Cálculo de Integral Definida

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/I
Teste 11 - Entrega dia 08/06/2017:
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Exerc´ıcio:
Calcule
∫
x− 1√
1− x− x2 dx
Soluc¸a˜o:
Completando quadrado, obtemos:
−1− x− x2 = −(x2 + x− 1) = −
[(
x +
1
2
)2
− 1
4
− 1
]
= −
[(
x +
1
2
)2
− 5
4
]
=
5
4
−
(
x +
1
2
)2
.
Logo,∫
x− 1√
1− x− x2 dx =
∫
x− 1√
5
4
−
(
x +
1
2
)2 dx.
Fac¸amos u = x +
1
2
. Enta˜o x = u− 1
2
, du = dx e
∫
x− 1√
1− x− x2 dx =
∫
x− 1√
5
4
−
(
x +
1
2
)2 dx =
∫ u− 3
2√
5
4
− u2
du =
∫
u√
5
4
− u2
du
︸ ︷︷ ︸
(∗)
−3
2
∫
1√
5
4
− u2
du
︸ ︷︷ ︸
(∗∗)
.
Para resolvermos (∗), fac¸amos w = 5
4
− u2. Enta˜o dw = −2u du, u du = −1
2
dw e∫
u√
5
4
− u2
du = −1
2
∫
w−
1
2 dw = −w 12 + c1 = −
√
5
4
− u2 + c1.
Agora, notemos que √
5
4
− u2 =
√√√√5
4
·
(
1−
(
2√
5
u
)2)
.
Assim,∫
1√
5
4
− u2
du =
∫
1√√√√5
4
·
(
1−
(
2√
5
u
)2) du = 2√5
∫
1
1−
(
2√
5
u
)2 du.
Agora, fac¸amos v =
2√
5
u. Enta˜o dv =
2√
5
du e du =
√
5
2
dv. Assim,
Soluc¸a˜o:
∫
1√
5
4
− u2
du =
2√
5
∫
1
1−
(
2√
5
u
)2 du = 2√5 ·
√
5
2
·
∫
1√
1− v2 dv = arcsen(v)+c2 = arcsen
(
2√
5
u
)
+c2.
Portanto,∫
x− 1√
1− x− x2 dx =
∫
u√
5
4
− u2
du− 3
2
∫
1√
5
4
− u2
du = −
√
5
4
− u2 − 3
2
arcsen
(
2√
5
u
)
+ c
= −
√
1− x− x2 − 3
2
arcsen
(
2x + 1√
5
)
+ c.