Equações Diferenciais: Conceitos e Soluções

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Cálculo Diferencial e Integral III – CCE 0116
Unidade II – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2.1 – CONCEITOS BÁSICOS
2.2 –Solução e Classificação das Equações Diferenciais
UNIDADE II – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
O comportamento do mundo físico pode ser expressado matematicamente através de 
relações entre grandezas e a taxa segundo o qual os eventos acontecem.
As RELAÇÕES são equações e as TAXAS são derivadas.
Equações contendo derivadas são equações diferenciais.
A compreensão precisa do comportamento do movimento de fluidos, fluxo de corrente
elétrica , dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas
sísmicas exige o estudo desses eventos através da Modelagem Matemática obtida
através das Equações Diferenciais.
2.1-CONCEITOS BÁSICOS
2.2 - SOLUÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Modelam certos fenômenos físicos, como: circuitos elétricos, dinâmica 
dos fluidos, cinemática, entre outros.
A função e suas derivadas são as incógnitas das chamadas equações 
diferenciais.
)(tv
dt
d
mF


2)(6 xxy
dx
dy

A solução das Equações Diferenciais é obtida encontrando-se a função 
incógnita que satisfaça tal equação, a qual pode ser obtida por meio de 
uma solução exata(método analítico) ou por meio de solução 
aproximada(método numérico).
SOLUÇÃO GERAL X SOLUÇÃO PARTICULAR
 )32( xy
dx
d   dxxxy )32()(
Cxxxy  3)( 2
Solução Geral 
SOLUÇÃO GERAL 
O processo de resolução das equações diferenciais envolve uma 
integração, que traz consigo uma constante arbitrária , cujos 
valores possíveis geram infinidade de soluções. 
Vamos focar em um único elemento dessa família de infinitas 
soluções especificando o valor da constante arbitrária.
Cxxxy  3)( 2
Solução Geral com valores infinitos para 
C gerando infinitas soluções
Solução particular para C = -2:
SOLUÇÃO PARTICULAR
Vamos focar em um único elemento dessa família de infinitas 
soluções especificando o valor da constante arbitrária.
23)( 2  xxxy
RESOLVENDO EQUAÇÃO DO OBJETO EM QUEDA LIVRE
• O movimento ocorre num determinado intervalo de tempo t ;
• O objeto cai a uma velocidade v ;
• A velocidade varia com o tempo , v é uma variável dependente 
e t uma variável independente;
• A segunda Lei de Newton determina o movimento do objeto: 
F = m a
• A aceleração representa a taxa de variação da velocidade a = 
dv/dt , então :
F = m(dv/dt)
• A gravidade exerce sobre o objeto a força peso 
P = m g
• Temos também a resistência do ar , que é proporcional à 
velocidade v
Fr = k.v
)( 
Ar do aResistênci - Peso Resultante Força
tkvmgF
R



)(.
.
tv
dt
d
mF
amF
R
R




)()( tvkmgtv
dt
d
m


)()( tvkmgtv
dt
d
m


)(2100)(10 tvtv
dt
d

)(2,010)( tvtv
dt
d

)50(2,0  vv
dt
d
dt
v
dv
2,0
)50(


 
dt
v
dv
2,0
)50(
ctv  2,0)50ln(
ctetv  2,050)(
50.)( 2,0   tectv
Supor:
m = 10Kg, g = 10m/s2 e k = 2Kg/s
)()( tvkmgtv
dt
d
m


50.)( 2,0   tectv
SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO - DEFINIMOS CONDIÇÕES INICIAIS E OBTEMOS 
VALORES PARA A CONTANTE
c
Supor: v(0) = 0
50
050. 0.2,0


c
ec
)1(50)(
5050)(
2,0
2,0
t
t
etv
etv




 50.)( 2,0   tectv
)1(50)(
2,0 t
etv

)1(50)( 2,0 tetv 
SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO : 
SOLUÇÃO PARTICULAR : Condição inicial 
 0)0( v 50c
4505,0)(  ptp
dt
d
dt
p
tdp
5,0
)900(
)(


 
dt
p
dp
5,0
)900(
ctp  5,0)900ln(
ctetp  5,0900)(
)900(5,0)(  ptp
dt
d
ctetp  5,0900)(
tcetp 5,0900)( 
Resolvendo:
O crescimento de uma população ao longo do tempo pode 
ser representada pela seguinte equação diferencial:
tcetp 5,0900)( 
Condição inicial: p(0)=850
850=900+ c 
c = -50
tetp 5,050900)( 
Solução Geral
Solução Particular
Resolvendo a mesma Equação com as variáveis x e y
4505,0)(  ptp
dt
d
450)(5,0)(  xyxy
dx
d
4505,0  y
dx
dy
dx
y
dy
5,0
)900(


 
dx
y
dy
5,0
)900(
cxy  5,0)900ln(
cxey  5,0900
)900(5,0  y
dx
dy
cxexy  5,0900)(
xecxy 5,0.900)( 
9005,0  ye cx
cx eexy .5,0900)( 
Generalizando, a condição específica que usamos 
para determinar c é um exemplo de uma condição 
inicial . A equação diferencial junto com a condição 
inicial forma um problema de valor inicial.
Considerar um problema mais geral consistindo da equação :
bxya
dx
xdy
 )(.
)(
Com a seguinte condição inicial :
Teremos a solução genérica: 
atecabty  .)/()(
Onde : 
cec 
0)0( yy 
Aplicando a condição inicial , teremos:
)/(0 abyc 
Teremos a solução geral do problema de valor inicial que 
contém todas as soluções possíveis.
  ateabyabty .)/()/()( 0 
0)0( yy 
CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) - TIPO
Parciais
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
Ordinárias
tety
dt
dy
 )(
0)(65
2
2
 xy
dx
dy
dx
yd
x
v
y
u





t
y
t
y
x
y








2
2
2
2
2
CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) - ORDEM
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
1ª Ordem
tety
dt
dy
 )(
0)(65
2
2
 xy
dx
dy
dx
yd2ª Ordem
3ª Ordem
N-ézima Ordem
0
2
2
3
3
2 





t
y
x
y
a
)()(...)( 0 xfxya
dx
yd
xa
n
n
n 
Não Linear
CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (ED) -
LINEARIDADE
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
Linear
)()()(...)()( 01
1
1 xfxyxa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n  


2
2
).(
dx
yd
xy
3
3
.
dx
yd
dx
dy
2






dx
dy=+
EXEMPLO DE CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
EDOL 1ª Ordem
EDOL 3ª Ordem
EDPL 3ª Ordem
EDONL 2ª Ordem
53  t
dt
dy
xex
dx
dy
x
dx
yd
x
dx
yd
x 25
2
2
3
3
4 53125 
0
2
2
3
3
2 





t
y
x
y
a
tety
dt
dy
dt
yd
 )(4)(3 3
2
2