UNIDADE I - Equações Diferenciais

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UNIDADE I – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 Elaine Gaspar 
 
1. Introdução 
Esta unidade fará uma introdução ao estudo das equações diferenciais, no qual será abordado 
o assunto primordialmente sob o ponto de vista prático, incluindo o método das transformadas de 
Laplace e a de séries de potências. 
 
2. Equação Diferencial 
2.1. Definição: Chama-se de equação diferencial a toda equação que estabelece uma relação 
entre uma variável independente, uma variável dependente e suas derivadas. 
Exemplos: 
1) 
 
 
 
2) 
3) 
 
 
 .
 
 
/
 
 
4) 
5) 
6) 
 
 
 
 
 
 
7) .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 
8) 
9) 
 
 
 
 
 
 
10) ̈ ̇ ( )√ 
2.2. Classificação de uma Equação Diferencial 
2.2.1. Equação Diferencial Ordinária (EDO) 
Chame-se EDO se a função incógnita depende de apenas uma variável independente. 
 
Exemplos: 
1) 
 
 
 
2) 
3) 
 
 
 .
 
 
/
 
 
4) 
5) 
 
 2 
6) 
 
 
 
 
 
 
7) .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 
8) 
 
2.2.2. Equação Diferencial Parcial (EDP) 
Chama-se EDP se a função incógnita depende de mais de uma variável independente. 
 
Exemplos: 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. Ordem de uma Equação Diferencial 
Chama-se ordem de uma equação diferencial à ordem da derivada mais elevada contida 
nessa equação. 
 
Exemplos: Equação de primeira ordem 
1) 
 
 
 
2) 
3) 
4) 
5) 
 
Exemplos: Equação de segunda ordem 
1) 
 
 
 .
 
 
/
 
 
2) 
3) 
 
Exemplos: Equação de terceira ordem 
1) 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
2.4. Grau de uma Equação Diferencial 
Chama-se grau de uma equação diferencial à potência a que ela se acha elevada a derivada 
de ordem mais alta. 
 
 
 3 
Exemplos: Equação de grau um 
1) 
 
 
 
2) 
3) 
 
Exemplos: Equação de grau dois 
1) ( ) 
 
Exemplos: Equação de grau três 
1) .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 
 
2.5. Equações Diferenciais Lineares 
Uma EDO de ordem n na função incógnita y e na variável independente x é linear se tem a 
forma: 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Obs.: 
(1) ( )( ) e g(x) supõem-se conhecidas e dependem apenas da variável x. 
(2) As equações que não podem ser postas sob a forma (I) dizem-se não lineares. 
 
Exemplos: EDO Lineares 
1) 
 
 
 {
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
2) 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 ( ) 
3) {
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Exemplos: EDO Não Lineares 
1) 
 
 
 .
 
 
/
 
 (Não é um polinômio em x) 
2) .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 (Não é um polinômio em x) 
 
 
 
 
 
 4 
EXERCÍCIOS 
1) Classificar cada uma das equações diferenciais abaixo, segunda a ordem, o grau (quando 
possível) e a linearidade. Determine a função incógnita e a variável independente: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) ( ) 
d) 
e) ̈ ̇ ( )√ 
f) .
 
 
/
 
 .
 
 
/
 
 
g) 
 
 
 
 
 
2.6. Soluções de uma Equação Diferencial 
Chama-se solução ou integral particular de uma equação diferencial a toda função que 
depende da variável independente, de uma constante fixa e que satisfaz as condições da 
equação. 
 
Exemplos: 
(1) A função ( ) é uma solução particular da equação 
(2) A função ( ) é uma solução particular da equação 
(3) A função ( ) não é uma solução particular da equação 
 
2.6.1. Solução Particular 
Uma solução é dita particular de uma equação diferencial quando esta é qualquer solução da 
equação. 
 
