02 -Introdução Sinais Sistemas

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ENGC24 – SINAIS E SISTEMAS I
Introdução
Prof. Bernardo Ordoñez
Curso de Engenharia Elétrica / Curso de Engenharia de Computação
DEE – Departamento de Engenharia Elétrica
Escola Politécnica - UFBA
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Sinais e Sistemas I
Módulo 1:
 Sinais de tempo contínuo e tempo discreto.
 Operações com a variável independente.
 Sinais senoidais e exponenciais.
 Função Impulso e Degrau unitário.
 Introdução à Sistemas e propriedades básicas.
Material de consulta:
Capítulo 1 - OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H.
(2010) Sinais e Sistemas. 2ª edição. Editora Pearson.
Capítulo 1 - LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2ª
edição. Editora Artmed.
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Sinais e Sistemas I
Módulo 1:
 Sinais de tempo contínuo e tempo discreto.
 Operações com a variável independente.
 Sinais senoidais e exponenciais.
 Função Impulso e Degrau unitário.
 Introdução à Sistemas e propriedades básicas.
Material de consulta:
Capítulo 1 - OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H.
(2010) Sinais e Sistemas. 2ª edição. Editora Pearson.
Capítulo 1 - LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2ª
edição. Editora Artmed.
Revisão matemática 3
Sinais e Sistemas I
Um sinal é... O que é um sinal?
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Sinais e Sistemas I
Um sinal é um conjunto de dados ou informação, e
podem descrever um grande variedade de
fenômenos físicos.
A informação do sinal está contida em
algum tipo de variação
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Sinais e Sistemas I
Um sinal é um conjunto de dados ou informação, e
podem descrever um grande variedade de
fenômenos físicos.
A informação do sinal está contida em
algum tipo de variação
Variações ao longo do tempo
nas tensões da fonte (Vs) e do
capacitor (Vc)
Variações ao longo do tempo da
força (f) aplicada e da velocidade (v)
resultante
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Sinais e Sistemas I
Exemplo de uma gravação de fala.
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Sinais e Sistemas I
Matematicamente sinais são representados como
funções de uma ou mais variáveis independentes.
Nos exemplos anteriores: TEMPO
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Sinais e Sistemas I
Matematicamente sinais são representados como
funções de uma ou mais variáveis independentes.
Na disciplina, voltaremos a atenção para os sinais
envolvendo uma única variável independente. Por
conveniência, geralmente vamos nos referir à variável
independente como tempo.
Dimensão 1
Dimensão 2 ???
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Sinais e Sistemas I
Matematicamente sinais são representados como
funções de uma ou mais variáveis independentes.
Na disciplina, voltaremos a atenção para os sinais
envolvendo uma única variável independente. Por
conveniência, geralmente vamos nos referir à variável
independente como tempo.
Isso é um sinal!
Em que o brilho é função dos eixos x e y 10
Sinais e Sistemas I
Matematicamente sinais são representados como
funções de uma ou mais variáveis independentes.
Na disciplina, voltaremos a atenção para os sinais
envolvendo uma única variável independente. Por
conveniência, geralmente vamos nos referir à variável
independente como tempo.
A discussão, entretanto, se aplica de maneira
equivalente para outros tipos de variáveis
independentes:
 Geofísica: densidade e porosidade em função da profundidade
Meteorologia: pressão do ar e temperatura em função da
altitude
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Sinais e Sistemas I
Existem dois tipos básicos de sinais:
 Sinais de tempo contínuo
 Sinais de tempo discreto
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Sinais e Sistemas I
Variável independente contínua (conjunto contínuo de valores).
Variável independente em instantes discretos (conjunto discreto
de valores). 13
Sinais e Sistemas I
Índice semanal da bolsa de valores
Produto interno bruto
Vendas mensais de uma coorporação
Sinal de fala em função de tempo
Pressão atmosférica em função da altitude
.....
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Sinais e Sistemas I
Note que o sinal de tempo discreto x[n] é definido
apenas para valores inteiros da variável independente.
