calculo

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INTRODUÇÃO AO 
CÁLCULO 
Professor Me. Idelmar André Zanella
Professora Me. Marlí Schmitt Zanella
GRADUAÇÃO
Unicesumar
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de EAD
Willian Victor Kendrick de Matos Silva
Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Direção Operacional de Ensino
Kátia Coelho
Direção de Planejamento de Ensino
Fabrício Lazilha
Direção de Operações
Chrystiano Mincoff
Direção de Mercado
Hilton Pereira
Direção de Polos Próprios
James Prestes
Direção de Desenvolvimento
Dayane Almeida 
Direção de Relacionamento
Alessandra Baron
Gerência de Produção de Conteúdo
Juliano de Souza
Supervisão do Núcleo de Produção de 
Materiais
Nádila de Almeida Toledo
Coordenador de Conteúdo
Ivnna Gurniski
Design Educacional
Camila Zaguini Silva, Fernando Henrique 
Mendes, Jaime de Marchi Junior, Nádila de 
Almeida Toledo, Rossana Costa Giani 
Iconografia
Amanda Peçanha dos Santos
Ana Carolina Martins Prado
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Arte Capa
André Morais de Freitas
Editoração
Aline Morais, André Morais de Freitas, Daniel 
Fuverki Hey, Humberto Garcia da Silva, José 
Jhonny Coelho, Nara Emi Tanaka Yamashita, 
Robson Yuiti Saito, Thayla Daiany Guimarães 
Cripaldi
Revisão Textual
Ana Paula da Silva, Flaviana Bersan Santos, 
Jaquelina Kutsunugi, Keren Pardini, Maria 
Fernanda Canova Vasconcelos, Nayara 
Valenciano, Rhaysa Ricci Correa e Viviane 
Favaro Notari
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância; ZANELLA, Idelmar André; ZANELLA, Marli Schmitt.
 
 Introdução ao Cálculo. Idelmar André Zanella; Marli 
Schmitt Zanella. 
 (Reimpressão revista e atualizada)
 Maringá-Pr.: UniCesumar, 2016. 
 173 p.
“Graduação em Matemática - EaD”.
 
 1. Matemática 2. Cálculo . 3. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-8084-849-6
CDD - 22 ed. 515.3
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar – 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quan-
do investimos em nossa formação, seja ela pessoal 
ou profissional, nos transformamos e, consequente-
mente, transformamos também a sociedade na qual 
estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando 
oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capa-
zes de alcançar um nível de desenvolvimento compa-
tível com os desafios que surgem no mundo contem-
porâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialó-
gica e encontram-se integrados à proposta pedagó-
gica, contribuindo no processo educacional, comple-
mentando sua formação profissional, desenvolvendo 
competências e habilidades, e aplicando conceitos 
teóricos em situação de realidade, de maneira a inse-
ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais 
têm como principal objetivo “provocar uma aproxi-
mação entre você e o conteúdo”, desta forma possi-
bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação pes-
soal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cres-
cimento e construção do conhecimento deve ser 
apenas geográfica. Utilize os diversos recursos peda-
gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possi-
bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente 
Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e en-
quetes, assista às aulas ao vivo e participe das discus-
sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de 
professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
Diretoria Operacional 
de Ensino
Diretoria de 
Planejamento de Ensino
Professor Me. Idelmar André Zanella
Possui Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná – UNIOESTE (2006), Licenciatura em Física pela Universidade Federal 
de Santa Maria – UFSM (2013) e Mestrado em Matemática pela Universidade 
Estadual de Londrina – UEL (2013). Atualmente cursa o doutorado em 
Educação para a Ciência e a Matemática – UEM. É professor de Matemática 
da Educação Básica da rede pública de ensino do Estado do Paraná. Realiza 
pesquisas em Educação Matemática sobre a Geometria Euclidiana e a 
inserção das Geometrias Não Euclidianas na Educação Básica.
Professora Me. Marlí Schmitt Zanella
Possui Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná – UNIOESTE (2008), Licenciatura em Física pela Universidade Federal 
de Santa Maria – UFSM (2013) e Mestrado em Educação para a Ciência e a 
Matemática pela Universidade Estadual de Maringá – UEM (2013). Atualmente 
cursa o doutorado em Educação para a Ciência e a Matemática – UEM. Realiza 
pesquisas em Educação Matemática nas áreas de ensino e aprendizagem 
da Matemática no Ensino Fundamental sobre os seguintes temas: Teoria 
dos Campos Conceituais, Estrutura Aditiva, Estrutura Multiplicativa, Cálculo 
Relacional, Invariantes Operatórios – teoremas e conceitos em ação, Números 
Racionais na Representação Fracionária, Análise de Erros e a inserção 
de atividades de Modelagem Matemática nos anos iniciais do Ensino 
Fundamental.
A
U
TO
RE
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SEJA BEM-VINDO(A)!
APRESENTAÇÃO
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO 
APRESENTAC¸A˜O DO LIVRO
Antes de tudo, queremos esclarecer a voceˆ, caro aluno, que este livro e´ um pequeno compeˆndio
de notas de aulas, as quais abordam os temas de conjuntos nume´ricos, equac¸o˜es e inequac¸o˜es,
trigonometria, nu´meros complexos, sequeˆncias e progresso˜es para um curso introduto´rio ao
Ca´lculo. Salientamos que o estudo de func¸o˜es que e´ base para o Ca´lculo
sera´ abordado em
outro momento. Assim, desejamos uma boa leitura e que este singelo material possa contribuir
para a sua formac¸a˜o acadeˆmica e profissional.
Este material esta´ organizado em cinco unidades. Na primeira unidade intitulada: “Conjuntos
Nume´ricos” o nosso estudo, e mais especificamente, o estudo do Ca´lculo, esta´ baseado no sis-
tema de nu´meros reais. Neste texto iniciamos o estudo com os nu´meros naturais 0, 1, 2, 3, ... ,
inclu´ımos os nu´meros inteiros ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... . Enta˜o, abordamos os nu´meros racionais,
que podem ser interpretados como raza˜o entre inteiros, e assim, qualquer nu´mero racional pode
ser escrito da forma: q =
a
b
, onde a, b ∈ ZZ, b �= 0. Lembre-se: a divisa˜o por zero sempre sera´
exclu´ıda, pois na˜o e´ definida. Entretanto, alguns nu´meros reais, como por exemplo,
√
2, na˜o
podem ser representados como uma raza˜o entre nu´meros inteiros e, portanto, sa˜o chamados de
nu´meros irracionais.
Todo nu´mero racional tambe´m pode ter uma representac¸a˜o decimal. Se o nu´mero for raci-
onal, enta˜o a valor decimal correspondente e´ repetido, por exemplo,
1
2
= 0, 5000... = 0, 50;
1
3
= 0, 333... = 0, 3;
9
7
= 1, 285714285714... = 1, 285714; A barra significa que a sequeˆncia de
nu´meros se repete indefinidamente. Caso o nu´mero seja irracional, a decimal na˜o se repete,
como por exemplo,
√
3 = 1, 732050808...; π = 3, 141592653589793.... O s´ımbolo ∼= e´ utilizado
para representar um valor aproximado, tal como π ∼= 3, 1415. O conjunto de todo os nu´meros
reais e´ denotado por IR.
Os nu´meros reais tambe´m podem ser utilizados para representar pontos sobre a reta real, como
na figura a seguir:
A direc¸a˜o positiva, a` direita, e´ indicada por uma flecha. Neste caso, escolhemos um ponto
de refereˆncia arbitra´rio, O, chamado origem, que corresponde ao nu´mero real 0 (zero). Para
qualquer unidade conveniente de medida, cada nu´mero positivo (x) e negativo (−x) e´ represen-
tado por pontos sobre a reta a uma distaˆncia de x unidades a` direita e a` esquerda da origem,
respectivamente. Desta forma, todo nu´mero real e´ representado por um ponto sobre a reta, e
a todo ponto P sobre a reta corresponde exatamente um u´nico nu´mero real. Ale´m disso, os
nu´meros reais sa˜o ordenados, o que significa que “a e´ menor que b”e representamos por a < b
se a− b < 0 ou b− a > 0 (um nu´mero positivo). Geometricamente, significa dizer que a esta´ a`
esquerda de b sobre o eixo real.
Nesta unidade tambe´m apresentamos uma introduc¸a˜o ao estudo de notac¸o˜es de conjuntos. Um
conjunto e´ uma colec¸a˜o de elementos (objetos) pertencentes ao conjunto. Quando o elemento
a pertence ao conjunto C, representamos por a ∈ C. Caso contra´rio, representamos a /∈ C.
A unia˜o de conjuntos, C e B, e´ representada por C ∪ B e consiste em todos os elementos que
esta˜o em C ou em B (ou ambos em C e B). A intersec¸a˜o dos conjuntos C e B e´ representada
por C ∩ B e consiste em todos os elementos que esta˜o em C e em B.
Na segunda unidade abordamos o estudo de conceitos envolvidos em equac¸o˜es e inequac¸o˜es
do 1o e 2o graus, bem como resolvemos problemas envolvendo sistemas de equac¸o˜es. Aqui,
novamente utilizamos conceitos envolvendo subconjuntos do conjunto dos nu´meros reais. Isto
significa que utilizamos subconjuntos, chamados de intervalos, que ocorrem com frequeˆncia no
Ca´lculo e que, geometricamente, correspondem a segmentos de reta. Se a < b, enta˜o o intervalo
aberto de a ate´ b consiste em todos os nu´meros entre a e b representado por (a, b). Usando a
notac¸a˜o de conjuntos, temos: (a, b) = {x; a < x < b}. Note que os extremos do intervalo sa˜o
exclu´ıdos. Isto e´ representado pelo extremo do intervalo ( ) e pelas “bolinhas”abertas na reta
nume´rica.
APRESENTAÇÃO
Para o caso em que temos um intervalo fechado, de a ate´ b, representamos pelo conjunto:
[a, b] = {x; a ≤ x ≤ b}
Aqui os pontos extremos do intervalo esta˜o inclu´ıdos, indicado por colchetes ou “bolinha”fechada
(preenchidas). Geometricamente, temos:
E´ necessa´rio tambe´m, considerar intervalos abertos, como por exemplo:
(a,∞) = {x; x > a}
Neste caso, na˜o estamos dizendo que∞ (infinito) e´ um nu´mero. Mas a notac¸a˜o utilizada repre-
senta todos os nu´meros maiores do que a, e o s´ımbolo ∞ representa que o intervalo se estende
indefinidamente na direc¸a˜o positiva do eixo real.
Ainda nesta unidade tambe´m apresentamos algumas regras para trabalhar com desigualdades,
que sa˜o exemplificadas em detalhes por meio de exerc´ıcios resolvidos.