 
2.6.2. Solução Geral 
A solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções. 
 
 
2.7. Problemas de Valor Inicial 
Um problema de valor inicial consiste em uma equação diferencial, juntamente com condições 
subsidiárias relativas a função incógnita e suas derivadas tudo dado para um mesmo valor. 
 
 
 5 
Exemplos: 
1) ( ) 
 
 ( ) ( ) 
x = 0 um mesmo valor para variável independente 
 
2) ( ) ( ) ( ) 
x = um mesmo valor para variável independente 
 
2.8. Problemas de Valor no Contorno 
Se as condições subsidiárias são condições iniciais e se as condições subsidiárias se 
referem a mais de um valor da variável independente, o problema é um problema de valores de 
contorno e as condições dizem-se condições de contorno. 
 
Exemplos: 
1) .
 
 
/ .
 
 
/ 
2) ( ) ( ) ( ) 
 
EXERCÍCIOS 
1) Verificar se as funções seguintes são as soluções das equações diferenciais dadas: 
a) 
b) 
c) 
 
2) Dada a função ( ) . Determinar de modo que satisfaça as 
condições dadas, em seguida, determine se tais condições são iniciais ou de contorno: 
a) ( ) ( ) 
b) ( ) .
 
 
/ 
c) ( ) ( ) 
d) ( ) ( ) 
 
2.9. Equações Diferenciais Homogêneas 
Uma equação diferencial na forma y’ = f(x, y) é dita homogênea se ( ) ( ) . 
 
Exemplos: 
1) 
 
 
 ( ) 
2) ( ) 
 
 
 6 
2.10. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis 
Chama-se de equação de variáveis separáveis a toda equação da forma M(x)dx = N(y)dy, 
ou seja, M é função somente de x e N somente de y. 
 
Exemplos: 
1) 
2) 
 
 
 
 
 
 
3) ( ) 
4) 
 
2.11. Equações Diferenciais de Primeira Ordem de Variáveis Separáveis 
Para se obter a solução geral de uma equação de variáveis basta: 
o Separar as variáveis 
o Integrar membro a membro a equação 
 
Exemplos: 
1) Resolva as equações diferenciáveis abaixo: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
c) ( ) ( ) 
d) ( ) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
 
 
 
j) 
k) 
 
 
 
 
 
 
l) ( ) ( ) 
m) ( ) ( ) 
n) 
 
 
 
 
 
 
o) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 7 
2) Achar as soluções particulares das seguintes equações, que satisfazem as condições 
iniciais indicadas. 
a) ( ) 
b) ( ) 
c) 
 
 
 ( ) 
d) ( ) ( ) 
 
Questões Aplicativas 
1) Mostre que se uma função derivável for igual a sua própria derivada, então a função 
deverá ser da forma 
 
2) Achar a equação da curva que passa pelo ponto (1, - 1), sabendo que o declive de sua 
tangente em um ponto qualquer é igual ao triplo do quadrado da ordenada do mesmo ponto. 
 
3) O declive da tangente a uma curva num ponto genérico é igual a xy. Achar a equação da 
curva que passa pelo ponto (0,3). 
 
4) O valor da revenda de determinado equipamento industrial decresce, num período de 10 
anos, segundo uma razão que é função da idade do equipamento. Quando este tem x anos de 
idade, a razão de variação de seu custo é de $220(x – 10) por ano. Exprima o valor do 
equipamento como função de sua idade e seu custo inicial. Se este era de $12 000,00 quanto 
valerá o equipamento aos 10 anos de idade? 
 
5) Um poço de petróleo, cuja razão é de 300 barris/mês, secará em três anos. Calcula-se 
que, daqui a t meses, o preço do barril de petróleo será de $P(t) = 18 + 0,3√ . Admitindo que o 
petróleo seja vendido tão logo extraído,qual será a receita futura total do poço? 
 