Um sinal de tempo discreto x[n] pode representar um
fenômeno para o qual a variável é inerentemente
discreta.
Sinais demográficos, não faz sentido referir-se à
renda média de uma família com 2,5 membros.
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Sinais e Sistemas I
Note que o sinal de tempo discreto x[n] é definido
apenas para valores inteiros da variável independente.
Um sinal de tempo discreto x[n] pode representar um
fenômeno para o qual a variável é inerentemente
discreta.
Sinais demográficos, não faz sentido referir-se à
renda média de uma família com 2,5 membros.
Uma classe bastante importante de sinais de tempo
discreto decorre da amostragem de sinais de tempo
contínuo.
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Sinais e Sistemas I
ANALÓGICO DISCRETO
CONTÍNUO DIGITAL
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Sinais e Sistemas I
ANALÓGICO DISCRETO
CONTÍNUO DIGITAL
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Sinais e Sistemas I
ANALÓGICO DISCRETO
CONTÍNUO DIGITAL
A amplitude de um sinal analógico pode assumir
infinitos valores. Um sinal digital, por outro lado, é
aquele cuja amplitude pode assumir apenas alguns
números finitos de valores.
Os termos contínuos no tempo e discreto no tempo
qualificam a natureza do sinal ao longo do eixo da
variável independente. Os termos analógico e digital,
por outro lado, qualificam a natureza da amplitude do
sinal.
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Sinais e Sistemas I
ANALÓGICO DISCRETO
CONTÍNUO DIGITAL
A amplitude de um sinal analógico pode assumir infinitos valores.
Um sinal digital, por outro lado, é aquele cuja amplitude pode
assumir apenas alguns números finitos de valores.
Os termos contínuos no tempo e discreto no tempo qualificam a
natureza do sinal ao longo do eixo da variável independente. Os
termos analógico e digital, por outro lado, qualificam a natureza
da amplitude do sinal.
Um sinal analógico não é necessariamente um sinal contínuo no tempo
Um sinal digital não é necessariamente um discreto no tempo
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Sinais e Sistemas I
Energia e Potência de um Sinal
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Sinais e Sistemas I
O tamanho de qualquer entidade é um número que
indica a largura ou comprimento da entidade. De
forma genérica, a amplitude do sinal varia com o
tempo.
Como um sinal de existe em um certo intervalo de
tempo com amplitude variante pode ser medido por
um número que irá indicar o tamanho ou a força do
sinal?
Tal medida deve considerar não apenas a
amplitude do sinal, com também sua
duração.
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Sinais e Sistemas I
Podemos considerar a área abaixo do sinal x(t) como
uma possível medida de seu tamanho, pois a área irá
considerar tanto a AMPLITUDE como a DURAÇÃO.
Alguma restrição???
23
Sinais e Sistemas I
Podemos considerar a área abaixo do sinal x(t) como
uma possível medida de seu tamanho, pois a área irá
considerar tanto a AMPLITUDE como a DURAÇÃO.
A medida pode ser defeituosa, já que para um sinal
x(t) (que pode ser grande!), suas áreas negativas e
positivas podem se cancelar, indicando um sinal de
tamanho pequeno.
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Sinais e Sistemas I
A Energia do sinal (E) pode ser definida como:
que pode ser generalizada para um sinal complexo
x(t), dada por:
Existem outras medidas possíveis do tamanho de um
sinal, tal como a área sob |x(t)|. A medida de energia
tem mais sentido ao trabalhar com sinais.
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Sinais e Sistemas I
Potência do sinal: A energia do sinal deve ser finita
para que seja uma medida significativa do tamanho do
sinal. Uma condição necessária para que a energia do
sinal seja finita é que a amplitude do sinal quan-
do .
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Sinais e Sistemas I
Quando a amplitude do sinal x(t) não quando
,a energia do sinal é infinita.
Uma medida mais significativa do tamanho do sinal
neste caso é a Energia média, se ela existir.
