covariância, correlação e independencia

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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental
Aula 12
Prof. Carlos Henrique Ribeiro Lima
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
Universidade de Brasília
22 Setembro 2014
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Agenda
3 Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Covariância e Correlação. Independência.
4 Distribuição Normal Bivariada
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância
Objetivo: Obter um sumário da distribuição conjunta de duas
variáveis aleatórias, ou seja, ter um resumo da dependência linear
entre duas variáveis aleatórias.
Definição: Seja X e Y duas variáveis aleatórias com uma dada
distribuição conjunta e seja E (X ) = µX , E (Y ) = µY ,
Var(X ) = σ2X e Var(Y ) = σ2Y . A covariância entre X e Y é
definida por:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] .
Resultado: Se σ2X <∞ e σ2Y <∞, então Cov(X ,Y ) <∞.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância
Objetivo: Obter um sumário da distribuição conjunta de duas
variáveis aleatórias, ou seja, ter um resumo da dependência linear
entre duas variáveis aleatórias.
Definição: Seja X e Y duas variáveis aleatórias com uma dada
distribuição conjunta e seja E (X ) = µX , E (Y ) = µY ,
Var(X ) = σ2X e Var(Y ) = σ2Y . A covariância entre X e Y é
definida por:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] .
Resultado: Se σ2X <∞ e σ2Y <∞, então Cov(X ,Y ) <∞.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância
Objetivo: Obter um sumário da distribuição conjunta de duas
variáveis aleatórias, ou seja, ter um resumo da dependência linear
entre duas variáveis aleatórias.
Definição: Seja X e Y duas variáveis aleatórias com uma dada
distribuição conjunta e seja E (X ) = µX , E (Y ) = µY ,
Var(X ) = σ2X e Var(Y ) = σ2Y . A covariância entre X e Y é
definida por:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] .
Resultado: Se σ2X <∞ e σ2Y <∞, então Cov(X ,Y ) <∞.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância - Observações
1) O valor de Cov(X ,Y ) pode ser positivo, negativo ou zero.
2) Se a covariância for zero, não existe dependência linear
entre as variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre
elas e, portanto, não podemos afirmar que as variáveis
aleatórias são independentes.
3) Para variáveis independentes, a covariância zerá zero.
Resultado:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] = E (XY )− µXµY .
Se as variáveis forem independentes, então:
E (XY ) = E (X )E (Y ) = µXµY → Cov(X ,Y ) = 0.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância - Observações
1) O valor de Cov(X ,Y ) pode ser positivo, negativo ou zero.
2) Se a covariância for zero, não existe dependência linear
entre as variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre
elas e, portanto, não podemos afirmar que as variáveis
aleatórias são independentes.
3) Para variáveis independentes, a covariância zerá zero.
Resultado:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] = E (XY )− µXµY .
Se as variáveis forem independentes, então:
E (XY ) = E (X )E (Y ) = µXµY → Cov(X ,Y ) = 0.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância - Observações
1) O valor de Cov(X ,Y ) pode ser positivo, negativo ou zero.
2) Se a covariância for zero, não existe dependência linear
entre as variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre
elas e, portanto, não podemos afirmar que as variáveis
aleatórias são independentes.
3) Para variáveis independentes, a covariância zerá zero.
Resultado:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] = E (XY )− µXµY .
Se as variáveis forem independentes, então:
E (XY ) = E (X )E (Y ) = µXµY → Cov(X ,Y ) = 0.
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Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância - Observações
1) O valor de Cov(X ,Y ) pode ser positivo, negativo ou zero.
2) Se a covariância for zero, não existe dependência linear
entre as variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre
elas e, portanto, não podemos afirmar que as variáveis
aleatórias são independentes.
3) Para variáveis independentes, a covariância zerá zero.
Resultado:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] = E (XY )− µXµY .
Se as variáveis forem independentes, então:
E (XY ) = E (X )E (Y ) = µXµY → Cov(X ,Y ) = 0.
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Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância - Observações
1) O valor de Cov(X ,Y ) pode ser positivo, negativo ou zero.
2) Se a covariância for zero, não existe dependência linear
entre as variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre
elas e, portanto, não podemos afirmar que as variáveis
aleatórias são independentes.
3) Para variáveis independentes, a covariância zerá zero.
Resultado:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] = E (XY )− µXµY .
Se as variáveis forem independentes, então:
E (XY ) = E (X )E (Y ) = µXµY → Cov(X ,Y ) = 0.
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Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância - Observações
1) O valor de Cov(X ,Y ) pode ser positivo, negativo ou zero.
2) Se a covariância for zero, não existe dependência linear
entre as variáveis, mas pode haver outro tipo de relação entre
elas e, portanto, não podemos afirmar que as variáveis
aleatórias são independentes.
