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Teoria das Estruturas Mecânicas
Prof. Dr. Alessandro Alberto de Lima, Engenharia Mecânica - Notas de Aula - UNIP
Itu, 9 de fevereiro de 2023
I
nicialmente, vamos revisar alguns pontos
importantes na teoria de resistência dos
materiais para, assim, podermos relacio-
nar os esforços aos quais o modelo estrutural
é submetido aos deslocamentos e tensões so-
fridos pelo modelo.
Expressão exata da curvatura
Podemos representar o momento de uma força (ou
torque) como sendo a tendência de giro causada pela
força em relação a um ponto espećıfico. O valor do
momento é dado pelo produto da magnitude da força
pela menor distância entre a linha de ação da força
e o ponto considerado.
(a)
(b)
Figura 1: Deflexão de uma viga engatada.
� o plano xy é o plano de simetria e, também, o
plano de deflexão.
� deflexão é o deslocamento de um dado ponto da
viga em relação à sua posição original, medida
na direção do eixo y.
(a)
(b)
Figura 2: Deformação da curva da viga.
� m1 e m2 são escolhidos arbitrariamente ao longo
da viga.
� O′ é o centro de curvatura do arco ds. Nor-
malmente as curvas de deflexão são caracteriza-
das por pequenas deformações e O′ se localiza
”muito distante” da viga.
� ρ é o raio de curvatura. κ define a curvatura.
� a partir da geometria de O′m1m2 podemos defi-
nir ρdθ = ds
κ =
1
ρ
=
dθ
ds
Convenção de sinais para a curvatura:
Página 1 de 8
(a)
(b)
Figura 3: Deflexão de uma viga engatada.
Analisando a curvatura, temos
κ =
1
ρ
=
dθ
ds
=
d(arctan ν ′)
dx
dx
ds
. (1)
Da Fig 2b, vemos que
ds2 = dx2 + dν2 ou
ds =
[
dx2 + dν2
]1/2
. (2)
Dividindo os dois lados da Eq 2 por dx, temos
ds
dx
=
[
1 +
(
dν
dx
)2]1/2
=
[
1 +
(
ν ′
)2]1/2
ou
dx
ds
=
1[
1 + (ν ′)2
]1/2 . (3)
Da derivada da função arco tangente de uma
função qualquer u = u(x), temos que
d
dx
(arctan u) =
1
1 + u2
du
dx
,
portanto, para o nosso caso,
d
dx
(arctan ν ′) =
ν ′′
1 + (ν ′)2
. (4)
(a) antes da deformação
(b) depois da deformação
Figura 4: Deformação da viga sob flexão pura.
Substituindo as equações 3 e 4 na Eq. 1, teremos
κ =
1
ρ
=
ν ′′[
1 + (ν ′)2
]3/2 . (5)
A Eq. 5 é a equação exata da curvatura.
Para pequenos deslocamentos (angulares e linea-
res), (ν ′)2 é considerado despreźıvel em relação à
unidade e a curvatura assume sua forma mais co-
mum:
κ =
1
ρ
=
dθ
dx
= ν ′′ (6)
Tensões normal em vigas
A flexão pura refere-se à flexão na viga submetida,
exclusivamente, a um momento fletor constante.
� na Fig. 4 podemos observar que, acima da linda
s as linhas são diminúıdas.
� ss é a linha neutra.
ρdθ = dx
� as outras linhas da viga sofrem uma deformação
de módulo ϵx.
Na Fig. 4a, antes da deformação, podemos obser-
var que o comprimento da linha ef é dx. Depois da
Página 2 de 8
(a) tensões normais
(b) seção transversal
Figura 5: Tensões normais em viga de material linear
elástico.
deformação (Fig. 4b), podemos representar o com-
primento da linha ef por ℓ1 que é calculado como
ℓ1 = (ρ− y) dθ = dx−
y
ρ
dx,
em que
dθ =
dx
ρ
.
As deformações das linhas da viga podem ser cal-
culadas como
ϵx =
∆ℓ
ℓ
=
ℓ1 − dx
dx
=
−y dxρ
dx
= −y
ρ
= −κy,
em que L representa o comprimento inicial da linha
e ∆L a variação de seu comprimento.
Uma viga sujeita à flexão pura é solicitada apenas
por forças normais. A Fig. 5 ilustra o mecanismo
de ação das tensões normais em uma viga de seção
transversal trapezoidal.
Podemos determinar as tensões a partir das de-
formações por meio da curva tensão deformação do
material. Um material linear elástico obedece a lei
de Hooke para tensões uniaxiais (σ = Eϵ).
σx = Eϵx = −
Ey
ρ
= −Eκy (7)
A tensão normal varia linearmente com a distância
y da linha neutra. Quando a curvatura é positiva,
σx é negativo (compressão) acima da linha neutra.
Para usar a Eq. 7 temos que posicionar o sistema
de coordenadas de forma que a distância y possa ser
determinada em relação à linha neutra.