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Sinais e Sistemas I
Esta media é chamada de Potência do Sinal. Para um
sinal x(t), definimos sua potência Px por:
podemos generalizar para um sinal complexo x(t):
A potência do sinal Px é uma média temporal do
quadradoda amplitude do sinal, ou seja, o valor
médio quadrático de x(t).
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Sinais e Sistemas I
Transformação da variável independente
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Sinais e Sistemas I
Um exemplo bastante simples e importante de
transformação da variável independente de um sinal é
o deslocamento no tempo.
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Sinais e Sistemas I
Um exemplo bastante simples e importante de
transformação da variável independente de um sinal é
o deslocamento no tempo.
x(t-t0) está adiantado em relação a x(t) (se t0 positivo estaria
atrasado)
Aplicações como radar, sonar e sinais sísmicos, em que
receptores obervam um sinal transmitido por um meio (água,
rocha, ar,...) 31
Sinais e Sistemas I
Outra transformação básica no eixo do tempo é a
reflexão no tempo.
32
Sinais e Sistemas I
Outra transformação básica no eixo do tempo é a
reflexão no tempo.
O sinal x(-t) é obtido pela reflexão em relação a t=0. Logo, se x(t)
representa uma gravação de aúdio em fita...
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Sinais e Sistemas I
E por fim, tem-se uma transformação sobre a
mudança na escala de tempo.
x(2t) – dobro da velocidade x(t/2) – metade da velocidade
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Sinais e Sistemas I
Deslocamento no tempo, reflexão no tempo e
mudança de escala.
Seja o sinal na forma:
Linearmente estendido, ou comprimido,
e ainda, refletido no tempo
Deslocado no tempo
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Sinais e Sistemas I
Uma classe fundamental de sinais que encontraremos
ao longo do curso é a classe dos sinais periódicos.
Um sinal periódico de tempo contínuo x(t) tem a
propriedade de que existe um valor positivo T para o
qual:
para todos os valores de t.
Ou seja, o sinal não se modifica pelo
deslocamento no tempo de T.
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Sinais e Sistemas I
Sinais periódicos
37
Sinais e Sistemas I
Sinal é periódico com período T
,, para todo t e qualquer número
inteiro m.
Assim, x(t) também é periódico com período 2T, 3T,... O
período fundamental T0 de x(t) é o menor valor positivo
de T para o qual satifaz-se:
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Sinais e Sistemas I
E se deslocarmos o sinal no tempo por T ?
39
Sinais e Sistemas I
Outro grupo de propriedades úteis dos sinais
relaciona-se a sua simetria com relação a reflexão no
tempo.
Define-se um sinal x(t) como sinal com simetria par se
ele é idêntico ao seu equivalente espelhado no tempo,
isto é, ao seu reflexo em relação à origem.
40
Sinais e Sistemas I
Um sinal é tido como de simetria ímpar se:
Note que um sinal ímpar deve ser necessariamente 0
em t=0, já que a eq. determina que x(0) = - x(0).
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Sinais e Sistemas I
Todo sinal x(t) pode ser descrito como a soma de
componentes pares e ímpares pois:
A partir das definições anteriores, podemos perceber
que a primeira componente do lado direito é uma
função par, enquanto que a segunda é ímpar.
Note que substituindo t por –t na primeira
componente resulta na mesma função. O mesmo
artifício na segunda componente resulta no negativo
da componente.
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Sinais e Sistemas I
Considere a função:
Escrevendo como a soma de componentes pares e
ímpares xe(t) e xo(t), obtemos:
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Sinais e Sistemas I
De tem-se:
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Sinais e Sistemas I
Sinais senoidais e exponenciais
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Sinais e Sistemas I
Um sinal exponencial complexo de tempo contínuo
tem a forma:
em que C e a são, em geral, números complexos.
Dependendo dos valores desses parâmetros, a
exponencial complexa pode assumir várias
características diferentes.
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Sinais e Sistemas I
Se C e a são reais: Sinais Exponenciais Reais
Se a é positivo , então, enquanto t
aumenta, x(t) é uma exponencial
crescente.
Se a é negativo, então x(t) é uma
exponencial decrescente.
