APOSTILA GRAFICOS 2017 versao final

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 Centro Universitário 
 Escola de Engenharia Mauá 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTRUÇÃO DE 
GRÁFICOS 
 
 
 
Profa. Keiti Pereira Vidal de Souza 
Prof. Rodrigo Cutri 
 
2017 
 
 
 
 
2 
 
1. INTRODUÇÃO TEÓRICA 
 
A Física é uma Ciência Natural e Exata o que significa que é possível, a 
partir de medidas, atribuir valores numéricos às grandezas que 
participam dos fenômenos e, por meio de equações físicas, determinar 
as relações entre essas grandezas. 
Considere, por exemplo, que por algum procedimento experimental 
mede-se o diâmetro D e a respectiva massa M de discos feitos de um 
mesmo material, obtendo-se os seguintes resultados: 
 
Tabela 1 – Diâmetro e massa de discos homogêneos de um mesmo 
material 
Diâmetro (cm) 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 
Massa (g) 6,36 25,44 57,24 102,24 158,75 
 
 
Suponha que se deseje saber, sem efetuar outra medição, qual a massa 
de um disco de diâmetro 3,25 cm. Note que não é possível responder a 
essa pergunta com a “regra de três”, isto é, usando uma proporção 
direta uma vez que a relação entre M e D não é linear. Uma das formas 
de se obter o valor solicitado é pelo processo gráfico que será aqui 
apresentado. 
O gráfico é uma potente ferramenta de visualização dos resultados 
experimentais, facilita a interpretação de dados em diversas áreas de 
estudo (engenharia, física, economia, química, estatística, entre outras), 
além de permitir, numa primeira análise, a determinação da relação 
matemática entre as grandezas físicas que participam do fenômeno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2. CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO 
 
Considere o gráfico que representa o comportamento das grandezas 
físicas X e Y. Suponha que se procure uma relação matemática que 
permita conhecer o valor y da grandeza Y para um dado valor x da 
grandeza X, ou seja, obter-se uma função matemática y = f(x). Os 
valores de x correspondem à variável independente enquanto os 
valores de y são a variável dependente de x. Pode- se, a partir de 
dados experimentais, construir um gráfico que represente a relação 
entre estas grandezas físicas. 
 
Todo gráfico deve ser composto pelos seguintes itens (Figura 1): 
 
 Título; 
 Eixo, grandeza, unidade e escala das ordenadas (variável 
dependente – eixo y); 
 Eixo, grandeza, unidade e escala das abscissas (variável 
independente – eixo x); 
 Pontos experimentais; 
 Reta/Curva média; 
 Função que representa a relação entre as grandezas físicas 
envolvidas (dependendo das circunstâncias pode ser omitido). 
 
 
 
 
4 
 
Figura 1: Componentes necessários de um gráfico científico. 
 
 
Fonte: http://macbeth.if.usp.br/~gusev/Graficos.pdf 
 
 
Para a construção do gráfico, devem ser tomados cuidados que 
permitam facilitar a leitura e análise dos dados: 
 
1. Escolha a área do papel com tamanho adequado (Figuras 2 e 
3). 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Área trabalhada no gráfico de forma INCORRETA. 
Figura 3: Área trabalhada no gráfico de forma CORRETA. 
 
 
 
 
6 
 
2. Desenhe explicitamente os eixos. Podemos representar os 
eixos de duas maneiras: com ou sem seta indicativa. O eixo 
com seta indicativa aponta no sentido crescente do eixo. Caso 
opte pelo eixo sem a seta, o sentido crescente deve ser entendido 
através da posição da grandeza e também dos valores das escalas 
(Figura 4). 
 
 
 
 
3. Indique no eixo das abscissas a variável independente x 
com sua grandeza e unidade. A unidade deve ser colocada entre 
parênteses (Figura 5). 
 
Figura 4: Eixos desenhados EXPLICITAMENTE. 
 
 
 
 
7 
 
4. Indique no eixo das ordenadas a variável dependente y 
com sua grandeza e unidade. A unidade deve ser colocada entre 
parênteses (Figura 5). 
Figura 5: Grandezas e Unidades nos eixos 
 
 
 
5. Observe a amplitude da variação das grandezas a serem 
representadas nos eixos, para escolher a área do papel mais 
adequada para a construção do gráfico. Para tanto escolha uma 
escala conveniente para cada um dos eixos. Utilize valores de 
escala que facilitem a leitura dos valores das variáveis. Para 
determinar a escala mais conveniente é necessário calcular o 
passo da escala. Geralmente este passo é calculado de tal forma 
que os valores sejam múltiplos ou submúltiplos de 10 de 1, 2 ou 
5. Não devendo utilizar valores múltiplos de 3 e 7. 
 
 
 
 
8 
 
 
𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜 = 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 (𝑜𝑢 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟)𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
 
 
6. Cada eixo pode ter sua própria escala. 
 
7. Indique nos eixos escalas com apenas valores inteiros das 
variáveis. Os valores medidos experimentalmente NÃO devem ser 
indicados. O leitor deve ser capaz de identificar rapidamente o 
valor de um ponto aleatório através da leitura do eixo no gráfico 
(Figura 6 e 7). 
 