Localização da linha neutra
A força agindo no elemento de área dA (Fig. 5b) é
σxdA. Dado que a força resultante na seção trans-
versal é nula, temos∫
A
σxdA = −
∫
A
EκydA = 0,
∫
A
ydA = 0 (8)
uma vez que E e κ são constantes na seção analisada.
A linha neutra passa pelo centróide da área da seção
transversal quando o material segue a lei de Hooke e
não existem forças axiais agindo na seção transversal.
Relação momento curvatura
Analisando o momento que atua na seção transversal,
temos
dM = −σxydA, M = −
∫
A
σxydA, e
M =
∫
A
κEy2dA = κE
∫
A
y2dA.
Dado que
I =
∫
A
y2dA
é o momento de inércia da seção transversal, podemos
escrever o momento fletor como sendo
M = κEI ou κ =
1
ρ
=
M
EI
. (9)
Substituindo a Eq. 9 na Eq. 7 obtemos a fórmula
da flexão que é dada por
σx = −
M
I
y (10)
Deflexões em vigas
Tratando do modelo de viga na condição deformada
como apresentado nas figuras 1 e 2 e lembrando que
κ =
1
ρ
=
dθ
ds
,
a inclinação da curva é dada pela primeira derivada
da função ν = ν(x). Observando a Fig. 2b, podemos
escrever as seguintes relações matemáticas:
dν
dx
= tgθ =⇒ θ = arctangdν
dx
Página 3 de 8
cosθ =
dx
ds
sin =
dν
ds
Para pequenas deformações, temos
ds ≈ dx =⇒ κ = 1
ρ
=
dθ
dx
e
dν
dx
= tgθ ≈ θ =⇒ dθ
dx
=
d2ν
dx2
=⇒ κ = 1
ρ
=
d2ν
dx2
.
Para vigas constitúıdas de material linear elástico,
podemos escrever
d2ν
dx2
=
M
EI
.
Lembrando que
dV
dx
= −q e dM
dx
= V,
Para vigas que possuem rigidez flexional (EI)
variável em função de x (vigas não prismáticas),
valem as seguintes relações:
EIx
d2ν
dx2
= M,
d
dx
(
EIx
d2ν
dx2
)
= V e
d2
dx2
(
EIx
d2ν
dx2
)
= −q.
No caso de vigas prismáticas (EI =constante), as
equações passam a ser escritas como:
EI
d2ν
dx2
= M, EI
d3ν
dx3
= V e
EI
d4ν
dx4
= −q.
Para facilitar a notação, usaremos
dν
dx
≡ ν ′, d
2ν
dx2
≡ ν ′′, d
3ν
dx3
≡ ν ′′′, · · ·
e, sendo assim, podemos reescrever as equações para
vigas prismáticas da seguinte forma:
EIν ′′ = M, EIν ′′′ = V e EIν ′′′′ = −q.
Tensão de cisalhamento em vigas
Quando a viga está sujeita a momentos fletores e
forças cortantes (flexão não uniforme) a viga apre-
senta tensões normais e tensões de cisalhamento. A
Fig. 6 ilustra o mecanismo ação da tensão de cisa-
lhamento em uma viga de seção retangular.
(a)
(b)
(c)
Figura 6: Tensão de cisalhamento em viga de seção re-
tangular.
Página 4 de 8
No modelo ilustrado na Fig. 7, mostramos o que
aconteceria se não houvesse uma tensão de cisalha-
mento atuando entre as duas vigas sobrepostas.
(a)
(b)
Figura 7: Flexão de duas vigas separadas.
Observando a Fig. 6c, constrúıda a partir da
condição de equiĺıbrio estático na qual a estrutura se
encontra, conclúımos que as tensões de cisalhamento
horizontais e verticais possuem a mesma intensidade
para o elemento mn analisado.
A análise da Fig. 8b nos permite escrever as se-
guintes relações:
σ1 = −
M
I
y e σ2 = −
(M + dM)
I
y.
Podemos afirmar que a tensão de cisalhamento τ
será nula se os momentos fletores nas seções mn e
m1n1 forem iguais.
Analisaremos o equiĺıbrio de forças horizontais no
elemento da Fig. 8e que é resultado da integração
das tensões normais e de cisalhamento no elemento
da Fig. 8c. Podemos afirmar que
F1 =
∫
σ1dA =
∫
M
I
ydA e
F2 =
∫
σ2dA =
∫
(M + dM)
I
ydA;
F3 = F2 − F1 ou
F3 =
∫
(M + dM)
I
ydA−
∫
M
I
ydA =
∫
dM
I
ydA.
As grandezas dM e I são constantes na seção de
integração, sendo assim:
F3 =
dM
I
∫
ydA. (11)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Figura 8: Análise da tensão de cisalhamento em viga de
seção retangular.