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Sinais e Sistemas I
Se a é puramente imaginário: Sinais senoidais e Exponenciais
Complexas Periódicas
Particularmente, considera-se:
Uma propriedade importante é que se trata de um
sinal periódico, em que x(t) será periódico com
período T se
ou como
segue-que para a periodicidade, devemos ter
48
Sinais e Sistemas I
Um sinal diretamente relacionado à exponencial
complexa periódica é o sinal senoidal
49
Sinais e Sistemas I
Usando a relação de Euler, a exponencial complexa
pode ser escrita em termos de sinais senoidais com o
mesmo período fundamental:
do mesmo modo, o sinal senoidal pode ser escrito em
termos de exponenciais complexas periódicas:
50
Sinais e Sistemas I
O período fundamental T0 de um sinal senoidal de
tempo contínuo, ou de uma exponencial periódica
complexa é inversamente proporcional a , à qual
nos referimos como frequência fundamental.
51
Sinais e Sistemas I
Sinais periódicos, particularmente o sinal exponencial
complexo, são exemplos de sinais com energia infinita,
mas com potência média finita.
Seja o sinal exponencial periódico complexo
A energia total e a potência média nesse sinal durante
um período:
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Sinais e Sistemas I
Como há um número infinito de períodos, pois t varia
de , a energia total integrada durante todo
o tempo é infinita.
No entanto, em cada período o sinal tem exatamente a
mesma forma. Uma vez que a potência média do sinal
é igual a 1 em cada período, a média retirada durante
múltiplos períodos sempre resulta em uma potência
média igual a 1.
Ou seja, o sinal exponencial periódico complexo tem
potência média finita igual a
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Sinais e Sistemas I
Sinais Exponenciais Complexos Gerais
O caso mais geral de um sinal exponencial complexo
pode ser expresso e interpretado em termos dos dois
casos que examinamos até agora.
Especificamente, considere uma exponencial complexa
, na qual C é expresso na forma polar e a,
na forma retangular.
Assim,
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Sinais e Sistemas I
Então:
Usando a relação de Euler, podemos expandir para:
Portanto, para r=0, as partes real e imaginária de uma
exponencial complexa são senoidais. Para r>0, elas
correspondem a sinais senoidais multiplicados por
uma exponencial crescente, e para r<0 elas
correspondem a sinais senoidais multiplicados por
uma exponencial decrescente.
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Sinais e Sistemas I
As linhas pontilhadas correspondem às funções
As curvas pontilhadas agem como uma envoltória das
oscilações. Desta forma, a envoltória proporciona um modo
prático para visualizarmos a tendência geral das oscilações.
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Sinais e Sistemas I
Funções Impulso e Degrau
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Sinais e Sistemas I
A função degrau unitário é definida como:
OBS: O degrau é descontínuo em t=0.
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Sinais e Sistemas I
Útil para especificar uma função com diferentes
descrições matemáticas em diferentes intervalos
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Sinais e Sistemas I
Útil para especificar uma função com diferentes
descrições matemáticas em diferentes intervalos
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Sinais e Sistemas I
A função impulso unitário guarda relação com o
degrau unitário integral cumulativa do impulso
unitário:
ou então, o impulso unitário pode ser obtido como a
primeira derivada do degrau unitário:
 u(t) é descontínuo em t=0
 Formalmente não diferenciável
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Sinais e Sistemas I
Seja a aproximação do degrau unitário:
Idealização de para extremamente curto. For-
malmente, u(t) é o limite de quando .
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Sinais e Sistemas I
Pulso curto com duração e área unitá-
ria para qualquer valor de .
Quando , o pulso torna-se mais
estreito e mais alto.
Seja a forma limite do pulso de curta duração:
Como não tem duração, mas área unitária, adota-
se a notação conforme figura abaixo:
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Sinais e Sistemas I
Ao multiplicar o impulso unitário por uma função
, contínua para t=0, como o impulso possui valor
não nulo apenas para t=0, e o valor de para t=0 é
obtemos:
A multiplicação de uma função contínua no tempo
pelo impulso unitário localizado em t=0 resulta em um
impulso, o qual é localizado em t=0 e possuiforça .
