Análise Matemática (OBJETIVA DISCURSIVA)

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Questão 1/12 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação: 
“Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o ‘Problema da Tangente’”.
De acordo com as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, sendo f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0f′(x0)=limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0, assinale a alternativa que contém o limite que devemos calcular para encontrar a derivada da função f(x)=x2−1f(x)=x2−1 no ponto x=2x=2:
	A	limx→2(x2−1)±5x−2limx→2(x2−1)±5x−2
	B	limx→2(x2−1)−3x−2limx→2(x2−1)−3x−2
Como f(2)=3f(2)=3 e f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2f′(2)=limx→2f(x)−f(2)x−2 quando esse limite existir, então, limx→2(x2−1)−3x−2limx→2(x2−1)−3x−2
	C	limx→0(x2−1)−2x−2limx→0(x2−1)−2x−2
	D	limx→2(x2−1)x−2limx→2(x2−1)x−2
	E	limx→0(x2−1)xlimx→0(x2−1)x
Questão 2/12 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“A função exponencial natural tem a propriedade de ser a sua própria derivada”. 
De acordo com a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a função exponencial natural, pode-se dizer que a integral é ∫10exdx∫01exdx é equivalente a:
Nota: 10.0
	A	∫10exdx=0∫01exdx=0
	B	∫10exdx=1−e2∫01exdx=1−e2
	C	∫10exdx=1−2e∫01exdx=1−2e
	D∫10exdx=e−1
Você acertou!
A primitiva da função exponencial natural é a própria função. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, tem-se:
∫10exdx=ex|10=(e1−e0)=e−1∫01exdx=ex|01=(e1−e0)=e−1
(livro p.155)
	E	∫10exdx=1+e∫01exdx=1+e
Questão 3/12 - Análise Matemática
Observe o gráfico da função f(x)=x2f(x)=x2 e da sua reta tangente no ponto x=1x=1.
Fonte: Imagem produzida pelo autor da questão.
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, assinale a alternativa que contém a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)f(x) no ponto x=1x=1:
	A	y=−2x+1y=−2x+1
	B	y=3x–32y=3x–32
	C	y=2x–1y=2x–1
Você acertou!
A alternativa correta é letra c. Temos que f′(x)=2xf′(x)=2x, logo, f′(1)=2f′(1)=2 é a inclinação da reta tangente. No ponto x=1x=1 temos y=f(1)=1y=f(1)=1. Assim a equação da reta tangente é: (y−1)=2(x−1)(y−1)=2(x−1), isto é: y=2x−1y=2x−1. (livro-base, p. 111-113).
	D	y=−x+3y=−x+3
	E	y=−x+4y=−x+4
Questão 4/12 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação: 
“Aplicando a Regra de L’Hôpital
Passo 1: Verifique que lim f(x)g(x)f(x)g(x) é uma forma indeterminada do tipo 0000.
Passo 2: Diferencie separadamente ff e gg.
Passo 3: Encontre o limite de f′(x)g′(x)f′(x)g′(x). Se esse limite for finito, +∞+∞ ou −∞−∞, então ele é igual ao limite de f(x)g(x)f(x)g(x)”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen; Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. v. I. p. 257.
 