3) Para variáveis independentes, a covariância zerá zero.
Resultado:
Cov(X ,Y ) = σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] = E (XY )− µXµY .
Se as variáveis forem independentes, então:
E (XY ) = E (X )E (Y ) = µXµY → Cov(X ,Y ) = 0.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância e Independência
Dessa forma, temos que:
Independência → Cov(X ,Y ) = 0, mas
Independência 8 Cov(X ,Y ) = 0.
Observação:
E (XY ) =
∑∑
xy fXY (x , y), X e Y discretos;
E (XY ) =
∫ ∫
xyfXY (x , y)dxdy , X e Y contínuos.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Covariância e Independência
Dessa forma, temos que:
Independência → Cov(X ,Y ) = 0, mas
Independência 8 Cov(X ,Y ) = 0.
Observação:
E (XY ) =
∑∑
xy fXY (x , y), X e Y discretos;
E (XY ) =
∫ ∫
xyfXY (x , y)dxdy , X e Y contínuos.
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Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação.Independência.
Covariância e Independência
Dessa forma, temos que:
Independência → Cov(X ,Y ) = 0, mas
Independência 8 Cov(X ,Y ) = 0.
Observação:
E (XY ) =
∑∑
xy fXY (x , y), X e Y discretos;
E (XY ) =
∫ ∫
xyfXY (x , y)dxdy , X e Y contínuos.
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Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Exemplo
Seja X e Y duas variáveis aleatórias contínuas com função
densidade de probabilidade (fdp):
f (x , y) =
{
x + y , para 0 < x < 1 e 0 < y < 1,
0, para outros valores.
Determine Cov(X ,Y ).
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Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Exemplo
Seja X e Y duas variáveis aleatórias contínuas com função
densidade de probabilidade (fdp):
f (x , y) =
{
x + y , para 0 < x < 1 e 0 < y < 1,
0, para outros valores.
Determine Cov(X ,Y ).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Correlação
Qual o principal problema quando utilizamos a covariância para
medir a dependência linear entre duas variáveis aleatórias?
→ A escala das variáveis!
Definição: Se 0 < σ2X <∞ e 0 < σ2Y <∞, então a correlação
de X e Y , denotada por ρXY , é definida como:
ρXY =
Cov(X ,Y )
σX · σY =
σXY
σX · σY .
Resultado: Seja X e Y duas v.a.s com 0 < σ2X <∞ e
0 < σ2Y <∞. Então |ρXY | ≤ 1 .
|ρXY | = 1, se, e somente se, uma variável aleatória for função
linear da outra variável.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Correlação
Qual o principal problema quando utilizamos a covariância para
medir a dependência linear entre duas variáveis aleatórias?
→ A escala das variáveis!
Definição: Se 0 < σ2X <∞ e 0 < σ2Y <∞, então a correlação
de X e Y , denotada por ρXY , é definida como:
ρXY =
Cov(X ,Y )
σX · σY =
σXY
σX · σY .
Resultado: Seja X e Y duas v.a.s com 0 < σ2X <∞ e
0 < σ2Y <∞. Então |ρXY | ≤ 1 .
|ρXY | = 1, se, e somente se, uma variável aleatória for função
linear da outra variável.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Correlação
Qual o principal problema quando utilizamos a covariância para
medir a dependência linear entre duas variáveis aleatórias?
→ A escala das variáveis!
Definição: Se 0 < σ2X <∞ e 0 < σ2Y <∞, então a correlação
de X e Y , denotada por ρXY , é definida como:
ρXY =
Cov(X ,Y )
σX · σY =
σXY
σX · σY .
Resultado: Seja X e Y duas v.a.s com 0 < σ2X <∞ e
0 < σ2Y <∞. Então |ρXY | ≤ 1 .
|ρXY | = 1, se, e somente se, uma variável aleatória for função
linear da outra variável.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Correlação
Qual o principal problema quando utilizamos a covariância para
medir a dependência linear entre duas variáveis aleatórias?
→ A escala das variáveis!
Definição: Se 0 < σ2X <∞ e 0 < σ2Y <∞, então a correlação
de X e Y , denotada por ρXY , é definida como:
ρXY =
Cov(X ,Y )
σX · σY =
σXY
σX · σY .
Resultado: Seja X e Y duas v.a.s com 0 < σ2X <∞ e
0 < σ2Y <∞. Então |ρXY | ≤ 1 .
|ρXY | = 1, se, e somente se, uma variável aleatória for função
linear da outra variável.
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Exemplo
Para o exemplo anterior, determine ρXY .
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Distribuição Normal Bivariada Covariância e Correlação. Independência.
