Análise Matemática (simulados e Apol)

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Questão 1/2 - Análise Matemática
Leia a passagem de texto a seguir: 
“No conjunto dos números naturais, que, segundo o matemático Leopold Kronecker (1823–1891), foi criado por Deus (o resto foi criado pelo homem, complementava ele), a diferença entre a e b só está definida se a≥ba≥b . Mas há questões envolvendo a ideia de subtração de números naturais em que o minuendo é menor que o subtraendo – por exemplo, gastar mais do que se tem. Para enfrentar essas questões, foi preciso ampliar o conjunto dos números naturais, com a adjunção de novos números, os números inteiros negativos, introduzidos a princípio para possibilitar uma resposta a uma subtração qualquer de dois elementos de N”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a construção dos números inteiros, analise as assertivas que seguem e marque V para as asserções verdadeiras e F para as asserções falsas.
I. ( ) A operação de adição definida para o conjunto dos números inteiros é associativa e comutativa.
II. ( ) Cada elemento do conjunto dos números inteiros possui um inverso multiplicativo.
III. ( ) A classe de equivalência que representa o número zero é formada pelos pares ordenados que possuem o número zero em uma de suas coordenadas.
IV. ( ) O conjunto dos números inteiros é definido por meio de classes de equivalência da relação do conjunto N∪{0}XN∪{0}N∪{0}XN∪{0}.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Nota: 50.0
	
	A
	V – V – V – F
	
	B
	V – F – F – V
Você acertou!
	
	C
	F – F – V – V
	
	D
	V – V – F – F
	
	E
	V – V – F – V
Questão 2/2 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 50.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵNnϵN.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
Você acertou!
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 1/2 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
 “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo ordenado completo. Em outras palavras: partindo dos números naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, chegar à construção dos números reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para citar apenas os dois mais populares”.
 Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. v. 1. p. 60.
 
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
         I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento neutro da adição.
        II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do conjunto dos números racionais com algumas propriedades.
       III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1}Xα={x∈Q∣x2<1} é um corte de Dedekind.
       IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos números naturais, partindo de um conjunto denominado  NN e uma função denominada de função sucessor.
 
Agora marque a sequência correta:
Nota: 50.0
	
	A
	a) F – V – V – V
	
	B
	b) V – F – F – V
	
	C
	c) F – V – F – V
	
	D
	d) V – F – V – V
	
	E
	e) V – V – F – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira pois, se x∈Qx∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) a,b∈Z,b≠0x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0. Se a≠0a≠0, então, xx não é o elemento neutro da adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Qy=(b,a)¯∈Q. Temos que ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯. Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(1,1)¯ é o elemento neutro da multiplicação, temos que y=x−1y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, pois se XαXα é um corte de Dedekind, então Xα⊂QXα⊂Q e Xα≠QXα≠Q por definição. A afirmativa III é falsa porque XαXα não contém todos os pontos menores que seus pontos. Basta ver que, por exemplo, 0∈Xα,−2<00∈Xα,−2<0, mas −2∉Xα−2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira por definição. (livro-base, capítulo 1).
Questão 2/2 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“A soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais. Deste modo, quando escrevemos ∑n=1∞an=s, queremos dizer que, somando um número suficientes de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número s. Observe que ∑n=1∞an=limn→∞∑i=1n ai”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning , v. 2. 2011. p. 653.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à séries numéricas, assinale a alternativa que contém apenas séries convergentes.
Nota: 50.0
	
	A
	∑∞n=11n∑n=1∞1n, ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=1n∑n=1∞n
	
	B
	
∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=12n+1∑n=1∞2n+1, ∑∞n=11n∑n=1∞1n
	
	C
	∑∞n=11/n2, ∑n=1∞1/2n+1, ∑n=1∞(−1)n/n
Você acertou!
A série ∑n=1∞1/n2  é uma p-série com p=2>1, logo, é convergente. A série ∑∞n=11/2n+1é uma série geométrica com |p|=1/2<1, logo, converge. A série ∑n=1∞(−1)n/n converge pelo teste de Leibniz. (livro-base, capítulo 2).
	
