Unidade 2 - Parte III EA

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Componente Curricular: Cálculo I 
Prof(a): Kelly Pereira Duarte 
e-mail: kelly@fahor.com.br 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 Quando se observam fenômenos que se repetem periodicamente, como as variações da temperatura 
terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos, 
etc., estes podem ser modelados por funções trigonométricas. 
Os gráficos das funções trigonométricas básicas, seno e co-seno, descrevem esses comportamentos e podem 
ser gerados a partir de um círculo trigonométrico de raio unitário. 
 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DIRETAS 
 
Função Seno 
A função seno é uma função real de variável real que a cada x pertencente a R faz corresponder, f(x) = sen (x). 
 
Análise da função 
1) D = R 
 
2) Im = [-1,1]. 
 
3) Valor máximo 

 y = 1. 
 
4) Valor mínimo 

 y = -1. 
 
5) É periódica e o período é 2
 
 P = 2

. 
 
 6) sen(-x) = - sen(x) é uma função ímpar. 
 
 
A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximos e mínimos. 
 
O período de uma oscilação é o tempo necessário para a oscilação evoluir um ciclo completo. 
 
I) Indique o período, imagem e domínio. Analise a influência de todos os parâmetros: a, b, c na função f(x)= 
b+asen(cx) 
 
2 
 
Função: y1 = 3senx 
 
 
Domínio: _______ 
Período: ________ Im:_____________ 
Função: y2 = -3senx 
 
Domínio: ______ 
Período: _______ 
 
Im: ____________ 
 
Função: 
 y3 = 5 + 3senx 
 
Domínio: ______ 
Período: ________ 
Im: ____________ 
Função: 
y4 = -5 +3senx 
 
Domínio: ______ 
Período: ________ 
Im: _____________ 
 
II) Indique o período, imagem e domínio. Analise a influência de todos os parâmetros: a, b, c na função f(x)= 
b+asen(cx) 
 
Função: y1 = sen2x 
 
Domínio: ______ 
Período: ________ 
Im:_____________ 
Função: y2 = sen4x 
 
Domínio: ______ 
Período: _______ 
Im: ____________ 
3 
 
 
 
Função: 
 y3 = sen(x/2) 
 
Domínio: ______ 
 
Período: ________ 
 
Im: ____________ 
Função: 
y4 = sen(x/4) 
 
Domínio: ______ 
 
Período: ________ 
 
Im: ____________ 
 
 
Período 
O período da função y = sen(cx), onde c > 0, é P = 
......
2
. 
* Se c > 1 o período é MENOR que 2

, logo a curva senóide sofre uma CONTRAÇÃO horizontal. 
* Se 0 < c < 1 o período é MAIOR que 2

, logo a curva senóide sofre uma DILATAÇÃO horizontal. 
 
Exemplos: 
1) Qual é a função que representa o gráfico abaixo: 
 
a) f(x) = 1 + sen(2x) b) f(x) = 2 + sen(x) 
 c) f(x) = 2 + sen(2x) d) f(x) = 3sen(2x) e) f(x) = 2 + cos(2x) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Esboçar o gráfico, determinar o domínio, imagem e período das funções abaixo. 
a) f(x) = 1 + 2sen(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
b) f(x) = 2sen






2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Cosseno 
A função cosseno é uma função real de variável real que a cada x pertencente a R faz corresponder, f(x) = cos (x). 
 
Análise da função 
1) D = R. 
2) Im = [-1, 1]. 
 
3) Valor máximo 

 y = 1. 
 
4) Valor mínimo 

y = -1. 
 
5) É periódica e o período é 2

 

 P = 2

. 
6) cos(-x) = cos(x) é uma função par. 
I) Indique o período, imagem e domínio. Analise a influência de todos os parâmetros: a, b, c na função f(x)= 
b+asen(cx) 
 
Função: 
y1 = cos(x) 
 
Domínio: _______ 
Período: ________ 
Im:_____________ 
Função: 
y2 = -2cos(x) 
 
Domínio: ______ 
Período: ________ 
Im: ____________ 
5 
 
Função: 
 y3 = 5 + 2cos(x) 
 
Domínio: ______ 
Período: ________ 
Im: _____________ 
 
 
 
 Procure observar que a constante “b” é responsável pela translação – vertical para cima ou para baixo da 
função, isto é, nível médio. 
E, a constante “a” é responsável pela expansão, contração ou reflexão, isto é, amplitude. 
1) Desenhar manualmente: Esboçar o gráfico, determinar o domínio, imagem e período das funções abaixo. 
a) f(x) = 1 + 2cos(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = cos
 x2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
2) Associe cada gráfico que está parcialmente dado na figura a função trigonométrica abaixo. 
( ) f(x) = -3 + 2cosx ( ) f(x) = 2 + cosx ( ) f(x) = -3 + 2sen(2x) ( ) f(x) = 2 + senx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Situações- problemas envolvendo funções trigonométricas. 
 
3) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em 
reais, de acordo com a lei 







2
120200)(
t
sentC
, com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos 
máximo e mínimo desse produto são 
a) 320 e 80 
b) 200 e 120 
c) 200 e 80 
d) 320 e 200 
e) 120 e 80 
 
4) Em determinada cidade, a concentração diária, em gramas, de partícula de fósforo na atmosfera é medida pela 
função C(t)=3+2sen( 
6
t
), em que t é a quantidade de horas para fazer essa medição. Determine o maior e a menor 
concentração diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmosfera. 
 
Resp: 3)a 4)[5,1] 
 
 
 
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
7 
 
Função Tangente 
É uma função que associa a cada 
Zkkx  ;
2

o número tg(x) pertencente aos reais e indicamos por: 
)()( xtgxf 
 
0)cos(;
)cos(
)(
)(  x
x
xsen
xtg
 
 Análise da função 
1) D = 






 Zk
k
xIRx ;
2
/

 
2) Im = Reais 
3)Valor mínimo 

não existe 
4) Valor máximo 

não existe 
5) Período: P = 

 f(x) = tg(px) P = 
p

 
 
Função Cotangente 
É uma função que associa a cada 
Zkkx  ;
o número cotg(x) pertencente aos reais e indicamos por: 
)(cot)( xgxf 
 
0)(;
)(
)cos(
)(cot  xsen
xsen
x
xg
 
 Análise da função 
1) D = 
 ZkkxIRx  ;/ 
 
2) Im = Reais 
3)Valor mínimo 

não existe 
4) Valor máximo 

não existe 
5) Período: P = 

 
 f(x) = cotg (px) P = 
p

 
 
 
Função secante 
É uma função que associa a cada 
Zkkx  ;
2

o número sec(x) pertencente aos reais e indicamos por: 
)sec()( xxf 
 
0)cos(;
)cos(
1
)sec(  x
x
x
 
 
Análise da função 
1) D =






 Zk
k
xIRx ;
2
/

 
2) Im = 
[,1[]1] 
 
ou Im = R – ]-1,1[ . 
 
3)Valor mínimo 

não existe 
4) Valor máximo 

não existe 
5) Período: P = 
2
 f(x) = sec(px) P = 
p
2
 
 
8 
 
Função Cossecante 
 
É uma função que associa a cada 
Zkkx  ;
o número cossec(x) ou csc(x) pertencente aos reais e indicamos 
por: 
)sec(cos)( xxf 
 
0)(;
)(
1
)sec(cos  xsen
xsen
x
 
 Análise da função 
1) D = 
 ZkkxIRx  ;/ 
 
2) Im = 
[,1[]1,] 
 
 ou Im = R – ]-1,1[ . 
 
3)Valor mínimo 

não existe 
4) Valor máximo 

não existe 
5) Período: P = 2

 
f(x) = cossec(px) P = 
p
2
 
 
 
 
 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 
A partir das relações entre as funções anteriormentetrabalhadas surgem as relações trigonométricas. Dentre muitas, 
algumas estão destacadas abaixo. 
0cos;
cos
)1  x
x
senx
tgx
 
0;
cos
cot)2  senx
senx
x
gx
 
 
0cos;
cos
1
sec)3  x
x
x
 
0;
1
seccos)4  senx
senx
x
 5) 
gx
tgx
cot
1

 ou 
tgx
gx
1
cot 
 
 6) 
xxtg 22 sec1 
 7) 
xxg 22 seccoscot1 
 
 
RELAÇÃO TRIGONOMÉTRICA FUNDAMENTAL 
1xcosxsen)1 22 
 
 
REDUCÃO PARA O 1
o
 QUADRANTE 
 
9 
 
 
 
Exemplos: 
1)Calcule: 
a) sen 135
0
 b)cos 330
0
 c)sen(-225) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se sen x = 
3
2
 e 180
o
 < x < 270
o
. O valor de cosx é: 
a) 1 b) 
9
5
 c) 
3
5 d) 
3
5

 e) 
9
5

 
 
 
 
 
3) Sabendo que senx = -3/5 e que 270
o 
< x < 360
o
. O valor de tg(x) é: 
 
a) 4/5 b)-4/5 c)3/4 d) -3/4 
 
 
 
 
 
 
4) Sendo 
2tgx
, e que 
2

< x < 

. O valor de cosseno de x é: 
 
3
3
)
3
3
)
3
6
)
3
6
)3)  edcba
 
 
 
Exercícios LISTA 05!