 
Figura 6: Exemplos CORRETOS de desenhar eixos em um gráfico. 
 
 
Fonte: http://macbeth.if.usp.br/~gusev/Graficos.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Figura 7: Exemplos INCORRETOS de desenhar eixos em um gráfico. 
 
 
Fonte: http://macbeth.if.usp.br/~gusev/Graficos.pdf 
 
 
8. Não é necessário iniciar a indicação das variáveis nos eixos 
pela origem, isto é x = 0 ou y = 0. 
 
9. Verifique se o fenômeno físico permite afirmar que para o 
valor y = 0 da grandeza Y corresponde o valor x = 0 da grandeza 
X. Nesse caso, a curva traçada deverá passar pela origem. 
 
10. O gráfico deve ter um título em sua parte superior. No 
entanto, se o gráfico fizer parte de alguma publicação, trabalho 
ou relatório, ao invés de título, pode-se usar uma legenda 
explicativa. 
 
 
 
 
10 
 
 
11. O título do gráfico deve ser autoexplicativo, fornecer a 
informação necessária ao fenômeno físico estudado. Títulos do 
tipo “Velocidade X Tempo” deve ser substituído por “Velocidade 
em função do Tempo” ou “Velocidade de um automóvel em um 
movimento retilíneo uniforme”. “Gráfico de ...” não devem ser 
utilizado, é redundante. 
 
12. Os valores experimentais devem ser representados por 
símbolos de fácil visualização como pequenos quadrados, 
círculos ou triângulos associados às barras de incerteza, como 
explicado adiante. 
 
13. Não utilize as coordenadas tracejadas dos pontos. Os 
tracejados podem e devem ser utilizados apenas para a indicação 
de pontos importantes, para o cálculo de coeficiente angular ou 
indicação de valor obtido por extrapolação. 
 
14. Trace a curva que melhor se ajuste aos valores 
experimentais passando pelo retângulo de incertezas. Caso se 
trate de uma reta, trace a reta média de tal forma que o número 
de pontos acima da reta seja o mesmo que o número de pontos 
 
 
 
 
11 
 
abaixo da reta. NÃO ligue pares de pontos por segmentos de 
retas (Figura 8). 
 
Figura 8: Representação de pontos experimentais em um gráfico. 
NUNCA LIGUE OS PONTOS. Indique as barras de incerteza (se for o caso) em 
cada ponto nos eixos x e y. 
 
 
Fonte: http://macbeth.if.usp.br/~gusev/Graficos.pdf 
 
 
 
3. BARRA DE INCERTEZA – RETÂNGULO DE INCERTEZAS 
 
Como visto anteriormente, a medida de uma grandeza física X é sujeita 
à incerteza Δx, sendo indicada por (x ± Δx). Portanto, a representação 
gráfica da grandeza deve indicar a incerteza correspondente o que 
significa que qualquerponto pertencente ao segmento AB, Isto é, ao 
intervalo fechado [x-Δx, x+Δx] pode representar o valor da grandeza 
física X. 
 
x+Δx x -Δx x 
 A B 
 
 
 
 
12 
 
O mesmo cuidado deve ser feito na representação gráfica de duas grandezas 
físicas no sistema cartesiano. Considerando-se as grandezas físicas X e Y 
obtidas por algum processo de medição, devem ser consideradas suas 
incertezas. No sistema cartesiano, o par ordenado P(x, y) é determinado pelos 
valores médios das grandezas X e Y o que não representa o resultado das 
medidas. A representação gráfica deve indicar as incertezas das medidas das 
grandezas X e Y por meio de barras de incerteza, indicando que qualquer 
ponto do retângulo ABCD pode representar o valor das grandezas X e Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. A RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS FÍSICAS 
 
Um fenômeno físico envolve, em geral, muitas grandezas que podem ser 
relacionadas por meio de equações físicas. O valor numérico de uma 
das grandezas físicas, denominada dependente, é determinado pelos 
valores numéricos das outras grandezas físicas, denominadas 
independentes. A relação entre elas é dada por uma função w = f(x, y, 
z,...). 
Considere um fenômeno envolvendo as grandezas X e Y cujos valores 
são relacionados pela função y = f(x). Existem diversas formas para se 
ajustar esta função à curva experimental. Utilizaremos aqui a processo 
gráfico, considerando funções nas formas: 
 
x 
x 
y 
x+Δx x -Δx 
y-Δy 
y 
y+Δy 
x 
y 
y 
x 
 
 
 
 
13 
 
a. Forma linear y = a.x+b (1) 
b. Forma potencial y = a.xb (2) 
c. Forma exponencial y = a.bx (3) 
 
5. GRÁFICOS LINEARES 
 
A função linear y = ax + b tem por gráfico uma reta onde a é o 
coeficiente angular e b o coeficiente linear. 
 
 
 
 
O coeficiente linear b corresponde ao valor de y quando x = 0 e o valor do 
coeficiente angular a é determinado pela inclinação da reta. Para obtê-lo 
devem ser tomados dois pontos da reta (não usando os valores experimentais) 
P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), assim: 
 
12
12
xx
yy
a



 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Exemplo: 
A tabela abaixo fornece a posição de um móvel em um movimento 
retilíneo e uniforme em diversos instantes de tempo. 
Construa o gráfico da posição em função em papel milimetrado e 
determine a equação horária da posição. 
 
