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Teoria das Estruturas Mecaˆnicas Prof. Dr. Alessandro Alberto de Lima, Engenharia Mecaˆnica - Notas de Aula - UNIP Itu, 19 de fevereiro de 2018 I nicialmente, vamos revisar alguns pontos importantes na teoria de resisteˆncia dos materiais para, assim, podermos relacio- nar os esforc¸os aos quais o modelo estrutural e´ submetido aos deslocamentos e tenso˜es so- fridos pelo modelo. Expressa˜o exata da curvatura Podemos representar o momento de uma forc¸a (ou torque) como sendo a tendeˆncia de giro causada pela forc¸a em relac¸a˜o a um ponto espec´ıfico. O valor do momento e´ dado pelo produto da magnitude da forc¸a pela menor distaˆncia entre a linha de ac¸a˜o da forc¸a e o ponto considerado. (a) (b) Figura 1: Deflexa˜o de uma viga engatada. • o plano xy e´ o plano de simetria e, tambe´m, o plano de deflexa˜o. • deflexa˜o e´ o deslocamento de um dado ponto da viga em relac¸a˜o a` sua posic¸a˜o original, medida na direc¸a˜o do eixo y. (a) (b) Figura 2: Deformac¸a˜o da curva da viga. • m1 e m2 sa˜o escolhidos arbitrariamente ao longo da viga. • O′ e´ o centro de curvatura do arco ds. Nor- malmente as curvas de deflexa˜o sa˜o caracteriza- das por pequenas deformac¸o˜es e O′ se localiza ”muito distante” da viga. • ρ e´ o raio de curvatura. κ define a curvatura. • a partir da geometria de O′m1m2 podemos defi- nir ρdθ = ds κ = 1 ρ = dθ ds Pa´gina 1 de 8 Convenc¸a˜o de sinais para a curvatura: (a) (b) Figura 3: Deflexa˜o de uma viga engatada. Analisando a curvatura, temos κ = 1 ρ = dθ ds = d(arctan ν ′) dx dx ds . (1) Da Fig 2b, vemos que ds2 = dx2 + dν2 ou ds = [ dx2 + dν2 ]1/2 . (2) Dividindo os dois lados da Eq 2 por dx, temos ds dx = [ 1 + ( dν dx )2]1/2 = [ 1 + ( ν ′ )2]1/2 ou dx ds = 1[ 1 + (ν ′)2 ]1/2 . (3) Da derivada da func¸a˜o arco tangente de uma func¸a˜o qualquer u = u(x), temos que d dx (arctan u) = 1 1 + u2 du dx , portanto, para o nosso caso, d dx (arctan ν ′) = ν ′′ 1 + (ν ′)2 . (4) (a) antes da deformac¸a˜o (b) depois da deformac¸a˜o Figura 4: Deformac¸a˜o da viga sob flexa˜o pura. Substituindo as equac¸o˜es 3 e 4 na Eq. 1, teremos κ = 1 ρ = ν ′′[ 1 + (ν ′)2 ]3/2 . (5) A Eq. 5 e´ a equac¸a˜o exata da curvatura. Para pequenas deformac¸o˜es, (ν ′)2 e´ considerado desprez´ıvel em relac¸a˜o a` unidade e a curvatura as- sume sua forma mais comum: κ = 1 ρ = dθ dx = ν ′′ (6) Tenso˜es normal em vigas A flexa˜o pura refere-se a` flexa˜o na viga submetida, exclusivamente, a um momento fletor constante. • na Fig. 4 podemos observar que, acima da linda s as linhas sa˜o diminu´ıdas. • ss e´ a linha neutra. ρdθ = dx • as outras linhas da viga sofrem uma deformac¸a˜o de mo´dulo �x. Na Fig. 4a, antes da deformac¸a˜o, podemos ob- servar que o comprimento da linha ef e´ dx. Depois da deformac¸a˜o (Fig. 4b), podemos representar o Pa´gina 2 de 8 (a) tenso˜es normais (b) sec¸a˜o transversal Figura 5: Tenso˜es normais em viga de material linear ela´stico. comprimento da linha ef por L1 