Considerando as informações dadas e os conteúdos do livro-base Análise Matemática , podemos dizer que limx→2x2−4x−2limx→2x2−4x−2 é igual a:
Nota: 10.0
	A	1717
	B	1212
	C	4
Você acertou!
Temos , pela regra de L'Hôpital, que   limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4limx→2x2−4x−2=limx→22x1=2.2=4
Livro (p128 e p129).
	D	8
	E	1
Questão 5/12 - Análise Matemática
Considere a seguinte informação:
“Se as funções contínuas f(x)f(x) e g(x)g(x) são zero em x=ax=a, então limx→af(x)g(x)limx→af(x)g(x) não pode ser encontrado com a substituição x=ax=a. A substituição gera 0000, uma expressão sem significado conhecida como uma forma indeterminada. [...] A Regra de l’Hôpital nos permite ter sucesso usando derivadas para calcular limites que, abordados de outra maneira, levam a formas indeterminadas”.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra de l’Hôpital, o limite da função limx→1x2−1x−1limx→1x2−1x−1 quando xx tende a 11 é:
	A	ee
	B	1
	C	−∞−∞
	D	+∞+∞
	E	2
Você acertou!
Usando a Regra de L'Hôspital temos: limx→1x2−1x−1=limx→12x1=2⋅11=2limx→1x2−1x−1=limx→12x1=2⋅11=2 (livro-base, p. 128).
Questão 6/12 - Análise Matemática
 Veja esta informação sobre relação de equivalência.
“O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre as relações entre conjunto, assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto A={1,2,3,4,5}A={1,2,3,4,5}:
	A	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1)}
Você acertou!
Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R, ∀x∈A(x,x)∈R, ∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y)que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também pertence à RR. E essa relação é transitiva, pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1).
	B	R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)}R={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5)}
	C	R={(2,2),(3,3)}R={(2,2),(3,3)}
	D	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(2,4)}
	E	R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)}R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(1,4)}
Questão 7/12 - Análise MatemáticaObserve o gráfico da função f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x+1,x<10,x=13−x,x>1f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite a continuidade, analise as afirmações a seguir e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas.
I. ( ) limx→1+f(x)=2limx→1+f(x)=2
II. ( ) limx→1f(x)=f(1)limx→1f(x)=f(1)
III. ( ) ∄limx→1f(x)∄limx→1f(x)
IV. ( ) limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2
V. ( ) f(1)=0f(1)=0
Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta:
	A	F – F – V – F – V
	B	F – V – V – V – F
	C	V – F – F – F – V
	D	V – F – F – V – V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é verdadeira porque limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2. A afirmativa II é falsa porque limx→1+f(x)=2≠0=f(1)limx→1+f(x)=2≠0=f(1). A afirmativa III é falsa porque limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2. A afirmativa IV é verdadeira porque os limites laterais de ff quando xx tende a 1 são iguais a 2. A afirmativa V é verdadeira pela definição da função. (livro-base, p. 90-97).
	E	V – V – F – F – F
Questão 8/12 - Análise Matemática
Considere a seguinte informação: 
Seja  uma função definida por partes da seguinte forma:
 f(x)=⎧⎨⎩x2−3x+2x−2,x≠2kx=2f(x)={x2−3x+2x−2,x≠2kx=2 
Fonte: texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando a função dada no texto e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, assinale qual valor deve ser dado para que a função dada seja contínua em x = 2:
Nota: 10.0
	A	k=2k=2
	B	k=0k=0
	C	k=1k=1
Você acertou!
Para que a função seja contínua em x=2x=2 devemos ter: limx→2f(x)=f(2)limx→2f(x)=f(2). Temos que limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1limx→2f(x)=limx→2x2−3x+2x−2=limx→2(x−2)(x−1)x−2=limx→2(x−1)=1. Portanto, devemos definir f(2)=1f(2)=1. (livro-base, p. 99).
	D	k=−1k=−1
	E	k=−2k=−2
Questão 9/12 - Análise Matemática
Atente para a seguinte citação: 
“Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos xx e yy”.                       
Dada a função f:R→Rf:R→R tal que f(x)=xlnxf(x)=xln⁡x
Levando em consideração as informações do dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, responda:
Qual é o limite da função dada quandox tende a 1 (um)?
	A	−1−1
	B	−∞−∞
	C	∞∞
	D	1
	E	0
Temos que limx→1x=1limx→1x=1 e limx→1lnx=ln1=0limx→1ln⁡x=ln⁡1=0. Assim limx→1x⋅lnx=1⋅0=0limx→1x⋅ln⁡x=1⋅0=0 (livro-base, p. 93)
Questão 10/12 - Análise Matemática
Considere a seguinte função definida por partes:
        
                                                                      f(x)={3x,x<1x+2x≥1f(x)={3x,x<1x+2x≥1
Considerando a função dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Derivadas, assinale a única alternativa correta:
	A	A derivadas laterais são iguais a 1.
	B	f′(1−)=3f′(1−)=3   e    f′(1+)=1f′(1+)=1
Temos que f′(1−)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−3x−3x−1=3f′(1−)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−3x−3x−1=3 e f′(1+)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x+2−3x−1=1f′(1+)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x+2−3x−1=1 (livro-base, p. 128-129).
	C	A função não tem derivadas laterais.
	D	As derivadas laterais têm valores iguais.
	E	Não existem os limites laterais de ff em x=1x=1.
Questão 11/12 - Análise Matemática (questão opcional)
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Diz-se que uma função ff, definida num intervalo aberto II, é derivável em x0∈Ix0∈I se existe e é finito o limite da razão incremental
                                                         f(x)−f(x0)x−x0f(x)−f(x0)x−x0
com x→x0x→x0. Esse limite é, por definição, a derivada da função ff no ponto x0x0. Para indicar esse limite, usam-se as notações
                                              f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),f′(x0),   (∂f)(x0)  e  dfdx(x0),
esta última sendo o quociente de diferenciais”. 
De acordo com o fragmento de texto dado e com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito das derivadas de funções reais, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I. ( ) Uma função que é contínua em um ponto x0x0 do seu domínio possui derivada neste ponto.
II. ( ) Se duas funções f,g:I→Rf,g:I→R possuem derivada num ponto x0∈Ix0∈I, então a derivada da soma é igual à soma das derivadas.
III. ( ) Uma função f:I→Rf:I→R possui derivada num ponto de acumulação x0x0 do seu domínio se, e somente se, existe e é finito o limite limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0limx→x0[f(x)−f(x0)]x−x0.
IV. ( ) Informalmente, o valor da derivada em um ponto x0x0 de uma curva indica a inclinação da reta tangente à curva em x0x0.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	A	V-F-V-F
	B	F-V-F-V
	C	V-V-V-F
	D	F-V-V-F
	E	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra e). A afirmativa I é falsa, basta observar a função f(x)=|x|f(x)=|x|. Essa função é contínua em x=0x=0, porém, não é derivável em x=0x=0. A afirmativa II é verdadeira pela regra da soma. A afirmativa III é verdadeira, pois é a definição de derivada. A afirmativa IV é verdadeira, pois é a noção geométrica de derivada (livro-base, p. 112-121).
Questão 12/12 - Análise Matemática (questão opcional)
Na definição de integral definida ∫baf(x)dx∫abf(x)dx, trabalhamos com uma função ff definida em um intervalo limitado [a,b][a,b] e presumimos que ff não tenha uma descontinuidade infinita. 
   Agora entenderemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e também para o caso onde ff tem uma descontinuidade infinita em [a,b][a,b]. Em ambos os casos, a integral é chamada integral imprópria. 
 