Tempo 
(s) 
10 20 30 40 50 60 
Posição 
(m) 
51 55 62 66 69 75 
 
Tempo 
(s) 
70 80 90 100 110 120 
Posição 
(m) 
80 85 91 95 99 105 
 
Para construir o gráfico, a partir da tabela acima, devemos seguir os 
seguintes passos: 
 
PASSO 1: Identificar as variáveis (eixo das abscissas e eixo das 
ordenadas). 
 
Observamos que a variável posição do móvel é dependente da variável 
tempo. Portanto: 
 
Eixo das Abscissas (eixo x): deve ser registrada a variável 
independente, em nosso exemplo, temos a grandeza física Tempo. 
 
Eixo das Ordenadas (eixo y): deve ser registrada a variável 
dependente, em nosso exemplo, temos a grandeza física Posição. 
 
 
 
 
15 
 
 
PASSO 2: Determinar a posição do papel milimetrado. 
 
Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 mm no eixo 
vertical, e 180 mm no eixo horizontal, então, podemos usá-la nesta 
posição (“retrato”), ou em outra posição (“paisagem”) invertendo os 
eixos. A escolha entre as duas possibilidades deve ser baseada na 
otimização da construção do gráfico, visando ocupar a melhor área 
possível da folha. 
Entretanto, “ocupar a melhor área possível da folha” não significa que 
se deve usar a escala que preenche todo o papel. Deve-se escolher uma 
escala que facilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro 
ponto representado no gráfico. 
Observe o intervalo de cada variável e veja a conveniência em usar a 
folha na forma retrato ou paisagem. 
 
 
Figura 9: Papel milimetrado na forma RETRATO. 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
Figura 10: Papel milimetrado na forma PAISAGEM. 
 
 
 
 
Variável Dependente (Posição (s)): varia entre 51 m e 105 m. 
 
Variável Independente (Tempo (s)): varia entre 10 s e 120 s. 
 
Usaremos a folha na posição “RETRATO”. 
 
 
PASSO 3: Determinar as escalas. 
 
Variável Dependente: Posição (s) 
 
 Maior valor da grandeza: 105 m 
 
 Menor valor da grandeza: 51 m 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 Comprimento total do eixo vertical (retrato): 280 mm 
 
 Comprimento disponível no eixo vertical: 240 mm (280 mm – 40 
mm reservados para o título) 
 
 Cálculo do passo (p): 
𝑝 = 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
 
 
 Como queremos analisar a relação entre as grandezas de um 
modo mais geral, vamos começar a escala a partir do zero: 
 
𝑝 = 
(105 − 0) 𝑚
24,00 𝑐𝑚
 
 
𝒑 = 𝟒, 𝟑𝟕𝟓 ≅ 𝟓 𝒎/𝒄𝒎 
 
Note que para cada centímetro no papel milimetrado, teremos 5 
metros na posição. Iremos, portanto, utilizar 21,00 cm na vertical 
do papel milimetrado no formato retrato. 
 
Variável Independente: Tempo (t) 
 
 Maior valor da grandeza: 120 s 
 
 Menor valor da grandeza: 10 s 
 
 Comprimento disponível no eixo horizontal (retrato): 180 mm 
 
 Cálculo do passo (p): 
𝑝 = 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
 
 
 
 
 
 
18 
 
 Como queremos analisar a relação entre as grandezas de um 
modo mais geral, vamos começar a escala a partir do zero: 
 
𝑝 = 
(120 − 0) 𝑠
18,00 𝑐𝑚
 
 
𝒑 = 𝟔, 𝟔𝟔𝟕 ≅ 𝟏𝟎 𝒔/𝒄𝒎 
 
Note que para cada centímetro no papel milimetrado, teremos 10 
segundos no tempo. Iremos, portanto, utilizar 12,00 cm na 
horizontal do papel milimetrado no formato retrato. 
 
 
PASSO 4: Construir as escalas no papel milimetrado e identificar os 
eixos com as respectivas grandezas e unidades (Figura 11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Figura 11: Escala construída e eixos identificados. 
 
 
 
 
 
PASSO 5: Marcação dos pontos experimentais 
 
É fundamental que os pontos experimentais sejam bem marcados no 
gráfico e identificados por um sinal que não deixe dúvidas sobre sua 
localização (Figura 12). 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
Figura 12: Pontos experimentais. 
 
 
 
 
 
PASSO 6: Desenhar uma curva que melhor se ajusta aos pontos de 
dados. 
 
Após a marcação dos pontos, podemos observar o comportamento entre 
as grandezas físicas. Existe uma dependência linear entre a grandeza 
posição e a grandeza tempo. Portanto, devemos traçar uma reta média 
que passe pelo maior número de pontos possíveis, ou seja, que passe o 
 
 
 
 
21 
 
mais próximo possível de todos os pontos (Figura 13). Recomenda-se o 
uso de uma régua transparente para facilitar o traçado da reta. 
 
