Exercícios de Matemática Básica para quem quiser reforçar as bases!!

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1 
00001. (1. (1. (1. (UNIRIOUNIRIOUNIRIOUNIRIO ---- AdaptadaAdaptadaAdaptadaAdaptada)))) Considere a função real 
f: A→R, onde R denota o conjunto dos números 
reais, cujo gráfico é apresentado a seguir, sendo o 
eixo das ordenadas e a reta de equação y=3, 
assíntotas da curva que representa f.x→y = f(x) 
 
 
a)a)a)a) Esboce o gráfico de: g: B→R x→y = f(x-2) - 4, 
destacando suas assíntotas. 
b)b)b)b) Considerando que f(x) = (1/x) + 3 determine o 
conjunto B, domínio de g. 
c)c)c)c) Com base no item anterior, determine a raiz da 
função g 
 
00002. (2. (2. (2. (UFRJUFRJUFRJUFRJ)))) A figura adiante representa o gráfico 
de certa função polinomial f:R→R, que é 
decrescente em [-2, 2] e crescente em ]-¶, -2] e 
em [2, +¶[. 
 
 
Determine todos os números reais cccc para os quais 
a equação f(x) = c admite uma única solução. 
Justifique. 
00003. (3. (3. (3. (UERJUERJUERJUERJ)))) Considere a função f, definida para 
todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. 
 
Se a e b são dois números positivos (a<b), a área 
do retângulo de vértices (a,0), (b,0) e (b,f(b)) é 
igual a 0,2. Calcule a área do retângulo de vértices 
(3a,0), (3b,0) e (3b,f(3b)). 
 
00004. (4. (4. (4. (UERJ UERJ UERJ UERJ ---- AdaptadaAdaptadaAdaptadaAdaptada)))) O gráfico a seguir 
representa o número de pacientes atendidos mês 
a mês, em um ambulatório, durante o período de 6 
meses de determinado ano. 
 
 
a)a)a)a) Determine o número total de pacientes 
atendidos durante o semestre. 
b)b)b)b) Determine a média mensal de atendimentos no 
semestre apresentado 
c)c)c)c) No mínimo quantos pacientes deveriam ser 
atendidos no mês de julho de modo que a média 
de atendimentos dos sete primeiros meses do ano 
apresentado ultrapasse 60 
 
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00005. (5. (5. (5. (UFRJUFRJUFRJUFRJ)))) Considere as funções polinomiais f, g e 
h, cujos gráficos são dados a seguir. 
 
Determine os valores reais de x no intervalo [-5,5] 
para os quais valem as desigualdades: 
f(x) ´ g(x) ´ h(x). 
 
00006. (6. (6. (6. (UFUUFUUFUUFU ---- AdaptadaAdaptadaAdaptadaAdaptada)))) A figura abaixo representa o 
gráfico de uma função real a valores reais, y=f(x). 
 
 
 
a)a)a)a) Sabendo-se que g(x) = f(x-3), encontre o valor 
de g(1)+g(4)+g(10). 
b)b)b)b) Se o gráfico de f é uma poligonal, qual a raiz da 
função h definida por h(x) = f(x) + 3? Justifique. 
c)c)c)c) Determine todos os valores reais de k de tal 
maneira que a equação f(x) = k admita exatamente 
3 raízes reais. 
 
 
00007. (7. (7. (7. (UNICAMPUNICAMPUNICAMPUNICAMP)))) O gráfico adiante fornece a 
concentração de CO‚ na atmosfera, em "partes 
por milhão" (ppm), ao longo dos anos 
 
 
a)a)a)a) Qual foi a porcentagem de crescimento da 
concentração de CO‚ no período de 1870 a 1930? 
b)b)b)b) Considerando o crescimento da concentração 
de CO‚ nas últimas décadas, é possível estimar 
uma taxa de crescimento de 8,6% para o período 
1990-2010. Com esta taxa, qual será a 
concentração de CO‚ em 2010? 
 