	D
	∑∞n=11n∑n=1∞1n, ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=11n3∑n=1∞1n3
	
	E
	∑∞n=1n3∑n=1∞n3, ∑∞n=1n2∑n=1∞n2, ∑∞n=1n∑n=1∞n
Questão 1/2 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“Diz-se que a∈R é um ponto de acumulação do conjunto X⊂R quando toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio aa.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 52. 
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática , assinale a alternativa correta.
Nota: 50.0
	
	A
	Dado um conjunto X⊂RX⊂R, um ponto x∈Xx∈X é um ponto interior de XX quanto existe ε>0ε>0 tal que o intervalo (x−ε,x+ε)(x−ε,x+ε) sempre tem pontos interiores e exteriores a XX.
	
	B
	Se X=(a,b)={x∈R:aX=(a,b)={x∈R:a, então XX é um conjunto aberto.
Você acertou!
De fato, demonstramos que X é aberto demonstrando que X0=(a,b)=X, ou seja, o conjunto X será aberto quando todos os seus pontos forem interiores a ele. (Livro base-p.87)
	
	C
	Um conjunto XX será fechado se o seu complementar Xc=R−XXc=R−X também for fechado.
	
	D
	Uma vizinhança V(x)V(x) de um ponto x∈Xx∈X é qualquer número que está na fronteira de XX.
	
	E
	Um ponto xx é chamado de ponto de acumulação de um conjunto X⊂RX⊂R quando qualquer vizinhança V(x)V(x) contém somente pontos interiores de XX.
Questão 2/2 - Análise Matemática
“Informalmente:limx→af(x)=L quer dizer que se pode tornar f(x) tão próximo de L quanto se queira desde que se tome x∈X suficientemente próximo, porém diferente, de a.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 61.}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 50.0
	
	A
	Seja f:R−{2}→Rf:R−{2}→R, f(x)=x+3f(x)=x+3, então o valor de limx→2(x+3)limx→2(x+3) é 11.
	
	B
	Seja f:X→Rf:X→R e x0∈X′x0∈X′. Assim, se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0f(x)=L2limx→x0f(x)=L2, então L1≠L2L1≠L2.
	
	C
	Sejam as funções f:X→Rf:X→R e g:X→Rg:X→R. Se limx→x0f(x)=L1limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L1limx→x0g(x)=L1, então limx→x0f(x)g(x)=L1+L2limx→x0f(x)g(x)=L1+L2.
	
	D
	Seja a função f(x):X→Rf(x):X→R então limx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)klimx→x0k⋅f(x)=limx→x0f(x)k.
	
	E
	Sejam f e g:R−{2}→R definidas por 1f(x)=3x+1 e g(x):x+1 e os limites limx→2f(x)=7 e limx→2g(x)=3 então limx→23x+1/x+1=limx→2(3x+1)limx→2(x+1)=7/3.
Você acertou!
Sejam as funções f:X→R e g:X→R. Se limx→x0f(x)=L1 e limx→x0g(x)=L2 com L2≠0, então limx→x0f(x)/g(x)=L1/L2. (Livro-base p. 93 a 95)
Questão 1/2 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
"Sejam f:X→R e a∈X. O quociente q(x)=f(x)−f(a)/x−a tem sentido para x≠a, logo define uma função q:X−{a}→R, cujo valor q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os pontos ((a,f(a)) e (x,f(x))) no gráfico de f em relação ao eixo x."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 88.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) Dizemos que uma função X→R é derivável em X quando é derivável em todos os pontos de x pertencentes a X.
II. ( ) Sejam X⊂R, f:X→R e x0 um ponto de acumulação de X pertencente ao conjunto X. Assim a função f é derivável no ponto x0 quando existe o limite a seguir: f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)/x−x0
III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da derivada f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função f no ponto x0.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 50.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	F – V – F
	
	E
	V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência da definição(p.111). A afirmativa II é correta pois expressa a definição de derivada em um ponto (p.111) e a afirmativa III é correta porque corresponde à interpretação geométrica da derivada(livro base - p.111 e 112).
Questão 2/2 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→Rf:[c,d]→R, definida num intervalo compacto, é derivável num ponto a∈[c,d]a∈[c,d] isto significam, no caso de a∈(c,d)a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no ponto aa e elas são iguais. No caso de aa ser um dos extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto aa, aquela derivada lateral que faz sentido.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta:
Nota: 50.0
	
	A
	As derivadas laterais f′+(x0)f+′(x0) e f′−(x0)f−′(x0) devem ter valores diferentes para exista a derivada no ponto x0x0.
	