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Sinais e Sistemas I
É possível generalizar o resultado, afirmando que dada
contínua em t=T, multiplicado por um impul-
so resulta em um impulso localizado em t=T e
com força .
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Sinais e Sistemas I
A partir de:
obtém-se
desde que seja contínua em t=0.
A área sob o produto de uma função com o
impulso fi(t) é igual ao valor da função no
instante no qual o impulso é localizado
Propriedade de amostragem do impulso unitário
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Sinais e Sistemas I
De:
obtém-se
que é outra forma da propriedade da amostragem.
Neste caso, o impulso está localizado em t=T.
Portanto, a área sob é , o valor de
no instante em que o impulso está localizado (t=T).
67
Sinais e Sistemas I
Introdução a Sistemas
LIT – Lineares Invariantes no tempo
Valores de R e C são constantes no decorrer
do tempo, ou seja, um ensaio amanhã
deveria fornecer os mesmos resultados do
que um ensaio hoje.
m
Linearidade e Superposição:
Aditividade:
Homogeneidade:
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Sinais e Sistemas I
Interconexão de Sistemas
 Sistemas reais são construídos como interconexões de
diversos subsistemas.
 Sistemas mais complexos elementos básicos.
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Sinais e Sistemas I
Sistemas com ou sem memória;
Sistemas causais (físico ou antecipativo)
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Sinais e Sistemas I
Estabilidade:
Se a entrada para um sistema estável é limitada (isto é, seu módulo
não cresce sem limites), então a saída também deve ser limitada, e
portanto, não pode divergir.
Descrições dos sistemas: interna vs externa.
71
Sinais e Sistemas I
Resposta de um Sistema Linear
A saída de um sistema para t>0 é o resultado de duas causas
independentes:
 Condição inicial do sistema para t=0.
 Entrada x(t) para t>0.
A saída deve ser a soma das duas componentes: resposta a entrada
nula e resposta de estado nulo.
Resposta Total = resposta entrada nula + resposta estado nulo
Propriedades de decomposição e superposição.
72
Sinais e Sistemas I
Seja a entrada x(t) descrita pela soma de funções mais simples:
x(t) = a1x1(t) + a2x2(t) + ... + amxm(t) 
então pela linearidade a resposta y(t) é:
y(t) = a1y1(t) + a2y2(t) + ... + amym(t) .
73
Sinais e Sistemas I
Aproximar x(t) pela soma de pulsos retangulares uma
entrada arbitrária substituída pela soma ponderada de impulsos
unitários.
Com a resposta do sistema a um impulso unitário, pode-se
determinar a resposta do sistema a uma entrada x(t) qualquer
através da soma das respostas do sistema a cada componente
de impulso de x(t).
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Sinais e Sistemas I
Utilizando a propriedade de superposição para determinar a
resposta y(t) do sistema a uma entrada arbitrária x(t),
considerando as condições iniciais nulas.
Seja um pulso p(t) de altura unitária e largura ∆𝜏𝜏, começando em t=0. E
também um entrada qualquer x(t) como a soma de pulsos.
O pulso começando em 𝑡𝑡 = 𝑛𝑛∆𝜏𝜏 possui altura 𝑥𝑥(𝑛𝑛∆𝜏𝜏) e pode 
expresso por 𝑥𝑥 𝑛𝑛∆𝜏𝜏 𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛∆𝜏𝜏). 75
Sinais e Sistemas I
Como x(t) é a soma de todos os pulsos, tem-se:
𝑥𝑥 𝑡𝑡 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑡𝑡→0
�
𝜏𝜏
𝑥𝑥 𝑛𝑛∆𝜏𝜏 𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛∆𝜏𝜏)
= 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
∆𝑡𝑡→0
�
𝜏𝜏
𝑥𝑥 𝑛𝑛∆𝜏𝜏
∆𝜏𝜏
𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛∆𝜏𝜏)∆𝜏𝜏
O termo 𝑥𝑥 𝑛𝑛∆𝜏𝜏
∆𝜏𝜏
𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛∆𝜏𝜏)representa um pulso 𝑝𝑝(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛∆𝜏𝜏) com
altura 𝑥𝑥 𝑛𝑛∆𝜏𝜏
∆𝜏𝜏
. Quando∆𝜏𝜏 → 0, a altura desta faixa → ∞ mas sua área
permanece 𝑥𝑥 𝑛𝑛∆𝜏𝜏 .