Na terceira unidade, que trata da Trigonometria, apresentamos uma introduc¸a˜o ao estudo deste
tema que aborda o conceito de aˆngulo, medida de aˆngulos em graus e radianos, triaˆngulos e
seus elementos, a trigonometria num triaˆngulo retaˆngulo e alguns exerc´ıcios resolvidos, de forma
alge´brica e geome´trica, com intuito de que voceˆ reconhec¸a as relac¸o˜es entre tangente, seno e
cosseno. Esperamos que voceˆ identifique elementos do c´ırculo trigonome´trico, compreenda e
aplique a lei dos senos e a lei dos cossenos para resolver situac¸o˜es problemas envolvendo me-
didas de um triaˆngulo qualquer. A discussa˜o dos conceitos abordados nesta unidade sera´ u´til
quando estudarmos as func¸o˜es trigonome´tricas, que podem ser interpretadas como taxas de
comprimentos dos lados de um triaˆngulo retaˆngulo.
Na quarta unidade abordamos o estudo dos Nu´meros Complexos. Os nu´meros complexos
comec¸aram a ser utilizados devido a sua o´bvia utilidade para resolver equac¸o˜es do terceiro
grau. Em algumas situac¸o˜es as ra´ızes quadradas de nu´meros negativos sa˜o necessa´rias para
encontrar soluc¸o˜es reais, ou seja, a apareˆncia de tais expresso˜es nem sempre significa que o
problema na˜o tem soluc¸a˜o. Esse foi o primeiro sinal de que os nu´meros complexos poderiam ser
na realidade ferramentas matema´ticas u´teis. Nesta unidade destacamos, tambe´m, a definic¸a˜o
APRESENTAÇÃO
APRESENTAÇÃO
alge´brica e geome´trica de um nu´mero complexo, as operac¸o˜es fundamentais e as propriedades
dos nu´meros complexos. Destaca-se a divisa˜o entre nu´meros complexos, que se parece com a ra-
cionalizac¸a˜o do denominador de uma expressa˜o racional. E´ abordado nesta unidade o Teorema
de De Moivre, que nos diz que para elevar a n-e´sima poteˆncia um nu´mero complexo, elevamos
a` n-e´sima poteˆncia o mo´dulo e multiplicamos o argumento por n. Veremos como realizar a
radiciac¸a˜o de nu´meros complexos.
E, finalmente na u´ltima unidade, apresentamos um estudo sobre Sequeˆncias Nume´ricas. Espera-
se que nesta unidade voceˆ identifique a Lei de Formac¸a˜o de Progresso˜es Aritme´ticas (PA) e
Progresso˜es Geome´tricas (PG), compreendendo e operando com a fo´rmula do termo geral de
uma PA e PG, e da mesma forma com a fo´rmula da soma dos termos de uma PA e PG, e por
fim que saiba resolver situac¸o˜es problema envolvendo PA e PG.
SUMÁRIO
11
UNIDADE I
CONJUNTOS NUMÉRICOS
17 Introdução
17 Conjuntos 
24 Operações entre Números Racionais 
29 Conjunto dos Números Irracionais 
31 Conjunto dos Números Reais 
32 Considerações Finais 
UNIDADE II
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
37 Introdução
37 Equação do 1º Grau 
45 Equação do 2º Grau 
52 Sistemas de Equações do Primeiro Grau 
57 Inequações 
59 Inequação do 1º Grau 
63 Inequação do 2º Grau 
65 Considerações Finais 
SUMÁRIO
UNIDADE III
TRIGONOMETRIA
73 Introdução
74 Ângulo no Plano 
78 Triângulo 
83 Triângulo Retângulo 
88 Ângulos na Circunferência 
93 Trigonometria na Circunferência 
101 Considerações Finais 
UNIDADE IV
NÚMEROS COMPLEXOS
113 Introdução
114 Números Complexos 
130 Considerações Finais 
SUMÁRIO
13
UNIDADE V
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
137 Introdução
137 Sequências numéricas
138 Progressão Aritmética - PA 
142 Progressão Geométrica - PG 
148 Considerações Finais 
153 Conclusão
155 Gabarito
171 Referências
U
N
ID
A
D
E I
Professor Me. Idelmar André Zanella
Professora Me. Marlí Schmitt Zanella
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Compreender o que é conjunto.
 ■ Identificar/reconhecer símbolos da linguagem de conjuntos.
 ■ Realizar operações entre conjuntos.
 ■ Revisar os conjuntos numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais, 
Irracionais e Reais.
 ■ Realizar operações com números reais.
 ■ Resolver problemas envolvendo os conjuntos numéricos.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Conjuntos e Subconjuntos
 ■ Conjunto dos Números Naturais 
 ■ Conjunto dos Números Inteiros 
 ■ Conjunto dos Números Racionais
 ■ Conjunto dos Números Irracionais
 ■ Conjunto dos Números Reais
 ■ A reta real
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INTRODUC¸A˜O
[...] Aprender Matema´tica e´ mais do que manejar fo´rmulas, saber
fazer contas ou marcar um x nas respostas: e´ interpretar, criar
significados, construir seus pro´prios instrumentos para resolver
problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas,
desenvolver o racioc´ınio lo´gico, a capacidade de conceber, projetar e
transcender o imediatamente sens´ıvel (PARANA´, 1990, p.66).
Com esta citac¸a˜o queremos instigar voceˆ, estudante e futuro(a) professor(a) de Matema´tica,
a buscar na literatura dispon´ıvel e v´ıdeos, um referencial instrumental para discutir os temas
abordados e que as notas aqui apresentadas sejam apenas orientadoras de seu estudo nesta
disciplina.
Nesta primeira unidade apresentamos uma definic¸a˜o para conjunto e subconjunto, conjunto dos
Nu´meros Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e o conjunto dos Nu´meros Reais. Descre-
vemos a representac¸a˜o de cada um dos conjuntos e indicamos exemplares na reta real. Para
apreensa˜o dos conceitos sugerimos que voceˆ estude cada um dos to´picos detalhadamente, bem
como refac¸a os exerc´ıcios resolvidos para ao te´rmino iniciar a sec¸a˜o de Autoestudo.
#naweb#
Como introduc¸a˜o ilustrativa, sugerimos que assista ao v´ıdeo sobre a Reta e os Nu´meros Reais,
uma introduc¸a˜o aos conjuntos nume´ricos dispon´ıvel no link:
< https : //www.youtube.com/watch?v = o5yyZ9− hhV I >.
Conjuntos
Antes de iniciarmos a apresentac¸a˜o de conjuntos nume´ricos, elencaremos alguns itens sobre o
termo conjunto.
Primeiramente o que e´ um conjunto? Bom, na˜o ha´ uma definic¸a˜o para conjunto, pore´m, quando
se fala em conjunto temos que ter em mente a ideia de “colec¸a˜o” e/ou “classe”. Um conjunto
e´ formado por objetos, que de modo geral, sa˜o chamados elementos. E´ de costume indicar os
conjuntos por letras maiu´sculas e seus elementos por letras minu´sculas do nosso alfabeto. Os
elementos de um conjunto sa˜o descritos entre chaves.
Exemplo (1): O conjunto das vogais.
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I
A representac¸a˜o desse conjunto e´: V = {a, e, i, o, u} onde, V representa o conjunto das vogais
e os objetos a, e, i, o e u sa˜o os elementos do conjunto.
Quando um objeto y e´ elemento de um conjunto X, dizemos que “y pertence a X” e denotamos
por y ∈ X. Caso contra´rio, dizemos que “y na˜o pertence a X” e escrevemos y /∈ X.
Em relac¸a˜o ao exemplo (1), temos que a ∈ V , mas, b /∈ V .
Subconjuntos
Se X e Y sa˜o conjuntos e todo elemento de X tambe´m e´ um elemento de Y , dizemos que X e´
um subconjunto de Y , e denotamos essa relac¸a˜o por X ⊂ Y . Leˆ-se: ”X esta´ contido em Y ”.
Agora, se X tem pelo menos um elemento que na˜o e´ elemento de Y , denotamos essa relac¸a˜o
por X �⊂ Y . Leˆ-se “ X na˜o esta´ contido em Y ”.
Exemplo (2): Sejam S o conjunto dos estados da regia˜o sul do Brasil e T o conjunto de todos
os estados do Brasil mais o Distrito Federal. Temos que S ⊂ T .
Representac¸a˜o:
S = {PR, SC,RS}
T = {AC,AL,AP,AM,BA,CE,DF,ES,GO,MA,MT,MG,PA, PB, PR, PE, PI,RJ,RN,
RS,RO,RR, SC, SP, SE, TO}
Diagramas de Venn
Um instrumento muito u´til para ilustrar e visualizar relac¸o˜es entre conjuntos e operac¸o˜es entre
conjuntos, sa˜o os chamados Diagramas de Venn, representado por:
A ⊂ B
O exemplo 2, apresentado anteriormente pode ser representado por meio de um diagrama de
Venn, em que o conjunto dos estados da regia˜o sul do Brasil mais o Distrito Federal S esta´
contido em T , o conjunto de todos os estados do Brasil mais o Distrito Federal.
A ⊂ B
Conjunto Unita´rio
O conjunto que possui um u´nico elemento chama-se conjunto unita´rio.
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Exemplo (3): O conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2x − 3 = 7 e´ S = {5}, e´ chamado e conjunto
soluc¸a˜o unita´ria porque o nu´mero 5 e´ a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o dada. Veja:
2 · 5− 3 = 10− 3 = 7.
Conjunto Vazio
Ao “conjunto sem elementos” chamamos de conjunto vazio. Denota-se por ∅ = { }.
Exemplo (4): O conjunto dos nomes dos meses do ano que tem 32 dias. Esse e´ um conjunto
vazio, pois, nenhum meˆs do ano tem 32 dias.
Unia˜o de conjuntos
A unia˜o de dois conjuntos, X e Y , e´ o conjunto indicado por X ∪ Y , formado pelos elementos
que pertencem a X ou a Y .
X ∪ Y = {x—x ∈ X ou x ∈ Y } A barra ”|”significa ”tal que”.
Exemplo (5): Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9}, temos:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Intersec¸a˜o de conjuntos
A intersec¸a˜o de dois conjuntos, X e Y , e´ o conjunto indicado por X ∩ Y , formado pelos ele-
mentos que pertencem a X e a Y .
X ∩ Y = {x|x ∈ X e x ∈ Y }
No exemplo 5 anterior, temos A ∩ B = ∅
Vamos analisar outro exemplo:
Exemplo 6: Dados os conjuntos A = {4, 5, 6, 10} e B = {2, 4, 0, 6}, temos:
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I
A ∩ B = {4, 6}
# saibamais #
Para um estudo mais aprofundado sobre conjuntos e as suas
operac¸o˜es recomendamos a leitura do livro “Fundamentos da Ma-
tema´tica Elementar” de Gelson Iezzi e Carlos Murakami.
CONJUNTOS NU´MERICOS
Apo´s estudarmos os itens sobre conjuntos vamos, a partir deste to´pico, abordar os subconjun-
tos nume´ricos que compo˜e o Conjunto dos Nu´meros Reais. Trataremos os subconjuntos como
conjunto separadamente em cada to´pico.
CONJUNTO DOS NU´MEROS NATURAIS
O conjunto dos nu´meros naturais e´ formado pelos nu´meros 0, 1, 2, 3, ... e´ representado pelo
s´ımbolo IN.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ....}
Mas o zero e´ um nu´mero natural?