08080808. (. (. (. (UFRNUFRNUFRNUFRN)))) O gráfico da função y = Ë(4 - x£), 
definida no domínio {x Æ R; -2 ´ x ´ 2}, é 
 
 
 
 
 
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09090909. (. (. (. (FUVESTFUVESTFUVESTFUVEST)))) A figura a seguir representa o 
gráfico de uma função da forma f(x)=(x+a)/(bx+c), 
para -1´x´3. 
 
 
Pode-se concluir que o valor de b é: 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
10101010. (. (. (. (PUCRSPUCRSPUCRSPUCRS)))) A função real f é definida por 
f(x)=Ëg(x). A representação gráfica de g está na 
figura abaixo: 
 
O domínio da função f é 
a) [ -12; 4 ] 
b) [ 0; 4 ] 
c) ( 0; 4 ) 
d) ( -2; 2 ) 
e) [ -2; 2 ] 
11111111. (. (. (. (UFALUFALUFALUFAL)))) Na figura abaixo tem-se o gráfico da 
função f, de IR em IR, definida por y=x¥-2x£. 
 
 
É verdade que: 
a) esse gráfico é simétrico em relação ao eixo das 
abscissas. 
b) f(x) < 0 para -1 < x < 1. 
c) f(x) = 0 para x=-1 ou x=1. 
d) f(x) > 0 para x < -Ë2 ou x > Ë2. 
e) o valor máximo de f ocorre para x=0. 
 
12121212. (. (. (. (UFVUFVUFVUFV)))) Seja f a função real cujo gráfico se 
apresenta a seguir: 
 
 
Analisando o gráfico, é CORRETO afirmar que: 
a) f(x) + 1 > 0, para todo x Æ IR. 
b) f(x) - 1 < 0, para todo x Æ IR. 
c) f(0) ´ f(x), para todo x Æ IR. 
d) f(-3) = 2. 
e) f(1,5) < f(2,5). 
Comentário do professor: 
A notação (a;b), neste caso, 
representa um intervalo de 
extremos abertos. 
 
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4 
13131313. (. (. (. (UFRSUFRSUFRSUFRS ---- ModificadaModificadaModificadaModificada)))) Na figura abaixo, estão 
representados o ciclo trigonométrico, um ponto P 
qualquer pertencente ao diâmetro åæ e a corda do 
ciclo, a qual contém P e é paralela ao eixo das 
abscissas. Considere a função f que, à ordenada 
do ponto P, faz corresponder o comprimento da 
corda acima citada. Dentre os gráficos abaixo, o 
que pode representar f é 
 
 
 
 
 
14141414. (. (. (. (UFMGUFMGUFMGUFMG)))) Considere a função y = f(x), que tem 
como domínio o intervalo {x Æ IR: -2 < x ´ 3} e que 
se anula somente em x=-3/2 e x=1, como se vê 
nesta figura: 
 
 
Assim sendo, para quais valores reais de x se tem 
0<f(x)� 1? 
 
a) {x ÆIR: -3/2 < x ´ -1} » {x ÆIR: 1/2 ´ x < 1} 
» {x ÆIR: 1 < x ´ 2} 
b) {x ÆIR: -2 ´ x ´ -3/2) » {x ÆIR: -1 ´ x ´ 1/2} » 
{x ÆIR: 2 ´ x ´ 3} 
c) {x ÆIR: -3/2 ´ x ´ -1} » {x ÆIR: 1/2 ´ x ´ 2} 
d) {x ÆIR: -3/2 < x ´ -1} » {x ÆIR: 1/2 ´ x ´ 2} 
 
11115. (5. (5. (5. (UFMGUFMGUFMGUFMG) ) ) ) Na figura estão representados o ponto 
A, cuja abscissa é 1, e o ponto B, cuja ordenada é 
5. Esses dois pontos pertencem ao gráfico da 
função f(x)=(x+1)(x¤+ax+b), em que a e b são 
números reais. Assim sendo, o valor de f(4) é: 
 
 
 
a) 65 b) 115 c) 170 d) 225 
 
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5 
16161616. (. (. (. (UELUELUELUEL)))) Seja a função f, de IR em IR, dada pelo 
gráfico seguinte. 
 