Figura 13: Curva Experimental. 
 
 
 
 
PASSO 7: Colocar o título 
 
O título deve ser autoexplicativo (Figura 14). 
 
 
 
 
 
22 
 
Figura 14: Título. 
 
 
 
PASSO 8: Determinar a função que representa a relação entre as 
grandezas físicas envolvidas. 
 
Como a dependência entre as grandezas é linear, devemos achar a 
equação da reta: 
 
𝐲 = 𝐦𝐱 + 𝐛 
 
 
 
 
 
23 
 
Em nosso exemplo, y é representado pela grandeza física posição (s) e x 
pela grandeza física tempo (t). Assim, nossa equação será: 
 
𝒔 = 𝒎𝒕+ 𝒃 
 
Para caracterizarmos esta função de acordo com os pontos 
experimentais, devemos determinar GRAFICAMENTE os valores de m e 
b. Onde m corresponde ao coeficiente angular da reta e b o 
coeficiente linear (Figura 15). 
 
Figura 15: Determinação gráfica dos coeficientes linear e angular. 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 Coeficiente Linear 
 
Corresponde ao ponto onde a reta intercepta o eixo y, ou seja, 
corresponde ao valor de y quando x = 0. 
Portanto: b = 45 m 
 
 Coeficiente Angular 
 
Escolher dois pontos que pertencem à reta e traçar um triângulo 
pontilhado conforme Figura 15. 
 
𝑚 = 
∆𝑠
∆𝑡
 
 
𝑚 = 
110 − 60
130 − 30
 
 
𝑚 = 
50
100
 
 
𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟎 𝒎/𝒔 
 
Substituindo os valores dos coeficientes na equação da posição, 
temos: 
 
𝒔 (𝒕) = (𝟎, 𝟓𝟎𝒕 + 𝟒𝟓) 𝒎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
6. PROCESSO DE LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS OU ANAMORFOSE 
 
O que é linearização? 
– Procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em uma 
reta. 
– É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a 
equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear 
da reta. 
Por que linearizar? 
– O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas 
que governam o experimento que gerou os dados. 
 
 
7. FUNÇÃO POTÊNCIA – LINEARIZAÇÃO OU ANAMORFOSE EM 
GRÁFICO DILOG 
 
Quando a relação entre as grandezas é uma função potência, cuja 
forma geral é y = axb, podemos linearizá-la por meio de um 
procedimento gráfico, utilizando um papel especial, denominado papel 
dilog, cujas escalas de ambos os eixos são logarítmicas (Figura 16). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Figura 16: Papel dilog 
 
 
A escala logarítmica é construída de tal forma que quando uma 
quantidade x é marcada nessa escala, o comprimento (distância em 
relação à origem do eixo) é proporcional à log(x). Portanto, não é preciso 
calcular o log do valor para inseri-lo no gráfico. Veja a Figura 17. 
 
Figura 17: Escala logarítmica (abaixo) em comparação com a escala linear 
(acima). 
 
 
 
Fonte: http://macbeth.if.usp.br/~gusev/Graficos.pdf 
 
 
 
 
27 
 
Pela forma com que a escala logarítmica é construída (Figura 18), são 
necessários alguns cuidados: 
 Não existe zero em escala logarítmica; pois log 0 não existe. 
 A escala logarítmica é dividida em décadas. Cada década 
corresponde a uma ordem de grandeza decimal. 
 A cada posição equivalente ao 1 na escala logarítmica, 
corresponde a uma base 10 elevado a um expoente; ou seja, são 
atribuídos valores do tipo: 10-1 = 0,1, 100 =1, 101 = 10, 102 = 100. 
Do mesmo modo, a posição 2 será atribuída valores do tipo 0,2, 2, 
20, 200. 
 Uma década subsequente deve possuir uma ordem de grandeza 
acima da década anterior. Por exemplo, caso a década anterior 
varie de 0,01 a 0,1; a década subsequente deve variar de 0,1 a 1 e 
assim sucessivamente. 
 
 
Figura 18: Representação das décadas em uma escala logarítmica em que a 
graduação corresponde à origem do eixo (10° = 1) 
 
 
 
Fonte: 
http://www1.univap.br/rspessoa/aulas/fisicaexp2012/topico11fisicaexp.pdf 
 
Pela Figura 18, podemos notar que existem trechos que se repetem: as 
décadas (visualizamos 3 décadas). Cada década corresponde a uma 
potência de 10 da grandeza a ser representada no eixo. Portanto, ao 
usar uma escala logarítmica, é necessário reescrever o valor 
representado na escala em notação científica, para definir quantas 
décadas serão necessárias e em qual das décadas os valores serão 
representados (Figura 19). 
 
 
 
 
28 
 
 
 
 
 
 
 
Como justificamos o uso do papel dilog? 
 
O procedimento matemático de linearização gráfica da função potência 
é simples, bastando calcular o logaritmo da igualdade, como mostrado 
abaixo: 
 
baxy 
 
 





b
b
xay
axy
logloglog
)log(log
 
 
10
1
 
10
0
 
10
-1
 
10
0
 10
1
 10
2
 10
3
 
Figura 19: Exemplo de uma marcação nas escalas vertical e horizontal. 
 