Esta resposta pode variar de acordo com o que for conveniente para aquele que deseja utiliza´-lo.
Incluir ou na˜o o nu´mero zero no conjunto dos naturais e´ uma questa˜o de convenieˆncia. Alguns
professores ou autores de livros dida´ticos e/ou paradida´ticos podem utilizar ou na˜o o zero, e
representar 0 ∈ IN ou 0 /∈ IN.
Estudaremos esta convenieˆncia com devida profundidade matema´tica nas disciplinas de Estru-
turas Alge´bricas e Ana´lise Matema´tica. Por ora informamos que na A´lgebra, cujo objetivo e´ o
estudo das operac¸o˜es o 0 ∈ IN enquanto que na Ana´lise Matema´tica, os nu´meros naturais sa˜o
utilizados, com frequeˆncia, como ı´ndices de termos de uma sequeˆncia e 0 /∈ IN . No entanto,
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quando se trata dos conceitos da Educac¸a˜o Ba´sica o zero sempre pertence aos Naturais (o ∈ IN).
Dada esta constituic¸a˜o do conjunto dos nu´meros naturais vamos verificar operac¸o˜es fundamen-
tais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o que esta˜o definidas para este conjunto nume´rico, e desta forma,
definem-se as seguintes propriedades na tabela a seguir.
Considerando ∀a, b, c ∈ IN , temos: O S´ımbolo “∀”significa “para todo”.
Propriedades Adic¸a˜o Multiplicac¸a˜o
P1 Associativa: (a+ b) + c = a+ (b+ c) P4 (a · b) · c = a · (b · c)
P2 Comutativa: a+ b = b+ a P5 a · b = b · a
P2 Elemento neutro: a+ 0 = a P6 a · 1 = a
P7
Distributiva da multiplicac¸a˜o em relac¸a˜o a` adic¸a˜o:
c · (a+ b) = c · a+ c · b
Vamos aos exemplos nume´ricos destas propriedades:
Propriedades Adic¸a˜o Multiplicac¸a˜o
P1 Associativa: (3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) P4 (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
P2 Comutativa: 3 + 5 = 3 + 5 P5 3 · 5 = 5 · 3
P3 Elemento neutro: 3 + 0 = 3 P6 3 · 1 = 3
P7
Distributiva da multiplicac¸a˜o em relac¸a˜o a` adic¸a˜o:
2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5
Na sequeˆncia avanc¸aremos em nossos estudos sobre conjuntos nume´ricos com o estudo dos
Nu´meros Inteiros.
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I
CONJUNTO DOS NU´MEROS INTEIROS
O conjunto dos nu´meros inteiros e´ representado pelo s´ımbolo ZZ. Este conjunto e´ representado
pela letra Z, pois adve´m da palavra “Zahl” em Alema˜o, que significa nu´mero.
Este conjunto e´ uma ampliac¸a˜o do conjunto dos nu´meros Naturais ao qual se acrescenta os
nu´meros negativos. Assim, temos:
ZZ = {...,-4, -3, -2. -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Em ZZ temos os seguintes subconjuntos:
Conjunto dos inteiros na˜o negativos: ZZ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = IN
Conjunto dos inteiros na˜o positivos: ZZ− = {...,−4,−3,−2.− 1}
Conjunto dos inteiros na˜o nulos: ZZ∗ = {...,−4,−3,−2.− 1, 1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos inteiros na˜o negativos nulos: ZZ∗+ = {1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos inteiros na˜o positivos nulos: ZZ∗ = {...,−4,−3,−2.− 1}
As operac¸o˜es fundamentais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o tambe´m esta˜o definidas para o conjunto
dos nu´meros inteiros, bem como as propriedades P1, P2, P3, P4, P5, P6 e P7. Entretanto,
vamos definir uma nova propriedade para a adic¸a˜o de inteiros:
P8
Elemento sime´trico ou elemento oposto para a adic¸a˜o.
∀a ∈ ZZ existe −a ∈ ZZ tal que: a + (−a) = 0
Ex: 3 + (−3) = 0
3 + (−3) = 3− 3[∗]
[∗] A propriedade P8 permite definir a operac¸a˜o de subtrac¸a˜o em ZZ, de tal modo que:
a− b = a + (−b), ∀a e b ∈ ZZ
Sobre este conjunto temos ainda que:
a|b ⇐⇒ ∃ c ∈ ZZ|c× a = b
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23
 
O S´ımbolo a|b significa: a divide b
O S´ımbolo ∃ significa: “existe”.
O S´ımbolo ⇐⇒ significa: “se, e somente se”.
Assim, a sentenc¸a significa dizer que a e´ divisor de b, se e so´ se, existe c pertencente aos inteiros,
tal c que multiplica a e´ igual a b. Assim, tambe´m podemos dizer que b e´ mu´ltiplo de a.
Exemplo (7): Dividir −15 por 3.
3| − 15 pois (−5)× 3 = −15
3|30 pois 6× 5 = 30
CONJUNTO DOS NU´MEROS RACIONAIS
O nu´mero racional e´ um nu´mero que pode ser escrito na forma a
b
, com a. b ∈ ZZ e b �= 0 e e´
representado pelo s´ımbolo IQ.
IQ = {x|x = a
b
. com a, b ∈ ZZ e b �= 0}
Em IQ temos os seguintes subconjuntos:
Conjunto dos racionais na˜o negativos: IQ∗
Conjunto dos racionais na˜o positivos: IQ−
Conjunto dos racionais na˜o nulos: IQ∗
Conjunto dos racionais na˜o negativos e na˜o nulos: IQ∗+
Conjunto dos racionais na˜o positivos e na˜o nulos: IQ∗−
Ate´ aqui, temos que: IN ⊂ ZZ ⊂ IQ.
Veja exemplos de nu´meros racionais.
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I
6
1
−5
2
−7
10
−19
19
3
5
1
8
25
100
1
−9
6
7
−50
5
13
11
0
1
#reflita#
Porque o denominador de uma frac¸a˜o sempre
tem que ser diferente de zero? Como explicar
isto para alunos da Educac¸a˜o Ba´sica? Uma su-
gesta˜o para significar esta situac¸a˜o matema´tica e´
apresentar exemplos pra´ticos, como por exemplo
dividir os seis clipes da figura entre treˆs, dois e
um aluno. Apo´s os desafiem a dividir por zero
aluno. Esta pode ser uma forma dos alunos com-
preendem a impossibilidade da operac¸a˜o ao inve´s
de simplesmente decorarem uma regra.
Operac¸o˜es entre Nu´meros Racionais:
As operac¸o˜es de adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o e divisa˜o de nu´meros racionais sa˜o definidas da seguinte
forma:
Adic¸a˜o:
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
db
Observe que os denominadores b e d foram multiplicados para resolver a adic¸a˜o o que constitui
um novo denominador que e´ um mu´ltiplo entre b e d.
Contudo esta mesma operac¸a˜o pode ser resolvida se utilizando do menor mu´ltiplo entre b e d,
que e´ o MMC (Mı´nimo Mu´ltiplo Comum).
Vamos exemplificar:
O S´ımbolo a|b significa: a divide b
O S´ımbolo ∃ significa: “existe”.
O S´ımbolo ⇐⇒ significa: “se, e somente se”.
Assim, a sentenc¸a significa dizer que a e´ divisor de b, se e so´ se, existe c pertencente aos inteiros,
tal c que multiplica a e´ igual a b. Assim, tambe´m podemos dizer que b e´ mu´ltiplo de a.
Exemplo (7): Dividir −15 por 3.
3| − 15 pois (−5)× 3 = −15
3|30 pois 6× 5 = 30
CONJUNTO DOS NU´MEROS RACIONAIS
O nu´mero racional e´ um nu´mero que pode ser escrito na forma a
b
, com a. b ∈ ZZ e b �= 0 e e´
representado pelo s´ımbolo IQ.
IQ = {x|x = a
b
. com a, b ∈ ZZ e b �= 0}
Em IQ temos os seguintes subconjuntos:
Conjunto dos racionais na˜o negativos: IQ∗
Conjunto dos racionais na˜o positivos: IQ−
Conjunto dos racionais na˜o nulos: IQ∗
Conjunto dos racionais na˜o negativos e na˜o nulos: IQ∗+
Conjunto dos racionais na˜o positivos e na˜o nulos: IQ∗−
Ate´ aqui, temos que: IN ⊂ ZZ ⊂ IQ.
Veja exemplos de nu´meros racionais.
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25
 
Centro Universita´rio Cesumar
Nucleo de Educac¸a˜o a Distaˆncia - NEAD 16
Resoluc¸a˜o pela definic¸a˜o Resoluc¸a˜o pelo MMC (Mı´nimo Mu´ltiplo Comum)
1
2
+
2
3
=
1 · 3 + 2 · 2
2 · 3 MMC (2,3) = 6
Logo, teˆm-se as seguintes frac¸o˜es equivalentes em
=
3 + 4
6
que os denominadores sa˜o iguais:
1
2
=
3
6
e
2
3
=
4
6
=
7
6
Portanto:
1
2
+
2
3
=
3
6
+
4
6
=
7
6
Multiplicac¸a˜o:
a
b
× c
d
=
ab
bd
Numerador ×Numerador = numerador resultante (produto)
Denominador ×Denominador = denominador resultante (produto)
Exemplo resolvido:
A B C
1
2
× 2
3
=
1 · 2
2 · 3 =
2
6
3
5
× 7
3
=
3 · 7
5 · 3 =
21
15
1
5
× 2
3
=
1 · 2
5 · 3 =
2
15
Note, que a frac¸a˜o 2
6
pode ser A frac¸a˜o 21
15
pode ser Neste caso, a frac¸a˜o 2
15
ja´
simplificada (dividir numerador simplificada (dividir numerador esta´ na forma irredut´ıvel, pois,
e o denominador por 2), e denominador por 3), o maior nu´mero que divide o 2
pois numerador e pois numerador e e o 15 ao mesmo tempo e´ o 1.
denominador sa˜o multiplos de 2. denominador sa˜o multiplos de 3.
2
6
=
1
3
21
15
=
7
5
Divisa˜o:
a
b
:
c
d
=
a
b
× d
c
com
c
d
�= 0.
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I
Centro Universita´rio Cesumar
Nucleo de Educac¸a˜o a Distaˆncia - NEAD 17
Uma forma de mostrar a validade desta regra pode ser feita da seguinte forma:
a
b
:
c
d
=
a : c
b : d
=
a
c
× cd
b
d
× cd
=
ad
bc
Entretanto, comumente se encontra em diversos materiais a utilizac¸a˜o da divisa˜o como no
exemplo a seguir:
1
5
:
2
3
=
1
5
× 3
2
=
3
10
O procedimento adotado e´ manter a primeira frac¸a˜o e multiplicar pelo inverso da segunda
frac¸a˜o.
Note que esta divisa˜o pode ser resolvida da seguinte forma:
a
b
:
c
d
=
a : c
b : d
=
a
c
× cd
b
d
× cd
=
ad
bc
−→ 1
5
:
2
3
=
1 : 2
5 : 3
=
1
2
× 2 · 3
5
3
× 2 · 3
=
1 · 3
5 · 2 =
3
10
A igualdade entre dois nu´meros racionais e´ representada por:
a
b
=
c
d
⇐⇒ ad = bc.