O conjunto imagem de f é 
a) IR 
b) {y Æ IR | 0 ´ y ´ 1,5} 
c) {y Æ IR | 0 ´ y ´ 1,8} 
d) {y Æ IR | y ´ 2} 
e) {y Æ IR | y ´ 1,8} 
 
17171717. (. (. (. (UNICAMPUNICAMPUNICAMPUNICAMP)))) 
a)a)a)a) Faça o gráfico da função y=lnx com domínio 
x>0. 
 
b)b)b)b) A partir desse gráfico, faça o gráfico de 
y=f(x)=ln(-x), com domínio x<0. 
 
c)c)c)c) Explique como a função y = g(x) = ln(1-x) está 
relacionada com a função f e obtenha o gráfico de 
g a partir do gráfico de f. 
 
Comentário do professor: 
- lnx, conhecido como logaritmo natural de x, é o 
logaritmo de x na base "e", ou seja, lnx = logex 
onde e ¸ 2,718. 
 
- O item c pede uma análise gráfica dos efeitos da 
alteração da expressão. 
11118888. (. (. (. (UNICAMPUNICAMPUNICAMPUNICAMP)))) 
a) Esboce os gráficos das funções y=eÑ, y=e-Ñ e 
y=eÑ + e-Ñ - 3 em um mesmo sistema de eixos 
ortogonais. 
 
b) Mostre que a equação eÑ+ e-Ñ - 3 = 0 tem duas 
raízes reais simétricas x=a e x=-a. Mostre, ainda, 
que e¤ò + e-¤ò = 18 
 
Comentários do professor: 
- a base "e" representa o número de Euler. Um 
irracional que vale aproximadamente 2,718. 
 
- Note que os gráficos de funções exponenciais 
dos tipos f(x) = ax e g(x) = a-x são simétricos em 
relação ao eixo das ordenadas, ou seja, f(k) = g(-k) 
para todo k real. De posse desta informação, o 
que ocorre com o gráfico de (f+g)(x) = ax + a-x ? 
 
- Se julgar necessário use as identidades: 
 
•••• mmmm3333 + + + + nnnn3333 ==== (m+n)(m+n)(m+n)(m+n)⋅⋅⋅⋅((((mmmm2222----mmmm⋅⋅⋅⋅n+nn+nn+nn+n2222)))) 
•••• (m + n)(m + n)(m + n)(m + n)2222 = m= m= m= m2222 + 2m+ 2m+ 2m+ 2m⋅⋅⋅⋅n + nn + nn + nn + n2222 
 
11119999. (FUVEST) . (FUVEST) . (FUVEST) . (FUVEST) 
a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, 
os gráficos de f(x)=2Ñ e g(x)=2x.b) Baseado nos gráficos da parte (a), resolva a 
inequação 2Ñ ´ 2x. 
 
c) Qual é o maior: 2 elevado a Ë2 ou 2 
multiplicado por Ë2? Justifique brevemente sua 
resposta. 
Comentário do professor: 
É necessário considerar 
que o gráfico é uma 
parábola. 
 
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6 
20202020. (. (. (. (UNESPUNESPUNESPUNESP)))) A poligonal ABCD da figura adiante é 
o gráfico de uma função f cujo domínio é o 
intervalo -1´x´7. Sabe-se que åæ é paralelo a èî 
e æè é paralelo ao eixo dos x. 
 
 
Nessas condições, f(7) - f(4, 5) é igual a: 
a) 3/2. 
b) 5/3. 
c) 17/10. 
d) 9/5. 
e) 2. 
 
21212121. (UFRS). (UFRS). (UFRS). (UFRS) O gráfico a seguir representa a função 
y=f(x). 
 
