Buscar

Unidade 5 - Sistemas Lineares

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 7 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 7 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

1 
 
 
Componente Curricular: Cálculo I – 2° Semestre/2014 
Prof(a): Kelly Pereira Duarte 
e-mail: kelly@fahor.com.br 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Chama-se sistema linear a todo sistema formado por equações lineares. 
 Assim, o sistema S1





4yx2
6y2x
 é um sistema linear de equações com duas incógnitas. 
 
 
Definição: Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto 
de equações do tipo:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
31 1 32 2 3 3
1 1 2 2
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
n n
m m mn n m
   
   
   
   







......
......
......
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
........
 
onde: mn
n
m
a coeficientes das incógnitas
x incógnitas
b termos independentes


 .
 
 Uma solução de um sistema é uma sequência de números (
1 2 3   , , ,.........., )n
 que 
satisfaz as equações simultaneamente. 
 
Matrizes Associadas a um Sistema Linear: 
 Matriz Incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 Matriz Completa: é a matriz , que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última 
coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. 
Exemplos: 
Seja o sistema: 








32
94
03
zyx
zyx
zyx
 
Matriz incompleta: A = 












1 12
1 14 
131 
 
 
2 
 
Matriz completa: A = 










3-
9
0
 
1 
1 
1-
 
1
1
3
 
2-
4 
1 
 
 
 
 
Soluções de um Sistema de Equações Lineares (fazer o desenho depois!!!) 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. 





12
8
yx
yx 
Tem solução única: o par ordenado (3, 5). Portanto o sistema é possível e determinado (SPD). 
2. 





1622
8
yx
yx 
Tem infinitas soluções: algumas são dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), 
(5, 3),

. Portanto o sistema é possível e indeterminado (SPI). 
 
3. 





10
10
yx
yx 
 
Não tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equações. Portanto o sistema é 
impossível (SI). 
 
Sistemas Homogêneos 
 
Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. 
Exemplo: 








0 6 8
035
0 74
yx
zyx
zyx
 
Determinado (SPD) 
(uma única solução) 
Indeterminado (SPI) 
(infinitas soluções) 
Possível (SP) 
(tem solução) 
Impossível (SI) 
(não tem solução) 
 
Sistemas Lineares 
3 
 
 
Soluções de um Sistema Homogêneo 
A solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas recebe o nome de solução trivial. 
Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. Um sistema linear homogêneo é 
sempre possível: determinado ou indeterminado. (SPD ou SPI) 
 
Exemplo: 








0zyx
0z2yx
0zy2x4
S1
 é um sistema linear homogêneo e a terna (0, 0, 0) é uma solução de S1. 
Se existirem outras soluções, estas serão chamadas de soluções não triviais. A terna (-1, 3, 2) é 
uma solução não trivial de S1. 
 
Sistema Normal 
 Quando o número de equações for o mesmo do número de incógnitas e o determinante da 
matriz incompleta associado ao sistema for diferente de zero, diremos que um sistema é normal. 
Exemplo: Verificar se o sistema 





12
8
yx
yx é normal. 
 
Regra de Cramer 
Todo sistema normal tem uma única solução dada por 
D
D
x ii 
, onde 
 ni , 3, ,2 ,1 
, D= detA 
é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e 
iD
 é o determinante obtido através da 
substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. 
 
Exemplo: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas: 
 
a) 





332
72
yx
yx 
 
Solução: 
Temos: m = n = 2 (1ª condição) e 
condição) (2ª 0826
32
1 2


D
 
Portanto, como o sistema é normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolvê-lo. 
 
1º Passo: Calcular 
yx DD e 
 
- Substituindo, na matriz incompleta 






32
1 2 , a coluna 
1c
 pela coluna formada pelos termos 
independentes, encontramos: 
24321
33
1 7


xD
 
4 
 
 - Substituindo, agora, 
2c
 pela coluna dos termos independentes, encontramos: 
8146
32
72
yD
 
2º Passo: Encontrar x e y: 
1
8
8
3
8
24








D
D
y
D
D
x
y
x
 
 
Logo, (x, y) = (3, 1) é a solução do sistema dado. 
 