As operac¸o˜es fundamentais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o esta˜o definidas para o conjunto nume´rico
dos racionais, e desta forma, definem-se as seguintes propriedades:
Propriedades Adic¸a˜o Multiplicac¸a˜o
A1 Associativa:
(
a
b
+
c
d
)
+
e
f
=
a
b
+
(
c
d
+
e
f
)
M1
(
a
b
× c
d
)
× e
f
=
a
b
×
(
c
d
× e
f
)
A2 Comutativa:
(
a
b
+
c
d
)
=
(
c
d
+
a
b
)
M2
(
a
b
× c
d
)
=
(
c
d
× a
b
)
A3 Elemento neutro:
a
b
+ 0 =
a
b
M3
a
b
× 1 = a
b
A4 Elemento sime´trico:
a
b
+
(
− a
b
)
= 0 M4
a
b
×
(
b
a
)
= 1
D Distributiva da multiplicac¸a˜o em relac¸a˜o a adic¸a˜o
a
b
×
(
b
a
+
e
f
)
=
a
b
× c
d
+
a
b
× e
f
Representac¸o˜es dos nu´meros racionais
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Existem duas representac¸o˜es para os nu´meros racionais, uma na qual e´ expressa pela repre-
sentac¸a˜o fraciona´ria p
q
(onde p e´ numerador e q e´ denominador) e outra, na qual se utiliza o
sistema de numerac¸a˜o posicional de base dez (representac¸a˜o decimal).
Destacamos tambe´m o nu´mero a
b
(a, b ∈ ZZ, b �= 0) pode ser representado mediante decimais.
Para obter a representac¸a˜o na forma decimal considera-se a forma a
b
, e efetua-se a divisa˜o de a
por b. Dois casos podem ocorrer:
1o) A representac¸a˜o decimal possui quantidade finita de algarismos, diferente de zero.
Exemplo (8):
5
1
= 5
1
2
= 0,5
2o) A representac¸a˜o decimal possui quantidade infinita de algarismos que se repetem periodi-
camente, o que denomina-se d´ızima perio´dica.
Exemplo (9):
1
3
= 0,33333... = 0,3 (per´ıodo 3)
2
7
= 0,285714285714... = 0,285714 (per´ıodo 285714)
7
6
= 1,16 (per´ıodo 6)
13
11
= 1,18 (per´ıodo 18)
Observac¸a˜o: A representac¸a˜o fraciona´ria de um nu´mero racional identifica-se com uma operac¸a˜o
de divisa˜o entre numerador e denominador. Nesse caso, compreende-se a unidade dividida em
partes iguais, ao qual a quantidade e´ dada pelo denominador. Compreende-se, enta˜o, que se
deve considerar uma quantidade de partes, equivalente ao numerador.
Veja as ilustrac¸o˜es a seguir com uma interpretac¸a˜o advinda do uso da representac¸a˜o fraciona´ria
do nu´mero racional “dois quintos”
(
2
5
)
.
Uma forma de mostrar a validade desta regra pode ser feita da seguinte forma:
a
b
:
c
d
=
a : c
b : d
=
a
c
× cd
b
d
× cd
=
ad
bc
Entretanto, comumente se encontra em diversos materiais a utilizac¸a˜o da divisa˜o como no
exemplo a seguir:
1
5
:
2
3
=
1
5
× 3
2
=
3
10
O procedimento adotado e´ manter a primeira frac¸a˜o e multiplicar pelo inverso da segunda
frac¸a˜o.
Note que esta divisa˜o pode ser resolvida da seguinte forma:
a
b
:
c
d
=
a : c
b : d
=
a
c
× cd
b
d
× cd
=
ad
bc
−→ 1
5
:
2
3
=
1 : 2
5 : 3
=
1
2
× 2 · 3
5
3
× 2 · 3
=
1 · 3
5 · 2 =
3
10
A igualdade entre dois nu´meros racionais e´ representada por:
a
b
=
c
d
⇐⇒ ad = bc.
As operac¸o˜es fundamentais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o esta˜o definidas para o conjunto nume´rico
dos racionais, e desta forma, definem-se as seguintes propriedades:
Propriedades Adic¸a˜o Multiplicac¸a˜o
A1 Associativa:
(
a
b
+
c
d
)
+
e
f
=
a
b
+
(
c
d
+
e
f
)
M1
(
a
b
× c
d
)
× e
f
=
a
b
×
(
c
d
A2 Comutativa:
(
a
b
+
c
d
)
=
(
c
d
+
a
b
)
M2
(
a
b
× c
d
)
=
(
c
d
× a
b
)
A3 Elemento neutro:
a
b
+ 0 =
a
b
M3
a
b
× 1 = a
b
A4 Elemento sime´trico:
a
b
+
(
− a
b
)
= 0 M4
a
b
×
(
b
a
)
= 1
D Distributiva da multiplicac¸a˜o em relac¸a˜o a adic¸a˜o
a
b
×
(
b
a
+
e
f
)
=
a
b
× c
d
+
a
b
×
Representac¸o˜es dos nu´meros racionais
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I
Obtendo a frac¸a˜o geratriz de uma d´ızima perio´dica.
Exemplo (10): Determine em cada caso a frac¸a˜o geratriz das seguintes d´ızimas perio´dicas.
a) 0,4444... = (per´ıodo 4) e que pode ser escrito como 0, 4
a) 1,252525... = (per´ıodo 25) ou 1, 25
a) 0,123123123... = (per´ıodo 123) ou 0, 123
Resoluc¸a˜o:
O objetivo em cada casa e´ determinar a frac¸a˜o que gera o nu´mero racional na sua forma decimal
infinita e perio´dica.
a)
x = 0, 444...
10x = 4, 444...
Temos,
10x− x = 4, 4− 0, 4
x(10− 1) = 4
9x = 4 =⇒ x = 4
9
.
Portanto, 0, 4444... =
4
9
.
b)
x = 1, 2525...
100x = 125, 2525...
Temos,
100x− x = 125, 25− 1, 25
99x = 124 =⇒ x = 124
99
Portanto, 1,252525... =
124
99
.
c)
x = 0, 123123...
1000x = 123, 123123...
Temos,
1000x− x = 123, 123− 0, 123
999x = 123
x =
123
999
que simplificando por 3 resulta em x =
41
333
.
Portanto, 0,123123... =
41
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.
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#naweb#
Sugerimos que voceˆ acesse o Objeto de Aprendizagem sobre nu´meros racionais dispon´ıvel no
reposito´rio do MEC. Neste recurso os organizados simulam um programa de ra´dio intitulado
Matema´tica ao Pe´ do Ouvido. Vale a pena conferir!
Link:
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/campos numericos/n
%C3%BAmeros racionais.html
CONJUNTO DOS NU´MEROS IRRACIONAIS
Um nu´mero que tem uma representac¸a˜o decimal infinita e na˜o perio´dica e´ chamado de nu´mero
irracional. Em outras palavras, um nu´mero que na˜o pode ser escrito na forma a
b
, com a, b ∈
ZZ e b �= 0 e´ irracional.
O conjunto dos nu´meros irracionais e´ representado pelo s´ımbolo II IR ou, em algumas situac¸o˜es
por IR \ IQ, ou ainda, por IR - IQ.
Mas por que precisamos dos nu´meros irracionais? Uma resposta razoa´vel e´ que existem pro-
blemas cuja soluc¸a˜o na˜o e´ um nu´mero racional, ou seja, a soluc¸a˜o e´ um nu´mero irracional.
Exemplo (11): Quanto mede a diagonal de um quadrado cujo lado tem comprimento igual a
uma unidade (1u)? A soluc¸a˜o deste problema e´ um nu´mero racional ou irracional?
A resposta desta pergunta equivale a determinar o nu´mero positivo cujo quadrado e´ igual a 2,
isto e´, o nu´mero positivo x que satisfaz a equac¸a˜o x2 = 2. Euclides provou que tal nu´mero na˜o
e´ racional. Ele usou o seguinte argumento: Suponha que o nu´mero x satisfazendo a equac¸a˜o
anterior seja racional. Enta˜o, existem nu´meros inteiros positivos a e b primos entre si (o maior
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I
%C3%BAmeros irracionais.html
CONJUNTO DOS NU´MEROS REAIS - IR
Reunindo o conjunto dos nu´meros racionais IQ com o conjunto dos nu´meros irracionais II IR
obte´m-se o conjunto dos nu´meros reais IR, isto e´, IR = IQ ∪ II IR.
Essa reunia˜o (unia˜o) pode ser representa por um diagrama. Vejamos:
Logo, tem-se que: IN ⊂ ZZ ⊂ IQ ⊂ IR.
Temos tambe´m os seguintes subconjuntos:
Conjunto dos reais na˜o negativos: IR+
Conjunto dos reais positivos: IR*+
Conjunto dos reais na˜o positivos: IR−
Conjunto dos reais negativos: IR*−
Conjunto dos reais na˜o nulos: IR*
Observac¸a˜o: As operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o no conjunto IR gozam das mesmas pro-
priedades apresentadas para o conjunto IQ. Em IR tambe´m esta˜o definidas as operac¸o˜es de
subtrac¸a˜o e divisa˜o (desde que o divisor seja diferente de zero).
#reflita#
Existe algum nu´mero que pertence simultaneamente ao conjunto IQ e ao conjunto IIIR ?
A Reta Real
Em uma reta, fixamos um ponto O que sera´ chamado de origem. Ao ponto O correspondemos
o nu´mero real O (zero). A cada ponto P da reta situado a` direita da origem correspondemos o
nu´mero real positivo x, que representa a distaˆncia do ponto P a` origem, isto e´, o comprimento
nu´mero que divide a e b ao mesmo tempo e´ o 1), tais que
a2
b2
= 2, ou seja, a2 = 2b2. Portanto,
a2 e´ par e a tambe´m par. Logo, o numero a pode ser escrito da forma a = 2m. Assim, (2m)2
= 2b2 ⇐⇒ 2m2 = b2. Da´ı, temos que o nu´mero b tambe´m deve ser par. Mas isso contradiz
a nossa hipo´tese em que a e b sa˜o primos entre si. Assim, a suposic¸a˜o de que x = a
b
nos leva a
uma contradic¸a˜o e, portanto, deve ser descartada, considerada falsa. Portanto, conclui-se que
√
2 (nu´mero positivo cujo quadrado e´ igual a 2) e´ um nu´mero irracional.
Assim, a diagonal de um quadrado cujo lado tem comprimento uma unidade (1u) mede
√
2.
Uma representac¸a˜o decimal para
√
2 pode ser obtida por uma ma´quina de calcular ou por um
computador.
Vejamos:
• √2 = 1, 41421356237309...
Outros exemplos de nu´meros irracionais.
• π = 3, 14159265...
(O nu´mero π e´ obtido pela raza˜o entre o comprimento de uma circunfereˆncia e o comprimento
do seu diaˆmetro).