Observe a imagem:
Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Integrais impróprias, a área da região hachurada na figura é o valor da integral imprópria ∫+∞11x2dx∫1+∞1x2dx que corresponde a:
Nota: 10.0
	A	A(D)=∞A(D)=∞
	B	A(D)=2A(D)=2
	C	A(D)=1A(D)=1
Você acertou!
∫+∞11x2=limt→+∞∫t11x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))=∫1+∞1x2=limt→+∞∫1t1x2dx=limt→+∞(F(t)−F(1))=limt→+∞((−1t)−(−11))= limt→+∞(−1t+1)=0+1=1limt→+∞(−1t+1)=0+1=1 (livro-base, p. 161)
	D	A(D)=eA(D)=e
	E	A(D)=e−1A(D)=e−1
Questão 1/3 - Análise Matemática (DISCURSIVA)
Leia atentamente o fragmento de texto:
“Diz-se que uma sequência {an}{an} é limitada à esquerda, ou limitada inferiormente, se existe um número AA tal que A≤anA≤an para todo nn; e limitada à direita, ou limitada superiormente, se existe um número BB  tal que an≤Ban≤B para todo nn. Quando a sequência é limitada à esquerda e à direita ao mesmo tempo, dizemos simplesmente que ela é limitada. Como é fácil ver, isso equivale a afirmar que existe um número MM tal que |an|<0|an|<0 para todo nn”.
Levando em consideração o fragmento de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Sequências Numéricas, analise a sequência a seguir:
xn=n/n+1
Agora responda:
a) Quais são os primeiros 5 (cinco) termos da sequência?
b) A sequência é monótona? Justifique sua resposta.
c) É limitada? Justifique.
d) A sequência é convergente ou divergente? Justifique sua resposta.
Nota: 33.3
a) Os primeiros 5 (cinco) termos da sequência são:
 (1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,⋯)
b) A sequência é monótona, pois é sempre crescente.
c) A sequênciaxn=n/n+1 é limitada porque0<xn<1 para todo n
d) A sequência é convergente pois é limitada e monótona.(livro-base, p. 57-60)
	
	
Questão 2/3 - Análise Matemática
Leia atentamente o seguinte fragmento de texto: 
“Costuma-se dizer que limx→af(x)=Llimx→af(x)=L é o limite bilateral, porque requer que os valores de f(x)f(x) fiquem cada vez mais próximos de LL quando xx tende a aa por qualquer um dos dois lados. Contudo, algumas funções exibem diferentes comportamentos em cada um dos dois lados de um ponto aa, e nesse caso é necessário distinguir se xx está próximo de xx do lado esquerdo ou do lado direito, para fins de examinar o comportamento no limite”. 
Considerando as informações do fragmento de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite e Continuidade, observe a função f(x)={2x−2sex<23sex≥2f(x)={2x−2sex<23sex≥2 e verifique se existe limx→2f(x)limx→2f(x)
Nota: 33.3 
	
	
Questão 3/3 - Análise Matemática
Atente para a seguinte definição:
 
“Dizemos que uma sequência {{an}an} converge para o limite LL se dado qualquer ε>0ε>0, existir um número inteiro positivo NN, tal que |an−L|<ε|an−L|<ε para n≥Nn≥N. Nesse caso escrevemos limn→+∞an=Llimn→+∞an=L. Dizemos que uma sequência diverge quando não convergir para algum limite finito”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2007. p. 628.
Levando em consideração as informações do dado fragmento de texto e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequência de números reais,  escreva os cinco primeiros termos da sequência a seguir, começando por  n=1.
xn=(−1)n
Nota: 33.3
O aluno pode escrever a definição ou somente os cinco primeiros termos com as suas palavras.
Cinco primeiros termos (−1,1,−1,1,−1,⋯) 
(livro-base, p. 57-58)