II relatório Fís. Exp II (Medição da constante de tempo de um termômetro a líquido)

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Determinação da constante de tempo de um termômetro a líquido 
Lucas Borges Barbosa, Lucas Henrique P. Santos, Victor Matheus O. de Andrade 
Física experimental II, 6T45, turma G 
Neste relatório será apresentado a determinação da constante de um termômetro analógico por meio 
da troca de temperatura entre um líquido frio para o quente, possibilitando assim, obter diferentes temperaturas 
de tempo em tempo dos quais serão tratados por meio da regressão linear. O valor encontrado para a constante 
foi 𝜏 = (7,752 ± 0,034)𝑠, que valida o modelo teórico visto que a exatidão é grande comparado ao real valor da 
grandeza. 
 
Introdução 
A mudança de temperatura é comumente 
sentida e vista no cotidiano, como por exemplo, um 
sorvete derreter. Isto ocorre devido à transferência 
de energia térmica ente o sistema e o ambiente, no 
qual essa energia é denominada calor. 
Pode-se calcular a quantidade de calor de 
um sistema por meio da seguinte equação [1]: 
 ∆𝑄 = 𝐶. ∆𝑇 (1) 
 
onde ∆𝑇 é a variação de temperatura, 𝐶 é a capaci-
dade térmica, proporcional à massa e o calor espe-
cífico. Para ∆𝑄 > 0, o calor é cedido ao meio e 
∆𝑄 < 0 o calor é absorvido do meio. 
Consideremos um termômetro de tempera-
tura inicial 𝑇1 que é inserido em um ambiente de 
temperatura 𝑇2, no qual para pequenas variações de 
temperatura, tem-se a seguinte equação: 
 𝑑𝑄 = 𝐶. 𝑑𝑇 (2) 
 
Levando em conta que isto não ocorre ins-
tantaneamente, podemos escrever da seguinte 
forma: 
 𝑑𝑄 = 𝛿[𝑇₂ − 𝑇(𝑡)]𝑑𝑇 (3) 
 
onde 𝑇(𝑡) é a temperatura no instante 𝑡 e 𝛿 
é a condutividade térmica do vidro do termômetro. 
Sendo assim, igualando as equações (2) com (3) e 
integrando-as, obtém-se que: 
 
𝑙𝑛[𝑇2 − 𝑇(𝑡)] =
−𝑡
𝜏
+ 𝑚 
(4) 
 
onde m é uma constante qualquer. 
Portanto, se elevarmos a equação por 𝑒, e 
considerarmos 𝑒𝑚 = 𝐾, em que 𝐾 é uma condição 
 
inicial do sistema. Como 𝑇1 é o instante ini-
cial onde 𝑡 = 0, obtemos a seguinte relação: 
 
 𝑇₂ − 𝑇(𝑡)
𝑇₂ − 𝑇₁
= 𝑒
−𝑡
𝜏 
(5) 
 
Tomando a exponencial, ficamos com 
 
ln (
𝑇2 − 𝑇(𝑡)
𝑇2 − 𝑇1
) =
−𝑡
𝜏
 
(6) 
 
no qual o objetivo é calcular 𝜏, que é deno-
minado como constante de tempo de um termôme-
tro, já que esta apresenta dimensões de tempo. Para 
isto, será realizada uma regressão linear, onde 𝑦 =
ln (
𝑇2−𝑇(𝑡)
𝑇2−𝑇1
) , 𝑥 = 𝑡, 𝐴 = 0 𝑒 𝐵 =
−1
𝜏
. 
 
Materiais e Métodos 
Neste experimento foi utilizado um termô-
metro analógico, uma chapa aquecedora, um reci-
piente de alumínio, um copo térmico, um cronôme-
tro, água e cubos de gelo. 
Colocou-se o recipiente de alumínio com 
água sobre a chapa aquecedora ligada. Paralela-
mente, colocou-se água e alguns cubo de gelo den-
tro do copo térmico. O objetivo nesta etapa é aguar-
dar a temperatura da água no copo térmico chegar 
ao mínimo possível antes de solidificar e a no reci-
piente chegar ao máximo possível antes de evapo-
rar. Para medir a temperatura mínima 𝑇1 e a má-
xima 𝑇2 foi utilizado um termômetro analógico, de 
resolução ∆𝑟𝑇 = 1°. Imergiu-o no copo térmico até 
atingir a temperatura mínima de equilíbrio 𝑇1. 
Quando a água no recipiente de alumínio começou 
a evaporar, retirou-se o termômetro do copo tér-
mico e imergiu-o no recipiente. Com um 
cronômetro, de resolução ∆𝑟𝑡 = 0,01𝑠, mediu-se o 
tempo gasto para o termômetro sair da temperatura 
mínima e atingir a temperatura máxima de equilí-
brio 𝑇2, anotando-se o tempo para atingir tempera-
turas pré-determinadas antes do processo. Reali-
zou-se o processo descrito sete vezes. Repetiu-se a 
medição do tempo para algumas temperaturas e ou-
tras não. 
A partir do maior e menor valor de cada 
grandeza medida foi possível medir a flutuação [2] 
por 
 
