas potências 
de 10 com expoentes inteiros consecutivos. 
Exemplos 
2 1
1 0
0 1
1 2
2 3
0,04 10 0,04 10
0,351 10 0,351 10
3,72 10 3,72 10
45,7 10 45,7 10
573 10 573 10
x
x
x
x
x
 

   
   
   
   
   
 
 Por definição temos que: 
 
8 
 
log x c m 
 
Da definição temos que o logaritmo decimal de x é a soma de um inteiro c com um 
número decimal m não negativo e menor que 1. O número inteiro c é por definição a 
característica do logaritmo de x e o número decimal m (0 ≤ m < 1) é por definição a 
mantissa do logaritmo decimal de x. 
 
A característica do logaritmo decimal de um número x real positivo pode será 
calculada por uma das duas regras abaixo. 
Regra para: x > 1 
A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de 
algarismos de sua parte inteira, menos 1. 
Exemplos: 
logaritmo característica
log2,3 0
log31,421 1
log204 2
log6543,2 3
c
c
c
c




 
Regra para: 0 < x < 1 
A característica do logaritmo decimal de um número 0 < x < 1 é o oposto da 
quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo. 
Exemplos: 
logaritmo característica
log0,2 1
log0,035 2
log0,00405 3
log0,00053 4
c
c
c
c
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
A mantissa de um logaritmo decimal, em geral, é um número irracional e por 
esse motivo as tábuas de logaritmos são tabelas que fornecem os valores aproximados 
dos logaritmos dos números inteiros, geralmente 1 a 10 000. 
A mantissa possui a propriedade de que em um logaritmo decimal de x sua 
mantissa não se altera se multiplicarmos x por uma potência de 10 com expoente inteiro. 
 
Observação: Os logaritmos de dois números cuja representação decimais diferem 
apenas pela posição da vírgula têm mantissa iguais. 
 
Exemplo 
 Utiilzando a tabela de mantissa resumida a seguir e as propriedades dos 
logaritmos decimais, calcule: 
a) 
log23,4
 b) 
log234
 c) 
log0,042
 d) 
log420
 
 
Solução 
 
10 
 
Para (a), temos que a característica é 1 e a mantissa é 0,3692. Temos então: 
 
log23,4 1 0,3692 1,3692  
 
Para (b), a característica é 2 e a mantissa é 0,3692 que é a mesma do número 23,4, 
conforme a observação sobre a propriedade de mantissa. 
log234 2,3692
 
Para (c), a característica é -2 e para (d) a característica é 2, mas a mantissa é 0,6232 é a 
mesma para ambos. Temos então: 
 
log0,042 2 0,6232 1,3768    
 
Então: 
log420 2,6232
 
 
RESOLUÇÃO DE EXPRESSÕES ARITMÉTICAS 
A resolução de uma expressão aritmética se faz procedendo da seguinte maneira: 
 Resolvem-se as operações que estiverem entre os parêntesis ( ), depois os 
colchetes [ ] e finalmente as chaves { }, sempre a partir dos mais internos. 
 A ordem das operações devem seguir: 
Grupo I – adição e subtração 
Grupo II – multiplicação e divisão 
Grupo III – potenciação, radiciação e logaritmos 
Caso hajam duas operações de um mesmo grupo, resolve-se primeiramente a 
que primeiro aparecer. Caso hajam duas operações de grupos distintos, 
resolve-se primeiramente as do grupo III, depois as do grupo II e finalmente as 
 
11 
 
do grupo I, levando-se em conta as posições que as operações ocupem com 
referência a primeira fase. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Calcule: 
a) 
3( 3)
 b) 
0( 4)
 c) 
15( 1) 
 d) 
10( 1)
 
e) 70 f) 22 g) 
3
2
3
 
 
 
 h) 33
2
 
  
 
 
i) 
 
5
0,1
 j) 00 k) 10 l) 
4
1
3
 
 
 
 
m) 3 25 5 n) 32 3 o)  235
 p) 7
5
2
2
 
q) 6 23 3 r) 2 25 4 s) 
1
2
3

 
 
 
 t) 
 
2
1
0,01

 
u) 
 
2
0,75

 v) 
 
1
3

 
 w) 
 
3
0,5


 x) 1 12 3  
y)    2 11
2 2
2 2 2
2 2


   

 z) 
2 3
3
2
1 1
2 2
1
2
   
    
   
  
  
   
 
2) Simplifique as expressões, supondo que 
0a b 
 e que n : 
a)  
 
2
3 2
3
4 3
a b
a b





 b)  
 
3
4 2
2
2
a b
a b


 c)    
 
4 2
2 3 3 4
3
3 2
a b a b
a b
  

 
 
12 
 
d)  12 3
1
n n
n
a a
a
 

 e) 4 3
4
n n
n
a a a
a a
  

 
3) Simplifique os radicais e as expressões: 
a) 
3 64
 b) 
576
 c) 3 72 d) 3 729 e) 4 625 
f) 
8 32 72 50  
 g) 
2000 200 20 2  
 
h) 
33 3 3375 24 81 192  
 i) 3 3 34 4 4 4 33a ab b a b a b ab ab   
4) Reduza ao mesmo índice: 
a) 
3 52, 5, 3
 b) 
63 52 3 4 53 , 2 , 5 , 2
 
5) Efetua as operações indicadas: 
a) 34 5 6
15
 b) 
 12 2 27 3 75 3  
 c) 
   3 2 5 3 2  
 
d) 
 
4
1 2
 e) 
3 5
5 1
2 2

 f) 
 20 45 3 125 2 5  
 
g) 
  43 12 2 48 3 
 h) 
5 2 6 5 2 6  
 
i) 
2 2 2 2 2 2 2 2 2       
 
j) 
2
a b
a ab b ab
b a
 
     
 
 k) 
3a a a
 
6) Racionalize os denominadores das frações: 
a) 1
3
 b) 5
3 7
 c) 1
1 2 3 
 d) 1
3 2
 
e) 1
2 3 5 
 f) 3
3
9 1
3 1


 
 
13 
 
7) Simplifique 
a) 2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
    
   
         
 b) 48 27 125
12 108 180
 
 
 
 
8) Mostre que 3 4 1
7 2 10 8 4 3 11 2 30
 
  
. 
 
9) Expressar na forma de expoente racional os seguintes radicais: 
a) 
2
 b) 4 3 5 c)  
2
3 22
 d) 2
4
1
8
 
 
 
 
10) Calcular, substituindo as potências de expoente racional pelos correspondentes 
radicais: 
a) 
 
1
20,25
 b) 
 
0,5
0,01

 c) 2327 e) 
3
41
16
 
 
 
 
11) Simplifique as potências de expoente racional e irracional: 
a) 
21
32
1 1 1
5 8 60
3 3
3 3 3


 
 b) 2 2 3 3
3 3 4 427 27 16 16
    
     
  
 
c) 
1
2 11 2
3 32125 16 343
 
  
 
 d) 
 
3
2 3 2 35 25 
 
e) 
3
27 75 2
48
2 8
4
 
  
 
 f) 
 
1
5 20 54 8


 
 
 
14 
 
12) Calcule analiticamente e use quando necessário a tabela de logaritmos: 
a) 
0,25log32
 b) 
1
2
log 8
 c) 
25log 0,008
 d) 
0,01log 0,001
 
e) 
125log 25
 f) 
3 7
log 49
 g) 
3
4
5
log 5
 h) 
4 3 3
3
log
3
 
i) 
1
3
log 27
 j) 
100 1,5 1,25
4
log 0,001 log log 0,64
9
 
 
k) 
3 33
6
9 0,5 100
1
log log 8 log 0,1
27
 
 
l) 
     4 3 2 81 0,8 16log log 9 log log 3 log log 32 
 
m) 
2log 58
 n) 
31 log 43
 o) 21 log 38  p) 32 log 29  
q) 
 1
2
log 4anti 
 r) 
16
1
log
2
anti
 s) 
 3 3log log 5anti
 
t) 
log0,74
 u) 
log25,4
 v) 
log0,00357
 w) 
loge
 
x) 
2log 3
 y) 
3log 2
 z) 
2log 5
 
13) Desenvolva aplicando as propriedades dos logaritmos, sendo a, b e c reais e 
positivos. 
a) 3 2
3 4
log
a b
c
 
 
 
 b) 3
2
log
a
b c
 
 
 
 c) 
2
3 2
4
log
a ab
b a b
 
d) 
2
4
3
2 3
log
a ab
b bc
 
 
 
 
 e) 
2
23
2 2
( )
log
a a b
a b
 
 
  
 
14) Sabendo que 
20log 2 a
e 
20log 3 b
, calcular 
6log 5
 (obs.: utilize a mudança 
de base). 
 
15 
 
15) Se 
log 4ab a 
, calcule 3
logab
a
b
. 
16) Calcular 
3 4 25log 5 log 27 log 2 
. 
 
