01 MATRIZES

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ALGEBRA LINEAR 2017.1
MATRIZES
Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Centro de Ciências Exatas e Naturais – CCEN 
Prof@: Valdenize Lopes
1
Escolha 5 discentes da turma e liste em uma tabela os seguintes dados:
 Há quantos semestres está na UFERSA;
 Em quantas disciplinas está matriculado;
 Qual o seu dia de nascimento.
EXERCÍCIO
2
TABELA
Nº de Semestres Nº de Disciplinas Dia de Nascimento
Discente 1
Discente 2
Discente 3
Discente 4
Discente 5
3
Definição 01: Uma matriz 𝑚 × 𝑛 é a representação matemática de uma
tabela com elementos dispostos em 𝑚 linhas e 𝑛 colunas. Se todos os
elementos da tabela forem números reais, teremos uma matriz real.
Exemplo 01: A matriz que representa a tabela do Exercício é da forma:
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎41 𝑎42 𝑎43
𝑎51 𝑎52 𝑎53 5x3
DEFINIÇÃO
4
Uma matriz real 𝑚 × 𝑛 pode representada por
A𝑚×𝑛 =
𝑎11 …
⋮ ⋱
𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑖1 …
⋮ ⋱
𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛
= 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛
Observações:
1. O índice 𝑖 refere-se a 𝑖 – ésima linha e o índice 𝑗 refere-se a 𝑗 – ésima
coluna da matriz;
2. A diagonal constituída pelos elementos 𝑎𝑖𝑗 , 𝑖 = 𝑗, é chamada Diagonal
Principal.
5
6
IGUALDADE DE MATRIZES
Definição 02: Dizemos que duas matrizes 𝐴𝑚×𝑛 e 𝐵𝑝×𝑞 são iguais quando 
elas possuem o mesmo numero de linhas, 𝑚 = 𝑝, o mesmo número de 
colunas, 𝑛 = 𝑞, e todos os elementos correspondentes iguais, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗.
Exemplo 02: 
𝑡𝑔(45°) −1 22
9 ln(1) 5
=
1 −1 4
3 0 5
 Matriz Quadrada: Possui o mesmo número de linhas e colunas. 
( 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑚= 𝑎𝑖𝑗 𝑚)
Exemplo 03: 
1 2
0 −1
 Matriz Nula: Possui apenas elementos nulos.
(𝑂 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛, 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖, 𝑗)
Exemplo 04: 
0 0
0 0
0 0
7
MATRIZES ESPECIAIS
 Matriz Coluna: Possui apenas uma coluna. ( 𝑎𝑖𝑗 𝑚×1)
Exemplo 05: 
1
0
−2
 Matriz Linha: Possui apenas uma linha. ( 𝑎𝑖𝑗 1×𝑛)
Exemplo 06: 2 −3 5
8
 Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada, na qual os elementos que não pertencem à 
diagonal principal são todos iguais a zero. ( 𝑎𝑖𝑗 𝑚, 𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑖 ≠ 𝑗)
Exemplo 07: 
1 0 0
0 2 0
0 0 −1
 Matriz Identidade Quadrada: É uma matriz diagonal, na qual todos os elementos da 
diagonal principal são iguais a um. (𝐼 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚, 𝑎𝑖𝑗 = 
0; 𝑖 ≠ 𝑗
1; 𝑖 = 𝑗
)
Exemplo 08: 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
9
 Matriz Triangular Superior: É uma matriz quadrada, na qual todos os elementos que 
estão abaixo da diagonal principal são iguais a zero. ( 𝑎𝑖𝑗 𝑚, 𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑖 > 𝑗)
Exemplo 09: 
1 8 0
0 2 7
0 0 −1
 Matriz Triangular Inferior: É uma matriz quadrada, na qual todos os elementos que 
estão acima da diagonal principal são iguais a zero. ( 𝑎𝑖𝑗 𝑚, 𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑖 < 𝑗)
Exemplo 10: 
1 0 0
8 2 0
0 7 −1
10
 Matriz Simétrica: É uma matriz quadrada satisfazendo ( 𝑎𝑖𝑗 𝑚 , 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗).
Exemplo 11: 
1 0 1
0 2 3
1 3 −1
 Matriz Anti-Simétrica: É uma matriz quadrada satisfazendo ( 𝑎𝑖𝑗 𝑚, 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗). 
Observe que, neste caso, 𝑎𝑖𝑖 = 0, ∀𝑖.
Exemplo 12: 
0 2 −1
−2 0 −3
1 3 0
11
Adição: A soma de duas matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]𝑚×𝑛 é uma
matriz 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 𝑚×𝑛, tal que 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗.
