Vetores e Coordenadas

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Hidembergue Ordozgoith da Frota
Departamento De Física
Instituto de ciências Exatas
Universidade Federal do Amazonas
Vetores
VETORES
Sistemas de Coordenadas
Coordenadas Cartesianas ou 
Coordenadas Retangulares Coordenadas Polares
Exemplo: As coordenadas de um ponto do plano xy são (x,y) = (-3,5, -2,5), como 
mostrado na figura abaixo. Encontre as coordenadas polares desse ponto.
Transformação de Coordenadas Cartesianas para Coordenadas Polares
2 2 2 2( 3,50m) ( 2,50m) 4,30m
4,30m
2,50m
tan 0,714
3,50m
216
r x y
r
y
x


      


  

 
2 2
cos
sen
tan
x r
y r
y
x
r x y






 
Quantidades Escalares e Vetoriais
A Quantidade Escalar é representada apenas por um 
número, com uma unidade apropriada, e não tem direção e 
nem sentido.
Exemplo: massa, comprimento e intervalo de tempo
A Quantidade Vetorial tem magnitude, direção e sentido.
Exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração e força.
Propriedades dos Vetores
A
a
A
a
Vetor
A B
cc
Em negrito
A
a
| A |
| a |
Módulo 
do Vetor
Representação
Propriedades dos Vetores
Igualdade de dois Vetores
A e B são iguais se A e B são paralelos, têm o 
mesmo sentido e o mesmo módulo (A=B).
A
B
Propriedades dos Vetores
Adição de Vetores
Método de adição 
do triângulo
R = Vetor Resultante
Exemplo do Método de 
adição do triângulo
Método da soma de vetores por 
Construção Geométrica
R = Vetor Resultante
Regra do Paralelogramo de 
Construção de Vetores
Lei Comutativa da Adição de Vetores
A + B = B + A
Lei Associativa da Adição de Vetores
A + (B + C) = (A + B) + C
O Negativo de um Vetor
A + ( - A ) = 0
Subtração de Vetores
A - B = A + ( - B )
Multiplicação de um Vetor por um Escalar
n A
A
3A
Componentes de um Vetor
Ax = Projeção de A sobre o eixo x
Ay = Projeção de A sobre o eixo y
Ax e Ay são as componentes do vetor A
2 2
1
cos
sen
tan
x
y
x y
y
x
A A
A A
A A A
A
A


 


 
 
  
 
Vetores Unitários
São Vetores que têm a magnitude exatamente 1.
x y zA A i A j A k  
  
i


y
A
xA
zA
A
Em três dimensões
x yA A i A j 
  
Em duas dimensões
Vetor Posição r
r x i yj 
 
Adição de Vetores usando as suas componentes
A = Ax i + Ay j
B = Bx i + By j
R = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j)
R = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j
R = Rx i + Ry j
Rx = Ax + Bx
Ry = Ay + By
2 2 2 2( ) ( )x y x x y yR R R A B A B     
tan
y
x
R
R
 
R = A + B
Multiplicação de Vetores
Produto Escalar
A = Ax i + Ay j + Az k
B = Bx i + By j + Bz k
cosA B A B
x x y y z zA B A B A B  A B
Multiplicação de um vetor por um escalar
sA
A A = vetor
s = escalar
sA = vetor
A B B A 
A

B
Produto Vetorial
x y z
x y z
A A i A j A k
B B i B j B k
  
  
  
  
A×B
 

A

B

senA B A B  
  
Regra da mão direita
   x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k      
      
     y z y z z x z x x y x yA B A B B A i A B B A j A B B A k      
   
 A B B A   
  
Em termos das componentes dos vetores
0i i
i j k
i k j
 
 
  
 
 
 
0j j
j k i
j i k
 
 
  
 
 
 
0k k
k i j
k j i
 
 
  
 
  
  
i

j

k