Capítulo 3 – Cálculos Álgebricos 
Considerações preliminares 
 A utilização de letras representando números é denominada Álgebra, que além 
de ser muito importante para a resolução de uma inifinidade de problemas prátcos e 
teóricos, nos auxilia em nosso desenvolvimento da capacidade de raciocinar. Algumas 
vezes estas letras representativas serão chamadas de constantes ou coeficientes e outras 
vezes serão chamadas de variáveis. A reunião destas variáveis e constantes em 
expressões matemáticas é denominada de expressões algébricas. 
 As expressões algébricas representando o produto entre constantes e variáveis 
são denominadas de monômio. 
3 42x y
 
 
Quando as expressões apresentam monômios semelhantes (parte varíavel idêntica) 
podemos realizar operações matemáticas sobre eles, isto é, podemos somar, subtrair, 
multiplicar, dividir, elevar a potências, extrair raízes e calcular seus logaritmos. 
 O procedimento para as operações de soma e subtração são semelhantes, onde 
devemos somar ou subtrair as constantes e conservar a parte literal. Para a 
multiplicação, divisão, potenciação, radiciação e logaritmos, devemos recordar das 
propriedades de potenciação e logaritmos. 
Exemplos 
i) 
3 2x x x 
 
ii) 
3 3 312 9 21xy z xy z xy z 
 
iii) 3 2 3 3 2 3 4 54 2 4 2 8a b ab c a b b c a b c        
iv) 
2 2 312 2 12 2 24xy x z x x y z x yz       
 
 
16 
 
v) 3 2
3 2 2 3 2 2 1
2
25
25 5 5 5
5
a y
a y a y a y ay
a y
        
 
vi) 
 
2
2 3 2 2 2 21 3 2 4 2 64 4 16a bc a a c a b c      
 
Uma expressão algébrica composta por monômios ou pela soma destes é chamada de 
polinômio, e os monômios que a compõem são chamados de termos. Deve-se atentar ao 
fato que expoentes fracionários não compõem expressões polinomiais. 
Exemplos 
i) 
25 2x y b
 → polinômio de dois termos, chamado de binômio. 
ii) 
3 2 3x yt t 
→ polinômio de três termos, chamado de triinômio. 
O grau de um polinômio é definido pelo expoente de maior valor entre as variáveis de 
seus monômios. 
Exemplos 
a) Polinômio de uma variável: 
2
2
5
5 2
2
x monômiodo primeiro grau
x x x monômiodo primeiro grau
monômiode grau zeroou constnte
 

  
 
 
b) Polinômio de duas ou mais variáveis 
2 3
2 3 2 3 2 3
3 ...(2 3 5) quinto
3 2 21 2 ...(2 3 1 6)
21
x y monômiodo grau
x y a b c a b c monômiodo sexto grau
monômiode grau zeroou constnte
   

     
 

Logo: 
2 3 2 33 2 21x y a b c 
 é um polinômio de sexto grau. 
O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor que obtemos quando 
substituímos as letras da expressão algébrica por números e realizamos todas as 
operações indicadas. 
Seja o polinômio 
2 33 2 3x y zt xt z  
, com 
1, 2, 1, 3x y z t     
. O 
valor numérico dessa expressão será: 
 
17 
 
            
          
2 3 2
. . 3 1 2 2 1 3 3 1 3 1
. . 3 1 8 2 1 3 3 1 3 1
. . 24 6 9 1
. . 6 34
. . 28
V N
V N
V N
V N
V N
       
     
    
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 
Adição 
Para operar com a adição de expressões algébricas, devemos reduzi-las à forma 
mais simples, ou seja, necessitamos de uma redução de termos semelhantes (os que 
possuem a mesma parte variável). Para tanto, eliminamos os parênteses e somamos os 
termos semelhantes. 
 
Subtração 
Partindo da noção de que subtração é a operação inversa da adição, então 
devemos conservar os sinais dos termos do minuendo e trocar os do subtraendo, 
recaindo, portanto, na adição. 
 
Multiplicação 
 Monômio por polinômio 
A multiplicação neste caso consiste em determinarmos os produtos do monômio 
pelos termos do polinômio. 
 
18 
 
 
 
 
 Polinômio por polinômio 
A multiplicação neste caso consiste em determinarmos os produtos de cada 
termo do polinômio multiplicado pelos termos do polinômio multiplicando, um 
a um. 
 
Divisão com expressões algébricas 
 Divisão de polinômio por monômio 
A divisão neste caso consiste em determinarmos os quocientes de cada termo do 
polinômio dividendo pelo monômio divisor e somando o quociente. 
 
 
 Divisão de polinômio por polinômio 
 
19 
 
Sejam dois polinômios, f(x) como dividendo e g(x) como divisor, com g(x)≠0. 
Dividir f(x) por g(x) é determinar outros dois polinômios: o quociente q(x) e o 
resto r(x), tais que: 
→ f(x)=g(x).q(x)+r(x) 
→ grau r < grau g ou r(x)=0 
Segue um possível esquema de divisão, já conhecido nos cálculos aritméticos: 
 
De modo geral, a divisão de dois polinômios quaisquer é feita através do método 
da chave. 
Exemplo 
Vamos dividir 4 3 26 3 1x x x x    por 22 3x x  . 
1º passo 
Dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do 
divisor. 
4
2
2
6
3
2
x
x
x

 
obtendo assim o 1º termo do quociente. 
2º passo 
Multiplicamos o quociente obtido 23x pelo divisor: 
 2 2 4 3 23 2 3 6 3 9x x x x x x    
 
3º passo 
O resultado do 2º passo é somado, com os sinais trocados, aos termos 
semelhantes do dividendo e os termos que não possuem semelhantes devem ser 
repetidos. Com esta operação, obtemos um resto parcial. 
46x 3 2 2
4
3 1 2 3
6
x x x x x
x
     
 3 2 2
3 2
3 9 3
4 12 1
x x x
x x x resto parcial
 
    
 
4º passo 
Repetimos os passos anteriores com o resto parcial obtido até que o grau r se 
torne menor que o grau de g. 
 
20 
 
46x 3 2 2
4
3 1 2 3
6
x x x x x
x
     
 3 2 2
3
3 9 3 2 7
4
x x x x
x
   
 2
3
12 1
4
x x resto parcial
x
   
2
2
2 6
14
x x resto parcial
x
  
2
7 1
14
x resto parcial
x
  
 7 21
14 22
x
x
 

 
O resultado apresenta grau r=1 e grau r=2 e a divisão é encerrada. 
 
 
 
Então: 
2( ) 3 2 7
( ) 14 22
q x x x
r x x
   

  
 (note que: grau q =grau f − grau g = 4−2=2) 
 
Exemplo 
Vamos efetuar a divisão de 
3 2( ) 3 14 23 10f x x x x   
 por 
2( ) 4 5g x x x  
. 
 
33x 2 2
3
14 23 10 4 5
3
x x x x
x
   
 2
2
12 15 3 2
2
x x x
x
  
 8x 10
22x 8x 10
0
 
Assim: ( ) 3 2
( ) 0
q x x
r x
 


 (note que: grau q =grau f − grau g =3−2=1) 
 Dispositivo de Briot – Ruffini 
É um processo que fornece o quociente q(x) e também o resto r da divisão de um 
polinômio por outro. O exemplo a seguir ilustra o processo. 
Exemplo 
 
21 
 
Consideremos a divisão de 
3 2( ) 4 5 2f x x x x   
 por 
( ) 3g x x 
, ambos 
escritos segundo potências decrescentes de x. Para construir o dispositivo, 
sigamos o seguinte roteiro: 
 
1º Passo 
Calculamos a raiz do divisor g(x) e, ao seu lado, colocamos os coeficientes 
ordenados do dividendo f(x). 
Raiz de g(x): 
3 0 3x x   
 
 
 
 
 
2º Passo 
Abaixamos o primeiro coeficiente do dividendo (1) e o multiplicamos pela raiz 
do divisor 
 1 3 3 
. 
 
3º Passo 
Somamos o produto obtido com o coeficiente seguinte 
 3 ( 4) 1   
. O 
resultado é colocado abaixo desse coeficiente. 
 
4º Passo 
Com esse resultado, repetimos as operações (multiplicamos pela raiz e somamos 
com o coeficiente seguinte), e assim por diante. 
 
O último dos números obtidos no dispositivo ou algoritmo de Briot – Ruffini é o 
resto da divisão. 
Assim r = 4. 
 
22 
 
Os demais números obtidos nesse algoritmo correspondem aos coeficientes 
ordenados do quociente da divisão. Assim: 
2 2( ) 1 1 2 2q x x x x x       
 
▄ 
Exemplo 2 
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, façamos a divisão de 
4 3 2( ) 2 5 1f x x x x x     
 por 
( ) 2g x x 
. 
Temos: 
 
Logo: 
4 3 2( ) 2 5 15 29q x x x x    
 e 
57r  
. 
 ▄ 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Efetue as operações: 
a) 
2 23 10a y a y
 d) 
3 8 45 10x x y z
 g) 
 
2
213a b
 
b) 
4 412 35xz xz
 e) 
2 2 314 : 7a b c abc
 h) 
 
4
2xy
 
c) 
 3 4 33 2ab a b c 
 f) 
3 4 235 : 5x b x b
 
 
2) Encontre o grau dos polinômios. 
a) 
2 23x y t
 b) 
2 3 33 4 1x y x 
 c) 
32x y
 
d) 
2a
 e) 
6 5 48 15 2 1x x x  
 f) 
2 3 4 2 3 43 7 12a b a b a b 
 
 3) Suponhamos que a água consumida pelas residências de determinada cidade seja 
cobrada de acordo com a seguinte tabela: 
 
 
23 
 
onde p é o preço a ser pago pelo consumo de água em um mês e x é o número de kl de 
água consumidos. 
Responda: 
a) Quanto deverá pagar o dono da residência que consumir 5 kl de água em um 
mês? 
b) E se forem consumidos 15 kl de água? 
c) E se forem consumidos 30 kl de água? 
4) Dados os polinômios, calcule o que se pede. 
2( ) 7 2 4f x x x  
 a) 
  ( )f g x
 