• √5 = 2, 23606797...
• e = 2, 7182818...(Numero de Euler)
• 1, 01001000100001...
• 1 +
√
5
2
= 1, 61803398...(Numero de ouro)
#naweb#
Ao final deste estudo sobre nu´meros irracionais sugerimos que acesse o Objeto de Aprendi-
zagem em que os organizadores simulam um jornal em treˆs episo´dios apresentando situac¸o˜es
envolvendo nu´meros racionais.
Link:
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matematica/condigital2/campos numericos/n
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%C3%BAmeros irracionais.html
CONJUNTO DOS NU´MEROS REAIS - IR
Reunindo o conjunto dos nu´meros racionais IQ com o conjunto dos nu´meros irracionais II IR
obte´m-se o conjunto dos nu´meros reais IR, isto e´, IR = IQ ∪ II IR.
Essa reunia˜o (unia˜o) pode ser representa por um diagrama. Vejamos:
Logo, tem-se que: IN ⊂ ZZ ⊂ IQ ⊂ IR.
Temos tambe´m os seguintes subconjuntos:
Conjunto dos reais na˜o negativos: IR+
Conjunto dos reais positivos: IR*+
Conjunto dos reais na˜o positivos: IR−
Conjunto dos reais negativos: IR*−
Conjunto dos reais na˜o nulos: IR*
Observac¸a˜o: As operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o no conjunto IR gozam das mesmas pro-
priedades apresentadas para o conjunto IQ. Em IR tambe´m esta˜o definidas as operac¸o˜es de
subtrac¸a˜o e divisa˜o (desde que o divisor seja diferente de zero).
#reflita#
Existe algum nu´mero que pertence simultaneamente ao conjunto IQ e ao conjunto IIIR ?
A Reta Real
Em uma reta, fixamos um ponto O que sera´ chamado de origem. Ao ponto O correspondemos
o nu´mero real O (zero). A cada ponto P da reta situado a` direita da origem correspondemos o
nu´mero real positivo x, que representa a distaˆncia do ponto P a` origem, isto e´, o comprimento
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
I
do segmento de reta OP. A cada ponto P da reta situado a` esquerda da origem correspondemos
o nu´mero real negativo -x, cujo valor absoluto determina a distaˆncia desse ponto a` origem.
Portanto, existe uma correspondeˆncia biun´ıvoca (um a um) entre o conjunto dos nu´meros reais
e a reta, isto e´, a cada nu´mero real corresponde um u´nico ponto P da reta reciprocamente, a
cada ponto P da reta e, corresponde um unico numero real.
O conjunto dos nu´meros reais pode ser interpretado como o modelo aritme´tico de uma reta. Ja´
a reta, e´ o modelo geome´trico de IR.
O nu´mero real associado ao ponto P (inclusive quando P coincidir com a origem) e´ chamado
de abscissa do ponto P.
Assim, de acordo com a reta real apresentada anteriormente, a abscissa do ponto P1 e´ o nu´mero
real 1 e, assim, por diante.
CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
Nesta unidade abordamos o tema conjuntos em especial, os conjuntos nume´ricos (Naturais,
Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais) com suas propriedades e operac¸o˜es. Salienta-se que
para o desenvolvimento de um futuro curso de “Ca´lculo”, cuja base, e´ o estudo de func¸o˜es reais,
voceˆ precisa identificar e compreender a aplicac¸a˜o dos conjuntos nume´ricos, em particular, o
conjunto dos nu´meros reais nos mais variados contextos matema´ticos e, tambe´m, em outras
a´reas do conhecimento. Queremos evidenciar que a unidade 1 foi composta por pelo menos
dez exemplos, cujo intuito foi de colaborar com a compreensa˜o dos conceitos envolvidos sobre
as propriedades e operac¸o˜es dos conjuntos nume´ricos. Sugerimos que procure resolver todos
os quinze exerc´ıcios propostos na atividade de Autoestudo e, tambe´m, que busque e pesquise
em outros materiais de estudo atividades sobre os conjuntos nume´ricos visando melhorar a sua
formac¸a˜o acerca do que foi abordado nesta unidade.
33 
ATIVIDADES DE ESTUDO:
1) Coloque V para verdadeiro ou F para falso.
( ) −5 ∈ IN ( ) 1
2
∈ ZZ ( ) 13
15
�∈ IQ
( ) 37 ∈ IQ ( ) 8 ∈ ZZ ( ) 0 ∈ IQ
( ) IN �⊂ ZZ ( ) IN ⊂ IQ ( ) IQ ⊂ ZZ
( ) IN ∪ ZZ− = ZZ ( ) ZZ+ ∩ ZZ− = ∅ ( ) {−12 , 23} ⊂ IQ
2) Ivone leu
5
7
das pa´ginas de um livro e Luciana leu
2
3
das pa´ginas do mesmo livro. Qual delas
leu mais pa´ginas?
3) Calcule e, simplifique quando for poss´ıvel:
a)
7
10
+
13
10
b)
−7
6
+
13
6
c)
7
4
-
13
4
d)
−7
5
-
13
5
e)
2
5
+
1
2
f)
−2
3
+
3
2
g)
(−2
7
)
-
(−1
3
)
h)
(
+7
10
)
-
(
+3
5
)
4) Lucas e Jose´ esta˜o construindo uma cerca. Lucas construiu 1
3
da cerca e, Jose´ 5
8
Que frac¸a˜o
da cerca os dois juntos ja´ constru´ıram? Qual e´ a frac¸a˜o que representa o quanto que Jose´
construiu a mais ?
5) Quantos pacotes cheios de
1
8
kg obteˆm-se com 11kg de cafe´?
6) Uma torneira quando aberta enche um tanque em x horas. Outra torneira enche o mesmo
tanque em y horas. Se as duas torneiras forem abertas simultaneamente, em quanto tempo
enchera˜o o tanque? Responda, tambe´m, para x = 2 e y = 3.
7) Obtenha a frac¸a˜o geratriz em cada caso:
a) 0,77777...
b) 3,121212...
c) 1,100100100...
8) A idade de Andressa dividida pela idade de Gustavo e´ igual ao nu´mero 0,90909090... Sa-
bendo que a idade de Gustavo esta´ entre 19 e 25 anos, determine a idade deles.
ATIVIDADES DE ESTUDO:
1) Coloque V para verdadeiro ou F para
falso.
( ) 1
2
∈ ZZ ( ) 13
15
�∈ IQ
( ) 8 ∈ ZZ ( ) 0 ∈ IQ
( ) IN ⊂ IQ ( ) IQ ⊂ ZZ
( ) −5 ∈ IN
( ) 37 ∈ IQ
( ) IN �⊂ ZZ
( ) IN ∪ ZZ_ = ZZ ( ) ZZ+ ∩ ZZ− = ∅ ( ) {−12 , 23} ⊂ IQ
2) Ivone leu
5
7
das pa´ginas de um livro e Luciana leu
2
3
das pa´ginas do mesmo livro. Qual delas
leu mais pa´ginas?
3) Calcule e, simplifique quando for poss´ıvel:
a)
7
10
+
13
10
b)
−7
6
+
13
6
c)
7
4
-
13
4
d)
−7
5
-
13
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e)
2
5
+
1
2
f)
−2
3
+
3
2
g)
(−2
7
)
-
(−1
3
)
h)
(
+7
10
)
-
(
+3
5
)
4) Lucas e Jose´ esta˜o construindo uma cerca. Lucas construiu 1
3
da cerca e, Jose´ 5
8
Que frac¸a˜o
da cerca os dois juntos ja´ constru´ıram? Qual e´ a frac¸a˜o que representa o quanto que Jose´
construiu a mais ?
5) Quantos pacotes cheios de
1
8
kg obteˆm-se com 11kg de cafe´?
6) Uma torneira quando aberta enche um tanque em x horas. Outra torneira enche o mesmo
tanque em y horas. Se as duas torneiras forem abertas simultaneamente, em quanto tempo
enchera˜o o tanque? Responda, tambe´m, para x = 2 e y = 3.
7) Obtenha a frac¸a˜o geratriz em cada caso:
a) 0,77777...
b) 3,121212...
c) 1,100100100...
8) A idade de Andressa dividida pela idade de Gustavo e´ igual ao nu´mero 0,90909090... Sa-
bendo que a idade de Gustavo esta´ entre 19 e 25 anos, determine a idade deles.
9) Quais sa˜o os nu´meros reais cujos quadrados resultam no nu´mero 10?
10) Quais dos nu´meros indicados a seguir sa˜o racionais e, quais sa˜o irracionais?
144 -2,5
√
8
√
49
64
√
0, 1 3
√
9 3
√−64
11) Usando os s´ımbolos ⊂ e �⊂, relacione os conjuntos nume´ricos a seguir:
a) ZZ e IN b) IN e IR c) IQ e II IR d) ZZ e IQ
12) Existe algum nu´mero real cujo quadrado resulta em um nu´mero real negativo?
13) Mostre que
√
4 + 2
√
3 = 1 +
√
3.
14) Para quais valores reais de x a expressa˜o
x+ 4
x+ 1
tem soluc¸a˜o?
15) Calcule:
√√√√√√√√5 +
√√√√√√√7 +
√√√√√√73 +
√√√√√60 +
√√√√
10 +
√
31 +
√
23 +
√
1 +
√
2 +
√
49
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E II
Professor Me. Idelmar André Zanella
Professora Me. Marlí Schmitt Zanella
EQUACÕES E INEQUACÕES
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Definir/identificar equação do 1º grau e do 2º grau.
 ■ Resolver equações do 1º grau e do 2º grau.
 ■ Resolver problemas envolvendo equações do 1º grau e do 2º grau.
 ■ Resolver sistemas de equações do 1º grau.
 ■ Definir/identificar inequações do 1º grau e do 2º grau.
 ■ Compreender intervalos reais.
 ■ Resolver problemas envolvendo inequações do 1º grau e do 2º grau.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Equação do 1º grau
 ■ Equação do 2º grau
 ■ Sistemas de equações do primeiro grau
 ■ Inequações
 ■ Intervalos
 ■ Inequação do 1º Grau
 ■ Inequação do 2º Grau
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INTRODUC¸A˜O
Nesta unidade 2, iniciaremos uma apresentac¸a˜o sobre Nu´meros e A´lgebra, que se desdobra nos
conteu´dos de equac¸o˜es e inequac¸o˜es. Destacamos que a A´lgebra pode favorecer o desenvolvi-
mento de habilidades em resolver problemas, no aprimoramento das habilidades te´cnicas, e da
capacidade de usar as diversas ferramentas. Iniciamos com a apresentac¸a˜o de equac¸a˜o do 1o e
2o graus, sistemas de equac¸o˜es do 1o grau, inequac¸o˜es do 1o e 2o grau e intervalos.