 
 
 
29 
 
Portanto: 
xbay logloglog  
 
 
 
Podemos observar que as duas variáveis (x e y) são agora, argumentos 
da função logaritmo, indicando que devemos usar o papel dilog para 
realizar o processo de linearização gráfica da função. Desde que a e b 
são constantes, a igualdade representa uma reta. 
 
 
   xbay logloglog 
 
 
bXAY  
 
 
 
A inclinação da reta (coeficiente angular) determina o valor da 
potência b, enquanto o coeficiente linear da reta permite obter o valor 
do coeficiente a. 
 
Coeficiente linear (a): valor correspondente a abcissa igual a 100 = 1 
Coeficiente angular (b) = 
12
12
loglog
loglog
xx
yy

 
 
 
8. EXEMPLO DE LINEARIZAÇÃO COM GRÁFICO DILOG 
 
A frequência de vibração de uma corda varia em função da tensão 
conforme a tabela a seguir. 
 
 
 
 
 
30 
 
Força 
(N) 
5,0 10 15 20 25 
Frequência 
(Hz) 
22 32 39 45 50 
 
Força 
(N) 
30 35 40 45 50 
Frequência 
(Hz) 
55 59 63 67 71 
 
Para construir o gráfico, a partir da tabela acima, devemos seguir os 
seguintes passos: 
 
PASSO 1: Identificar as variáveis (eixo das abscissas e eixo das 
ordenadas). 
 
Observamos que a variável Frequência de vibração da corda é 
dependente da variável Força. Portanto: 
 
Eixo das Abscissas (eixo x): deve ser registrada a variável 
independente, em nosso exemplo, temos a grandeza física Força. 
 
Eixo das Ordenadas (eixo y): deve ser registrada a variável 
dependente, em nosso exemplo, temos a grandeza física Frequência. 
 
 
PASSO 2: Determinar a posição do papel milimetrado. 
 
 
Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 mm no eixo 
vertical, e 180 mm no eixo horizontal, então, podemos usá-la nesta 
posição (“retrato”), ou em outra posição (“paisagem”) invertendo os 
eixos. A escolha entre as duas possibilidades deve ser baseada na 
 
 
 
 
31 
 
otimização da construção do gráfico, visando ocupar a melhor área 
possível da folha. 
Entretanto, “ocupar a melhor área possível da folha” não significa que 
se deve usar a escala que preenche todo o papel. Deve-se escolher uma 
escala que facilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro 
ponto representado no gráfico. 
Observe o intervalo de cada variável e veja a conveniência em usar a 
folha na forma retrato ou paisagem. 
 
 
Figura 20: Papel milimetrado na forma RETRATO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Figura 21: Papel milimetrado na forma PAISAGEM. 
 
 
 
 
Variável Dependente (Frequência (Hz)): varia entre 22 Hz e 71 Hz. 
 
Variável Independente (Força (N)): varia entre 5,0 N e 50 N. 
 
Usaremos a folha na posição “RETRATO”. 
 
 
PASSO 3: Determinar as escalas. 
 
Variável Dependente: Frequência (Hz) 
 
 Maior valor da grandeza: 71 Hz 
 
 Menor valor da grandeza: 22 Hz 
 
 Comprimento total do eixo vertical (retrato): 280 mm 
 
 
 
 
 
33 
 
 Comprimento disponível no eixo vertical: 240 mm (280 mm – 40 
mm reservados para o título) 
 
 Cálculo do passo (p): 
𝑝 = 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
 
 
 Como queremos analisar a relação entre as grandezas de um 
modo mais geral, vamos começar a escala a partir do zero: 
 
𝑝 = 
(71 −0) 𝐻𝑧
24,00 𝑐𝑚
 
 
𝒑 = 𝟐, 𝟗𝟔 ≈ 𝟓 𝑯𝒛/𝒄𝒎 
 
Note que para cada centímetro no papel milimetrado, teremos 5 
Hertz na frequência. Iremos, portanto, utilizar 18,00 cm na 
vertical do papel milimetrado no formato retrato. 
 
Variável Independente: Força (N) 
 
 Maior valor da grandeza: 50 N 
 
 Menor valor da grandeza: 5,0 N 
 
 Comprimento disponível no eixo horizontal (retrato): 180 mm 
 
 Cálculo do passo (p): 
𝑝 = 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
 
 
 Como queremos analisar a relação entre as grandezas de um 
modo mais geral, vamos começar a escala a partir do zero: 
 
 
 
 
34 
 
 
𝑝 = 
(50 − 0) 𝑁
18,00 𝑐𝑚
 
 
𝒑 = 𝟐, 𝟕𝟖 ≈ 𝟓 𝑵/𝒄𝒎 
 
Note que para cada centímetro no papel milimetrado, teremos 5 
Newton na força. Iremos, portanto, utilizar 10,00 cm na 
horizontal do papel milimetrado no formato retrato. 
 
 
PRÓXIMOS PASSOS (Figura 22): 
 
 Construir as escalas no papel milimetrado e identificar os eixos 
com as respectivas grandezas e unidades. 
 
 Marcação dos pontos experimentais. 
 