2 3( ) 5 5g x x x x   
 b) 
  ( )g h x
 
4( ) 2 3h x x x  
 c) 
  ( )h f x
 
 
5) Sejam os polinômios 
2( ) 2 3 4f x x x  
, 
3( ) 1g x x x  
 e 
2( ) 4h x x x   
. 
Obtenha os polinômios: 
a) 
( ) ( )f x g x
 b) 
( ) ( )g x h x
 c) 
( ) ( ) ( )f x g x h x 
 
6) Dados os polinômios, calcule o que se pede: 
2( ) 2 3 4f x x x  
 a) 
  ( )fg x
 
2( ) 7g x x 
 b) 
  ( )gh x
 
2 3( ) 2 3h x x x x  
 c) 
  ( )hf x
 
 
7) Determine h(x) tal que: 
( ) ( 1)( 2) ( 2)( 1) 4( 1)h x x x x x x       
 
 
8) Sejam os polinômios 
( ) 2 3f x x 
, 
( ) 4 5g x x  
 e 
2( ) 3 5 4h x x x  
. 
Determine o polinômio 
( ) ( ). ( ) ( )p x f x g x h x 
. 
9) Sejam f(x) e g(x) dois polinômios de grau 7 e 5, respectivamente. Classifique como V 
ou F cada sentença seguinte, corrigindo as falsas: 
a) o grau de f(x).g(x) é 35. 
 
24 
 
b) o grau de f(x)+g(x) é 7. 
c) o grau do polinômio 
2( 1). ( ) ( )x g x f x 
 é 7. 
10) Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) em cada caso: 
a) 
2( ) 3 5 7f x x x  
 e 
( ) 3 1g x x 
 
b) 
3 2( ) 4 5 1f x x x x    
 e 
2( ) 1g x x 
 
c) 
4 3 2( ) 5 3 2 4 1f x x x x x    
 e 
2( ) 4g x x 
 
d) 
5 3 2( ) 3 4 2 1f x x x x x    
 e 
3 2( ) 1g x x x  
 
11) Em cada caso, obtenha o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x), utilizando o 
dispositivo e Briot-Ruffini: 
a) 
3 2( ) 2 4 5 1f x x x x    
 e 
( ) 3g x x 
) 
b ) 
 
2
( ) 3 2f x x 
 e 
( ) 2g x x 
 
d) 
3( ) 1f x x 
 e 
( )g x x
 
12) Aplicando o dispositivo e Briot-Ruffini, obtenha o quociente e o resto da divisão de 
f(x) por g(x): 
a) 
4 3 2( ) 5 12 13f x x x x   
 e 
( ) 3g x x 
 
b) 
5( ) 81 32f x x 
 e 
2
( )
3
g x x 
 
Produtos Notáveis 
Como o próprio nome diz, são multiplicações (produtos) que se destacam por 
terem características próprias (notáveis). 
Devido ao aparecimento freqüente destes produtos na resolução de equações ou 
no desenvolvimento de expressões, e muitas vezes a utilização de suas características 
auxiliarem na resolução de um problema torna-se necessário que saibamos quais são 
estes produtos e, como podemos reconhecê-los em problemas. 
 
25 
 
São vários os produtos notáveis conhecidos, porém focaremos nossa atenção aos 
que aparecem com mais freqüência. Contudo no Anexo 1 deste material existe uma lista 
mais completa de produtos notáveis. 
1.2.1 Produto da soma e diferença de dois termos 
Uma das aplicações onde este produto notável aparece é no cálculo da área de 
figuras geométricas como veremos nas figuras a seguir. 
Alguém poderia lhe fazer a seguinte pergunta: Qual é a expressão algébrica que 
representa a área total das figuras? 
 
A figura ao lado é um retângulo cuja área total é dada pela 
multipllicação de sua base por sua altura: 
A b h 
 
 
Podemos associar à base da figura a expressão albgébrica: 
( 3)b x 
; 
E associarmos à altura da figura a expressão algébrica: 
( 1)h x 
 
Substituindo as expressões matemáticas na equação da área e efetuando a operação 
matemática da multiplicação distributiva entre as duas expressões algébircas, obtemos o 
resultado: 
2 2( 3) ( 1) 3 3 4 3A b h A x x A x x x A x x               
 
Este resultado indica para quais valores de x selecionados na figura poderemos calcular 
o valor de área utilizando a expressão. 
 
A figura ao lado também é um retângulo cuja 
área total é dada pela multipllicação de sua base 
por sua altura, mas neste caso nos interessa 
somente a área colorida. Para podermos 
selecionar somente a parte colorida temos: 
Expressão algébrica da base: 
( 3)b x 
 
Expressão algébrica da altura: 
( 1)h x 
 
Resolvendo a expressão da área da base, temos: 
2 2( 3) ( 1) 3 3 2 3A b h A x x A x x x A x x               
 
 
26 
 
Para a figura a seguir, podemos calcular sua área através do somatório individual 
de cada área representada, isto é: 
 A figura vermelha é um quadrado, cuja área é dada por: 
2
1A x
; 
 A figura azul é um retângulo que possui lado de tamanho x e base unitária, logo 
cada figura possui área igual a 
2A x
; 
 A figura verde é um quadrado de lado unitário, portanto cada figra possui área 
igual a 
3 1A 
. 
Fazendo o somatório das áreas individuais, 
obtemos a área total da figura: 
2
1 2 37 12 7 12T TA A A A A x x      
 
 
 
 
 
 Podemos chegar a este mesmo resultado utilizando o seguinte raciocínio, o lado da 
figura pode ser expresso pela expressão algébrica, 
( 3)x 
, e a base pela expressão 
algébrica, 
( 4)x 
. Como a área da figura é dada pela multiplicaçãoda base pela altura, 
temos: 
2 2( 3) ( 4) 3 4 12 7 12A b h A x x A x x x A x x               
 
Podemos generalizar as idéias apresentadas para encontrar a expressão algébrica 
associada a área de uma figura geométrica através da seguinte pergunta: 
Qual é a expressão algébrica que representa a área total de um retângulo de de 
medidas 
( )x a
 e 
( )x b
? 
A resposta é dada através da expressão da área que é o produto entre a base pela 
altura, tal produto é dado por: 
2 2( ) ( ) ( )A b h A x a x b A x ax bx ab A x a b x ab                
 
Note que, temos o um termo quadrado ( 2x ), um termo linear dado pela soma de 
a e b multiplicados por x e o termo independente dado pelo produto entre a e b. Desta 
expressão geramos o produto notável denominado trinômio do segundo grau. 
 
27 
 
Podemos generalizar este resultado fazendo as seguintes substituições, 
S a b 
 e 
P ab
, que gera a equivalência entre as expressões: 
Trinômio do Segundo Grau - 
2 2( )x a b x ab x Sx P     
 
Obs.: Este resultado será novamente abordado no estudo de funções do segundo grau. 
 Caso, a figura seja um quadrado teremos o valor de a igual ao valor de b, este 
resultado gera outro produto notável denominado trinômio quadrado perfeito. 
2( ) ( ) ( )A b h A x a x a A x a          
 
2 2 2 22A x ax ax a A x ax a       
 
Logo, 
Trinômio Quadrado Perfeito - 
2 2 2( ) 2x a x ax a   
 
 
Obs.: a ampliação do resultado para a diferença entre dois quadrados é feita inserindo 
um substituindo o sinal positivo na expressão pelo sinal negativo. 
 
1.2.2 Cubo da soma e da diferença de dois termos 
Quando dizemos o cubo da soma de dois termos não estamos nos referindo a 
soma de dois cubos, isto porque, apesar das sentenças parecerem iguais a sua expressão 
algébrica é bem difrente, veja: 
 Cubo da soma de dois termos = 
3( )x y
 
 Soma de dois cubos = 
3 3x y
 
 
3 3 3( )x y x y  
 
No caso da soma de dois cubos estamos querendo calcular o volume total do 
sólido gerado por duas figuras geométricas. Já para o cubo da soma de dois termos, 
desejamos calcular o volume do sólido que possui medidas de valores iguais a x e y. 
A figura sólida a seguir é um cubo de medias x e y, formado pela relação entre 
dois cubos e seis prismas. 
 
28 
 
x 
x 
x y 
y 
y 
x 
y 
y 
x 
x 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos tentar definir a expressão algébrica que representa o volume do cubo 
desmembrando-a em seus consituintes: 
 
 
 
 
 
(1) (2) (3) (4) 
 O volume de cada figura sólida que constitui o cubo maior é dado pelas 
respectivas expressões: 
3
1 1. .V x x x V x  
 
3
2 2. .V y y y V y  
 
2
3 3. .V x y y V xy  
 
x 
y 
x 
x 
y 
y 
 
29 
 
2
4 3. .V x x y V x y  
 
 O volume total do cubo é dado pelo somatório de cada volume individual, logo: 
3 3 2 2
1 2 3 43 3 3 3T TV V V V V V x y xy x y        
 
Outra maneira de obtermos o volume do cubo é tomando seu lado como 
( )x y
 e da 
fórmula do volume do cubo 
3volume lado
, temos a seguinte expressão matemática: 
3 2 2 2( ) ( )( ) ( )( 2 )V x y x y x y x y x xy y         
 
3 2 2 33 3V x x y xy y   
 
 Sendo idênticos os resultados para o volume do sólidoe devido ao fato de terem 
sido obtidos por produtos entre expressões algébricas, tal resultado é um produto 
notável denominado cubo da soma de dois termos. 
Cubo da soma de dois termos - 
3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y    
 
Obs.: para o cubo da diferença de dois termos substituímos o sinal positivo por um 
sinal negativo, deixando o produto notável na forma: 
Cubo da diferença de dois termos - 
3 3 2 2 3( ) 3 3x y x x y xy y    
 
 
Exemplos: 
Calcule o cubo da soma e diferença da figura de lados 5x e 3y. 
 
