Geometria analitica EX 2

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
Disciplina: Geometria analítica 
Professor: Ronald Santana Turma: 
Aluno: Matricula: 
 
1. Observe a figura e responda o que se pede: 
 
a) Informe as coordenadas dos pontos A, B, C, F, G, H, E e I. 
b) Quais as coordenadas dos vetores 𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ ? 
c) Qual a distância entre os pontos B e G? 
d) Encontre o ângulo formado pelos vetores 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ . 
e) Determine a área do paralelogramo que possui como lados os vetores 𝐶𝐽⃗⃗⃗⃗ e 𝐶𝐻⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 
f) Encontre um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ . 
g) Expresse em u.v. o volume do sólido de arestas determinadas pelos vetores 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
h) Se o raio da circunferência de centro em G tem a medida do segmento 𝐺𝐽̅̅ ̅. Quanto vale o 
diâmetro desta circunferência? 
i) Encontre o valor de �⃗⃗� sabendo que: 
2(�⃗⃗� + 𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) − 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗⃗� + 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ 
 
 
2. Em cada uma das frases seguintes, diga se a palavra destacada corresponde a uma grandeza 
escalar ou vetorial. 
 
a) O volume de uma caixa-d’água é de 500 l. 
b) Um menino puxa uma corda com uma força horizontal para a direita. 
c) Um avião voa, com uma velocidade de 500 km/h, de leste para oeste. 
d) A temperatura da sala de aula é de 25° C. 
 
 
 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA 
2 
 
 
3. Na figura deste exercício os vetores 𝑣𝐴⃗⃗⃗⃗ , 𝑣𝐵⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑣𝐶⃗⃗⃗⃗ e 𝑣𝐷⃗⃗ ⃗⃗ representam as velocidades de alguns 
automóveis. Se movimentando nos cruzamentos de duas ruas. 
 
 
a) Os vetores 𝑣𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑣𝐵⃗⃗ ⃗⃗ têm mesma direção ou direções diferentes? 
b) Os vetores 𝑣𝐵⃗⃗ ⃗⃗ e 𝑣𝐶⃗⃗⃗⃗ têm mesma direção? Têm mesmo sentido 
ou sentidos contrários? 
c) Os vetores 𝑣𝐵⃗⃗ ⃗⃗ e 𝑣𝐷⃗⃗ ⃗⃗ têm mesma direção? Têm mesmo sentido 
ou sentidos contrários? 
 
 
4. Calcule a área do triângulo de vértices A(1,2), B(2,4) e C(4,1). 
 
a) 5/2 
b) 3 
c) 7/2 
d) 4 
e) 9/2 
 
5. Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0,0), B(3,0), C(4,3) e D(1,3). 
a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. 
b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. 
c) Encontre o ponto de interseção das diagonais AC e BD. 
 
6. Sabendo que os pontos A(-3,-1), B(-2,6) e C(5,5) são vértices de um quadrado ABCD, assinale 
o que for correto. 
a) A área do quadrado vale 50 u.a. 
b) O vértice D tem coordenadas (4,-2). 
c) A circunferência que circunscreve o quadrado tem raio 5 u.c. 
d) A reta suporte da diagonal BD tem equação 4𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0. 
e) As diagonais do quadrado se interceptam no ponto (1,2). 
 
7. Determinar o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). 
 
8. Calcular o módulo dos vetores �⃗� + 𝑣 e �⃗� − 𝑣 , sabendo que |�⃗� | = 4 e |𝑣 | = 3 e o ângulo entre 
�⃗� e 𝑣 é de 60°. 
 
9. Dado o vetor �⃗⃗� = (3,2,5), determinar a e b de modo que os vetores �⃗� = (3,2,−1) e 
𝑣 = (𝑎, 6, 𝑏) + 2�⃗⃗� sejam paralelos. 
 
10. Dada a equação da reta 𝑠: 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, a equação da reta paralela a s pelo ponto P(1,1) 
será: 
 
a) 2𝑥 − 𝑦 = 0 
b) 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 
c) 2𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 
d) 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 
e) 2𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 
 
 
11. Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a 
figura abaixo descreve a situação de maneira simplificada. 
3 
 
 
 
Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, Mantendo-se fixo no ar. As 
coordenadas do ponto P, indicada na figura, são, então: 
a) (21,7) 
b) (28,8) 
c) (24,12) 
d) (25,13) 
e) (26,15) 
 
12. Na reta 𝑟: {
𝑦 = 2𝑥 + 3
𝑧 = 2𝑥 − 1
, Determine o ponto de: 
a) Abscissa igual ao dobro da cota. 
b) Ordenada igual a 9. 
c) Ordenada igual ao triplo da cota. 
 