 Desenhar uma curva que melhor se ajusta aos pontos 
experimentais. 
 
 Colocar o título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Figura 22: Função Potência no papel milimetrado. 
 
 
 
Observe que a relação entre os pontos não é linear (Figura 22), o que 
dificulta a obtenção de uma relação entre as duas grandezas. Assim, 
vamos linearizar o gráfico utilizando papel dilog. 
Como ambas as escalas são logarítmicas, devemos determinar os 
valores das décadas na vertical e na horizontal. Observando-se a tabela 
fornecida, verificamos que os valores da frequência (vertical) vão de 22 
Hz até 71 Hz. Dessa forma, temos valores que podem ser colocados em 
uma única década, que vai de 101 até 102 Hz. A força (horizontal) vai 
 
 
 
 
36 
 
de 5,0 N até 50 N. Nesse caso precisaremos de duas décadas, uma que 
vai de 100 até 101 N e outra que vai de 101 N até 102 N (Figura 23). 
 
Figura 23: Função potência linearizada no papel dilog. 
 
 
 
Devemos lembrar que a relação entre as grandezas é expressa pela 
equação: 
𝑦 = 𝑎𝑥𝑏 
𝒇 = 𝒂𝑭𝒃 
 
Determinação dos coeficientes (a e b) a partir do gráfico dilog. 
 
 
 
 
 
37 
 
A questão que se coloca agora é como obter os coeficientes a e b, a 
partir do gráfico construído em papel dilog. 
A partir do gráfico dilog (Figura 24), podemos obter: 
 Coeficiente linear (a) 
 
Observando-se o valor corresponde a abcissa igual a 100 = 1, 
temos que: a = 10 
 
 Coeficiente angular (b) 
 
Determinando o coeficiente angular através de dois pontos 
pertencentes a reta, temos: 
 
𝑏 = 
log 𝑦2 − log 𝑦1
log 𝑥2 − log 𝑥1
 
 
𝑏 = 
log 100 − log 20
log 100 − log 4
 
 
𝑏 = 
2,00 − 1,30
2,00 − 0,60
 
 
𝒃 = 𝟎, 𝟓 
 
Portanto, a relação entre as grandezas é: 
 
𝒇 = 𝒂𝑭𝒃 
𝒇 = 𝟏𝟎𝑭𝟎,𝟓 (Hz) 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Figura 24: Cálculo dos coeficientes a e b da função potência. 
 
 
 
 
9. FUNÇÃO POTÊNCIA – OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS POR 
PLANILHA ELETRONICA 
 
Utilizaremos a planilha Excel para a construção do gráfico e para o 
ajuste da curva de tendência, com a correspondente apresentação da 
função ajustada aos pontos. 
9.1. Com os dados da tabela fornecida, monte uma tabela no 
Excel. Selecione-a e construa um gráfico de dispersão (Figura 
25) da frequência em função da força. 
 
Coeficiente angular 
Coeficiente linear 
 
 
 
 
39 
 
OBSERVAÇÃO: Construa o gráfico apenas com os pontos, utilize 
a opção de não traçar curva para os pontos. Observe que estes 
pontos devem ter a forma de um arco de parábola. 
 
Figura 25: Pontos experimentais no papel milimetrado. 
 
 
 
9.2. Adicionar a linha de tendência do tipo Potência. Selecione a opção 
“Exibir equação no gráfico”. 
 
 
 
f 
(H
z)
 
f 
(H
z)
 
 
 
 
 
40 
 
9.3. A partir da equação obtida no Excel, pode-se comparar com a 
equação obtida no papel dilog. 
 
Papel Dilog 
 
𝒇 = 𝟏𝟎 𝑭 𝟎,𝟓 (Hz) 
 
Excel 
 
𝒇 = 𝟗, 𝟗𝟑𝟓𝟖 𝑭 𝟎,𝟓𝟎𝟐𝟒 (Hz) 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
10. FUNÇÃO EXPONENCIAL – LINEARIZAÇÃO OU ANAMORFOSE 
EM GRÁFICO MONOLOG 
 
Quando a relação entre as grandezas é uma função exponencial de 
base b, cuja forma geral é y = abx, com a e b constantes e b≠1, 
podemos linearizá-la por meio de um procedimento gráfico, utilizando 
um papel especial, denominado papel monolog, cuja escala horizontal 
é milimetrada e a escala vertical é logarítmica (Figura 26 ). 
Figura 26: Papel monolog. 
 
 
 
 
 
42 
 
Pela Figura 27, podemos notar que existem trechos que se repetem na 
escala vertical: as décadas (visualizamos 3 décadas). Cada década 
corresponde a uma potência de 10 da grandeza a ser representada no 
eixo. Portanto, ao usar uma escala logarítmica, é necessário reescrever 
o valor representado na escala em notação científica, para definir 
quantas décadas serão necessárias e em qual das décadas os valores 
serão representados. Já na escala horizontal temos a escala métrica. 
Figura 27: Exemplo de uma marcação nas escalas vertical e horizontal. 
 
 
10
-2
 
10
-1
 
10
0
 
10
1
 
 
 
 
 
43 
 
Como justificamos o uso do papel monolog? 
 