que e´ calculado como L1 = (ρ− y) dθ = dx− y ρ dx, em que dθ = dx ρ . As deformac¸o˜es das linhas da viga podem ser cal- culadas como �x = ∆L L = L1 − dx dx = −y dxρ dx = −y ρ = −κy, em que L representa o comprimento inicial da linha e ∆L a variac¸a˜o de seu comprimento. Uma viga sujeita a` flexa˜o pura e´ solicitada apenas por forc¸as normais. A Fig. 5 ilustra o mecanismo de ac¸a˜o das tenso˜es normais em uma viga de sec¸a˜o transversal trapezoidal. Podemos determinar as tenso˜es a partir das de- formac¸o˜es por meio da curva tensa˜o deformac¸a˜o do material. Um material linear ela´stico obedece a lei de Hooke para tenso˜es uniaxiais (σ = E�). σx = E�x = −Ey ρ = −Eκy (7) A tensa˜o normal varia linearmente com a distaˆncia y da linha neutra. Quando a curvatura e´ positiva, σx e´ negativo (compressa˜o) acima da linha neutra. Para usar a Eq. 7 temos que posicionar o sistema de coordenadas de forma que a distaˆncia y possa ser determinada em relac¸a˜o a` linha neutra. Localizac¸a˜o da linha neutra A forc¸a agindo no elemento de a´rea dA (Fig. 5b) e´ σxdA. Dado que a forc¸a resultante na sec¸a˜o trans- versal e´ nula, temos∫ A σxdA = − ∫ A EκydA = 0, ∫ A ydA = 0 (8) uma vez que E e κ sa˜o constantes na sec¸a˜o analisada. A linha neutra passa pelo centro´ide da a´rea da sec¸a˜o transversal quando o material segue a lei de Hooke e na˜o existem forc¸as axiais agindo na sec¸a˜o transversal. Relac¸a˜o momento curvatura Analisando o momento que atua na sec¸a˜o transversal, temos dM = −σxydA, M = − ∫ A σxydA, e M = ∫ A κEy2dA = κE ∫ A y2dA. Dado que I = ∫ A y2dA e´ o momento de ine´rcia da sec¸a˜o transversal, podemos escrever o momento fletor como sendo M = κEI ou κ = 1 ρ = M EI . (9) Substituindo a Eq. 9 na Eq. 7 obtemos a fo´rmula da flexa˜o que e´ dada por σx = −M I y (10) Deflexo˜es em vigas Tratando do modelo de viga na condic¸a˜o deformada como apresentado nas figuras 1 e 2 e lembrando que κ = 1 ρ = dθ ds , a inclinac¸a˜o da curva e´ dada pela primeira derivada da func¸a˜o ν = ν(x). Observando a Fig. 2b, podemos escrever as seguintes relac¸o˜es matema´ticas: dν dx = tgθ =⇒ θ = arctangdν dx Pa´gina 3 de 8 cosθ = dx ds sin = dν ds Para pequenas deformac¸o˜es, temos ds ≈ dx =⇒ κ = 1 ρ = dθ dx e dν dx = tgθ ≈ θ =⇒ dθ dx = d2ν dx2 =⇒ κ = 1 ρ = d2ν dx2 . Para vigas constitu´ıdas de material linear ela´stico, podemos escrever d2ν dx2 = M EI . Lembrando que dV dx = −q e dM dx = V, Para vigas que possuem rigidez flexional (EI) varia´vel em func¸a˜o de x (vigas na˜o prisma´ticas), valem as seguintes relac¸o˜es: EIx d2ν dx2 = M, d dx ( EIx d2ν dx2 ) = V e d2 dx2 ( EIx d2ν dx2 ) = −q. No caso de vigas prisma´ticas (EI =constante), as equac¸o˜es passam a ser escritas como: EI d2ν dx2 = M, EI d3ν dx3 = V e EI d4ν dx4 = −q. Para facilitar a notac¸a˜o, usaremos dν dx ≡ ν ′, d 2ν dx2 ≡ ν ′′, d 3ν dx3 ≡ ν ′′′, · · · e, sendo assim, podemos reescrever as equac¸o˜es para vigas prisma´ticas da seguinte forma: EIν ′′ = M, EIν ′′′ = V e EIν ′′′′ = −q. Tensa˜o de cisalhamento em vigas Quando a viga esta´ sujeita a momentos fletores e forc¸as cortantes (flexa˜o na˜o uniforme) a viga apre- senta tenso˜es normais e tenso˜es de cisalhamento. A Fig. 6 ilustra o mecanismo ac¸a˜o da tensa˜o de cisa- lhamento em uma viga de sec¸a˜o retangular. (a) (b) (c) Figura 6: Tensa˜o de cisalhamento em viga de sec¸a˜o re- tangular. Pa´gina 4 de 8 No modelo ilustrado na Fig. 7, mostramos o que aconteceria se na˜o houvesse uma tensa˜o de cisalha- mento atuando entre as duas vigas sobrepostas. (a) (b) Figura 7: Flexa˜o de duas vigas separadas. Observando a Fig. 6c, constru´ıda a partir da condic¸a˜o de equil´ıbrio esta´tico na qual a estrutura se encontra, conclu´ımos que as tenso˜es de cisalhamento horizontais e verticais possuem a mesma intensidade para o elemento mn analisado. A ana´lise da Fig. 8b nos permite escrever as se- guintes relac¸o˜es: σ1 = −M I y e σ2 = −(M + dM) I y. Podemos afirmar que a tensa˜o de cisalhamento τ sera´ nula se os momentos fletores nas sec¸o˜es mn e m1n1 forem iguais. Analisaremos o equil´ıbrio de forc¸as horizontais no elemento da Fig. 8e que e´ resultado da integrac¸a˜o das tenso˜es normais e de cisalhamento no elemento da Fig. 8c. Podemos afirmar que F1 = ∫ σ1dA = ∫ M I ydA e F2 = ∫ σ2dA = ∫ (M + dM) I ydA; F3 = F2 − F1ou F3 = ∫ (M + dM) I ydA− ∫ M I ydA = ∫ dM I ydA. As grandezas dM e I sa˜o constantes na sec¸a˜o de integrac¸a˜o, sendo assim: F3 = dM I ∫ ydA. (11) (a) (b) (c) (d) (e) Figura 8: Ana´lise da tensa˜o de cisalhamento em viga de sec¸a˜o retangular. Pa´gina 5 de 8 Se a tensa˜o de cisalhamento τ for uniformemente distribu´ıda ao longo da largura b da viga, a forc¸a F3 tambe´m pode ser avaliada como F3 = τbdx, (12) em que bdx e´ a a´rea abaixo do elemento analisado. Combinando as equac¸o˜es 11 e 12, teremos τ = dM dx ( 1 Ib )∫ ydA (13) As integrais sa˜o avaliadas no intervalo y1 ≤ y ≤ h/2, dado que h e´ a altura da viga (Fig. 8d). Podemos reescrever a equac¸a˜o da tensa˜o de cisa- lhamento como τ = V Q Ib em que Q e´ o primeiro momento da a´rea que foi considerada para ca´lculo das forc¸as normais. Distribuic¸a˜o das tenso˜es de cisalhamento em uma viga retangular A grandeza Q e´ obtida multiplicando a a´rea som- breada (Fig. 9b) pela distaˆncia entre o centroide da pro´pria a´rea e a linha neutra. (a) (b) Figura 9: Distribuic¸a˜o das tenso˜es de cisalhamento em viga de sec¸a˜o retangular: (9a) sec¸a˜o transver- sal da viga, e (9b) distribuic¸a˜o de tenso˜es ao longo da altura. Q = b ( h 2 − y1 )( y1 + 1 2 ( h 2 − y1 )) = b 2 ( h2 4 − y21 ) Utilizando a integral, encontramos o mesmo resul- tado: Q = ∫ ydA = ∫ h/2 y1 ybdy = b 2 ( h2 4 − y21 ) . Fluxo do cisalhamento O fluxo do cisalhamento e´ a forc¸a por unidade de comprimento que atua entre as camadas da viga. Forc¸a distribu´ıda horizontalmente como ilustrado no elemento em equil´ıbrio da Figura 8e. Dada a Equac¸a˜o 11, o fluxo de cisalhamento f e´ dado como f = F3 dx = dM dx 1 I ∫ ydA. A Equac¸a˜o 