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Teoria das Estruturas Mecânicas: tensões na
flexão
prof. Dr. Alessandro A. de Lima
alessandro.lima@docente.unip.br
ICET, Universidade Paulista - UNIP
9 de fevereiro de 2023
1
Determine o valor mı́nimo aproximado (em mm) da dimensão a da seção transversal da
viga ilustrada na Figura 1 de modo a suportar de forma segura o carregamento indicado.
Admita que a madeira tenha uma tensão normal admisśıvel σadm = 10 MPa e tensão de
cisalhamento admisśıvel τadm = 1 MPa.
Figura 1: modelo estrutural
Solução
Os diagramas de força cortante e momento fletor são apresentados na Figura 2 para a
qual pode-se identificar as a força cortante máxima (Vmax = 12 kN) e o momento fletor
(Mmax = 18 kN.m) máximo em valores absolutos no modelo. Utilizando-se as simplificações
a seguir para a determinação das tensões normal e de cisalhamento para uma viga de seção
retangular
σ =
M
W
e τ =
V Q
bI
em que W =
I
h/2
=
bh3
12
2
h
=
bh2
6
=
a(2a)2
6
=
4a3
6
=
2a3
3
é o módulo de resistência para
seções transversais retangulares e A = bh = 2a2 é a área da seção.
1
Q =
bh
2
h
4
=
bh2
8
(de acordo com a Figura 3) e τ =
V bh
2
8
b bh
3
12
=
3
2
V
A
.
6 kN 6 kN
12 kN
18 kN.m
(a) corpo livre
0 x (m)
V (kN)
1 2
−12
−6
(b) força cortante.
0 x (m)
M (kN.m)
1 2
−18
−6
(c) momento fletor.
Figura 2: Diagramas de esforços.
Na Figura 3 são apresentadas as propriedades geométricas da seção transversal retan-
gular.
Figura 3: Propriedades geométricas da seção circular.
Analisando-se a tensão normal obtém-se
W =
Mmax
σadm
=
18
10.103
=⇒ �2a
3
3
=��>
9
18.10−4 =⇒ a3 = 27.10−4 =⇒ a ≈ 0,13925 m.
Em relação à tensão de cisalhamento obtém-se
A =
3
2
V
τadm
=
3
�2
��>
6
12
1.103
=⇒ �2a2 =��>
9
18.10−3 =⇒ a2 = 9.10−3 =⇒ a ≈ 0,09487 m.
2
O maior dos valores obtidos será determinante no cálculo da dimensão a, sendo assim
a ≈ 139,25 mm.
2
Determine o valor mı́nimo aproximado (em mm) do diâmetro d da seção transversal da
barra ilustrada na Figura 4 de modo a suportar de forma segura o carregamento indicado.
Admita que o material da barra tenha uma tensão normal admisśıvel σadm = 100 MPa e
tensão de cisalhamento admisśıvel τadm = 50 MPa.
Figura 4: modelo estrutural
Os diagramas de força cortante e momento fletor são apresentados na Figura 2 para a
qual pode-se identificar as a força cortante máxima (Vmax = 15 kN) e o momento fletor
(Mmax = 20 kN.m) máximo em valores absolutos no modelo. Utilizando-se as simplificações
a seguir, de acordo com as propriedades apresentadas na Figura 6, para a determinação das
tensões normal e de cisalhamento para uma viga de seção retangular
σ =
M
W
e τ =
V Q
bI
em que W =
I
d/2
=
πd4
64
2
d
=
πd3
32
é o módulo de resistência para seções transversais
circulares e A =
πd2
4
é a área da seção.
Q =
πd2
8
2d
3π
=
d3
12
(de acordo com a Figura 6) e τ =
V d
3
12
dπd
4
64
=
4
3
V
A
.
Na Figura 6 são apresentadas as propriedades geométricas da seção transversal circular.
Analisando-se a tensão normal obtém-se
W =
Mmax
σadm
=
20
100.103
=⇒ πd
3
32
=
20
100.103
=⇒ d3 = 32
5π
10−3 =⇒ d ≈ 0,12677 m.
Em relação à tensão de cisalhamento obtém-se
A =
4
3
V
τadm
=
4
3
15
50.103
=⇒ πd
2
4
=
4
3
15
50.103
=⇒ d2 = 16
π
10−4 =⇒ d ≈ 0,02257 m.
O maior dos valores obtidos será determinante no cálculo do diâmetro d, sendo assim
d ≈ 126,77 mm.
3
15 kN
5 kN.m
15 kN
20 kN.m
(a) corpo livre
0 x (m)
V (kN)
1
−15
(b) força cortante.
0 x (m)
M (kN.m)
0,5 1
−20
−7,5
−12,5
(c) momento fletor.
Figura 5: Diagramas de esforços.
Figura 6: Propriedades geométricas da seção circular.
4