Uma equac¸a˜o alge´brica e´ toda igualdade da forma:
anx
n = an−1xn−1 + an−2xn−2 + ...+ a1x1 + a0 = 0 (1)
Onde:
• Os nu´meros a0, a1, a2, ..., an sa˜o coeficientes da equac¸a˜o, pertencentes ao conjunto dos
Nu´meros Complexos, representado por IC;
• n(n ∈ IN∗) e´ o grau da equac¸a˜o;
• x e´ a inco´gnita da equac¸a˜o;
O problema fundamental das equac¸o˜es alge´bricas e´ a determinac¸a˜o de suas ra´ızes. A raiz da
equac¸a˜o (1) e´ todo o nu´mero β tal que:
anβ
n = an−1βn−1 + an−2βn−2 + ...+ a1β1 + a0 = 0 (2)
Vamos aprofundar este assunto a cada to´pico de estudo da unidade. Sugerimos que voceˆ estude
cada um deles, bem como os exerc´ıcios resolvidos para ao te´rmino iniciar a sec¸a˜o de Autoestudo.
EQUAC¸A˜O DO 1o GRAU
Nesta sec¸a˜o vamos discutir conceitos envolvidos em equac¸o˜es e inequac¸o˜es do 1o e 2o graus,
bem como resolveremos problemas envolvendo sistemas de equac¸o˜es. Ao te´rmino voceˆ podera´
resolver a seguinte situac¸a˜o problema:
Ana pagou r reais por cada uma de s camisetas e, s reais por cada uma de r calc¸as,
tendo gastado em me´dia R$ 75,00 por item comprado. Em seguida, Ana observou
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Reprodução proibida. A
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que se cada camiseta tivesse custado R$ 10,00 a menos e cada calc¸a tivesse custado
R$ 10,00 a mais, ela teria pago, em me´dia, R$ 77,50 por cada item comprado.
Determine a quantidade de camisetas que Ana comprou.
Mas afinal, o que e´ uma equac¸a˜o?
Equac¸a˜o e´ uma igualdade entre duas expresso˜es alge´bricas que sa˜o expresso˜es matema´ticas,
que conteˆm letras e nu´meros. Para cada lado da igualdade, denominadas membros da equac¸a˜o,
estes sa˜o relacionados mediante operac¸o˜es matema´ticas. Vamos iniciar nossos estudos a partir
da equac¸a˜o de primeiro grau.
Uma equac¸a˜o do primeiro grau e´ toda igualdade do tipo ax+ b = 0, com a e b ∈ IR e
a �= 0, sendo x um nu´mero real a ser determinado, chamado de inco´gnita.
Exemplo 1:
a) 3x+ 4︸ ︷︷ ︸
1omembro
= 13︸︷︷︸
2omembro
Onde x e´ a inco´gnita da equac¸a˜o e os nu´meros 3, 4 e 13 sa˜o os coeficientes que devem ser reduzidos
b) 5− 2x = 4
c) 10x = 25
d) 5x− (x− 2) + 3
2
= 2x+ 8
e) Qual e´ o nu´mero cujo dobro, subtraindo-se a terc¸a parte resulta em trinta?
O problema fundamental das equac¸o˜es e´ a determinac¸a˜o de suas ra´ızes, isto e´, determinar a
soluc¸a˜o da equac¸a˜o.
Assim, poder´ıamos nos perguntar: uma equac¸a˜o tem soluc¸a˜o, isto e´, tem ra´ızes? Quantas sa˜o
as ra´ızes? Como determinar as ra´ızes de uma equac¸a˜o?
De maneira geral, uma equac¸a˜o do tipo ax + b = 0, a e b ∈ IR, com a �= 0 admite a seguinte
soluc¸a˜o:
Somamos (−b) a ambos os lados da igualdade. Esta operac¸a˜o na˜o altera a equac¸a˜o.
ax+ b+ (−b) = 0 + (−b), obtemos assim:
ax = −b
Para isolar a inco´gnita x, dividimos todos os membros da equac¸a˜o por a que e´ o mesmo que
multiplicarmos por
1
a
. Assim, temos:
ax
a
=
−b
a
.
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Esta operac¸a˜o tambe´m na˜o altera a igualdade, visto que a �= 0.
Portanto, x = − b
a
Isto significa dizer que o nu´mero
−b
a
e´ a soluc¸a˜o para a equac¸a˜o ax+ b = 0, com a e b ∈ IR, e
a �= 0.
Podemos representar esta soluc¸a˜o por meio de um conjunto soluc¸a˜o S =
{−b
a
}
ou S =
{
x ∈ IR|
x =
−b
a
}
Neste caso, como S e´ um conjunto unita´rio, podemos afirmar que uma equac¸a˜o de 1o grau tem
apenas uma u´nica soluc¸a˜o, uma u´nica raiz em IR. Observe que a raiz e´ o valor que x assume
que a torna igual a zero.
Os procedimentos para resoluc¸a˜o das equac¸o˜es anteriores foram realizados a partir dos princ´ıpios
de equivaleˆncia das igualdades das propriedades aditivas e multiplicativa. Estas propriedades
versam que:
Aditiva: somar ou subtrair um nu´mero nos dois membros de uma equac¸a˜o, encontrando uma
outra equivalente.
Multiplicativa: multiplicar ou dividir um nu´mero (�= 0) nos dois membros de uma equac¸a˜o,
encontrando outra equivalente.
Na sequeˆncia, vamos resolver
as equac¸o˜es de primeiro grau dadas no exemplo (1) algebrica-
mente e graficamente.
A resoluc¸a˜o do item (a) sera´ realizada em detalhes com o intuito de evitar poss´ıveis du´vidas
quanto as operac¸o˜es utilizadas nos demais exemplos.
a)3x+ 4 = 13
Resoluc¸a˜o Alge´brica
Como nosso objetivo e´ isolar a inco´gnita, vamos somar (−4) em ambos os lados da igualdade,
pois isto na˜o altera a equac¸a˜o.
⇒ 3x+ 4 + (−4) = 13 + (−4)
⇒ 3x = 9
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade por
(
1
3
)
que e´ o valor que reduzira´ 3x
a somente 1x.
⇒ 3x
3
· 1
3
=
9
3
· 1
3
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⇒ 3x
3
=
9
3
⇒ x = 3
O valor de x = 3 e´ a raiz da equac¸a˜o que a torna igual a zero.
Soluc¸a˜o gra´fica
Podemos visualizar a raiz de uma equac¸a˜o do primeiro grau no gra´fico. Este e´ o me´todo da
soluc¸a˜o gra´fica em que constru´ımos uma tabela para constar valores que determinam as coor-
denadas (x, y) satisfazendo a equac¸a˜o dada.
Vamos resolver o exemplo por este me´todo?
A equac¸a˜o dada e´: 3x+ 4 = 13
O primeiro passo e´ igualar a equac¸a˜o a zero:
3x+ 4−13 = 13−13
3x+ 4− 13 = 0 que podemos reescrever considerando y igual a zero como
3x+ 4− 13 = y
Depois atribu´ımos valores para x para determinar y. Por convenieˆncia utilizaremos os valores
1 e 0. Atente que voceˆ pode atribuir quantos valores desejar, contudo dois sa˜o suficientes para
trac¸ar o gra´fico da equac¸a˜o.
x 3x + 4 - 13 = y
1 3 · 1 + 4− 13 = −6
0 3 · 0 + 4− 13 = −9
Podemos observar no gra´fico os dois pontos da tabela e a raiz da
equac¸a˜o x = 3 que sera´ sempre o valor que intercepta o eixo x.
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b) 5− 2x = 4
Resoluc¸a˜o Alge´brica
⇒ 5− 2x = 4 (igualar a zero)
⇒ 5 + 2x (−4) = 4 + (−4)
⇒ −2x+ 1 = 0 (considerar y = 0)
⇒ −2x+ 1 = y
Soluc¸a˜o Gra´fica
x 3x + 4 - 13 = y
1 3 · 1 + 4− 13 = −6
0 3 · 0 + 4− 13 = −9
A raiz x =
1
2
ou 0, 5 pode ser identificada no gra´fico.
c) 25 = 10x
Resoluc¸a˜o Alge´brica
⇒ 25
10
=
10x
10
(Divide-se ambos os lados da igualdade por 10).
⇒ 5
2
= x
Soluc¸a˜o gra´fica
25−25 = 10x−25 (igualar a zero)
0 = 10x− 25 (considerar y = 0)
y = 10x− 25
Preencher tabela.
x 10x - 25 = y
1 10 · 1− 25 = −15
0 10 · 0− 25 = −25
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Reprodução proibida. A
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A raiz
5
2
= x ou 2, 5 pode ser identificada no
gra´fico.
d) 5x− (x− 2) + 3
2
= 2x+ 8
Resoluc¸a˜o Alge´brica
⇒ 5x−x+ 2 + 3
2
= 2x + 8 (Retira-se os pareˆnteses realizando a multiplicac¸a˜o de -1 pelo ele-
mentos que esta˜o dentro dos pareˆnteses, Assim: (−1) · (x− 2) = −x+ 2)
⇒ 4x−2x + 2 + 3
2
= 2x + 8−2x (Retira-se (2x)
de ambos os lados da igualdade).
⇒ 2x+ 2 + 3
2
= 8
⇒ 2x + 2 + 3
2
−2− 3
2
= 8−2 +−3
2
(Retira-se 2
e
3
2
de ambos os lados da igualdade).
⇒ 2x+ 12
2
− 3
2
⇒ 2x = 9
2
Agora, vamos multiplicar todos os membros da
igualdade por
(
1
2
)
⇒ 1
2
· 2x = 1
2
· 9
2
Resolvendo, temos: ⇒= 9
4
Soluc¸a˜o gra´fica
⇒ 2x− 9
2
=
9
2
− 9
2
(igualar a zero)
⇒ 2x− 9
2
= 0 (considerar y = 0)
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⇒ 2x − 9
2
= y ou 2x − 4, 5 =
0
y = 10x− 25
Preencher tabela.
x 2x - 4,5 = y
1 2 · 1− 4, 5 = −2, 5
0 2 · 0− 4, 5 = −4, 5
A raiz
9
4
= x ou 2, 25 pode ser identificada
no gra´fico.
e) Qual e´ o nu´mero cujo o dobro ao subtrair sua terc¸a parte resulta em trinta?
Esta equac¸a˜o, diferente das anteriores, esta´ escrita por extenso (em linguagem corrente, por-
tugueˆs). O primeiro passo para resoluc¸a˜o e´ modela´-la escrevendo-a em linguagem matema´tica
e repetir os processos de resoluc¸a˜o ja´ vistos:
Resoluc¸a˜o alge´brica:
Nu´mero: x
Dobro do nu´mero: 2x
Terc¸a parte do nu´mero:
1
3
x
Equac¸a˜o em linguagem matema´tica: 2x− 1
3
x = 30
⇒ 6x
3
− 1x
3
= 30
⇒ 5x
3
= 30
⇒ 5x
3
· 3 = 30 · 3 Multiplica-se ambos os membros da igualdade por 3.
⇒ 5x = 90
43
 
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⇒ 5x ·
(
1
5
)
= 90 ·
(
1
5
)
Divide-se ambos os membros da igualdade por 5 ou multiplica-se por(
1
5
)
.
⇒ x = 18
Agora que ja´ vimos alguns exemplos sobre a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es de primeiro grau, chegou a
sua vez de praticar resolvendo algumas das atividades propostas ao final da unidade.
