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1 Componente Curricular: Cálculo I – 2° Semestre/2014 Prof(a): Kelly Pereira Duarte e-mail: kelly@fahor.com.br SISTEMAS LINEARES Chama-se sistema linear a todo sistema formado por equações lineares. Assim, o sistema S1 4yx2 6y2x é um sistema linear de equações com duas incógnitas. Definição: Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 31 1 32 2 3 3 1 1 2 2 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n n n m m mn n m ...... ...... ...... ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ........ onde: mn n m a coeficientes das incógnitas x incógnitas b termos independentes . Uma solução de um sistema é uma sequência de números ( 1 2 3 , , ,.........., )n que satisfaz as equações simultaneamente. Matrizes Associadas a um Sistema Linear: Matriz Incompleta: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. Matriz Completa: é a matriz , que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. Exemplos: Seja o sistema: 32 94 03 zyx zyx zyx Matriz incompleta: A = 1 12 1 14 131 2 Matriz completa: A = 3- 9 0 1 1 1- 1 1 3 2- 4 1 Soluções de um Sistema de Equações Lineares (fazer o desenho depois!!!) Exemplos: 1. 12 8 yx yx Tem solução única: o par ordenado (3, 5). Portanto o sistema é possível e determinado (SPD). 2. 1622 8 yx yx Tem infinitas soluções: algumas são dadas pelos pares ordenados: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), . Portanto o sistema é possível e indeterminado (SPI). 3. 10 10 yx yx Não tem um par ordenado que satisfaz simultaneamente as equações. Portanto o sistema é impossível (SI). Sistemas Homogêneos Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Exemplo: 0 6 8 035 0 74 yx zyx zyx Determinado (SPD) (uma única solução) Indeterminado (SPI) (infinitas soluções) Possível (SP) (tem solução) Impossível (SI) (não tem solução) Sistemas Lineares 3 Soluções de um Sistema Homogêneo A solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais. Um sistema linear homogêneo é sempre possível: determinado ou indeterminado. (SPD ou SPI) Exemplo: 0zyx 0z2yx 0zy2x4 S1 é um sistema linear homogêneo e a terna (0, 0, 0) é uma solução de S1. Se existirem outras soluções, estas serão chamadas de soluções não triviais. A terna (-1, 3, 2) é uma solução não trivial de S1. Sistema Normal Quando o número de equações for o mesmo do número de incógnitas e o determinante da matriz incompleta associado ao sistema for diferente de zero, diremos que um sistema é normal. Exemplo: Verificar se o sistema 12 8 yx yx é normal. Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por D D x ii , onde ni , 3, ,2 ,1 , D= detA é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema e iD é o determinante obtido através da substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Exemplo: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas: a) 332 72 yx yx Solução: Temos: m = n = 2 (1ª condição) e condição) (2ª 0826 32 1 2 D Portanto, como o sistema é normal, podemos utilizar a Regra de Cramer para resolvê-lo. 1º Passo: Calcular yx DD e - Substituindo, na matriz incompleta 32 1 2 , a coluna 1c pela coluna formada pelos termos independentes, encontramos: 24321 33 1 7 xD 4 - Substituindo, agora, 2c pela coluna dos termos independentes, encontramos: 8146 32 72 yD 2º Passo: Encontrar x e y: 1 8 8 3 8 24 D D y D D x y x Logo, (x, y) = (3, 1) é a solução do sistema dado. b) 19563 1025 332 zyx zyx zyx Solução: Temos um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas (m = n) e determinante da matriz incompleta diferente de zero, veja: 1º Passo: Calcular zD e , yx DD substituindo as colunas 1, 2 e 3, respectivamente, pelos termos independentes: Dx = Dy = Dz = Portanto, por Cramer vem: D 5 D D x x D D y y D D z z Logo, (x, y, z) = ( , , ) é a solução do sistema dado. c) 03 0 2 043 zyx zyx zyx Solução: Temos m = n = 3 e 029643891 3 1- 4 1 2 3 1-3 1 11- 2 1 4 3 D Portanto, como o sistema é normal (?), apresentando uma única solução e, além do mais, o sistema é homogêneo, esta solução única será a solução trivial (0, 0, 0). Logo, (x, y, z) = (0, 0, 0). Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem a mesma solução. Exemplo 8y3x2 3yx 5y2x 3yx Estes sistemas são equivalentes pois ambos possuem como solução o par (1, 2). Resolução de Sistemas de Equações Lineares por ESCALONAMENTO O método de escalonamento para resolução de um sistema é um processo geral para resolver qualquer sistema linear, pois a regra de Cramer aplica-se somente na resolução de sistemas de n equações a n incógnitas. Dado um sistema linear S1, é possível transformá-lo num sistema equivalente mais simples aplicando-se sobre as equações do sistema as propriedades dos sistemas equivalentes. Dizemos que um sistema está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Procedimento para escalonar um sistema 1. Colocamos como primeira equação aquela em que o coeficiente da primeira incógnita seja diferente de zero e fazemos este coeficiente igual a 1. 6 2. Utilizamos as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da primeira incógnita das demais equações. 3. Anulamos todos os coeficientes da segunda incógnita a partir da terceira equação. 4. Repetimos o processo com as demais incógnitas até que o sistema se torne escalonado. Exemplos: 1) Escalone, e analise o sistema (SPD, SPI, SI) e dê o conjunto solução de cada um dos seguintes sistemas. a) 152 133523 zyx yx zyx b) 432 3 12 yx zyx zyx c) 433 142 61173 zyx zyx zyx 7 Problemas envolvendo Sistemas Lineares 1) Em um programa de TV um candidato deve responder a 10 perguntas. Todos iniciam com um saldo positivo de R$ 2.000,00. A cada pergunta respondida corretamente, o candidato ganha R$ 300,00 e perde R$ 200,00 por pergunta não respondida ou respondida incorretamente. Quantas perguntas Tânia acertou se ela ganhou R$ 3.500,00? 2) Uma lapiseira, 3 cadernos e uma caneta, custam juntos R$ 33,00. Duas lapiseiras, 7 cadernos e 2 canetas, custam juntos R$ 76,00. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta juntos, em reais é? 3) Em uma panificadora, 5 pães, 2 kg de farinha e 3 litros de leite custam juntos R$ 16,00. Por 0,5 kg de café e 5 litros de leite, pagou-se a quantia de R$ 8,00. O valor de 10 pães, 1 kg de café e 1 litro de leite foi de R$ 9,00. Nestas condições, o preço a ser pago na compra de 1 pão, 1 litro de leite e um kg de café é, em reais: a) 6,20 b) 6,40 c) 7,20 d) 7,00
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