∆𝑓 = 
|𝑦𝑚á𝑥 − 𝑦𝑚í𝑛|
2
 
(7) 
 
Assim, determinou-se o tipo de incerteza 
associada. Caso ∆𝑓 > ∆𝑟, a incerteza é classificada 
como tipo A. Caso contrário, tipo B. A incerteza do 
tipo A foi calculada pela expressão 
 
𝑢𝑦 = √
1
𝑁
∑(𝑑𝑖)2
𝑁
𝑖=1
 
(8) 
 
Onde 𝑑𝑖 é o desvio das medições. 
A incerteza do tipo B foi calculada pela ex-
pressão 
 
 𝑢𝑦 = 
∆𝑟
√3
 
(9) 
 
O valor médio �̅� foi calculado pela média 
aritmética das medições das grandezas. 
A incerteza associada da expressão à es-
querda da equação (6) é do tipo C, visto que de-
pende de outra grandeza. Para o cálculo, foi utili-
zado a seguinte expressão 
 
𝑢𝑦 = √∑ (
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑘
)
2
. 𝑢𝑥𝑘
2
𝑛
𝑘=1
 
(10) 
 
Os coeficientes A e B foram calculados pela 
seguinte expressão – visto que a incerteza de 𝑦 pos-
sui erro relativo próximos, dispensando a utilização 
de um ajuste ponderado. 
 
𝐴 =
∑ 𝑥2 ∑ 𝑦 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑥𝑦
𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)
2 
(11) 
e 
 
𝐵 =
𝑁 ∑ 𝑥𝑦 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑦
𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)
2 
(12) 
 
As incertezas em A e B são dadas pelas 
equações 
 
𝑢𝐴 = 𝑢𝑦 √
∑ 𝑥2
𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)
2 
(13) 
e 
 
𝑢𝐵 = 𝑢𝑦√
𝑁
𝑁 ∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)
2 
(14) 
 
Conhecido B, calculou-se 𝜏 e sua incerteza 
dada pela equação (10). 
 
Resultados 
Com base nos valores medidos, verificou-
se uma flutuação, para todos as temperaturas T, 
∆𝑓𝑇 = 0 < ∆𝑟𝑇, classificadas, portanto, como uma 
incerteza do Tipo B. Constatou-se para o tempo t 
∆𝑓𝑡 = 0 < ∆𝑟𝑡, para tempos medidos apenas uma 
vez, classificadas, portanto, como tipo B. Para tem-
pos medidos mais de uma vez, verificou-se ∆𝑓𝐶 >
∆𝑟𝐶, classificando suas incertezas como tipo A. 
Para estes tempos, realizou-se uma média aritmé-
tica para determinar o tempo médio. Os dados ob-
tidos e suas respectivas incertezas estão na tabela 1. 
 (𝑇 ± 𝑢𝑇 )℃ ( 𝑡 ± 𝑢𝑡)𝑠 
40,00 ± 0,58 3,50 ± 0,25 
42,00 ± 0,58 3,9200 ± 0,0058 
43,00 ± 0,58 4,9900 ± 0,0058 
45,00 ± 0,58 4,280000 ± 0,000064 
50,00 ± 0,58 4,77 ± 0,35 
52,00 ± 0,58 4,9300 ± 0,0058 
53,00 ± 0,58 4,9900 ± 0,0058 
55,00 ± 0,58 5,24 ± 0,23 
60,00 ± 0,58 5,98 ± 0,22 
62,00 ± 0,58 6,4300 ± 0,0058 
63,00 ± 0,58 6,6100 ± 0,0058 
65,00 ± 0,58 6,950 ± 0,055 
70,00 ± 0,58 8,07 ± 2,45 
72,00 ± 0,58 8,3800 ± 0,0058 
75,00 ± 0,58 9,84 ± 0,22 
80,00 ± 0,58 11,8300 ± 0,0058 
82,00 ± 0,58 11,99 ± 0,57 
83,00 ± 0,58 13,1600 ± 0,0058 
85,00 ± 0,58 14,87 ± 0,45 
89 ,00 ± 0,58 17,6000 ± 0,0058 
90,00 ± 0,58 19,33 ± 0,75 
92,00 ± 0,58 24,7900 ± 0,0058 
Tabela 1. Valores obtidos para a temperatura e o 
tempo. 
Os pontos 𝑇1 𝑒 𝑇2 de equilíbrio foram cons-
tatados como 1° e 95°, respectivamente. 
Utilizando (6) e (10), é possível descobrir 
os valores de 𝑦 junto a sua incerteza. Os valores 
encontrados estão representados na tabela 2. 
 (𝑦 ± 𝑢𝑦) 
1 −0,536 ± 0,010 
2 −0,573 ± 0,010 
3 −0,592 ± 0,011 
4 −0,63 ± 0,11 
5 −0,736 ± 0,012 
6 −0,782 ± 0,013 
7 −0,805 ± 0,014 
8 −0,854 ± 0,014 
9 −0,988 ± 0,016 
10 −1,046 ± 0,017 
11 −1,077 ± 0,018 
12 −1,142 ± 0,019 
13 −1,324 ± 0,023 
14 −1,407 ± 0,025 
15 −1,547 ± 0,026 
16 −1,835 ± 0,029 
17 −1,978 ± 0,039 
18 −2,058 ± 0,044 
19 −2,240 ± 0,048 
20 −2,751 ± 0,058 
21 −2,93 ± 0,11 
22 −3,44 ± 0,19 
Tabela 2. Valores de 𝑦 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠. 
Assim, como descrito, encontrou-se os coe-
ficientes A e B na equação (6). Os valores, junta-
mente com a equação da reta de regressão linear 
estão na tabela 3. 
(𝐴 ± 𝑢𝐴) (−0,240 ± 0,025) 
(𝐵 ± 𝑢𝐵)𝑠
−1 (−0,1300 ± 0,0022) 
𝑦 = −0,240 − 0,1300𝑥 
Tabela 3. Coeficientes A e B junto à equação da reta de 
regressão linear. 
Em anexo a este relatório está contido um 
gráfico contendo os pontos (𝑦, 𝑥) – Tabelas 1 e 2 - 
juntamente com a reta de regressão da tabela 3. 
 A partir do coeficienteB da reta calculou-
se o valor de 𝜏 e de sua incerteza 
𝜏 = (7,752 ± 0,034)𝑠 
 