6) O preço de venda de determinada máquina industrial decresce a uma taxa proporcional à 
idade da máquina, de modo que, quando esta tiver t anos, a razão de variação do respectivo 
preço é de 
 
 /ano. 
a) Exprimir o valor da máquina em função da sua idade e do seu valor inicial. 
b) Se o custo original da máquina foi $5 200,00 qual será o respectivo valor aos 10 anos de 
idade. 
 
7) As estatísticas demográficas indicam que, x anos após 1970, determinada comunidade 
crescia à taxa aproximada de 
 
 pessoas/ano. Sabendo que em 1979 a população era de 
39 000 pessoas. 
 
 8 
a) Qual era a população em 1970? 
b) Qual será a população, se permanecer constante aquela razão de crescimento? 
 
8) Uma colônia de bactérias é cultivada sob condições ideais em laboratório, de modo que a 
população aumente exponencialmente. Ao final de 3 horas existem 10 000 bactérias. Ao final de 5 
horas, 40 000. Quantas bactérias haviam inicialmente. 
 
 
 9 
2.12. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem Lineares 
Seja a equação diferencial ordinária de primeira ordem linear y’ + p(x).y = q(x) (I) 
Tomemos como fator integrante para esta equação ( ) ∫ ( ) 
 
Método de Resolução 
Multiplicando-se a equação (I) pelo fator integrante, temos: 
I(x, y).y’ + I(x, y).p(x).y = I(x, y).q(x) 
 , ( )-
 
 ∫ ( ) ( ) 
Exemplos: 
1) Resolva as equações diferenciáveis abaixo: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 ( ) 
f) ( ) 
g) 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
Aplicações das Equações Diferenciais de 1ªOrdem 
o Problemas de Variação de Temperatura 
 
Lei da Variação de Temperatura de Newton 
A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura 
entre o corpo e o meio ambiente. 
T temperatura do corpo 
 temperatura do meio ambiente 
 
 
 taxa de variação da temperatura do corpo 
 
 
 ( ) 
 
 
 ; Sendo k uma constante positiva de proporcionalidade 
 
Exemplos: 
1) Segundo a Lei de Newton para resfriamento / aquecimento de um corpo a velocidade de 
arrefecimento de um corpo no ar é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e o meio 
 
 10 
ambiente. Sabendo que a temperatura do ar é de 20º C e que um corpo arrefece de 100ºC a 60ºC 
num intervalo de 20 minutos. Quanto tempo demorará até a temperatura chegar a 30ºC? 
 
2) Certo corpo, cuja temperatura desconhecemos, é posto numa sala mantida a 30ºC. Após 
10 minutos, a temperatura do corpo é de 0ºC e após 20 minutos é de 15ºC. Qual era a 
temperatura inicial do corpo? 
 
3) Um corpo a temperatura inicial de 50ºF é colocado ao ar livre, onde a temperatura 
ambiente é de 100ºF. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60ºF, determine: 
a) O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75ºF 
b) A temperatura do corpo após 20 minutos. 
 
4) Quando é cometido um assassinato o corpo originalmente a 37ºC, esfria de acordo com a 
Lei de Resfriamento de Newton. Suponha que após duas horas a temperatura seja de 35ºC, e que 
a temperatura ambiente permaneça constante e igual a 20ºC, determine a temperatura do corpo 
em função do tempo desde que o assassinato foi cometido. 
 
 
 11 
2.13. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Homogênea 
Sejam as equações homogêneas 
 
 
 ( ) ( ), derivando (I), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Obs.: A equação diferencial acima após a simplificação resultará com variáveis (x, v) separáveis, 
que resolvida usando as equações diferenciais de primeira ordem separáveis. 
Temos também a equação homogênea 
 
 
 
 
 ( )
 e ( ); derivando (II), obtemos: 
 
 
 ( ( )) 
 
Exemplos: Resolva as equações abaixo (verifique a homogeneidade da equação) 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
3) 
 
 
 
4) 
 
 
 
5) 
 
 
 
6) 
 
 
 
7) 
 
 
 
8) 
 