	B
	Toda função derivável em um ponto x0x0 é contínua no ponto x0x0.
Você acertou!
Teorema de derivadas que tem utilidade no estudo da continuidade das funções (livro-base p.115 e 116)}
	
	C
	Toda função contínua em um ponto x0x0 é derivável no ponto x0x0.
	
	D
	Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada.
	
	E
	Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções ff e gg é igual ao produto das derivadas.
Questão 1/2 - Análise Matemática
“É uma circunstância notável que a noção de área esteja relacionada com as derivadas.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 304.}
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática , assinale a alternativa correta.
Nota: 50.0
	
	A
	O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado somente a funções trigonométricas.
	
	B
	Se uma a derivada de uma função f(x)f(x) é igual ao valor numérico da integral de f(x)f(x) dizemos que  é uma função primitiva.
	
	C
	O valor numérico da integral superior em um intervalo (a,b)(a,b) corresponde ao dobro do valor da integral inferior no intervalo considerado.
	
	D
	A primitiva de uma função ff em x0x0 é outra função FF que representa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico no ponto x0x0.
	
	E
	A representação geométrica do valor de uma integral para uma função integrável em um intervalo (a,b)(a,b) é a área entre o gráfico da função e o eixo das abscissas xx no intervalo de integração.
Você acertou!
Resultado da igualdade entre a integral superior e a integral inferior no intervalo considerado e que possibilita muitas aplicações da integral em diversas áreas (livro-base p.139)
Questão 2/2 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“Quando ff é integrável, sua integral ∫abf(x)dx é o número real cujas aproximações por falta são as somas superiores s(f,P) e cujas aproximações por excesso são as somas superiores S(f,P). ”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 122.
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I.   ( ) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo podemos deduzir que ∫01x2dx=1/3.
II.  ( ) Se uma integral é imprópria então ela não pode ser convergente.
III. ( ) Toda função contínua é integrável.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 50.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo (p.156). A afirmativa II é falsa pois uma integral imprópria pode ser tanto convergente como divergente conforme a função e o intervalo considerado (p.161). A afirmativa III é verdadeira pois representa uma propriedade que tem recíproca falsa ou seja, uma função pode ser integrável e não ser contínua (livro-base p.143 e 144)
	
	E
	V – V – V
Questão 1/2 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo ∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯, (a0,a1,⋯∈R são escalares)) que são chamadas séries de potências.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 384.}
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯ (C0,C1,⋯∈R(C0,C1,⋯∈R são escalares)).
II. ( ) Podemos escrever exex como ex=∑∞0xnn!ex=∑0∞xn/n! para x∈Rx∈R. 
III. ( ) Podemos escrever sin(x)sin⁡(x) como sin⁡(x)=∑0∞(−1)n/(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈Rx∈R.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 50.0
	
	A
	F – F – FB
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
	
	E
	V – V – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira como consequência da série de Taylor (p.154). A afirmativa II é verdadeira pois a expansão de exex pode ser escrita desta maneira(p.185). A afirmativa III é verdadeira pois a expansão de sin(x)sin⁡(x) (livro-base p.153,154 e 185).
Questão 2/2 - Análise Matemática
“Em vários problemas da Matemática e das duas aplicações busca-se uma função que cumpra certas condições dadas. É frequente, nestes casos, obter-se uma sequência de funções cada uma das quais cumpre as condições exigidas apenas aproximadamente, porém com aproximações cada vez melhores.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 151.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 50.0
	
	A
	Na convergência simples o valor de NN encontrado não depende de nenhum valor atribuído.
	
	B
	A sequência de Cauchy está relacionada é um exemplo de convergência simples.
	
