Prova1(alg.Linear)

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Prova (escrita) Num. 1
A´lgebra Linear
Prof. Raibel de Jesus Arias Cantillo
UFMA
.
Questa˜o 1.
1. Seja A=(a1, a2) ∈ R2 um vetor qualquer do plano. Lembra
que ||A||, a norma, de A, e´ o tamanho do vetor que liga
a origem (0, 0) com (a1, a2), vem dada pela formula (A •
A)1/2, ou seja
||A|| =
√
a21 + a
2
2 (∗)
(a) Desenhe o lugar geome´trico de todos os pontos X =
(x, y) do plano que que tem norma 1, ou seja ||X|| = 1.
(b) Suponha que em vez de definir a norma de ||A|| pela
foˆrmula (∗) acima, usa-se
||A||1:=|a1|+ |a2|.
Obtenha a norma de cada uns dos vetores seguintes:
A = (1, 2), B = (−1,−2), e C = (1,−3). Alem disso,
desenhe o lugar geome´trico de todos os pontos X =
(x, y) do R2 tais que ||X||1 = 1.
(c) E se definimos a norma de A por
||A||2:= max{|a1|, |a2|}
Onde indicamos por max o ma´ximo entre dois nu´me-
ros. Por exemplo, max{4, 5} = 5. Enta˜o obtenha a
norma de cada uns dos vetores seguintes: A = (1, 2),
B = (−1,−2), e C = (1,−3) segundo essa definic¸a˜o.
Finalmente, desenhe o lugar geome´trico de todos os
pontos X = (x, y) do plano tais que ||X||2 = 1.
2. Prove que se A = (a1, a2, a3) ∈ R3 e´ qualquer ponto no
espac¸o, enta˜o aplicando duas vezes o Teorema de Pitagora´
temos que ||A|| e´
||A|| := dist((0, 0, 0), (a1, a2), a3) =
√
a21 + a
2
2 + a
2
3
Questa˜o 2. Prove que um determinante de tamanho 3 re-
presenta geometricamente um volume. Mais precisamente, se
A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), e C = (c1, c2, c3) sa˜o veto-
res em R3, enta˜o o valor absoluto do determinante abaixo mos-
trado
Figura 1: Figura associada a` Questa˜o 1.
∣∣∣∣∣∣
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
da´ o volume do paralelep´ıpedo1 determinado por esse treˆs
vetores. Mais ainda, mostre que o volume vem dado pelo valor
absoluto do produto misto de A, B e C, ou seja
A • (B × C)
Explique por que seu resultado do calculo do volume da
“caixa“ que A, B e C determinam na˜o depende das escolhas da
base, e por conseguinte da altura, que se escolha2. Finalmente,
Interprete o valor absoluto do determinante abaixo mos-
trado (um desenho e´ legal!)
A • (B × C) =
∣∣∣∣∣∣
3 0 0
0 4 0
0 0 8
∣∣∣∣∣∣
Figura 2: Neste desenho suponha u = A, w = C,e v = B.
1Informalmente, um paralelep´ıpedo e´ uma “caixa” com seis caras, cada
uma das quais e´ um paralelogramo, com caras opostas iguais, no sentido
do comprimento.Note que para ter tal caixa, os treˆs vetores na˜o devem ser
coplanares, ou seja eles na˜o podem estar contidos num mesmo plano
2Argumente “matematicamente” a sua resposta (Ou seja, ela deve ser
matematicamente “clara”)
2
Questa˜o 3. Considere o sistema lineal de tamanho 3 × 3
abaixo mostrado.
a1x+ b1y + c1z = d1
a2x+ b2y + c2z = d2
a3x+ b3y + c3z = d3
Supondo que o determinante∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣ 6= 0
e´ diferente de zero, prove usando o produto misto que a solu-
c¸a˜o do sistema acima vem dada por:
x =
∣∣∣∣∣∣
d1 b1 c1
d2 b2 c2
d3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣
, y =
∣∣∣∣∣∣
a1 d1 c1
a2 d2 c2
a3 d3 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣
, z =
∣∣∣∣∣∣
a1 b1 d1
a2 b2 d2
a3 b3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣
Dica para a soluc¸a˜o3.
Se A = (a1, a2, a3), B = (b1, b2, b3), C = (c1, c2, c3),D =
(d1, d2, d3)
1. Escreva o sistema de equac¸o˜es acima na forma ve-
torial
xA+ yB + zC = D
2. “Multiplique escalarmente” a equac¸a˜o vetorial
acima por B × C e conclua que
x =
[DBC]
[ABC]
Por que o valor de x tem “sentido”?
3. Prove de forma ana´loga que
y =
[ADC]
[ABC]
e
z =
[ABD]
[ABC]
Com ajuda da soluc¸a˜o determine a soluc¸a˜o do sistemas abaixo
mostrado
x+ 2y + 3z = 5
2x− y + 4z = 11
−y + z = 3
3Note que O s´ımbolo [ABC] indica de forma abreviada o produto misto
A •B × C
Questa˜o 4:
Afirmac¸a˜o: se A = (a1, a2, a3) e´ um vetor de R3 enta˜o
a sua direc¸a˜o fica determinada por dois aˆngulos, a saber: o
aˆngulo φ que a projec¸a˜o dele no plano XY forma com o semi-
eixo positivo das X e o aˆngulo θ que forma com a3k. Prove
que:
a1 = ||A|| sin θ cosφ
a2 = ||A|| sin θ sinφ
e
a3 = ||A|| cos θ
Figura 3: As coordenadas esfe´ricas de A
Usando a soluc¸a˜o do exerc´ıcio ache as componentes de um
vetor de norma 13 unidades que forme um aˆngulo θ de 22, 6o
com o eixo Z, e cuja projec¸a˜o no plano XY forma um aˆngulo
de 37o como o eixo x. Determine tambe´m os aˆngulos com os
eixos X e Y .
2