Soluc¸a˜o gra´fica
5x
3
−30 = 30−30 (igualar a zero)
5x
3
− 30 = 0 (considerar y = 0)
5x
3
− 30 = y ou 1, 67x− 30 = y
Preencher tabela.
x 1,67x - 30 = y
1 1, 67 · 1− 30 = −28, 33
0 1, 67 · 0− 30 = −30
O ponto x = 18 pode ser identificada no gra´fico.
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#naweb#
Voceˆ conhece o Portal do Professor? E´ um espac¸o virtual mantido pelo Ministe´rio da Educac¸a˜o
idealizado especialmente para voceˆ que sera´ professor. Dentre va´rias propostas pedago´gicas
dispon´ıveis neste portal ha´ uma que relaciona a equac¸a˜o do 1o grau com uma balanc¸a de dois
pratos em equil´ıbrio. E´ uma rica sugesta˜o para ensinar o processo aditivo ou multiplicativo
envolvidos na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es.
Link: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=368
EQUAC¸A˜O DO 2o GRAU
Uma equac¸a˜o de segundo grau ou quadra´tica com coeficientes a, b e c e´ equac¸a˜o na forma
completa representada por:
ax2 + bx+ c = 0
Onde:
a, b e c ∈ IR e a �= 0.
x e´ a inco´gnita a ser determinada.
Exemplo 2: Equac¸o˜es do 2o grau.
a) x2 + 5x+ 6 = 0, onde a = 1, b = −5, c = 6
b) −2x2 + 0, 4x+ 1 = 0, onde a = −2, b = 0, 4, c = 1
c) x2 − 2
3
x = 0, onde a = 1, b = −2
3
, c = 0
d) −x2 + 9 = 0, onde a = −1, b = 0, c = 9
f) 1
2
x2 + 2x− 3 = 0, onde a = 1
2
, b = 2, c = −3
Observe que a e´ o coeficiente que acompanha o x2, o coeficiente b acompanha o x e o c e´ o
termo independente da equac¸a˜o. Na˜o se esquec¸a de atentar a estes fatores, pois, sa˜o essenciais
para resolver uma equac¸a˜o do 2a grau.
Para determinar as soluc¸o˜es (ra´ızes) da equac¸a˜o do 2o grau efetuaremos os procedimentos a
seguir:
1o) ax2 + bx+ c = 0 (adicionar −c em ambos os lados da equac¸a˜o)
⇔ ax2 + bx = −c
2o) (ax2 + bx)×
(
1
a
)
= −c×
(
1
a
)
(multiplicar em ambos os lados da equac¸a˜o por 1
a
)
45
 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
⇔ x2 + bx
a
= − c
a
Para isolar x vamos utilizar o me´todo de completar quadrados, que nos permite escrever a
equac¸a˜o dada numa forma equivalente e assim, concluir as soluc¸o˜es diretamente.
Para completar quadrado do lado direito da equac¸a˜o
�
x2+
bx
a
�
vamos adicionar em ambos os
lados da equac¸a˜o1
�
b
2a
)2 = (
b2
4a2
), obtendo:
3o) x2 +
bx
a
+
�
b2
4a2
�
= − c
a
+
�
b2
4a2
�
Com isto, obtemos:
⇔
�
x+
b
2a
�2
=
−4ac+ b2
4a2
4o) Calculando a raiz quadrada de ambos os lados da equac¸a˜o, obtemos:
⇔ x+ b
2a
= ±
�
b2 − 4ac
4a2
Note que a existeˆncia de um nu´mero real que
satisfac¸a a igualdade acima esta´ condicionada a
b2 − 4ac ≥ 0.
5o) Agora, vamos isolar a inco´gnita x, adicionando em ambos os lados da equac¸a˜o
�
− b
2a
�
:
x = − b
2a
±
√
b
2 − 4ac
2a
⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
Portanto, podemos ter as seguintes soluc¸o˜es para uma equac¸a˜o de segundo grau, conhecida
como Fo´rmula de Bhaskara:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x1 =
−b+√b2 − 4ac
2a
x2 =
−b−√b2 − 4ac
2a
1Para o me´todo de completar quadrados temos que fazer: (x + d)2 = x2 + 2.x.d + d2.
Entretanto, 2xd =
bx
a
⇔ d = b2a . Desta forma, temos:
(x + 22a )
2 = x2 + 2.x. b2a + (
b
2a )
2 = x2 + bxa +
b2
4a2
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Exemplos 3: Vamos resolver as equac¸o˜es do exemplo 2 (em IR) utilizando a fo´rmula de Bhas-
kara. Assim, como para uma equac¸a˜o do 1o grau podemos visualizar as ra´ızes da equac¸a˜o 2o do
grau na sua representac¸a˜o gra´fica, sa˜o os pontos que interceptam o eixo x conforme mostramos
a seguir.
Na˜o faz parte do nosso estudo aprender a graficar estas equac¸o˜es. Veremos isto em outra dis-
ciplina do curso.
a) x2 + 5x+ 6 = 0, onde a = 1, b = −5 e c = 6
Resoluc¸a˜o:
⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
⇔ x = −(−5)±
�
(−5)2 − 4 · 1 · 6
2 · 1
⇔ x = 5±
√
25− 24
2
=
5±√1
2
⇔ x = 5± 1
2
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x1 =
5 + 1
2
= 3
x2 =
5− 1
2
= 2
Portanto, as soluc¸o˜es sa˜o x1 = 1 e x2 = −2.
Soluc¸a˜o gra´fica:
b) −2x2 + 0, 4x+ 1 = 0,
47
 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Resoluc¸a˜o:
⇔ −2x2 + 0, 4x+ 1 = 0, onde a = −2, b = 0, 4, c = 1
⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
⇔ x = −0, 4±
�
(0, 4)2 − 4 · (−2) · 1
2 · (−2)
⇔ x = −0, 4±
√−7, 84
2
Esta equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o em IR, , pois na˜o existe um nu´mero que multiplicado por ele
mesmo resulte em um nu´mero negativo que permite extrair a raiz quadrada de -7,84. Para
resolver este tipo de situac¸a˜o precisamos recorrer ao Conjunto dos Nu´meros Complexos que
estudaremos na unidade 4.
c) x2 − 2
3
x = 0. Esta equac¸a˜o e´ dita incompleta por na˜o apresentar o coeficiente c.
Resoluc¸a˜o:
⇔ x2 − 2
3
x = 0 onde a = 1, b = −2
3
e c = 0
⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
⇔ x =
−(−2
3
)±
�
(−2
3
)2 − 4 · 1 · 0
2 · 1
⇔ x =
2
3
±
�
2
3
2
⇔ x =
2
3
± 2
3
2
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x1 =
2
3
+ 2
3
2
=
4
3
2
=
4
3
· 1
2
=
4
6
ou simplificando
2
3
x2 =
2
3
− 2
3
2
=
0
2
= 0
Note que no caso em que a equac¸a˜o de segundo grau tem c = 0 , uma das soluc¸o˜es da equac¸a˜o
e´ zero.
⇔ x2 = 2
3
x
⇔ x = 2
3
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Portanto, as soluc¸o˜es sa˜o x1 =
2
3
e x2 = 0.
Soluc¸a˜o gra´fica
d) −x2 + 9 = 0. Esta equac¸a˜o e´ dita incompleta por na˜o apresentar o coeficiente b.
Resoluc¸a˜o:
⇔ −x2 + 9 = 0 onde a = −1, b = 0 e c = 9
⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
⇔ x = 0±
�
02 − 4 · (−1) · 9
2 · (−1)
⇔ x = 0±
√
36
−2
⇔ x = 0± 6−2 =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x1 =
0 + 6
−2 = −3
x2 =
0− 6
−2 = +3
No caso em que a equac¸a˜o de segundo grau tem b = 0 tem-se como soluc¸a˜o x = ±√c, sempre
que c > 0, ou seja, c e´ positivo. Assim:
⇔ −x2 = −9
⇔ x2 = 9
⇔ x = ±√9
⇔ x = ±3
49
 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Portanto, as soluc¸o˜es sa˜o x1 = +3 e x2 = −3
Soluc¸a˜o gra´fica
e)
1
2
2
+ 2x− 3 = 0, onde a = −1, b = 0 e c = 9
Resoluc¸a˜o:
⇔ x = −b±
√
b2 − 4ac
2a
⇔ x =
−2±
�
22 − 4 · (1
2
) · (−3)
2 · 1
2
⇔ x = −2±
√
4 + 6
1
=
−2±√10
1
=
−2± 3, 16
1
⇔ x = −2± 3, 16
1
=
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x1 =
−2 + 3, 16
1
= 1, 16
x2 =
−2− 3, 16
1
= −5, 16
Portanto, as soluc¸o˜es sa˜o aproximadamente x1 = 1, 16 e x2 = −5, 16.
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Soluc¸a˜o gra´fica
#saibamais#
Outra alternativa para determinar as ra´ızes de uma equac¸a˜o do 2a grau e´ por soma e produto.
Vale a pena conferir pois, se trata um processo que envolve o racioc´ınio lo´gico.
Vamos resolver e exerc´ıcio a do exemplo 3:
a) x2 + 5x+ 6 = 0, onde a = 1, b = −5 e c = 6
Fo´rmula da soma: S =
−b
a
substituindo: S =
−(−5)
1
= 5
Fo´rmula do produto: P =
c
a
substituindo: P =
6
1
= 6
Os valores determinados na˜o sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o que tem como soluc¸a˜o sa˜o x1 = 3 e
x2 = 2. Como obter essas ra´ızes a partir da soma e do produto?
E´ neste aspecto que recorremos ao racioc´ınio logico, pois precisamos de dois valores que soma-
dos resultem em 5 e que multiplicados resultem em 6. Esses valores sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o.
S = x1 + x2 = 3 + 2 = 5
P = x1 · x2 = 3 · 2 = 6
Sugerimos que voceˆ refac¸a os demais exemplos por este me´todo que deriva da Fo´rmula de Bhas-
kara.
SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES DO PRIMEIRO GRAU
51
 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Neste to´pico vamos discutir situac¸o˜es em que desejamos determinar mais de uma quantidade,
que se relacionam de modo linear, por meio de equac¸o˜es de primeiro grau, em que teremos duas
inco´gnitas e duas equac¸o˜es representadas uma abaixo da outra a partir de uma chave.
Exemplo 4: Ana e seus nove amigos possuem R$42,00 para comprar sucos e sandu´ıches, de
tal modo que cada um fique exatamente com um suco ou um sandu´ıche. Sabendo que cada
suco custa R$3,00 e cada sandu´ıche custa R$5,00, quantas unidades de cada item Ana deve
comprar para ela e seus amigos?
Resoluc¸a˜o
Seja
⎧⎪⎨⎪⎩ x: quantidade de sandu´ıchesy: quantidade de sucos
Vamos montar um sistema de equac¸o˜es, em que a primeira linha representa a quantidade de
sucos e sandu´ıches, representadas pelas inco´gnitas x e y respectivamente, que foram comprados
para as 10 pessoas, e a segunda linha representa o valor total gasto, de acordo com os prec¸os e
quantidades de cada produto.