O procedimento matemático de linearização gráfica da função 
exponencial é simples, bastando calcular o logaritmo da igualdade, 
como mostrado abaixo: 
 
xaby 
 
 





bxay
aby x
logloglog
)log(log
 
 
Portanto: 
bxay logloglog  
 
 
 
Podemos observar apenas a variável y é argumento da função logaritmo, 
indicando que devemos usar o papel monolog para realizar o processo 
de linearização gráfica da função. Desde que a e b são constantes, a 
igualdade representa uma reta. 
 
 
   bxay logloglog 
 
 
 
BXAY  
 
 
 
Os valores de a e b podem ser obtidos diretamente do gráfico monolog 
por meio dos coeficientes linear e angular da reta obtida. O valor de a é 
obtido pelo coeficiente linear da reta e o valor de b pelo coeficiente 
angular da reta. 
 
 
 
 
 
44 
 
Coeficiente linear: A = log a = log yo, sendo a = yo para x=0 
 
Coeficiente angular: 
12
12 logloglog
xx
yy
bB



 
 
Se o papel mono-log é construído usando-se o LOGARITMO NA BASE 
10, resulta: 
 
B= log b  b = 10B 
 
A FUNÇÃO EXPONENCIAL COM BASE e 
 
Um caso especial a ser estudado é relativo ao ajuste de funções usando 
como base o número de Neper e = 2,71828... 
y(x) = a.ebx 
Tomando-se o logaritmo neperiano de ambos os membros da equação 
resulta: 
bxeay .
 
  








bxay
ebxay
eay bx
lnln
lnlnln
).ln(ln
 
 
 
Neste caso, os valores de a e b são obtidos diretamente do gráfico 
mono-log por meio dos coeficientes linear e angular da reta usando-se o 
logaritmo neperiano. 
 
 
 
 
 
45 
 
Coeficiente linear: Obtido pela leitura direta do valor do eixo y, 
correspondente a x = 0 
Coeficiente 
angular: 12
12
lnln
xx
yy
b



 
 
 
 
 
11. EXEMPLO DE LINEARIZAÇÃO COM GRÁFICO MONOLOG 
 
A corrente elétrica em um circuito em um processo de carga de um 
capacitor varia em função do tempo conforme a tabela a seguir.Tempo 
(s) 
10 20 30 40 
Corrente 
(mA) 
360 222 134 81 
 
Tempo 
(s) 
50 60 70 80 
Corrente 
(mA) 
49 29 18 11 
 
Para construir o gráfico, a partir da tabela acima, devemos seguir os 
seguintes passos: 
 
PASSO 1: Identificar as variáveis (eixo das abscissas e eixo das 
ordenadas). 
 
Observamos que a variável Corrente elétrica em um circuito é 
dependente da variável Tempo. Portanto: 
 
 
 
 
46 
 
 
Eixo das Abscissas (eixo x): deve ser registrada a variável 
independente, em nosso exemplo, temos a grandeza física Tempo. 
 
Eixo das Ordenadas (eixo y): deve ser registrada a variável 
dependente, em nosso exemplo, temos a grandeza física Corrente. 
 
 
PASSO 2: Determinar a posição do papel milimetrado. 
 
 
Geralmente, uma folha de papel milimetrado tem 280 mm no eixo 
vertical, e 180 mm no eixo horizontal, então, podemos usá-la nesta 
posição (“retrato”), ou em outra posição (“paisagem”) invertendo os 
eixos. A escolha entre as duas possibilidades deve ser baseada na 
otimização da construção do gráfico, visando ocupar a melhor área 
possível da folha. 
Entretanto, “ocupar a melhor área possível da folha” não significa que 
se deve usar a escala que preenche todo o papel. Deve-se escolher uma 
escala que facilite a leitura dos pontos experimentais, ou qualquer outro 
ponto representado no gráfico. 
Observe o intervalo de cada variável e veja a conveniência em usar a 
folha na forma retrato ou paisagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Figura 28: Papel milimetrado na forma RETRATO. 
 
 
 
 
 
Figura 29: Papel milimetrado na forma PAISAGEM. 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
Variável Dependente (Corrente (mA)): varia entre 11 mA e 360 mA. 
 
Variável Independente (Tempo (s)): varia entre 10 s e 80 s. 
 
Usaremos a folha na posição “RETRATO”. 
 
 
PASSO 3: Determinar as escalas. 
 
Variável Dependente: Corrente (mA) 
 
 Maior valor da grandeza: 360 mA 
 
 Menor valor da grandeza: 11 mA 
 
 Comprimento total do eixo vertical (retrato): 280 mm 
 
 Comprimento disponível no eixo vertical: 240 mm (280 mm – 40 
mm reservados para o título) 
 
 Cálculo do passo (p): 
𝑝 = 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
 
 
 Como queremos analisar a relação entre as grandezas de um 
modo mais geral, vamos começar a escala a partir do zero: 
 
𝑝 = 
(360 − 0) 𝑚𝐴
24,00 𝑐𝑚
 
 
𝒑 = 𝟏𝟓 ≈ 𝟐𝟎 𝒎𝑨/𝒄𝒎 
 
 
 
 
 
49 
 
Note que para cada centímetro no papel milimetrado, teremos 20 
mA na corrente. Iremos, portanto, utilizar 18,00 cm na vertical do 
papel milimetrado no formato retrato. 
 