Exemplo 13:
1 0 1
0 2 3
1 3 −1
+
0 2 −1
−2 0 −3
1 3 0
=
1 2 0
−2 2 0
2 6 −1
.
Propriedades: Se 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são matrizes de ordem 𝑚 × 𝑛 e 𝑂 é a matriz nula de
mesma ordem, então:
𝑖 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴;
𝑖𝑖 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶;
𝑖𝑖𝑖 𝐴 + 𝑂 = 𝐴.
12
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Multiplicação por Escalar: A multiplicação de um escalar 𝑘 ∈ ℝ por uma
matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛 é uma matriz 𝐷 = 𝑑𝑖𝑗 𝑚×𝑛, tal que 𝑑𝑖𝑗 = 𝑘. 𝑎𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗.
Exemplo 14: 3.
1 0 1
0 2 3
1 3 −1
=
3 0 3
0 6 9
3 9 −3
13
Propriedades da Multiplicação por Escalar: Se 𝐴 e 𝐵 são matrizes de ordem
𝑚 × 𝑛, 𝑂 é a matriz nula de mesma ordem e 𝑘, 𝑘1, 𝑘2 ∈ ℝ, então:
𝑖 𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵;
𝑖𝑖 𝑘1 + 𝑘2 𝐴 = 𝑘1𝐴 + 𝑘2𝐴;
𝑖𝑖𝑖 0. 𝐴 = 𝑂;
𝑖𝑣 𝑘1 𝑘2𝐴 = 𝑘1𝑘2 𝐴.
14
Transposição: A transposta de uma matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛 é uma matriz 
representada por 𝐴𝑡 = [𝑏𝑖𝑗]𝑛×𝑚, tal que 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗.
Exemplo 15: A =
1 5 0
4 2 7
−2 3 −1
⟹ 𝐴𝑡 =
1 4 −2
5 2 3
0 7 −1
Exemplo 16: A =
1 2 3
4 5 6
⟹ 𝐴𝑡 =
1 4
2 5
3 6
15
Propriedades da Transposição de Matrizes: 
𝑖 𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡;
𝑖𝑖 𝑘𝐴 𝑡 = 𝑘𝐴𝑡;
𝑖𝑖𝑖 𝐴𝑡 𝑡 = 𝐴;
Proposição 01: 𝐴 é simétrica se, e somente se, 𝐴 = 𝐴𝑡.
16
Multiplicação de Matrizes: : O produto de duas matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑘]𝑚×𝑛 e
𝐵 = [𝑏𝑘𝑗]𝑛×𝑝 é uma matriz 𝐶 = 𝑐𝑖𝑗 𝑚×𝑝, tal que
𝑐𝑖𝑗 = 𝑘=1
𝑛 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 +⋯+ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑘𝑗 +…+ 𝑎𝑖𝑛 𝑏𝑛𝑗 , ∀𝑖, 𝑗.
A𝑚×𝑛 =
𝑎11 …
⋮ ⋱
𝑎1𝑘 … 𝑎1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑖1 …
⋮ ⋱
𝑎𝑖𝑘 … 𝑎𝑖𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑘 … 𝑎𝑚𝑛
𝐵𝑛×𝑝 =
𝑏11 …
⋮ ⋱
𝑏1𝑗 … 𝑏1𝑝
⋮ ⋱ ⋮
𝑏𝑘1 …
⋮ ⋱
𝑏𝑘𝑗 … 𝑏𝑘𝑝
⋮ ⋱ ⋮
𝑏𝑛1 … 𝑏𝑛𝑗 … 𝑏𝑛𝑝
17
Exemplo 17: Se 𝐴 =
1 0 1
0 2 3
1 3 −1
e B =
0 2 −1
−2 0 −3
1 3 0
,
então
𝐴. 𝐵 =
1 5 −1
−1 9 −6
−7 −1 −10
18
Propriedades da Multiplicação de Matrizes: 
𝑖 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶;
𝑖𝑖 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶;
𝑖𝑖𝑖 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 ;
𝑖𝑣 𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴;
𝑣 𝑂. 𝐴 = 𝑂 e 𝐴. 𝑂 = 𝑂;
𝑣𝑖 𝐸𝑚 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙, 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴;
𝑣𝑖𝑖 𝐴𝐵 𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡.
Observação: Os símbolos 𝐼 e 𝑂 são utilizados para representar,
respectivamente, as matrizes identidades e nulas de quaisquer ordens.
19
Capítulo 1 do Livro Texto: Exercícios de 01 à 18. (pg 11 - pg 14).
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EXERCÍCIOS