14 representa o fluxo de cisalhamento. f = V Q I (14) Pa´gina 6 de 8 (a) (b) (c) Figura 10: Vigas constru´ıdas: a´reas utilizadas para ca´lculo do Q. O ca´lculo do momento de a´rea Q vai depender da geometria da sec¸a˜o tranversal. A Figura 10 apresenta treˆs tipos de sec¸a˜o transversal e indica as a´reas a serem utilizadas para ca´lculo do Q. Na Figura 10a, a forc¸a distribu´ıda ao longo do plano a − a deve ser resistida por uma solda. Na Figura 10b, a forc¸a distribu´ıda ao longo do plano b− b deve ser resistida por parafusos e, na Figura 10c, as forc¸as se distribuem ao longo dos planos c− c e d− d. Exercı´cios 1 (a) Esboce o gra´fico de forc¸a cortante e momento fletor para o modelo de viga ilustrado na figura abaixo; (b) Determine as tenso˜es de trac¸a˜o σt e compressa˜o σc ma´ximas. Indique em que ponto da viga tais tenso˜es ocorrem. q = 20, 0kN/m; L = 5, 0m b = 0, 1m 2 Nos itens abaixo, utilize q = 20, 0kN/m, L = 6, 0m, b = 200mm e h = 400mm. (a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento fletor para o modelo de viga de acordo com a figura abaixo; (b) Determine as ma´ximas tenso˜es de trac¸a˜o (σt) e compressa˜o (σc). Indique em qual ponto da viga essas tenso˜es ocorrem. 3 Nos itens abaixo, utilize P = 175kN , L = 1500mm, a = 500mm, b = 300mm e h = 250mm. O Carrega- mento q e´ admitido de forma a manter o equil´ıbrio esta´tico do modelo. (a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento fletor para o modelo de viga de acordo com a figura abaixo; (b) Determine as ma´ximas tenso˜es de trac¸a˜o (σt) e compressa˜o (σc). Indique em qual ponto da viga essas tenso˜es ocorrem. 4 Nos itens abaixo, utilize P = 6.2kN , L = 3.2m, d = 1.25m, b = 80mm, t = 25mm, h = 120mm e h1 = 90mm. (a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento fletor para o modelo de viga de acordo com a figura abaixo; (b) Determine as ma´ximas tenso˜es de trac¸a˜o (σt) e compressa˜o (σc). Indique em qual ponto da viga essas tenso˜es ocorrem. Pa´gina 7 de 8 5 Considere as duas condic¸o˜es de v´ınculo. (a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento fletor para os modelos de viga de acordo com a figura abaixo; (b) Determine as ma´ximas tenso˜es normais (σMax) e de cisalhamento (τMax). Indique em qual ponto da viga essas tenso˜es ocorrem. 6 (a) Esboce os gra´ficos de forc¸a cortante e momento fletor para o modelo de viga de acordo com a figura abaixo; (b) Determine as ma´ximas tenso˜es normais (σMax) e de cisalhamento (τMax). Indique em qual ponto da viga essas tenso˜es ocorrem. Refereˆncias [1] J. M. Gere. Mecaˆnica dos Materiais. LTC ( Livros Te´cnicos e Cient´ıficos Editora S/A), 7 edition, 2009. [2] R. C. Hibbeler. Resisteˆncia dos Materiais. Pear- son Education do Brasil, 7 edition, 2010. [3] B. . Johnston. Mecaˆnica vetorial para engenhei- ros: Esta´tica. Mc Graw Hill, 1996. [4] B. . Johnston. Resisteˆncia dos Materiais. Mc Graw Hill, 1996. Pa´gina 8 de 8
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