Solução 
3 3 2 2 3(5 3 ) 125 225 135 27x y x x y xy y    
 
3 3 2 2 3(5 3 ) 125 225 135 27x y x x y xy y    
 
▄ 
1.3 Fatoração 
Fatoraração consiste na operação matemática de decompor o resultado de um 
produto. 
 
30 
 
1 
1 
Até agora estávamos determinando o resultado dos produtos e em especial 
daqueles que aparecem com maior freqüência. Nesta seção faremos o processo inverso, 
isto é, partiremos do resultado de um produto notável e determinaremos os fatores que 
geraram tal produto. 
1.3.1 Trinômio do segundo grau 
 Vimos nas seções anteriores como definir a expressão algébrica da área total de 
uma figura, e agora definiremos os fatores que geraram tal expressão algébrica. 
 A área total da figura abaixo é dada pela expressão 
2 7 12x x 
. Sua forma 
fatorada é escrita pelo produto da expressão da base pela expressão do lado. 
 
O nome trinômio do segundo grau é 
definido porque a expressão algébrica da 
área total ou do produto gerado possui três 
termos sendo o primeiro termo um termo 
quadrado (segundo grau). 
 
 
 
 
Matematicamente fazemos a seguinte relação: 
 
 
 
 
Podemos generalizar este resultado para, 
 
 
31 
 
O resultado pode ser resumido na expressão: 
2 ( )( )x Sx P x a x b    
 
Onde a letra S indica soma e a letra P indica o produto entre os termos a e b. Isto é, 
S a b
P ab
 


 
 
Obs.: para encontrar os valores de a e b, determina-se os divisores do produto ab e 
verica-se quais desses valores combinados geram simultaneamente os valores de S e de 
P apresentado no produto notável. 
 
Exemplos: 
Fatore os seguintes produtos notáveis: 
a) 
2 7 12x x 
 b) 
2 6 8x x 
 c) 
2 2 8x x 
 
Solução 
a) Comparando a expressão com a expressão geral do trinômio do segundo grau temos a 
relação: 
7
12
S a b
P ab
  

 
 devemos agora determinar os divisores comuns de 12, que são: 
1, 2, 3, 4, 6, 12     
. Dentre estes divisores temos de encontrar dois valores que 
adicionados resulte em 7 e que multiplicados resulte em 12. Logo, verificamos que estes 
valores devem ser 3 e 4. Fazendo 
3a 
 e 
4b 
, temos: 
2
7 3 4 7
7 12 ( 3)( 4)
12 (3)(4) 12
S a b S
x x x x
P ab P
      
       
    
 
▄ 
b) Para este produto, temos: 6
8
S a b
P ab
   

 
, os divisores de -6 são: 
1, 2, 3, 6   
 
Logo a única combinação possível será: 
2
6 2 4 6
6 8 ( 2)( 4)
8 ( 2)( 4) 8
S a b S
x x x x
P ab P
         
       
      
 
▄ 
 
1.3.2 Agrupamento e Fator Comum 
 
32 
 
 Observe a figura: 
A área total da figura hachurada é dada pela 
expressão: 
2 2 2x xy x y  
. 
Como podemos encontrar a forma fatorada desta 
expressão? 
A resposta é dada utilizando duas técnicas de 
fatoração. A primeira é denominada fator comum, 
que consiste em colocar termos comuns da 
expressão em evidência e multiplicá-lo pelo 
restante da expressão. 
Neste caso, temos: 
2 2 2 ( ) 2( )x xy x y x x y x y      
 
Note que ainda temos na expressão um fator comum, colocando em evidência obtemos: 
2 2 2 ( ) 2( ) ( )( 2)x xy x y x x y x y x y x         
 
O termo 
( 2)x 
, aparece através da técnica de agrupamento. 
Exemplos: 
Fatore as expressões algébricas a seguir: 
a) 
2 3 46 12 10x x z x a 
 b) 
xy xz ay az  
 
Solução 
a) Podemos nesta expressão colocar os fatores comuns 22x , com isso temos:
2 3 42 26 12 10 2 (3 6 5 )x x z x a x xz x a    
 
b) Para esta expressão, temos: 
( ) ( ) ( )( )xy xz ay az x y z a y z y z x a          
▄ 
1.3.3 Diferença de dois quadrados 
 Observe na figura os quadrados de áreas 2x e 2y os retângulos de áreas xy e 
yx
. 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
A área total da figura é dada pela soma das áreas dos retângulos. A área do retângulo 
maior é: 
2( )x y x x yx  
 
A área do retângulo menor é: 
2( )x y y xy y  
 
Logo a soma das áreas será: 
2 2( ) ( )x y x x y y x yx xy y       2 2( ) ( )x y x x y y x y    
 
Ou ainda, utilizando as técnicas de fatoração de fator comum e agrupamento, obtemos: 
2 2( ) ( ) ( )( )x y x x y y x y x y x y       
 
O que nos leva ao resultado geral, que é a diferença de dois quadrados: 
2 2( )( )x y x y x y   
 
Exemplos: 
Determine a forma fatorada da expressão algébrica: 
2 2xa xb
 
Solução: 
2 2 2 2( ) ( )( )xa xb x a b x a b a b     
 ▄ 
1.3.4 Fatoração Combinada 
Observe a figura abaixo, sua área total é dada pela expressão algébrica, 
 
2 2 4 4x y x xy   
 
 Verifica-se que não existem fatores comuns 
entre os termos da expressão (polinômio). 
Porém, verificamos que organizando a 
expressão podemos encontrar produtos 
sentenças que permitem a utilização de 
técinas de fatoração. Vejamos como: 
 
Sendo 
 
34 
 
2 2 4 4x y x xy    
 verifica-se que organizando a expressão obtemos um 
trinômio quadrado perfeito: 
2 22 4 4 4 4 2x y x xy x x xy y        
 
Podemos escrevê-lo na sua forma fatorada e ainda no segundo termo colocar o fator 
comum em evidência: 
2 2 22 4 4 4 4 2 ( 2) ( 2)x y x xy x x xy y x y x            
 
Ainda temos um fator comum que podemos colocá-lo em evidência: 
2( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 2) ( 2)[( 2) ]x y x x x y x x x y           
 
Podemos ainda organizar o colchetes e obter a seguinte expressão fatorada: 
2 2 4 4 ( 2)( 2 )x y x xy x x y       
 
Tal fatoração é conhecida como fatoração combinada. 
 
1.4 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo Divisor Comum (MDC) 
Mínimo múltiplo comum ou MMC é o valor que dentro de um conjunto de 
números representa o menor múltiplo de todos. 
Exemplos: 
Determine o MMC de: a) 2, 3, 6 e 12 b) 4, 5, 15, 30 
Solução: 
O processo consiste em decompor os números do conjunto em fatores primos e, depois 
multiplicar os valores primos encontrados na fatoração. 
a) 
22,3,6,12
31,3,3,6
21,1,1,2
1,1,1,1 2 2 3 12  
 Logo o MMC da sequencia é 12. 
b) 
24,5,15,30
22,5,15,15
51,5,15,15
31,1,3,3
1,1,1,1 2 2 5 3 60   
 Log o MMC da sequencia é 60. 
▄ 
 
35 
 
Máximo divisor comum (MDC) é o maior valor capaz de dividir um conjunto de 
números gerando um quociente inteiro. 
Exemplos: 
Determine o MDC de: a) 60,30,15,5 b) 120,60,30,45,75 
Solução: 
O processo do MDC consiste em decompor os números do conjuto em números primos 
e verificar dentre os primos o fator comum. Caso existam mais fatores comuns estes 
deverão ser multiplicados entre si. Lembre-se que neste caso deve-se multiplicar o fator 
uma única vez caso ele se repita. 
a) 
260,30,15,5
230,15,15,5
515,15,15,5
33,3,3,1
1,1,1,1 5
fator comum
 O MDC do conjunto é 5 pois é o único fator 
comum do conjuto. 
 
b) 
2120,60,30,45,75
260,30,15,45,75
230,15,15,45,75
515,15,15,45,75
33,3,3,15,15
51,1,1,5,5
1,1,1,1,1 5 3 15
fator comum
fator comum


 
 
O MDC será 15, pois 5 e 3 são fatores comuns. 
▄ 
 1.5 MMC e MDC de expressões algébricas 
Da mesma forma que na aritmética o MMC de expressões algébricas, consiste na 
fatoração quando possível das expressões dadas e na multiplicação de todos os fatores 
obtidos, comuns e não comuns, com os maiores expoentes. 
Para o MDC, multiplicamos todos os fatores comuns elevados aos menores 
expoentes. 
Exemplos: 
1) Determine o MMC dos monômios: 
2 37 ,14 ,4x x x
. 
 