⎧⎪⎨⎪⎩ x + y = 10 (1)5x + 3y = 42 (2)
Somente na 1a linha (1) isolar x, obtendo (3):
⎧⎪⎨⎪⎩ x = 10 - y (3)5x + 3y = 42 (4)
Agora, vamos substituir em (4) o valor obtido para x em (3):
5(10− y) + 3y = 42 (Aplicando a propriedade distributiva)
⇔ 50− 5y + 3y = 42 (resolvendo aplicando as propriedades ja´ vistas para equac¸a˜o)
⇔ −2y + 50 = −8 (Subtraindo 50 de ambos os lados da igualdade)
⇔ −2y + 50− 50 = −8− 50
⇔ −2y = −8
Agora, vamos multiplicar todos os membros da igualdade por
�
− 1
2
�
.
EQUACÕES E INEQUACÕES
II
Soluc¸a˜o gra´fica
#saibamais#
Outra alternativa para determinar as ra´ızes de uma equac¸a˜o do 2a grau e´ por soma e produto.
Vale a pena conferir pois, se trata um processo que envolve o racioc´ınio lo´gico.
Vamos resolver e exerc´ıcio a do exemplo 3:
a) x2 + 5x+ 6 = 0, onde a = 1, b = −5 e c = 6
Fo´rmula da soma: S =
−b
a
substituindo: S =
−(−5)
1
= 5
Fo´rmula do produto: P =
c
a
substituindo: P =
6
1
= 6
Os valores determinados na˜o sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o que tem como soluc¸a˜o sa˜o x1 = 3 e
x2 = 2. Como obter essas ra´ızes a partir da soma e do produto?
E´ neste aspecto que recorremos ao racioc´ınio logico, pois precisamos de dois valores que soma-
dos resultem
em 5 e que multiplicados resultem em 6. Esses valores sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o.
S = x1 + x2 = 3 + 2 = 5
P = x1 · x2 = 3 · 2 = 6
Sugerimos que voceˆ refac¸a os demais exemplos por este me´todo que deriva da Fo´rmula de Bhas-
kara.
SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES DO PRIMEIRO GRAU
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⇔ −2y ×
(
− 1
2
)
= −8×−
(
1
2
)
⇔ y = 4
Agora, vamos substituir o valor y = 4 em (3), obtendo:
x = 10− y = 10− 4 = 6
Com isto, conclu´ımos, para as condic¸o˜es dadas, que Ana comprou 6 sandu´ıches e 4 sucos,
totalizando R$42,00.
A soluc¸a˜o acima pode ser visualizada na representac¸a˜o gra´fica das retas das equac¸o˜es em que
a interceptac¸a˜o delas determina um ponto cujas coordenadas abcissa (x) e ordenada (y) sa˜o
respectivamente 6 e 4 que indicam o nu´mero de sandu´ıches e sucos comprados por Ana.
#saibamais#
O me´todo de resoluc¸a˜o apresentado anteriormente e´ o da substituic¸a˜o. Contudo, ha´ tambe´m
o me´todo da adic¸a˜o. Veja como este me´todo e´ desenvolvido no livro To´picos de Matema´tica
Aplicada dispon´ıvel na sua biblioteca virtual. Reflita de quando e´ conveniente utiliza´-lo? Como
atividade, sugerimos que resolva o exemplo apresentado pelo me´todo da adic¸a˜o.
Independente do me´todo que voceˆ utilizar os resultados sera˜o sempre os mesmos.
Refereˆncia MACEDO, Luiz Roberto Dias de; CASTANHEIRA, Nelson Pereira e ROCHA, Alex.
To´picos de Matema´tica Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006.
53
 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Exemplo 5: Resolva os seguintes sistemas de equac¸o˜es de primeiro grau.
a)
⎧⎪⎨⎪⎩ x - y = 43x + y = 0
Resoluc¸a˜o: Neste caso vamos utilizar o me´todo da adic¸a˜o, para exemplifica-lo.
⎧⎪⎨⎪⎩ x - y = 4 (1)3x + y = 0 (2)
Vamos adicionar (1) e (2), obtendo (3):
(x− y) + (3x+ y) = 4 + 0
⇒ (x+ 3x) + (−y + y) = 4
⇒ 4x = 4
⇒ x = 1 (3)
Agora, vamos substituir o valor obtido x = 1 em uma das equac¸o˜es iniciais. Vamos escolher a
equac¸a˜o (1):
x− y = 4⇒ 1− y = 4⇒ −y = 3
⇒ y = −3
Portanto, a soluc¸a˜o para o sistema de equac¸a˜o dado e´ x = 1 e y = −3.
Soluc¸a˜o gra´fica
b)
⎧⎪⎨⎪⎩ c + e = 3502e - 3c = 10
Resoluc¸a˜o: Neste caso vamos utilizar o me´todo da substituic¸a˜o.
⎧⎪⎨⎪⎩ c + e = 350 (1)2e - 3c = 10 (2)
Isolando e em (1), obtemos (3):
2e− 3c = 10 (2)
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⇒ 2(350− c)− 3c = 10
⇒ 700− 2c− 3c = 10
⇒ −5c = 10− 700
⇒ −5c = −690
Multiplicando todos os membros da igualdade por
(
− 1
5
)
, obtemos:
⇒ −5c ·
(
− 1
5
)
= −690 ·
(
− 1
5
)
⇒ c = 138
Agora, vamos substituir c = 138 em (3) para obter o valor de e.
e = 350− c (3)
⇒ e = 350− 138
⇒ e = 212
Portanto, a soluc¸a˜o para o sistema de equac¸a˜o dado e´ c = 138 e e = 212.
55
 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Soluc¸a˜o gra´fica
c)
⎧⎪⎨⎪⎩ x + y = 2x - y = 4
Resoluc¸a˜o:Neste caso vamos utilizar o me´todo da adic¸a˜o.
⎧⎪⎨⎪⎩ x + y = 2 (1)x - y = 4 (2)
Adicionando (1) e (2), obtemos:
⇒ (x+ y) + (x− y) = 2 + 4
⇒ (x+ x) + (y − y) = 6
⇒ 2x = 6
Multiplicando todos os membros da igualdade por
�
1
2
�
, obtemos:
⇒ 2x ·
�
− 1
2
�
= 6 ·
�
1
2
�
⇒ x = 3
Agora, vamos substituir x = 3 em (1):
x+ y = 2 (3)
⇒ 3 + y = 2
Subtraindo 3 de ambos os lados da igualdade:
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⇒ y + 3− 3 = +2− 3
⇒ y = −1
Portanto, a soluc¸a˜o para o sistema de equac¸a˜o dado e´ x = 3 e y = −1.
Soluc¸a˜o gra´fica
INEQUAC¸O˜ES
As inequac¸o˜es sa˜o sentenc¸as matema´ticas abertas representadas por uma das seguintes desi-
gualdades:
- “maior do que” – representada pelo s´ımbolo (>)
- “maior do que ou igual a” – representada pelo s´ımbolo (≤)
- “menor do que” – representada pelo s´ımbolo (<)
- “menor do que ou igual a” – representada pelo s´ımbolo (≥)
As inequac¸o˜es podem aparecer de maneira natural em situac¸o˜es do contexto matema´tico, as-
sim como no cotidiano. Antes de estudarmos a resoluc¸a˜o de uma inequac¸a˜o vamos tratar de
intervalos.
57
 
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
Intervalos (intervalo e´ um subconjunto de IR)
Sejam a e b nu´meros reais tais que a < b.
Vamos representar intervalos abertos por: (a, b) =]a, b[= x ∈ IR; a < x < b
Vamos representar intervalos fechados por: [a, b] = x ∈ IR; a ≤ x ≤ b
Vamos representar intervalos abertos a direita por: [a, b[= x ∈ IR; a ≤ x < b
Vamos representar intervalos abertos a` esquerda por: ]a, b] = x ∈ IR; a < x ≤ b
Agora, vamos resolver uma inequac¸a˜o a partir de uma situac¸a˜o problema:
Exemplo 6: Carlos e´ professor de Educac¸a˜o F´ısica e quer comprar bolas de teˆnis para o trei-
namento de seus alunos. Na loja A, que anunciou uma promoc¸a˜o, as bolas passaram a custar
cada uma R$4,00. O professor quer aproveitar ao ma´ximo a oferta da loja, mas dispo˜e de
apenas R$250,00. Qual e´ a maior quantidade poss´ıvel de bolas que Carlos pode comprar?
Vamos denotar por b a quantidade de bolas que Carlos podera´ comprar. Para determinar o
maior valor poss´ıvel de b, fazemos:
4b ≥ 250
Para resolver a inequac¸a˜o vamos aplicar as mesmas propriedades utilizadas para resolver uma
equac¸a˜o lembrando sempre se inverter o sinal da desigualdade, quando multiplicar por (-1).
EQUACÕES E INEQUACÕES
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Continuando a resoluc¸a˜o vamos multiplicar a inequac¸ao por
1
4
. Este valor e´ positivo, portanto,
na˜o altera a desigualdade. Obtemos assim,
4b ≥ 250 =⇒
�
1
4
�
· 4b ≥
�
1
4
�
· 250 =⇒ b ≥ 250
4
=⇒ b ≥ 125
2
Portanto, o nu´mero de bolas que Carlos podera´ comprar deve ser menor do que ou igual a
125
2
, que e´ um nu´mero fraciona´rio de bolas. Em virtude disso podemos interpretar a soluc¸a˜o
determinando o maior mu´ltiplo positivo de 4 que seja menor do que ou igual a 250. Observe
que podemos reescrever 250 como 200 + 50, e ainda, 200 e´ mu´ltiplo de 4, mas 50 na˜o. Entre-
tanto, 48 e´ mu´ltiplo de 4, portanto, 248 e´ o maior mu´ltiplo de 4 em 250. Assim, 248 dividido
por 4 e´ 62, o que significa que o maior nu´mero de bolas que Carlos pode comprar e´ 62 unidades.
Agora, poder´ıamos resolver de outra forma?
250
4
= 62, 5. Assim, 4b < 250. Logo, a soluc¸a˜o e´ b = 62, 5 (b sa˜o todos os valores menores que
62,5).
A soluc¸a˜o da inequac¸a˜o e´ a s = {b ∈ IR|b < 62, 5} cuja representac¸a˜o gra´fica e´:
Ja´ a soluc¸a˜o do problema e´ 62, pois a inco´gnita b representa um objeto inteiro (bolas de teˆnis).
Entretanto, qualquer nu´mero real menor do que
250
4
satisfaz a inequac¸a˜o 4b − 250 < 0. Este
foi um caso particular de uma inequac¸a˜o chamada inequac¸a˜o do primeiro grau.
INEQUAC¸A˜O DO 1o GRAU
Uma inequac¸a˜o do primeiro grau e´ uma relac¸a˜o contendo uma desigualdade, de acordo com
uma das formas a seguir:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
ax + b < 0
ax + b > 0
ax + b ≤ 0
ax + b ≥ 0
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