 
A solução da inequação f(x) µ 1 é o conjunto dos 
valores de x Æ [a,b] tais que 
a) x ´ 0 
b) x µ 0 
c) x ´1 
d) x µ 1 
e) x Æ IR 
22222222. (UFRS) . (UFRS) . (UFRS) . (UFRS) O gráfico seguinte representa a 
evolução do volume de água de um reservatório, 
durante um certo dia. 
 
A vazão de água do reservatório, em litros/hora, 
nos períodos das 6h às 15h e das 15h às 24h é, 
nesta ordem, em valor absoluto, aproximadamente 
a) 3 e 8 b) 5 e 2 
c) 7 e 1 d) 7 e 2 
e) 9 e 1 
 
23232323. (UFR. (UFR. (UFR. (UFRJ)J)J)J) No gráfico da função a seguir, a 
imagem do intervalo [-1,2) é 
 
 
a) [1/2, 1) » (-2, 1]. 
b) (1/2, 1] » [-2, 1). 
c) [-1/2, 1] » (1, 2). 
d) [-1, 1/2] » (1, 2). 
e) [-1, 1/2] » [1, 2]. 
Comentário do professor: 
A notação (a;b), neste 
caso, representa um 
intervalo de extremos 
abertos. 
 
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7 
24242424. (. (. (. (UNESPUNESPUNESPUNESP)))) Considere duas funções, f e g, 
definidas no intervalo I={xÆR|1´x´5}, tais que 
f(1)=g(1)=0, f(3).g(3)=0 e f(5)>g(5). Representando 
o gráfico de f em linha cheia e o de g em linha 
tracejada, a figura que melhor se ajusta a esses 
dados é: 
 
25252525. (UFF). (UFF). (UFF). (UFF) O gráfico da função f está representado 
na figura: 
 
Sobre a função f é FALSO afirmar que: 
a) f(1) + f(2) = f(3) 
b) f(2) = f(7) 
c) f(3) = 3f(1) 
d) f(4) - f(3) = f(1) 
e) f(2) + f(3) = f(5) 
 
22226. (FUVEST)6. (FUVEST)6. (FUVEST)6. (FUVEST) O número de pontos comuns aos 
gráficos das funções f(x) = x¥+3 e g(x) =-x£+2x é 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 
27272727. (UNIOESTE). (UNIOESTE). (UNIOESTE). (UNIOESTE) Considere a função f, dada por 
 
 ý4x se 0 ´ x < 1 
f(x) = þx£ - 7x + 10 se 1 ´ x ´ 6 
 ÿ-4x + 28 se 6 < x ´ 7 
é correto afirmar que 
 
(1) O domínio de f(x) é o conjunto dos números 
reais. 
(2) O conjunto imagem de f é [-9/4, 4]. 
(4) O valor mínimo da função é obtido quando 
x=7/2. 
(8) f(1)=f(6). 
(16) f(f(2/3)) =-14/9. 
(32) Para todo x, pertencente ao domínio da 
função, f(x) é maior ou igual a zero. 
SOMASOMASOMASOMA ( ( ( ( )))) 
 
28282828. (. (. (. (UFFUFFUFFUFF)))) Considere a função real de variável real 
f e a função g tal que dom(g)=[-1, 4] e g(x)=f(2x)-1. 
O gráfico de g é representado na figura a seguir. 
 
 
 
Pede-se: 
 
a)a)a)a) a expressão que define g; 
b)b)b)b) a imagem de g; 
c)c)c)c) a expressão que define f no intervalo [0, 4]. 
 
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8 
GabaritoGabaritoGabaritoGabarito e Soluçõese Soluçõese Soluçõese Soluções 
01. 01. 01. 01. 
a)a)a)a) Trasladando o gráfico de f, temos:::: 
 
b)b)b)b) R: Dom(g) = IR R: Dom(g) = IR R: Dom(g) = IR R: Dom(g) = IR ---- {2}{2}{2}{2} 
Se f(x) = (1/x) + 3 temos: 
g(x) = f(x-2) - 4 =[(1/(x-2)) + 3] - 4 
g(x) = 1/(x-2) - 1 
Logo, B = Dom(g) = IR - {2} 
c) R: x = 3 é raiz de gc) R: x = 3 é raiz de gc) R: x = 3 é raiz de gc) R: x = 3 é raiz de g 
1/(x-2) - 1 = 0 
1/(x-2) = 1 ⇒ x = 3 
 