 
 
9) 
 
 
 
10) 
 
 
 
 
 
 12 
2.14. Equação de Bernoulli 
É toda equação da forma 
 
 
 ( ) ( ) (I) com onde p(x) e q(x) são 
funções contínuas de x ou constantes. 
A equação de Bernoulli pode ser reduzida a uma equação linear fazendo as seguintes 
transformações: 
1) Dividindo-se todos os termos da equação (I) por , obtemos: 
 
 
 
 ( ) ( ) 
2) Fazendo a mudança de variável para ( ), obtemos: 
 
 
 ( ) 
 
 
 , temos 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Soluções da equação de Bernoulli: 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Solução Constante: Se n > 0 a equação admitirá solução constante y(x) = 0, x em I (intervalo 
aberto) 
 
Soluções não constantes: 
1º passo: Multiplica-se os dois membros por 
2º passo: Faz-se a mudança de variável ( ) 
 
Exemplos: Resolva as equações de Bernoulli 
1) 
 
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
3) 
 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
 √ 
5) 
6) ( ) 
7) 
 
 
 
 
 
 13 
2.15. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Exatas 
Uma equação diferencial da forma ( ) ( ) ( ) é exata se existir uma 
função u = u (x, y) tal que: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Teste para verificar se a equação diferencial é exata 
Se M(x, y) e N(x, y) são funções contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em um 
retângulo do plano xy, então a equação ( ) ( ) é exata, se e somente se, 
 ( )
 
 
 ( )
 
, sendo ( ) 
 
 
 e ( ) 
 
 
. 
 
Obs.: Sua solução é determinar a função u(x, y) tal que ( ) 
 
 
 e ( ) 
 
 
, ou seja, 
 ( ) ( ) ( ) . 
Método de Resolução 
Para resolver ( ) ( ) , supondo exata, primeiramente resolve-se as 
equações: 
{
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 em relação a u(x, y) 
A solução de (I) é então dada implicitamente por: 
u(x, y) = c (III), sendo c uma constante arbitrária. 
A equação (III) é decorrência imediata de (I) e (II), desde que substituindo-se (II) em (I), 
obtendo ( ( )) . 
Integrando, temos: 
∫ ( ) ∫ ∫ ( ( )) ∫ ( ) 
Exemplos: Dadas as equações abaixo, verifique se é exata e depois, calcule a sua solução: 
a) ( ) 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) ( ) ( ) 
d) ( ) ( ) 
e) 
f) 
g) ( ) 
h) 
i) ( ) ( ) 
j) ( )) ( ) 
k) 
 
 14 
2.16. Equações Diferencias Lineares: Teoria das Soluções – Soluções Independentes: O 
Wronskiano. 
Teorema 1: A equação diferencial linear homogênea de ordem “n” L(y) = 0 sempre tem n 
soluções linearmente independente (L.I.), se ( ) ( ) ( ) representam essas soluções, 
então a solução geral de L(x) = 0 é ( ) ( ) ( ) (I), sendo 
constantes arbitrárias. 
Método de verificação se um conjunto de funções L(x) = 0 é L.I. ou não. 
Definição: Seja * ( ) ( ) ( )+ um conjunto de funções em , cada uma das 
quais possui n – 1 derivadas. O determinante 
 |
|
 
 
 
 
 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
 
 
( )
|
| é chamado de Wronskiano do dado conjunto de funções. 
 
Teorema 2: Seja * ( ) ( ) ( )+ um conjunto de n soluções da equação diferencial 
linear homogênea de ordem n L(y) = 0. Esse conjunto é L.I. em , se e somente se, o 
Wronskian do conjunto não é identicamente nulo nesse intervalo. 
Obs.: Os coeficientes de L(y) devem ser contínuos para que o teorema seja satisfeito. 
 