36 
 
Solução: 
Calcula-se inicialmente o MMC dos coeficientes; 
2
27,14,4
27,7,2
77,7,1
1,1,1 2 7 28 
 
Depois determinamos o fator comum da parte algébrica de maior expoente entre os 
monômios, que neste caso será, 
3x
. Logo, a resposta será a multiplicação destes termos 
encontrados, isto é, 
 2 3 37 ,14 ,4 28MMC x x x x
 
▄ 
2) Determine o MMC dos polinômios: 
2 249, 2 14, 14 49x x x x   
. 
Solução: 
Como não temos coeficientes numéricos, devemos encontrar os fatores comuns entre os 
polinômios e depois multiplicarmos todos os fatores comuns e não comuns elevados aos 
maiores expoentes. 
2
2 2
49 ( 7)( 7)
2 14 2( 7)
14 49 ( 7)
x x x
x x
x x x
    

  

   
 
Verificamos que o fator comum é 
( 7)x 
, então devemos selecionar este fator comum 
com seu maior exponte. Logo, 
 2 2 249, 2 14, 14 49 2( 7)( 7)MMC x x x x x x      
 
▄ 
3) Determine o MDC dos polinômios: 
2 249, 2 14, 14 49x x x x   
. 
Solução: 
Decompomos as expressões em suas formas fatoradas mais simples e verificamos o 
fator comum aos termos, neste caso: 
2
2 2
49 ( 7)( 7)
2 14 2( 7)
14 49 ( 7)
x x x
x x
x x x
    

  

   
 
onde o fator comum aos termos é a expressão fatorada 
( 7)x 
, logo: 
 
37 
 
 2 249, 2 14, 14 49 ( 7)MDC x x x x x     
 
▄ 
 
 
 
1) Escreve as expressões abaixo em sua forma fatorada mais simples. 
a) 
2 10 25x x 
 b) 
2 25x 
 c) 
3 27x 
 d) 
3 27x 
 
e) 
3 227 27x x x  
 f) 2 2
2 2
xa xb
x a x b


 
Solução: 
a) 
2 2 2 210 25 2(5 ) 5 ( 5)x x x x x      
 
b) 
2 25 ( 5)( 5)x x x   
 
c) 
3 227 ( 3)( 3 9)x x x x    
 produto notável conhecido como soma de cubos. 
d) 
3 227 ( 3)( 3 9)x x x x    
 produto notável conhecido como diferença de 
cubos. 
e) 
3 2 2 227 27 ( 27) ( 27) ( 27)( 1) ( 27)( 1)( 1)x x x x x x x x x x x             
 
f) 2 2 2 2
2 2 2
( )
( )
xxa xb x a b
x a x b x a b
 
 
 
( ) ( )a b a b 
2x ( )a b
( )a b
x


 
▄ 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Desenvolva e simplifique as expressões algébricas. 
a) 
2 2 2 2 2 2 2 2( )( )x a y b x a y b 
 b) 
2(2 3 ) (2 3 )(2 3 )x y x y x y   
 
c) xa xb
xa xb ya yb

  
 d) 2
2
6 9
4 3
x x
x x
 
 
 
e) 
2 2 2 2 22a x a xy a y 
 f) 21
2
x
 
 
 
 
g) 2 2
3 2 3 2
x y x y  
   
  
 h) 2
2
6 9
9
x x
x
 

 
Exercícios Resolvidos 
 
38 
 
i) 2
2
5 6
6 9
x x
x x
 
 
 j) 
    
2
a b a b a b   
 
k) 
3 2 2 32a b a b ab 
 l) 2
2
8 16
16
x x
x
 

 
m) 
2 3 2 3 2 4 4 214 12 16a b c a b c a b c 
 n) 
3 3 2 2abx aby cdx cdy  
 
o) 
6 9 6 4abx aby cdy cdx  
 p) 
   
2 2
a b a b  
 
q) 
6 3 26 9a a b b 
 r) 
2 9 18x x 
 
s) 
2 7 6y x 
 t) 4 4 4
3 3 3
25
5
a b c
a b c
 
2) Determine o MMC e o MDC das expressões abaixo: 
a) 
2 5 2 4 225 ,20a b c a b cd
 b) 
2 3 3 3 2 212 ,24ab c d a b c d
 
c) 
2 22 4 2 ,a ab b a b  
 d) 
3 2 23 6 ,12m m n m n
 
 
3) Efetue as operações: 
a) 
2
1 5 1
1 1 1
a a a
a a a
 
 
  
 b) 2 2
3
5 8
3 4
a b c d
c ab

 
c) 2 3 2 3
2 4 25 6
9 25 4
a b c m p
m n a b n
 
 d) 23
3
2
3
a b
mn
 
 
 
 
e) 3
1
1
a
a
 
 
 
 f) 2 2
2 2
2 3 7 10
6 5 6
x x x x
x x x x
   

   
 
 
 
Equações e Inequações 
A primeira equação que a maioria de nós aprende é o sinônimo de simplicidade: 
1+1=2 
 Os primeiros seres humanos viviam sem equações e não precisavam delas. Não 
havia equações no Jardim do Éden, nem na Árvore do Conhecimento ou em qualquer 
dos outros lugares descritos nos mitos de criação. Os seres humanos nem tinham o 
conceito de equação. Este conceito é uma invenção humana, resultado de nossos 
esforços para dar sentido ao mundo. E mais: os homens não acordaram certo dia e de 
repente decidiram que iriam inventar equações. A necessidade foi surgindo ao longo do 
tempo, e o conceito de equação foi sendo aprimorado ao decorrer do tempo. 
 
39 
 
 A palavra latina aequare significa “tornar plano” ou “tornar nivelado”. Com o 
decorrer do tempo os números e a contagem tornaram-se importantes para os homens e 
isso gerou a necessidade de se criar símbolos que representassem números e 
quantidades. No século III AEC, o matemático grego Diofanto deu outro passo: usou 
símbolos para representar quantidades desconhecidas e providenciou algumas regras 
para lidar com essas quantidades. 
 O conceito que precebemos hoje sobre as equações passou por uma grande 
jornada e acabou por ter um significado técnico, como parte de uma linguagem 
especialmente construída, referindo-se à afirmação de que duas quantidades 
mensuráveis, ou dois conjuntos de quantidades mensuráveis, são iguais. Nessa 
linguagem codificada, indispensável para a moderna matemática e para a ciência, os 
símbolso substituem conjuntos de outras coisas sobre as quais várias operações 
matemáticas podem ser feitas. 
 Existem equações de grande importância, como o Teorema de Pitágoras, a 
Segunda Lei de Newton, a célebre equação de Einstein, E=mc
2
, entre tantas outras de 
suma importância para os seres humanos. 
 Assim como temos as equações, caracterizadas pelo sinal de igualdade, algumas 
relações não são representadas por equivalência e sim por uma desigualdade. Estas 
relações são chamadas de inequações, que são sentenças matemáticas, onde seus sinais 
representativos são os de maior (>) e menor (<). No entanto, em alguns momentos, os 
valores ou incógnitas relacionados na sentença matemática ainda permitem a utilização 
de símbolos como maior-igual (≥), menor-igual (≤) e diferente (≠) 
 A balança de dois pratos é uma alternativa simples e eficaz de entender as 
sentenças matemáticas relacionadas às equações e as inequações. 
 
 
 Na figura acima percebemos que existe um desiquilíbrio entre os pratos da 
balança, e realizando operações matemáticas podemos descobrir qual o peso associado 
ao x circunscrito. 
 
40 
 
 Escrevendo de forma simbólica a situação e a resolvendo: 
 
3 5 2 8 3 2 8 5 3x x x x x        
 
 
O resultado nos informa que se x < 3, a situação representada na figura não é 
verdadeira, pois, ao substituirmos estes valores, o prato da direita (2x+8), abaixará 
fazendo o lado esquerdo subir. 
3(2) 5 2(2) 8 11 12    
 Absurdo matemático! 
Por outro lado, se utilizarmos x > 3, a situação apresentada se confirma: 
3(4) 5 2(4) 8 17 16    
 
Se ao invés da situação de desequilíbrio, procurássemos um valor para x, de forma a 
manter ambos os pratos em equilíbrio, teríamos a seguinte equação: 
3 5 2 8 3 2 8 5 3x x x x x        
 
Logo, se x = 3, os pratos da balança se encontrariam nivelados. 
 
Regras básicas sobre Álgebra 
A equação, 
3 5x  
, traz como leitura que devemos encontrar o valor de x de 
forma que ao subtrairmos dele três unidades, teremos como resultado 5 unidades. Em 
uma equação, assim como nos pratos de uma balança, se alterarmos isoladamente um 
dos lados com qualquer quantidade, o outro lado sentirá a diferença e responderá 
aumentando ou diminuindo seu valor ou nível, no caso da balanço. Dessa forma, para 
que a equação ou a balança permaneça nivelada, faz-se necessário que as alterações 
sejam feitas simultaneamente em ambos os lados ou pratos, garantindo que não existirá 
um desnível. 
 Seguindo esta analogia na equação 
3 5x  
, percebemos que precisamos 
determinar o valor da incógnita ou variável x, de forma a garantir a igualdade. Para 
tanto, devemos isolar a variável x em um dos lados da equação e do outro lado devemos 
colocar seu valor numérico ou quantidade representativa. 
Logo, para que respeitemos o nivelamento ou igualdade dos lados da equação e 
ainda consigamos isolar a variável x, procedemos: 
3 5 3 3 5 3 8x x x        
 
 
41 
 
Verifica-se facilmente que ao adicionarmos simultaneamente 3 unidades em 
ambos os lados da equação, conseguimos manter seu equilíbrio e ainda determinar o 
valor de x. 
Para um entendimento, vamos resolver da mesma forma a equação, 
4 9x  
: 
4 9 4 4 9 4 5x x x        
 
No entanto, podemos simplificar o processo, percebendo que realizar a soma ou 
subtração em ambos os lados da equação é o mesmo que isolarmos a variável em um 
lado da equação e transferirmos todas as outras parcelas da equação para depois do sinal 
de igualdade, lembrando nesta etapa o sinal das parcelas transferidas ficará invertido. 
Isto é: 
3 5 5 3 8x x x      
 
4 9 9 4 5x x x      
 
Podemos utilizar a mesma regra para os sinais de desigualdade. Veja: 
8 8 5 8 5 8 13x x x        
 
8 5 5 8 13x x x      
 
 
9 9 2 9 2 9 7x x x         
 
9 2 2 9 7x x x       
 
Essa regra pode ser resumida através da seguinte explicação: “ao 
transferirmos varráveis ou quantidades para um dos lados da igualdade devemos 
lembrar que estas devem ter seus sinais invertidos.” 
 