02.02.02.02. R: Devemos ter c>2 ou c<R: Devemos ter c>2 ou c<R: Devemos ter c>2 ou c<R: Devemos ter c>2 ou c<----6.6.6.6. 
Para que a equação f(x) = c tenha uma única 
solução, a reta y = c deve interceptar o gráfico de f 
em um único ponto. Para que isso ocorra, esta 
reta deve passar acima do ponto (-2,2) ou abaixo 
do ponto(2, -6). Isto é, devemos ter c>2 ou c<-6. 
 
03. 03. 03. 03. R: R: R: R: 0,2 u.a0,2 u.a0,2 u.a0,2 u.a 
 
04.04.04.04. 
a) 300 pacientesa) 300 pacientesa) 300 pacientesa) 300 pacientes 
b) A média é 50 pacientes por mêsb) A média é 50 pacientes por mêsb) A média é 50 pacientes por mêsb) A média é 50 pacientes por mês 
c) Dec) Dec) Dec) Devem ser atendidos no mínimo 121 pacientes.vem ser atendidos no mínimo 121 pacientes.vem ser atendidos no mínimo 121 pacientes.vem ser atendidos no mínimo 121 pacientes. 
 
05.05.05.05. R: x Æ [0, 1] » [3, 5]R: x Æ [0, 1] » [3, 5]R: x Æ [0, 1] » [3, 5]R: x Æ [0, 1] » [3, 5] 
A desiguladade citada ocorre quando o gráfico de 
g intersecta ou situa-se acima do gráfico de f e, 
concomitantemente, intersecta ou situa-se abaixo 
do gráfico de h, o que ocorre para x Æ[0, 1]∪[3, 5], 
como se vê assinalado no gráfico a seguir: 
 
 
 
06. 06. 06. 06. 
a)a)a)a) R: g(1) + g(4) + g(10) = R: g(1) + g(4) + g(10) = R: g(1) + g(4) + g(10) = R: g(1) + g(4) + g(10) = ----5555 
Como g(x) = f(x-3) conclui-se que: 
g(1) = f(-2); g(4) = f(1) ; e g(10) = f(7) 
 
- Do gráfico temos diretamente que: 
g(1) = f(-2) = 0 e g(4) = f(1) = -1 
 
- Para obter g(10) = f(7) 
Considerando que o gráfico de f é uma semi reta 
para x�4 tem-se que y = ax+b neste intervalo com 
f(4) = 2 e f(5) = 0. O que nos dá o sistema: 
4a + b = 2 
5a + b = 0 
Donde vem que a = -2 e b = 10 → f(x) = -2x+10 se 
x�4 e f(7) = -2(7) +10 = -4 = g(10) ; então: 
 
g(1) + g(4) + g(10)=f(-2) + f(1) + f(7) 0 - 1 - 4 = -5 
 
b) b) b) b) x = 13/2 é raiz de h.x = 13/2 é raiz de h.x = 13/2 é raiz de h.x = 13/2 é raiz de h. 
Como h(x) = f(x) + 3 o gráfico de h é uma 
trasladação vertical do gráfico de f, conforme 
 
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9 
mostra a figura: 
 
Note que h(x)=0 para um único x>4. E, como já 
determinado no item anterior; f(x) = -2x + 10 
(x>4). Então: 
h(x) = f(x)+3 = -2x+10+3 ⇒ h(x)=-2x+13. 
Pede-se x tal que h(x) = -2x + 13 = 0 ⇔ x = 13/2. 
 
c)c)c)c) R: R: R: R: ----1<k<21<k<21<k<21<k<2 
A reta y = k deve intersectar o gráfico da função f 
exatamente em três pontos, ou seja, se -1<k<2. 
 