Teorema 3: A equação diferencial geral não homogênea ( ) ( ) tem como solução geral 
 sendo uma solução particular qualquer da mesma e a solução geral da equação 
homogênea associada a L(y) = 0.Exemplos: 
1) Determine se as funções ex, e-x que são ambas soluções da equação diferencial y’’- y = 0 
são L.I. 
2) Duas soluções de y’’ – 2y + y = 0 são e-x e 5e-x. Pergunta-se y = c1e
-x + c25e
-x é a solução 
geral? 
3) Ache a solução geral de y’’+ y = x2, se uma solução y = x2 – 2 e, se duas soluções de 
y’’ + y = 0 são senx e cosx. 
4) Determine a solução geral y’’’ – y = x2, se uma solução é y = - x2 – 2, e se duas soluções 
de y’’ – y = 0 são ex e 3ex. 
5) Ache a solução geral y’’’ – y’’– y + 1 = 5, se uma solução é y = - 4, e se três soluções de 
y’’’ – y’’ – y + 1 = 0 são ex, e-x e xex. 
6) Determine a solução geral y’’- 2y’ + y = x2, sabendo que uma solução particular é y = x2 + 
4x + 6, e que duas soluções da equação homogênea associada são ex e xex. 
 
 
 15 
2.17. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior 
 
2.17.1. Introdução: Muitos problemas físicos podem ser reduzidos a equações diferenciais, em 
particular a equações de segunda ordem. 
As EDOs lineares de segunda ordem são as mais importantes, por causa de suas aplicações 
a engenharia, especialmente em conexões com as vibrações mecânicas e elétricas bem como no 
movimento ondulatório, na condução de calor e em outras partes da física. 
Neste item estudaremos a obtenção de soluções gerais e particulares, sendo as particulares 
estando em conexão com os problemas de valor inicial. 
 
2.17.2. Definição: Uma EDO de segunda ordem é chamada de linear quando pode ser escrita 
na forma: 
 ( ) ( ) ( ) (Forma padrão) 
Obs.: 
1) A característica distintiva dessa equação é que ela linear em y e em suas derivadas, 
enquanto as funções p, q e à direita da equação podem ser quaisquer funções dadas de x. 
2) Se a equação começar, digamos f(x).y’’, devemos então dividi-la por f(x) para obtermos a 
forma padrão com y’’ como primeiro termo, o que é prático de se fazer. 
3) Se r(x) = 0, então a equação se reduz a forma ( ) ( ) e é chamda de 
homogênea. 
 
 
Exemplos: 
1) EDO lineares homogêneas 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
2) EDO lineares não homogêneas 
a) 
b) ( ) 
 
3) EDO não lineares 
a) ( ) 
 
 
 
 16 
2.17.3. Equações diferenciais lineares, homogêneas, de 2ª ordem com coeficientes 
constantes 
Definição: É toda equação diferencial da forma y’’ + ay’ + by = 0 (I) (Forma padrão), com a e 
b números reais dados. 
Substituindo e , obtemos equação característica, cuja forma 
fatorada é ( ) ( ) (II), onde são as raízes da equação características. 
 
Solução em termos das raízes características 
A solução da equação (I) se obtém diretamente a partir das raízes da forma fatorada de (II). 
Assim, há três casos a considerar: 
 
1º caso) Se e reais, e 
 são duas soluções L.I. (linearmente independente). 
A solução geral será: 
 ( ) 
 
2º caso) Se (são pares conjugados) raízes complexas. Duas soluções 
L.I. são ( ) e ( ) , e a solução geral complexa é dada por: 
 ( ) ( ) 
ou 
Usando a relação de Euler, a solução geral é dada por: 
 
A equação geral é dada por: 
 
 
3º caso) Se , então 
 são duas soluções L.I. (linearmente independente) e a 
solução geral é dada por: 
 
 
Exemplos.: Resolva as equações abaixo: 
1) 
2) 
3) 
 
 
 
 
 
 
4) 
 
 
 
5) 
6) 
7) 
 
 17 
8) 
9) 
10)