Página 5 de 8
Se a tensão de cisalhamento τ for uniformemente
distribúıda ao longo da largura b da viga, a força F3
também pode ser avaliada como
F3 = τbdx, (12)
em que bdx é a área abaixo do elemento analisado.
Combinando as equações 11 e 12, teremos
τ =
dM
dx
(
1
Ib
)∫
ydA (13)
As integraissão avaliadas no intervalo y1 ≤ y ≤
h/2, dado que h é a altura da viga (Fig. 8d).
Podemos reescrever a equação da tensão de cisa-
lhamento como
τ =
V Q
Ib
em que Q é o primeiro momento da área que foi
considerada para cálculo das forças normais.
Distribuição das tensões de cisalhamento
em uma viga retangular
A grandeza Q é obtida multiplicando a área som-
breada (Fig. 9b) pela distância entre o centroide da
própria área e a linha neutra.
(a)
(b)
Figura 9: Distribuição das tensões de cisalhamento em
viga de seção retangular: (9a) seção transver-
sal da viga, e (9b) distribuição de tensões ao
longo da altura.
Q = b
(
h
2
− y1
)(
y1 +
1
2
(
h
2
− y1
))
=
b
2
(
h2
4
− y21
)
Utilizando a integral, encontramos o mesmo resul-
tado:
Q =
∫
ydA =
∫ h/2
y1
ybdy =
b
2
(
h2
4
− y21
)
.
Fluxo do cisalhamento
O fluxo do cisalhamento é a força por unidade de
comprimento que atua entre as camadas da viga.
Força distribúıda horizontalmente como ilustrado
no elemento em equiĺıbrio da Figura 8e. Dada a
Equação 11, o fluxo de cisalhamento f é dado como
f =
F3
dx
=
dM
dx
1
I
∫
ydA.
A Equação 14 representa o fluxo de cisalhamento.
f =
V Q
I
(14)
Página 6 de 8
(a) (b)
(c)
Figura 10: Vigas constrúıdas: áreas utilizadas para
cálculo do Q.
O cálculo do momento de área Q vai depender da
geometria da seção tranversal. A Figura 10 apresenta
três tipos de seção transversal e indica as áreas a
serem utilizadas para cálculo do Q. Na Figura 10a,
a força distribúıda ao longo do plano a − a deve
ser resistida por uma solda. Na Figura 10b, a força
distribúıda ao longo do plano b− b deve ser resistida
por parafusos e, na Figura 10c, as forças se distribuem
ao longo dos planos c− c e d− d.
Exercı́cios
1
(a) Esboce o gráfico de força cortante e momento
fletor para o modelo de viga ilustrado na figura
abaixo;
(b) Determine as tensões de tração σt e compressão
σc máximas. Indique em que ponto da viga tais
tensões ocorrem.
q = 20,0kN/m; L = 5,0m b = 0,1m
2
Nos itens abaixo, utilize q = 20,0kN/m, L = 6,0m,
b = 200mm e h = 400mm.
(a) Esboce os gráficos de força cortante e momento
fletor para o modelo de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as máximas tensões de tração (σt) e
compressão (σc). Indique em qual ponto da viga
essas tensões ocorrem.
3
Nos itens abaixo, utilize P = 175kN , L = 1500mm,
a = 500mm, b = 300mm e h = 250mm. O Carrega-
mento q é admitido de forma a manter o equiĺıbrio
estático do modelo.
(a) Esboce os gráficos de força cortante e momento
fletor para o modelo de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as máximas tensões de tração (σt) e
compressão (σc). Indique em qual ponto da viga
essas tensões ocorrem.
4
Nos itens abaixo, utilize P = 6.2kN , L = 3.2m,
d = 1.25m, b = 80mm, t = 25mm, h = 120mm e
h1 = 90mm.
(a) Esboce os gráficos de força cortante e momento
fletor para o modelo de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as máximas tensões de tração (σt) e
compressão (σc). Indique em qual ponto da viga
essas tensões ocorrem.
Página 7 de 8
5
Considere as duas condições de v́ınculo.
(a) Esboce os gráficos de força cortante e momento
fletor para os modelos de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as máximas tensões normais (σMax) e
de cisalhamento (τMax). Indique em qual ponto
da viga essas tensões ocorrem.
6
(a) Esboce os gráficos de força cortante e momento
fletor para o modelo de viga de acordo com a
figura abaixo;
(b) Determine as máximas tensões normais (σMax) e
de cisalhamento (τMax). Indique em qual ponto
da viga essas tensões ocorrem.
Referências
[1] J. M. Gere. Mecânica dos Materiais. LTC ( Livros
Técnicos e Cient́ıficos Editora S/A), 7 edition,
2009.
[2] R. C. Hibbeler. Resistência dos Materiais. Pear-
son Education do Brasil, 7 edition, 2010.
[3] B. . Johnston. Mecânica vetorial para engenhei-
ros: Estática. Mc Graw Hill, 1996.
[4] B. . Johnston. Resistência dos Materiais. Mc
Graw Hill, 1996.
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