 
 
b) 








19563
1025
332
zyx
zyx
zyx
 
 
Solução: 
Temos um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas (m = n) e determinante da matriz 
incompleta diferente de zero, veja: 
 
 
 
 
 
 
 
1º Passo: Calcular 
zD e , yx DD
 substituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos 
termos independentes: 
Dx = 
 
 
 
 
 
Dy = 
 
 
 
 
 
Dz = 
 
 
 
 
 
 
Portanto, por Cramer vem: 
D
5 
 

D
D
x x
 

D
D
y
y
 

D
D
z z
 
 
 
Logo, (x, y, z) = ( , , ) é a solução do sistema dado. 
 
c) 








03
0 2 
043 
zyx
zyx
zyx
 
 
Solução: 
Temos m = n = 3 e 
029643891
3 
1-
4 
 
1
2 
3 
 
1-3 1
11- 2 
1 4 3 


D
 
Portanto, como o sistema é normal (?), apresentando uma única solução e, além do mais, o 
sistema é homogêneo, esta solução única será a solução trivial (0, 0, 0). 
 
Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0). 
 
Sistemas Equivalentes 
 Dois sistemas são equivalentes quando possuem a mesma solução. 
Exemplo 
 





8y3x2
3yx





5y2x
3yx
 
 Estes sistemas são equivalentes pois ambos possuem como solução o par (1, 2). 
 
Resolução de Sistemas de Equações Lineares por ESCALONAMENTO 
 
O método de escalonamento para resolução de um sistema é um processo geral para resolver 
qualquer sistema linear, pois a regra de Cramer aplica-se somente na resolução de sistemas de n 
equações a n incógnitas. 
 Dado um sistema linear S1, é possível transformá-lo num sistema equivalente mais simples 
aplicando-se sobre as equações do sistema as propriedades dos sistemas equivalentes. 
 Dizemos que um sistema está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do 
primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. 
 
Procedimento para escalonar um sistema 
1. Colocamos como primeira equação aquela em que o coeficiente da primeira incógnita 
seja diferente de zero e fazemos este coeficiente igual a 1. 
6 
 
2. Utilizamos as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da primeira 
incógnita das demais equações. 
3. Anulamos todos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação. 
4. Repetimos o processo com as demais incógnitas até que o sistema se torne escalonado. 
Exemplos: 
1) Escalone, e analise o sistema (SPD, SPI, SI) e dê o conjunto solução de cada um dos 
seguintes sistemas. 
a) 








152
133523
zyx
yx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)








432
3
12
yx
zyx
zyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 








433
142
61173
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Problemas envolvendo Sistemas Lineares 
 
1) Em um programa de TV um candidato deve responder a 10 perguntas. Todos iniciam com um saldo positivo 
de R$ 2.000,00. A cada pergunta respondida corretamente, o candidato ganha R$ 300,00 e perde R$ 200,00 
por pergunta não respondida ou respondida incorretamente. Quantas perguntas Tânia acertou se ela ganhou R$ 
3.500,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma lapiseira, 3 cadernos e uma caneta, custam juntos R$ 33,00. Duas lapiseiras, 7 cadernos e 2 canetas, 
custam juntos R$ 76,00. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta juntos, em reais é? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Em uma panificadora, 5 pães, 2 kg de farinha e 3 litros de leite custam juntos R$ 16,00. Por 0,5 kg de café e 5 
litros de leite, pagou-se a quantia de R$ 8,00. O valor de 10 pães, 1 kg de café e 1 litro de leite foi de R$ 9,00. 
Nestas condições, o preço a ser pago na compra de 1 pão, 1 litro de leite e um kg de café é, em reais: 
a) 6,20 b) 6,40 c) 7,20 d) 7,00

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

Perguntas Recentes