13. Determinar o ângulo ente as seguintes retas: 
𝑟: {
𝑥 = −2 − 𝑡
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 3 − 2𝑡
 e 𝑠:
𝑥
2
=
𝑦−6
1
=
𝑧−1
1
 
 
14. Sabendo que as retas 𝑟1 e 𝑟2 são ortogonais, determinar o valor de m para: 
 𝑟1: {
𝑥 = 2𝑚𝑡 − 3
𝑦 = 1 + 3𝑡
𝑧 = −4𝑡
 e 𝑟2: {
𝑥 = 2𝑦 − 1
𝑧 = −𝑦 + 4
 
 
15. Verifique se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: 
a) 𝑟1: {
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑧 = −𝑥 + 5
 e 𝑟2: {
𝑦 = −3𝑥 + 7
𝑧 = 𝑥 + 1
 
 
b) 𝑟1: {
𝑦 = 2𝑥 − 3
𝑧 = −𝑥 + 10
 e 𝑟2: 𝑥 =
𝑦−4
3
=
𝑧+1
−2
 
 
16. Suponha que duas partículas P e Q se movem no plano cartesiano, de modo que em cada 
instante t a partícula P está no ponto (2𝑡, 3 − 𝑡) e a partícula Q está no ponto (4𝑡, 3𝑡 − 2). Com 
base nessas informações, avalie as seguintes afirmativas: 
 
I. As partículas colidem uma com a outra no instante 𝑡 = 5 4⁄ . 
II. Ambas as partículas passam pelo ponto (4,1). 
III. No instante 𝑡 = 1, a distância entre as partículas é √5. 
 
a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
b) Somente a afirmativa III é verdadeira. 
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa II é verdadeira. 
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 
4 
 
 
17. Mostrar que o triângulo de vértices 𝐴(2,2), 𝐵(−4,−4) e 𝐶(4,−12) é retângulo e isósceles. Em 
seguida determinar seu perímetro. 
 
18. Quais as coordenadas dos pontos que dividem o segmento de extremos (−7,4) e (3,6) em 
quatro partes iguais. 
 
19. De um quadrado são conhecidos três vértices, não necessariamente consecutivos: 𝐴(1,3), 
𝐵(−3,5) e 𝐶(0,6). Determinar as coordenadas do quarto vértice desse quadrado. 
 
20. Seja o triângulo de vértices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4). Escrever as equações para 
métricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto C. 
 
21. Determine a equação geral do plano 𝜋 perpendicular à reta 𝑟: {
𝑥 = 2 + 2𝑡
𝑦 = 1 − 3𝑡
𝑧 = 4𝑡
, que contenha o 
ponto 𝐴(−1,2,3). 
 
 
22. Escreva uma equação geral do plano determinados pelos pontos A(2,0,-1), B(1,1,5) e C(-1,1,1). 
 
23. Determinar o valor de 𝛼 para que os pontos A(𝛼,1,9), B(2,3,4), C(-4,-1,6) e D(0,2,4) sejam 
coplanares. 
 
24. Obtenha uma equação geral do plano paralelo ao eixo dos z e que contenha os pontos A(0,3,4) 
e B(2,0,-2). 
 
25. Dado o ponto 𝑃(5,2,3) e o plano 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0, determinar: 
a) As equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a 𝜋; 
b) A projeção ortogonal de P sobre o plano 𝜋. 
c) A distância do ponto P ao plano 𝜋. 
 
26. A expressão 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
É uma fórmula utilizada para calcular a distância de um ponto a um plano. Examinando esta 
fórmula, o numerador é o modulo do ponto 𝑃0 dado, e o denominador o módulo do vetor normal ao 
plano. 
 
Sabendo disso, resolva o que se pede: 
 
Determinar a distância do ponto P(2,-1,2) a cada um dos planos: 
a) 𝜋: 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 
b) 𝜋: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 
c) 𝜋: 2𝑥 + 𝑦 = 3 
 
 
27. Determine a distância entre os planos paralelos 𝜋: 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 5 = 0 e 𝛽: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 =
0 
 
 
 
28. Encontre a distância entre o ponto P(1,2,3) à reta 
5 
 
 
𝑟: {
𝑥 = 1 − 2𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑥 = 2 − 𝑡
 
Sabendo que 𝑑(𝑃0, 𝑟) =
|�⃗� ×𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
|�⃗� |
, onde 𝑃1e 𝑣 são, respectivamente, um ponto e o vetor diretor 
da reta r e 𝑃0 é o ponto dado. 
 
29. Calcule a distância entre as retas 𝑟:
𝑥
3
=
𝑦−1
2
=
𝑧+2
−1
 e 𝑠:
𝑥+1
−6
=
𝑦
−4
=
𝑧+1
2