Variável Independente: Tempo (s) 
 
 Maior valor da grandeza: 80 s 
 
 Menor valor da grandeza: 10 s 
 
 Comprimento disponível no eixo horizontal (retrato): 180 mm 
 
 Cálculo do passo (p): 
𝑝 = 
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑎𝑝𝑒𝑙
 
 
 Como queremos analisar a relação entre as grandezas de um 
modo mais geral, vamos começar a escala a partir do zero: 
 
𝑝 = 
(80 − 0) 𝑠
18,00 𝑐𝑚
 
 
𝒑 = 𝟒, 𝟒𝟒 ≈ 𝟓 𝒔/𝒄𝒎 
 
Note que para cada centímetro no papel milimetrado, teremos 5 
segundos no tempo. Iremos, portanto, utilizar 16,00 cm na 
horizontal do papel milimetrado no formato retrato. 
 
 
PRÓXIMOS PASSOS (Figura 30): 
 
 Construir as escalas no papel milimetrado e identificar os eixos 
com as respectivas grandezas e unidades. 
 
 
 
 
50 
 
 
 Marcação dos pontos experimentais. 
 
 Desenhar uma curva que melhor se ajusta aos pontos 
experimentais. 
 
 Colocar o título. 
 
 
Figura 30: Função Exponencial no papel milimetrado. 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Observe que a relação entre os pontos não é linear (Figura 30), o que 
dificulta a obtenção de uma relação entre as duas grandezas. Assim, 
vamos linearizar o gráfico utilizando papel monolog. 
Como a escala horizontal do papel monolog é milimetrada, podemos 
utilizar a mesma escala usada no gráfico do papel milimetrado. Assim, 
devemos determinar somente a escala logarítmica. Observando-se a 
tabela com os dados experimentais, verificamos que os valores da 
corrente vão de 11 mA até 360 mA. Dessa forma, temos valores que 
podem ser colocados em duas décadas, uma de 101 até 102 mA e outra 
de 102 mA até 103 mA (Figura 31). 
Figura 31: Função exponencial linearizada no papel monolog. 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Devemos lembrar que a relação entre as grandezas é expressa pela 
equação: 
𝑦 = 𝐴𝑒𝐵𝑥 
𝑰 = 𝑨𝒆𝑩𝒕 
Determinação dos coeficientes (A e B) a partir do gráfico monolog. 
 
A questão que se coloca agora é como obter os coeficientes A e B, a 
partir do gráfico construído em papel monolog. 
A partir do gráfico monolog (Figura 32), podemos obter: 
 Coeficiente linear (A) 
 
Observando-se o ponto onde a reta intercepta o eixo y, ou seja, o 
valor de y quando x=0, temos que: A = 600 mA. 
 
 Coeficiente angular (B) 
 
Determinando o coeficiente angular através de dois pontos 
pertencentes a reta, temos: 
 
𝐵 = 
ln 𝑦2 − ln 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
𝐵 = 
ln 30 − ln 350
60 − 10
 
 
𝐵 = 
3,40 − 5,858
50
 
 
𝑩 = − 𝟎, 𝟎𝟒𝟗 
 
Portanto, a relação entre as grandezas é: 
 
 
 
 
53 
 
 
𝑰 = 𝑨𝒆𝑩𝒕 
𝑰 = 𝟔𝟎𝟎𝒆−𝟎,𝟎𝟒𝟗𝒕 (mA) 
 
 
Figura 32: Cálculo dos coeficientes A e B da função exponencial. 
 
 
 
 
12. FUNÇÃO EXPONENCIAL – OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS 
POR PLANILHA ELETRONICA 
 
 
 
 
54 
 
 
Utilizaremos a planilha Excel para a construção do gráfico e para o 
ajuste da curva de tendência, com a correspondente apresentação da 
função ajustada aos pontos. 
12.1. Com os dados da tabela fornecida, monte uma tabela no 
Excel. Selecione-a e construa um gráfico de dispersão (Figura 
33) da corrente em função do tempo. 
 
OBSERVAÇÃO: Construa o gráfico apenas com os pontos, utilize 
a opção de não traçar curva para os pontos. Observe que estes 
pontos devem ter a forma de um arco de parábola. 
 
Figura 33: Pontos experimentais no papel milimetrado. 
 
 
 
 
12.2. Adicionar a linha de tendência do tipo Exponencial. Selecione a 
opção “Exibir equação no gráfico”. 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 
 
12.3. A partir da equação obtida no Excel, pode-se comparar com a 
equação obtida no papel dilog. 
 
Papel Monolog 
 
𝑰 = 𝟔𝟎𝟎 𝒆−𝟎,𝟎𝟒𝟗𝒕 (mA) 
 
Excel 
 
𝑰 = 𝟓𝟗𝟖, 𝟖𝟑 𝒆 −𝟎,𝟎𝟓𝒕 (mA) 
 
 
 
 
 
 
 
56