Existem situações onde o valor da variável está negativo na equação, e como se 
espera determinar o valor dessa variável e não o valor do negativo da variável, é 
necessário fazer a inversão dos sinais do resultado de forma a permitir a inversão do 
sinal sem alterar o resultado final da equação. O exemplo abaixo ilustra esta situação. 
1ª Forma de resolução 
3 7 3 3 7 3 4x x x         4 4 4x x x      
 
4 4 4 4 4x x x x x           
 
2ª Forma de Resolução 
( 1) ( 1)3 7 3 3 7 3 4 4 4x x x x x                
 
Forma de Resolução usual 
( 1) ( 1)3 7 7 3 4 4 4x x x x x              
 
 
42 
 
 
Quando o problema da variável negativa está em uma desigualdade, isto é, 
temos uma inequação para resolvermos, precisamos de uma maior atenção com o 
resultado final, uma vez que o procedimento de inversão do sinal das quantidades 
envolvidas também envolverá a inversão do sinal de desigualdade. O exemplo abaixo 
ilustra este tipo de situação. 
( 1) ( 1)3 7 7 3 4 4 4x x x x x              
 
Ao resolvermos a inequação, o resultado nos informa que precisamos utilizar 
valores de x menores que -4. Para melhor entendimento, vamos fazer as substituições: 
Se utilizarmos x = 4 na inequação, temos como resultado: 
3 (4) 7 1 7   
 Absurdo matemático! 
Se utilizarmos x = - 3 na inequação, temos como resultado: 
3 ( 3) 7 6 7    
 Absurdo matemático! 
Se utilizarmos x = - 4 na inequação, temos como resultado: 
3 ( 4) 7 7 7    
 Absurdo matemático! (7 =7) 
Se utilizarmos x = - 5 na inequação, temos como resultado: 
3 ( 5) 7 8 7    
 desigualdade coerente! 
Portanto, a inversão do sinal de desigualdade ocorre devido à simetria dosnúmeros. 
 
Essa inversão devido à simetria pode ser melhor entendida na seguinte situação: 
Tomemos os valores 3 e 4 e comparando-os, temos que: 
3 4
 
Isto é, 3 é menor que 4. Se tomarmos os simétricos de 3 e 4, que são 
respectivamente, -3 e -4, como ilustrado na reta métrica abaixo 
 
A desigualdade agora resultará: 
3 4 4 3      
Logo podemos concluir que, -3 é maior que -4, ou ainda, -4 é menor que -3. 
 
43 
 
Tal resultado nos informa que tomar o “simétrico” significa multiplicar a 
desigualdade por -1, portanto, numa inequação, quando a multiplicamos por -1, estamos 
tomando os simétricos, e assim devemos inverter o sinal da desigualdade. 
Outra propriedade importante na álgebra consiste na multiplicação e divisão em 
ambos os lados da equação ou da inequação. O problema seguir ilustra um exemplo de 
aplicação desta propriedade numa situação do cotidiano. 
João trabalha no centro de uma grande metrópole, mas mora em uma cidade do 
interior. Para ir ao trabalho todos os dias ele toma duas conduções: um trem e um 
ônibus e caminha mais 3 km a pé. Sabendo-se que a distância entre sua casa e o trabalho 
é de 36 km e que a distância que ele percorre de trem é duas vezes maior que a distância 
que ele percorre de ônibus, quanto ele percorre em cada uma dessas conduções? 
Resolução 
Separando as distâncias, temos: 
distância de ônibus: x distância de trem: 2x distância a pé: 3 km 
Total = 36 km 
Assim: 
 
2 3 36x x  
 
Logo a equação acima, nos fornece uma forma de descobrirmos quanto ele percorre em 
cada uma das conduções. Resolvendo para a variável x, temos: 
2 3 36 3 36 3 3 33x x x x       
 
Como não queremos o valor de 3 unidades de x e sim o valor de x, procedemos da 
seguinte forma: 
3 33
11
3 3
x x  
 
Este resultado nos informa que ele percorre 11 km de ônibus e 22 km de trem. 
 
 Apesar de obtermos a resposta do problema, a resolução da equação pode ser 
simplificada ao percerbemos que dividir ambos os lados da equação para a 
simplificarmos é o mesmo que passarmos o termo que acompanha a variável como 
divisor para o outro lado do sinal de igualdade. Perceba que não há neste caso uma 
 
44 
 
inversão no sinal do termo, uma vez que nossa intenção é simplesmente simplifica-la. 
Esse procedimento é expresso como: 
33
3 33 11
3
x x x    
 
Existem situações onde o coeficiente que acompanha a variável x, pode ser um 
número racional, conforme os exemplos a seguir. 
Exemplo 
a) 
3
4 6
5
x  
 b) 
3
4 6
5x
  
 
Resolução 
a) 
3 3 3 3 5 5 10
4 6 6 4 2 2
5 5 5 5 3 3 3
x x x x x
   
              
  
^ 
b) 
3 3 3 3 5 5
4 6 6 4 2 2
5 5 5 5 3 3
x x
x x x x
   
                   
   
 
10 10 3
1 1
3 3 10
x x
x       
 
 
O mesmo procedimento pode ser utilizado para inequações. Por exemplo, 
resolva as inequações: 
a) 
5 3 28x  
 b) 
3 5 28x 
 
Resolução 
a) 
5 3 28 5 28 3 5 25 5x x x x        
 
b) 
3 5 28 5 28 3 5 25 5x x x x         
 
 
Toda a discussão até este momento, sobre os sinais e suas inversões, pode ser resumida 
nos princípios: 
Princípio Aditivo da Igualdade 
Se adicionarmos ou subtrairmos um mesmo número dos dois lados de uma igualdade, 
obteremos uma nova igualdade. 
 
Princípio Multiplicativo da Igualdade 
1) Se multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo número, diferente de zero, os 
dois lados de uma igualdade, obteremos uma nova igualdade. 
 
45 
 
2) Sejam dois números racionais, 
a
b
 e 
c
b
 e se 
a c
b b

 então, 
a c
. 
 
Princípio Aditivo da desigualdade 
Se adicionarmos aos dois membros de uma desigualdade uma mesma quantidade “m” 
(m > 0 ou m < 0), a desigualdade não muda de sentido. 
 
Princípio Multiplicativo da desigualdade 
Se multiplicarmos ambos os membros de uma desigualdade por uma mesma quantidade 
“m” (m > 0), a mesma não muda de sentido; mas se multiplicarmos ambos os membros 
por uma quantidade “m” (m < 0), a mesma mudará de sentido. 
Observação: quando multiplicamos ambos os membros da desigualdade por um número 
negativo, é invertido o sentido da desigualdade. 
 
Os polinômios mais comuns que aparecem nas equações que envolvem os 
problemas do cotidiano são o de primeiro grau e o de segundo grau. Dessa forma, vale a 
atenção as propriedades e forma de resolução destas equações, conhecidas como 
equações de primeiro grau e de segundo grau. 
 
Equações e Inequações de 1º Grau 
Para resolvermos qualquer tipo de equacão do 1º grau é necessário que 
conheçamos as propriedades apresentadas acima. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Resolva: 
a) Se da metade de um número subtrairmos 7, obteremos 2. Qual é o número? 
b) Se da metade da sua idade tirarmos a terça parte dela, obteremos 6. Qual é a sua 
idade? 
c) Enigma: Sobre o túmulo de Diofanto havia sua história, e quem conseguisse decifrá-
la descobriria sua idade. Vamos tentar desvendar esse mistério? 
1º) Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; 
2º) um duodécimo na adolescência; 
3º) um sétimo no casamento, sem ter filhos; 
4º) depois de cinco anos, nasceu seu primeiro filho; 
 
46 
 
5º) esse filho, ao atingir a metade da idade de seu pai, morreu; 
6º) após quatro anos da morte de seu filho, morreu Diofanto. 
Quantos anos viveu Diofanto? 
 
d) Um terço do que ganho é reservado ao pagamento do aluguel e dois quintos são 
gastos em alimentação. Se do que sobra, coloco metade na poupança, ficando com R$ 
150,00 para gastos gerais, qual é o meu salário? 
 