	C
	Na convergência uniforme o valor de NN a ser encontrado deve depender apenas do valor de εε.
Você acertou!
Consequência da definição da convergência uniforme em contraposição à convergência simples onde NN depende dos valores dados para εε e xx. (livro-base p.167-168)
	
	D
	Geometricamente qualquer sequência de funções fnfn converge de forma simples para outras funções sendo dependente de εε e xx.
	
	E
	Seja (fn)(fn) uma sequência de funções com fn:[a,b]→Rfn:[a,b]→R que converge uniformemente para uma função f:[a,b]→Rf:[a,b]→R. Se cada função fnfn é integrável então ff não tem primitiva.
Questão 1/5 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0), 
se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos
55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 2/5 - Análise Matemática
O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo  pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR  ou até mesmo reduzir-se a um único ponto.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159.
Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)
Assinale a alternativa que contém os valores para x=1.
	
	A
	e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯
	
	B
	e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯
	
	C
	e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯
	
	D
	e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯
	
	E
	e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯
Questão 3/5 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
	
	A
	Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.
	
	E
	Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.
 
Questão 4/5 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
 
Conjunto aberto
Ponto interior
Conjunto fechado
Ponto de acumulação
Conjunto compacto
Ponto aderente
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
 
Agora marque a sequência correta:
 
	
	A
	6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
	
	B
	4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
	
	C
	2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
	
	D
	6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
	
	E
	4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1
Questão 5/5 - Análise Matemática
Leia o trecho de texto a seguir:
“Quando limxn=alimxn=a, diz-se que a sequência (xn)(xn) converge para aa, ou tende para aa e escreve-se xn→axn→a. Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário, ela se chama divergente. Explicitamente, uma sequência (xn)(xn) diz-se divergente quando, para nenhum número real aa, é verdade que se tenha limxn=alimxn=a”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 108-109.
Levando em consideração o fragmento de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a convergência de sequências numéricas, analise as afirmativas que seguem e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.  Toda sequência que é crescente e limitada é convergente.
II. Existem sequências que não são limitadas, mas são convergentes.
III. Toda subsequência de uma sequência limitada é convergente. 
IV. Existem sequências limitadas que possuem subsequências convergentes.
 
Agora marque a sequência correta:
	
	A
	F – V – F – V
	
	B
	V – F –V – F
	
	C
	V – F – F – V
	
	D
	F – V – V – F
	
	E
	F – F – V – V
Leia o fragmento de texto a seguir. “(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: A derivada de (f(g(x))(f(g(x))é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada. 
A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x 
C h′(x)=2x⋅e(x2+2) 
D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 
E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
Leia o excerto de texto a seguir: 
“Não confunda conjunto infinito com aquele que tem um número muito grande (porém finito) de elementos. Quando, na linguagem comum, s e diz algo como ‘- Já ouvi isto uma infinidade de vezes’, trata-se de uma mera força de expressão. Não há distâncias 
infinitas (mesmo entre duas galáxias bem afastadas) e até o número de átomos do universo é finito. (O físico Arthur Eddington estimou o número de prótons do universo em . O número de átomos é certamente menor pois todo átomo contém ao menos um próton.) É importante ter sempre em mente que nenhum número natural é 
maior do que todos os demais: tem-se sempre ”. 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está 
disponível em: LIMA, E. L, CARVALHO, P. C. P, WAGNER, E. MORGADO, A. C. A 
Matemática do Ensino Médio, v. I. 7. ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. p. 49. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre os conjuntos finitos e 
infinitos, analise as afirmativas a seguir: 
I. O conjunto dos números naturais é um conjunto finito. 
II. Se f:X→Yf:X→Y é uma função injetiva e YY é um conjunto finito 
podemos concluir que XX é um conjunto finito. 
III. Se XX é um conjunto finito com nn elementos, YY é u m conjunto 
com mm elementos e n>mn>m, então podemos construir uma função 
f:X→Yf:X→Y sobrejetiva. 
IV. Se f:Nm→Xf:Nm→X e g:Nn→Xg:Nn→X são bijeções, então 
m=nm=n.
São corretas apenas as afirmativas: 
 
A II e III
B II, III e IV 
C III e IV 
D II e IV 
E I e II