07.07.07.07. a) 3,8% a) 3,8% a) 3,8% a) 3,8% b) 380,1b) 380,1b) 380,1b) 380,1 
08. 08. 08. 08. [A][A][A][A] 09. [D]09. [D]09. [D]09. [D] 10. [E]10. [E]10. [E]10. [E] 
11. [D]11. [D]11. [D]11. [D] 12. 12. 12. 12. [C][C][C][C] 13. [B]13. [B]13. [B]13. [B] 
14. [A]14. [A]14. [A]14. [A] 15. [D]15. [D]15. [D]15. [D] 16. [D]16. [D]16. [D]16. [D] 
17.17.17.17. 
 
c)c)c)c) Sendo f(x) = ln (-x) e g(x) = ln (1 - x), o gráfico 
de g está "deslocado" uma unidade para a direita 
em relação ao gráfico de f, como é mostrado na 
figura anterior. 
18.18.18.18. 
a)a)a)a) Os gráficos pedidos 
 
 
b) b) b) b) Do gráfico anterior é possível concluir que para 
a função f(x) = ex + e-x - 3 existem x=a e x=b tal 
que f(a) = 0 e f(b) = 0. Pede-se mostrar que b = -a. 
De fato, pois y = ex e y = e-x possuem gráficos 
simétricos em relação ao eixo das ordenadas, o 
que permite concluir que a função f(x) = ex + e-x - 3 
também é simétrica em relação ao eixo das 
ordenadas, ou seja, para todo x real tem-se que 
f(x) = f(-x). Então f(a) =0 e f(b) = 0 se, e somente 
se, b = -a. Pede-se ainda provar que e¤ò + e-¤ò =18. 
De fato, acompanhe os argumentos: 
 
- Sabendo que x=a e x=-a são as raízes da função 
f(x) = ex + e-x - 3 têm-se: ea + e-a = 3 ((((****)))) 
 
- Calculando o valor de e¤ò + e-¤ò: 
e¤ò + e-¤ò = (ea)3 + (e-a)3 = 
= (eò + e-ò)( (eò)2 - eò ⋅e-ò +(e-a)2) = 
= (eò + e-ò)( (eò)2 - 1 +(e-a)2) (**)(**)(**)(**) 
 
- De (*) obtemos: 
(ea + e-a)2= 32 ⇒(eò)2+ (e-a)2 = 7 (***)(***)(***)(***) 
 
- Substituindo (*) e (***) em (**) 
(eò + e-ò)⋅( (eò)2 - 1 +(e-a)2 ) = 3⋅(7-1) = 18 
 
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10 
19.19.19.19. 
a)a)a)a) 
 
 
b) b) b) b) S = {x Æ IR / 1 ´ x ´ 2}S = {x Æ IR / 1 ´ x ´ 2}S = {x Æ IR / 1 ´ x ´ 2}S = {x Æ IR / 1 ´ x ´ 2} 
Observe o gráfico: 
 
c)c)c)c) 2Ë2 é o maior, pois, de acordo com o item 
anterior, para todo 1 < x < 2 tem-se que 2x > 2x 
 
20. [B]20. [B]20. [B]20. [B] 21. [A]21. [A]21. [A]21. [A] 22. [E]22. [E]22. [E]22. [E] 
23. [D]23. [D]23. [D]23. [D] 24. [C]24. [C]24. [C]24. [C] 25. [E]25. [E]25. [E]25. [E] 
26. [E]26. [E]26. [E]26. [E] 27. 2+4+8+1627. 2+4+8+1627. 2+4+8+1627. 2+4+8+16=30=30=30=30 
28. 28. 28. 28. 
a) a) a) a) 
 ý-x se -1 ´ x < 0 
g(x) = þ0 se 0 ´ x < 1 
 |2x - 2 se 1 ´ x < 2 
 ÿ2 se 2 ´ x ´ 4. 
b)b)b)b) lm(g) = [0, 2] 
c) c) c) c) 
 ý1 se 0 ´ x < 2 
f(x) = þ 
 ÿ x - 1 se 2 ´ x ´ 4 
 
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