Discussão 
Observa-se, primeiramente, que o resultado 
obtido para 𝜏 possui alta exatidão com o real valor 
da grandeza, visto que o erro relativo corresponde 
a 0,4%. Como foi encontrado apenas um valor, não 
é possível determinar a precisão da medida. 
Como o ambiente do experimento é um sistema 
não-isolado, o valor mínimo e máximo de equilí-
brio não foram 0° e 100°, que são os valores defi-
nidos para o ponto de solidificação e ebulição da 
água em 1atm, respectivamente. O local onde foi 
realizado o experimento possui pressão atmosférica 
0,9177atm [3], o que corrobora com a inexatidão 
dos dados. Além disto, na troca de recipiente, o ter-
mômetro analógico é exposto à temperatura ambi-
ente, o que aumenta a temperatura mínima antes do 
contato com a água em temperatura máxima de 
equilíbrio. É importante ressaltar que a imersão do 
termômetro foi realizada parcialmente, expondo a 
haste à temperatura ambiente, sujeitando a leitura a 
efeitos de transferência de calor [4]. A coleta de 
muitos valores – 22 – para a determinação da cons-
tante do termômetro foi eficaz para seu baixo erro 
relativo. 
 
Conclusão 
A metodologia empregada no experimento 
de determinação da constante de um termômetro a 
líquido mostrou-se adequada, visto que forneceu 
um valor com alta exatidão, embora não seja possí-
vel predizer sua precisão. Deste modo, a presença 
de erros grosseiros é descartada. Ainda assim, o va-
lor de A, teoricamente nulo, tem valor mesmo com 
o ajuste da incerteza. Erros sistemáticos podem ser 
encontrados na manipulação dos equipamentos e 
processos por parte dos participantes do experi-
mento, limitando a diminuição de incertezas e exa-
tidão das grandezas. 
 
[1] HALLIDAY, D.; WALKER, J.; RES-
NICK, R. Fundamentos de Física 2 - Gravitação, 
Ondas, termodinâmica. 9° ed. 2012. 
[2] TAYLOR, John R. Introdução à análise 
de erros: o estudo de incertezas em medições físi-
cas. 2° ed. Porto Alegre: Bookman, 2012. 
[3] Tempo para Goiânia, Brasil. Disponível 
em: https://www.worldmeteo.info/pt/america-do-
sul/brasil/goiania/tempo-102195/. Acesso em: 
17/05/18. 
[4] tipos de imersão. Disponível em: 
http://www.fem.unicamp.br/~instrumentacao/ter-
mometroexpansao05.html. Acesso em: 17/05/18.