Logo, esta faixa se aproxima do impulso 𝑥𝑥 𝑛𝑛∆𝜏𝜏 𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑛𝑛∆𝜏𝜏) para∆𝜏𝜏 →0. Portanto.
𝒙𝒙 𝒕𝒕 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
∆𝒕𝒕→𝟎𝟎
�
𝝉𝝉
𝒙𝒙 𝒏𝒏∆𝝉𝝉 𝜹𝜹(𝒕𝒕 − 𝒏𝒏∆𝝉𝝉)
76
Sinais e Sistemas I
Para determinar a resposta para esse impulso x(t), considera-se
a entrada e os pares de saída correspondentes.
77
Sinais e Sistemas I
Para determinar a resposta para esse impulso x(t), considera-se
a entrada e os pares de saída correspondentes.
78
Sinais e Sistemas I
Portanto,
Assim, y(t) é a resposta do sistema a uma entrada arbitrária x(t) em
termos da resposta ao impulso unitário. Conhecendo h(t) pode-se
determinar a resposta y(t) a qualquer entrada.
A integral de convolução de duas funções x1(t) e x2(t) é representada
simbolicamente por x1(t)*x2(t), e definida por:
𝒚𝒚 𝒕𝒕 = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
∆𝒕𝒕→𝟎𝟎
�
𝝉𝝉
𝒙𝒙 𝒏𝒏∆𝝉𝝉 𝒉𝒉(𝒕𝒕 − 𝒏𝒏∆𝝉𝝉)
𝒚𝒚 𝒕𝒕 = �
−∞
∞
𝒙𝒙 𝝉𝝉 𝒉𝒉 𝒕𝒕 − 𝝉𝝉 𝒅𝒅𝝉𝝉
79
Sinais e Sistemas I
Algumas Propriedades da Convolução:
Comutativa:
Distributiva:
Associativa:
Deslocamento:
Convolução com um Impulso:
80
Sinais e Sistemas I
A convolução: Método gráfico
A integração é em relação a , não t!
81
Sinais e Sistemas I
Para discutir sobre , primeiro analisa-se , em que
aplica-se a propriedade de reflexão para ter :
Se , então deslocando t segundos tem-se:
82
Sinais e Sistemas I
A discussão anterior fornece uma interpretação gráfica das
funções. A convolução c(t) é a área debaixo do produto das duas
funções.
83
Sinais e Sistemas I
84
Sinais e Sistemas I
Alguns exercícios
OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H. (2010) Sinais e Sistemas. 2ª edição.
Editora Pearson - Capítulo 1
Potência e Energia do Sinal: 1.3
Sinais periódicos: 1.6, 1.9, 1.10, 1.25, 1.32
Identidades de Euler: 1.8, 1.48. 1.50, 1.51
Funções ímpar e par: 1.23
Funções Degrau e Impulso: 1.38, 1.39, 1.40
85
Sinais e Sistemas I
Módulo 2:
 Representação de sinais periódicos em Séries de
Fourier.
 Determinação dos coeficientes de Fourier.
 Teorema de Parseval e Convergência.
 Propriedades de Série de Fourier.
 Aplicação e exercícios.
Material de consulta:
Capítulo 3 - OPPENHEIN, A.V., WILLSKY, A. S. e NAWAB, S.H.
(2010) Sinais e Sistemas. 2ª edição. Editora Pearson.
Capítulo 6 - LATHI, B.P. (2006) Sinais e Sistemas Lineares. 2ª
edição. Editora Artmed.
Fim de Aula.
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