Apol Análise Matemática

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Questão 1/10 - Análise Matemática
Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1.
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que:
 
Nota: 10.0
	
	A
	Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável.
	
	B
	Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua.
	
	C
	Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes.
	
	D
	Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável.
Você acertou!
Temos que limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1)limx→1+f(x)=limx→1+2x=2⋅1=2=f(1) e limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1)limx→1−f(x)=limx→1−(x2+1)=1+1=2=f(1). Portanto, ff é contínua em x=1x=1. Além disso, temos que limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+f(x)=2x−2x−1=2 e limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−f(x)=(x2+1)−2x−1=limx→1−(x+1)=2 Logo, ff é derivável em x=1x=1 e f′(1)=2f′(1)=2 (livro-base, Capítulo 4).
	
	E
	Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável.
 
Questão 2/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real aa é limite da sequência (xn)(xn) quando, para todo número real ε>0ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈Nn0∈N tal que todos os termos xnn com índice n>n0n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε|xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxna=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxna=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxna=limn∈Nxn, a=limn→∞xna=limn→∞xn ou xn→axn→a. Esta última expressão lê-se ‘xnxn  tende para aa’ ou ‘converge para aa’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N(12n)n∈N.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	1212
	
	B
	∞∞
	
	C
	−∞−∞
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0ε>0, escolhemos n0∈Nn0∈N tal que n0>log21εn0>log2⁡1ε, isto é, 12n0<ε12n0<ε. Assim, se n>n0n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε|12n−0|=|12n|=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0lim12n=0. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 3/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x  e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞
II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞
III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞
IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞
V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=elimx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V
Questão 4/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵNnϵN.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
Você acertou!
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 5/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte série numérica conhecida por série geométrica:
∑∞n=0rn=1+r+r2+r3+⋯∑n=0∞rn=1+r+r2+r3+⋯
 
Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de séries numéricas, analise as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras e F para as falsas.
 
I.   ( ) A sequência de termos (rn)(rn) da série geométrica converge para zero para todo r∈Rr∈R
II.  ( ) A soma parcial dos temos da série da geométrica Sn=1+r+r2+⋯+rnSn=1+r+r2+⋯+rn é igual a 1−rn+11−r1−rn+11−r .
III. ( ) A série geométrica diverge para |r|≥1|r|≥1
IV.  ( ) ∑∞n=0(12)n=2∑n=0∞(12)n=2
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-V-F
	
	B
	V-F-V-F
	
	C
	F-V-V-F
	
	D
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra d). A afirmativa I é falsa porque a sequência dos termos diverge se |r|≥1|r|≥1. A afirmativa II é verdadeira pois SnSn é a soma dos termos de uma progressão geométrica. A afirmativa III é verdadeira pois se |r|≥1|r|≥1, a sequencia dos termos não converge para zero, logo, a série diverge. A afirmativa IV é verdadeira, pois a série é geométrica com r=12r=12. Logo, ∑∞n=0(12)n=11−12=112=2∑n=0∞(12)n=11−12=112=2. (livro-base, Capítulo 2).
	
	E
	F-V-F-V
Questão 6/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0),
se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos
55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 7/10 - Análise Matemática
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. 
Considere o conjunto A={1,2,3,4}A={1,2,3,4}
Deacordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado:
 
Nota: 10.0
	
	A
	R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A(x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y) que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também pertence à RR. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1).
	
	B
	R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	C
	R={(2,1),(3,1)}R={(2,1),(3,1)}
	
	D
	R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
	
	E
	R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Questão 8/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“A soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais. Deste modo, quando escrevemos ∑∞n=1an=s∑n=1∞an=s, queremos dizer que, somando um número suficientes de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número ss. Observe que ∑∞n=1an=limn→∞∑ni=1ai∑n=1∞an=limn→∞∑i=1nai”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning , v. 2. 2011. p. 653.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à séries numéricas, assinale a alternativa que contém apenas séries convergentes.
Nota: 10.0
	
	A
	∑∞n=11n∑n=1∞1n, ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=1n∑n=1∞n
	
	B
	
∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=12n+1∑n=1∞2n+1, ∑∞n=11n∑n=1∞1n
	
	C
	∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=112n+1∑n=1∞12n+1, ∑∞n=1(−1)nn∑n=1∞(−1)nn
Você acertou!
A série ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2  é uma p-série com p=2>1p=2>1, logo, é convergente. A série ∑∞n=112n+1∑n=1∞12n+1 é uma série geométrica com |p|=12<1|p|=12<1, logo, converge. A série ∑∞n=1(−1)nn∑n=1∞(−1)nn converge pelo teste de Leibniz. (livro-base, capítulo 2).
	
	D
	∑∞n=11n∑n=1∞1n, ∑∞n=11n2∑n=1∞1n2, ∑∞n=11n3∑n=1∞1n3
	
	E
	∑∞n=1n3∑n=1∞n3, ∑∞n=1n2∑n=1∞n2, ∑∞n=1n∑n=1∞n
Questão 9/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) XX é um conjunto aberto.
II.  ( ) XX é um conjunto limitado.
III. ( ) XX  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) XX é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto XX não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 pertence ao complementar de XX, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 10/10 - Análise Matemática
“Em vários problemas da Matemática e das duas aplicações busca-se uma função que cumpra certas condições dadas. É frequente, nestes casos, obter-se uma sequência de funções cada uma das quais cumpre as condições exigidas apenas aproximadamente, porém com aproximações cada vez melhores.” 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 151.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	Na convergência simples o valor de NN encontrado não depende de nenhum valor atribuído.
	
	B
	A sequência de Cauchy está relacionada é um exemplo de convergência simples.
	
	C
	Na convergência uniforme o valor de NN a ser encontrado deve depender apenas do valor de εε.
Você acertou!
Consequência da definição da convergência uniforme em contraposição à convergência simples onde NN depende dos valores dados para εε e xx. (livro-base p.167-168)
	
	D
	Geometricamente qualquer sequência de funções fnfn converge de forma simples para outras funções sendo dependente de εε e xx.
	
	E
	Seja (fn)(fn) uma sequência de funções com fn:[a,b]→Rfn:[a,b]→R que converge uniformemente para uma função f:[a,b]→Rf:[a,b]→R. Se cada função fnfn é integrável então ff não tem primitiva.