2) Resolva as seguintes inequações do 1º grau. 
a) 
5 7 8 3x x  
 b) 
 3 2 1 3 5 1x x x   
 c) 
2 1 1
3 6 4
x x
 
 
d)  3 12 1
3 6 2
yy 
 
 e) 
     3 2 2 3 2 3 2 7x x x x     
 
3) Dona Maria possui uma quantidade x de galinhas em seu quintal. Se ela acrescentar 5 
galinhas à sua criação ela ficará ainda com menos de 40 galinhas. Qual o número 
máximo de galinhas que ela possui atualmente? 
4) Para preparar um suco de guaraná Jandira utilizou uma quantidade n de concentrado 
de guaraná e adicionou 2 litros de água. Ela obteve 8 vezes mais de suco do que a 
quantidade utilizada de concentrado. Quanto ela utilizou no máximo de concentrado? 
 
Equações e Inequações de 2º Grau 
As raízes ou zeros são as soluções para a equação de 2° grau. Para 
determinarmos as raízes da equação quadrática a igualamos a zero, i.e. 
( ) 0f x 
 e 
utilizamos os conhecimentos de fatoração ou a fórmula de Baskara para resolvê-la. 
→ Demonstração da Fórmula de Baskara: 
 Para que seja possível encontrar as soluções é necessário um estudo analítico 
detalhado e para isso devemos transformar a forma da equação de 2° grau em outra mais 
conveniente chamada forma canônica. 
2 2
2 2 2
2 2
( )
4 4
b c b b b c
f x ax bx c a x x a x x
a a a a a a
  
             
   
 
22 2 2
2
2 2 2
4
4 4 2 4
b b b c b b ac
a x x a x
a a a a a a
        
               
          
 
Representando 
2 4b ac
 por 

, também chamado discriminante do trinômio do 2° grau, 
temos a forma canônica. 
 
47 
 
2
2
( )
2 4
b
f x a x
a a
  
    
   
 
Para determinar as raízes da forma canônica, devemos igualar 
( ) 0f x 
. Isso nos dá: 
2
2
2
( ) 0 0
2 4
b
f x ax bx c a x
a a
  
          
   2 2 2
2 2 2
0 0
2 4 2 4 2 4
b b b
a x x x
a a a a a a
        
                
       
 
22 4 2 2 2 2
b b b
x x x
a a a a a a
  
           
 
2
b
x
a
  

 
 Cqd. 
Onde o termo dentro da raiz quadrada no denominador é indicado por 
2 4b ac  
. 
Portanto, as raízes da função quadrática 
1x
 e 
2x
, são abscissas nas quais a parábola 
intercepta o eixo 
x
, 
1( ,0)x
 e 
2( ,0)x
. 
Temos três casos a considerar, que são: 
 
 Quando 
0 
, 
1 2x x
 e a parábola intercepta o eixo 
x
 em dois pontos 
diferentes: 
1
2
b
x
a
  

 e 
2
2
b
x
a
  

; 
 Quando 
0 
, 
1 2x x
 e a parábola intercepta o eixo 
x
 em um único ponto. 
1 2
2
b
x x
a

 
 
 Quando 
0 
, não existem raízes reais, 

, e a parábola não intercepta o 
eixo 
x
. 
Para a solução de uma inequação determinamos suas raízes e o sinal do coeficiente 
a
. 
 
 Se 

 > 0, 
( )f x
 possui duas raízes reais e diferentes: 
 
Quando a > 0: Quando a < 0: 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 Se 

 = 0, 
( )f x
 possui duas raízes reais e iguais: 
Quando a > 0: Quando a < 0: 
 
 
 
 
 
 
 Se 

< 0, 
( )f x
 não possui raízes reais. 
Quando a > 0: Quando a < 0: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Resolva a inequação 
2 20 0x x  
. 
Solução 
Determinando as raízes, temos: 
1 4x  
 e 
2 5x 
. 
Analisando o sinal, temos: 
Como 
1 0a  
, 
 
Portanto, 
( ) 0f x 
 para x < -4 ou x > 5. A solução é: 
{ | 4 5}S x x ou x    
 
As formas que as inequações-produto e inequações-quociente do 2º assumem, 
são iguais a do 1º grau. Portanto, para resolvê-las seguimos os mesmos procedimentos 
da resolução de uma inequação do primeiro grau: determinam-se as raízes, estudam-se 
os sinais e monta-se o quadro-produto ou o quadro-quociente. 
Exemplos: 
1) Determine o valor de 
x
 em 
2 2( 6)( 2 1) 0x x x x     
. 
Solução 
Temos uma equação do tipo 
( ) ( ) 0f x g x 
. Devemos resolver cada equação 
determinando suas raízes e verificando os sinais. 
 
49 
 
Fazendo: 
( )f x 
 
2( 6) 0 ( 3)( 2) 0 3x x x x x        
 e 
2x  
. 
Como 
1 0a  
, temos: 
 
 
 
Fazendo: 
22 0( ) ( 2 1) 0 ( 1) 1g x x x x x        
. 
Como 
1 0a   
, temos: 
 
Fazendo o quadro-produto: 
 
Portanto, 
{ | 2 3}S x x ou x    
. 
▄ 
2) Determine o valor de 
x
 na inequação 2
2
4
5 6
0
x
x x

 

. 
Solução 
Temos uma equação do tipo, 
( )
( )
0
f x
g x

, tomando: 
2 2( ) 4 0 4 2f x x x x      
 
Como 
1 0a  
, temos: 
2( ) 5 6 0 ( 3)( 2) 0 3g x x x x x x         
 e 
2x 
 
Como 
1 0a  
, temos: 
 
Fazendo o quadro-quociente: 
 
50 
 
 
▄ 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Resolva as equações: 
a) 
2
5 1 4
0
1
x
x x x x

  
 
 com 
1x  
 e 
0x 
 
b) 2
2
1 5 2
6 1 6 6
x x x
x x x x

  
 
 com 
1x  
 e 
0x 
 
c) 
2
6 72
3 3 9
x
x x x
 
  
 com 
3x 
 e 
3x  
 
d) 
2
8 2
9 3 3
x x
x x x
 
  
 com 
3x 
 e 
3x  
 
e) 
2( 1)( 1) 2( 1) ( 1) 3( 1)x x x x x       
 
f) 1 2 1 2
4 2 3
x x 
 
 
g) 
2 22 ( 2) ( 3)( 3) 2( 1)x x x x x x      
 
h) 
2
4 1
1
9 3
x
x x

 
 
 
i) 
2 2 2
5 4 3
9 6 9 2 18x x x x
 
   
, para 
3x  
 
j) 2
2
5 6
2
6 9
x x
x x
 

 
 
k) 
2
14 2
1 1 1
x
x x x
 
  
 
l) 
2
3 18
3 3 9
x x
x x x

 
  
 
2) Resolva as inequações em : 
a) 
22 1 0x x   
 b) 
24 4 1 0x x  
 c) 
2x x
 d) 
2 2 1 0x x   
 
 
51 
 
e) 
2 2( 1)( 4 3) 0x x x    
 f) 
2 2(1 4 )(2 3 ) 0x x x  
 g) 
3 22 6 3 0x x x   
 
h) 2
2
2 1
0
3 2
x x
x x
 

 
 i) 2
2
4 5
0
2 3 2
x x
x x
 

 
 j) 2
2
6 12 17
1
2 7 5
x x
x x
 
 
  
 
Equação e Inequação Exponencial 
São aquelas que possuem a seguinte forma: 
( ) ( ) ( ) ( ),f x g xa a f x g x 
 
* 1acom ea 
 
Para resolvê-las, devemos igualar os expoentes determinando o valor da variável. 
Exemplos: 
1 21 2 3 28 4 2 2( ) ( )
x xx x      
3 3 2 42 2 3 3 2 4x x x x      1x 
 
Uma inequação é exponencial quando a incógnita está no expoente. Para 
resolver este tipo de inequação procedemos das seguintes maneiras: 
 Se 
1a 
: 
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x 
 com 
( ) 0f x 
 e 
( ) 0g x 
. 
 Se 
0 1a 
: 
( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x 
 com 
( ) 0f x 
 e 
( ) 0g x 
. 
Exemplos: 
   
2 1 4 3
0,1 0,1 2 1 4 3
x x
x x
 
    
2 4 2x x   
 
( , 2]S   
 
32 2 3, 2( 1)x x a   
 
]3, )S  
 
▄ 
Equação Logaritimica 
As equações logaritimicas são resolvidas utilizando a definição e as 
propriedades dos logaritmos, além do cálculo das raízes das funções que a compõem. 
Exemplos 
1) Resolva a equação 
log (2 15) 2x x 
 em . 
Solução 
Pela definição de logaritmo, temos: 
2 22 15 2 15 0x x x x     
5 3x ou x  
 
 
52 
 
Comparando os resultados obtidos com as condições de existência dos logaritmos, 
temos: 
 - Para o logaritmando: 
15
2 15 0
2
x x   
 
- Para a base: 
1 0x 
 
Verifica-se, então, que x = -3 é incompatível. Logo: 
{5}S 
 
▄ 
2) Resolva a equação em : 
2
( 1)log ( 4 7) 2x x x   
 
Solução 
Pela definição de logaritmos: 
 
2 2( 1) 4 7x x x    
2 22 1 4 7x x x x     2 6 3x x   
 
▄ 
Inequação Logaritimica 
As variáveis a serem calculadas podem aparecer no logartimando ou na base. Na 
resolução, sendo 
( ) 0f x 
e 
( ) 0g x 
, e respeitadas às condições de existência dos 
logaritmos, temos: 
 Quando 
1a 
, a relação de desigualdade entre 
( )f x
 e 
( )g x
 se mantém: 
log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x  
 
 
 Quando 
0 1a 
, a relação entre 
( )f x
 e 
( )g x
 se inverte: 
log ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x   
 Quando a inequação é redutível a uma desigualdade entre um logaritmo e um 
número real: 
log ( )a f x r
 ou 
log ( )a f x r
 
Para resolver uma inequação deste tipo, basta notarmos que o número r pode ser 
expresso como: 
.log log ra ar r a a 
 
Escrevendo o número real desta forma, recaímos numa inequação dos tipos: 
 
53 
 
log ( ) log ( ) log
log ( ) log ( ) log
r
a a a
r
a a a
f x r f x a
f x r f x a



  
  
 
Exemplos: 
1) Resolva a inequação 
2(log ) log 6 0x x  
 em : 
Solução 
Fazendo 
log x y
, temos: 
2 6 0y y   ( 3)( 2) 0y y   3y 
 e 
2y  
 
Fazendo a reta com a concavidade da parábola: 
 
 
Logo, 
2 3y  
. 
Como 
log x y
 e a base é maior que 1, podemos escrever: 
2 32 log 30 10 10x x     1
1000
100
x  
 
Considerando a condição de existência (
0x 
), temos que a solução será: 
1
{ | 1000}
100
S x x   
 
▄ 
1) Resolva a inequação 
2(log 2 1) 4x 
 em : 
SoluçãoTemos, 
4
2 2 2
1 17
( ( 0 2 1 16 1 2 17
2 2
log 2 1) 4 log 2 1) log 2 x x xx x              
 
Logo, 
1 17
|
2 2
S x x
 
 
 
   
 ▄ 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Resolva em as equações exponenciais: 
 
54 
 
a) 
9 118 ( )
2
x x 
 b) 
100 0,001x 
 c) 2 18 4x x x  d) 
3 1
4
8
x 
 
e) 
1 2 32 4 8 16x x x x    
 f) 4 4
2
5
x
x 
 
 
2) Resolva as seguintes inequações em : 
a) 5 11
1024
2
x
 
 
 
 b) 3 1 21 1
2 2
x x 
   
   
   
 c) 21 1
3 9
x x x
   
   
   
 
d) 
2 1 2 1 13 9 3 9 126x x x x     
 e) 
19 4 3 27 0x x   
 f) 2 3 25 1x x   
 
3) Resolva as equações em : 
a) 
2
2 2log (2 3) logx x 
 b) 
2
( 1)log ( 4 7) 2x x x   
 
c) 
2
3 3 3log ( 6) log 4 log ( 3)x x x    
 d) 
log( 9) 2 log 2 1 2x x    
 
e) 
16 4 2log log log 7x x x  
 
 
4) Resolva as inequações em : 
a) 
1
2
1 log ( 1) 0x   
 b) 
1
2
1
log (2 )
2
x
 c) 
2
2 2log 1 log ( 1)x x  
 
d) 
2 2 2log 4( 1) log ( 1) 2 2 log 3x x     
 
 
 
Capítulo 4 – Trigonometria 
 Na geometria, um ângulo fica determinado por duas semi-retas com mesma 
origem O, o vértice do ângulo. Se A e B são pontos das retas r1 e r2 na figura abaixo, 
temos o ângulo AOB ou 
AOB
. Costumamos denotar um ângulo por uma letra grega. 
 
 
55 
 
 Na trigonometria também podemos interpretar 
AOB
 como uma rotação do 
raio r1 (lado inicial do ângulo) em torno de O até uma posição especificada por r2 (o 
lado final). A quantidade e a direção de rotação são arbitrárias; podemos fazer r1 dar 
várias voltas em qualquer das duas direções em torno de O antes de para em r2. Assim, 
infinitos ângulos podem ter os mesmos lados inicial e final. 
 Introduzindo um sistema retangular de coordenadas, a posição padrão de um 
ângulo θ é obtida tomando a origem como vértice e o lado incial ao longo do eixo-x 
positivo, como na figura a seguir. 
 
O ângulo θ é positivo para uma rotação anti-horária, e negativo para uma rotação 
horária. 
 A magnitude de um ângulo pode ser expressa seja em graus, grado ou em 
radianos. No sistema brasileiro legal de medida temos como unidade legal o grau 
sexagesimal, ou grau, ou também o radiano. Um ângulo de medidas em graus, 1º 
corresponde a 
1
360
 de uma revolução completa na direção anti-horária. Um minuto (1’) 
é 
1
60
 de um grau, e um segundo (1”) é 
1
60
 de um minuto. No cálculo, a unidade de 
medida angular mais importante é o radiano. Como a circunferência do círculo unitário 
é 2π, segue-se que 
2π radianos = 360º 

 π radianos = 180º 
Aproximando π/180 e 180/ π, obtemos: 
1º 

 0,01745 rad e 1 rad 

 57,29578º 
Observa-se que se a medida é feita em radianos, não se indica unidade. Assim, 
se um ângulo tem medida em radianos 5, escrevemos θ = 5 em lugar de θ = 5 radianos. 
Quando se trata de medida em graus, escrevemos θ = 5º. 
Um ângulo central de um círculo é um ângulo θ cujo vértice coincide com o 
centro do círculo. Dizemos então que o arco 
AB
 subtende o ângulo θ. Podemos a partir 
 
56 
 
desse arco definir uma relação entre o comprimento s de 
AB
, a medida em radianos de 
θ e o raio do círculo r. 
 
Se um arco de comprimento s num círculo de raio r subtende um ângulo central 
de medida θ em radianos, então 
s r
 
Se θ é a medida em radianos de um ângulo central de um círculo de raio r e se A 
é a área do setor circular definido por θ, então 
21
2
A r 
 
As seis funções trigonométricas são o seno, o cosseno, a tangente, a 
cosecante, a secante e a cotangente, respectivamente. Podemos definir as 
funções trigonométricas em termos de um ângulo θ ou de um número real x. Há 
dois métodos padrões que utilizam ângulos: 
1. Se θ á gudo (0 < θ < π/2 ), podemos utilizar um triângulo retângulo. 
2. Se θ é qualquer ângulo (em posição padrão), podemos utilizar o ponto P(a,b) em 
que o lado terminal de θ intercepta o círculo 
2 2 2x y r 
. 
Nas designações que seguem as abreviaturas adj, op e hip são usasdas 
para designar os comprimentos do lado adjacentes, do lado oposto e da 
hipotenusa de um triângulo retângulo tendo θ como ângulo. 
 
 
 
57 
 
 
 
As definições no círculo trigonométrico são: 
 
As funções seno e cosseno são as projeções do vetor nos eixos vertical e 
horizontal respectivamente. A função tangente é definida como a razão entre as funções 
seno e cosseno por ser a inclinação do vetor e a função cotangente é o prolongamento 
do vetor. As funções cosecante e secante são as recíprocas de cosseno e seno, 
representadas em verde no círculo trigonométrico acima. 
 
58 
 
Estas definições indicam algumas relações importantes entre as funções 
trigonométricas, que são conhecidadas como identidades fundamentais. As comumente 
utilizadas são: 
 
As identidades fundamentais são úteis para mudar a forma de uma expressão que 
envolva funções trigonométricas. 
 A figura abaixo indica esquematicamente como o sinal do valor da função 
depende do quadrante que contém o lado terminal do ângulo θ. 
 
 Há vários métodos para achar valores de funções trigonométricas. Para certos 
casos especiais podemos referir-nos aos triângulos retângulos da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Existem os valores especiais que ocorrem com frequência em trigonometria. 
Estes valores são apresentados na tabela a seguir: 
θ 
Radianos 
θ 
Graus 
sin θ 
 
cos θ 
 
tg θ 
 
cot θ 
 
sec θ 
 
csc θ 
 
 
 
 
30º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
59 
 
 
 
 
45º 
 
 
 
 
 
1 1 
 
 
 
60º 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
As calculadoras científicas têm teclas SIN, COS e TAN que podem ser usadas 
para obter os valores dos ângulos. Os valores das outras funções podem ser obtidos nas 
calculadoras utilizando a tecla de inverso 1/X. Outra observação importante a cerca do 
uso de calculadoras é verificar o modo de ângulo em que ela está operando. 
 Uma equação ou inequação trigonométrica contém expressões trigonométricas 
além das expressões algébricas, e em geral, obtemos as soluções utilizando técnicas 
análogas às usadas para equações algébricas. A principal diferença é que primeiro 
resolvemos a equação trigonométrica em relação às funções trigonométricas e em 
seguida achamos os valores das variáveis que satisfaçam o problema. Se não se 
especifica a medida em graus, então as soluções de uma equação ou inequação 
trigonométrica devem ser expressas em radianos (ou números reais). 
Exemplo 1 
Se a > 0, expresse em termos de uma função trigonométrica de θ sem 
radicais, fazendo a substituição trigonométrica: 
x a sen
 para 
2 2
 
  
 
Solução 
Façamos 
x a sen
: 
     22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 cos cosa x a a sen a a sen a sen a a             
A última igualdade é verdadeira porque, primeiro, 
2a a
 se a > 0, e segundo, se 
2 2
 
  
, então cosθ ≥ 0 e daí 
2cos cos 
. 
 
 Existem muitas realações importantes entre as funções trigonométricas. As 
fórmulas para as negativas são: 
 
( )sen u senu  
 
cos( ) cosu u 
 
( )tg u tg u  
 
csc( ) cscu u  
 
sec( ) secu u 
 
cot( ) cotu u  
 
 
60 
 
As fórmulas de adição e subtração para