Independência
Se X e Y forem duas variáveis aleatórias independentes, então:
i) fXY (x , y) = fX (x) · fY (y);
ii) fY |x (y) = fY (y);
iii) fX |y (x) = fX (x);
iv) E (XY ) = E (X ) · E (Y );
v) σXY = ρXY = 0.
Observação importante: As condições i) a iii) implicam
independência, enquanto as condições iv) e v) não implicam.
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Independência
Se X e Y forem duas variáveis aleatórias independentes, então:
i) fXY (x , y) = fX (x) · fY (y);
ii) fY |x (y) = fY (y);
iii) fX |y (x) = fX (x);
iv) E (XY ) = E (X ) · E (Y );
v) σXY = ρXY = 0.
Observação importante: As condições i) a iii) implicam
independência, enquanto as condições iv) e v) não implicam.
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Independência
Se X e Y forem duas variáveis aleatórias independentes, então:
i) fXY (x , y) = fX (x) · fY (y);
ii) fY |x (y) = fY (y);
iii) fX |y (x) = fX (x);
iv) E (XY ) = E (X ) · E (Y );
v) σXY = ρXY = 0.
Observação importante: As condições i) a iii) implicam
independência, enquanto as condições iv) e v) não implicam.
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Independência
Se X e Y forem duas variáveis aleatórias independentes, então:
i) fXY (x , y) = fX (x) · fY (y);
ii) fY |x (y) = fY (y);
iii) fX |y (x) = fX (x);
iv) E (XY ) = E (X ) · E (Y );
v) σXY = ρXY = 0.
Observação importante: As condições i) a iii) implicam
independência, enquanto as condições iv) e v) não implicam.
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Independência
Se X e Y forem duas variáveis aleatórias independentes, então:
i) fXY (x , y) = fX (x) · fY (y);
ii) fY |x (y) = fY (y);
iii) fX |y (x) = fX (x);
iv) E (XY ) = E (X ) · E (Y );
v) σXY = ρXY = 0.
Observação importante: As condições i) a iii) implicam
independência, enquanto as condições iv) e v) não implicam.
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Independência
Se X e Y forem duas variáveis aleatórias independentes, então:
i) fXY (x , y) = fX (x) · fY (y);
ii) fY |x (y) = fY (y);
iii) fX |y (x) = fX (x);
iv) E (XY ) = E (X ) · E (Y );
v) σXY = ρXY = 0.
Observação importante: As condições i) a iii) implicam
independência, enquanto as condições iv) e v) não implicam.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Normal Bivariada
A função densidade de probabilidade de uma distribuição normal
bivariada é dada por:
fXY (x ,y)= 12piσXσY
√
1−ρ2
exp
{
− 12(1−ρ2)
[(
X−µX
σX
)2
− 2ρ(X−µX )(Y−µY )
σXσY
+
(
Y−µY
σY
)2]}
com parâmetros σX > 0, σY > 0, µX , µY e −1 < ρ < 1.
178 CHAPTER 5 JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS
The result that fXY (x, y; �X, �Y, �X, �Y, �) integrates to 1 is left as an exercise. Also, the bivari-
ate normal probability density function is positive over the entire plane of real numbers.
Two examples of bivariatenormal distributions are illustrated in Fig. 5-17 along with
corresponding contour plots. Each curve on the contour plots is a set of points for which the
probability density function is constant. As seen in the contour plots, the bivariate normal
probability density function is constant on ellipses in the (x, y) plane. (We can consider a circle
to be a special case of an ellipse.) The center of each ellipse is at the point (�X, �Y). If � � 0
(� � 0), the major axis of each ellipse has positive (negative) slope, respectively. If � � 0, the
major axis of the ellipse is aligned with either the x or y coordinate axis.
EXAMPLE 5-28
The joint probability density function 
is a special case of a bivariate normal 
distribution with �X � 1, �Y � 1, �X � 0, �Y � 0, and � � 0.
1
12�
 e�0.51x
2
y22
fXY 1x, y2 � This probability density function is illustrated in Fig. 5-18.
Notice that the contour plot consists of concentric circles
about the origin.
Figure 5-17 Examples of bivariate normal distributions.
x
y
fXY(x, y)
fXY(x, y)
y
x
0
x
y
y
x
�X �X �X�X
�Y
�Y �Y
�Y
fXY(x, y)
Figure 5-18 Bivariate normal probability density
function with �X � 1, �Y � 1, � � 0, �X � 0, and 
�Y � 0.
0
0
x
y
fXY(x, y)
x
0
y
0
x
z
y
Figure 5-19 Marginal probability
density functions of a bivariate
normal distribution.
The following results can be shown for a bivariate normal distribution. The details are left
as an exercise.
If X and Y have a bivariate normal distribution with joint probability density fXY (x, y;
�X, �Y, �X, �Y, �), the marginal probability distributions of X and Y are normal
with means �X and �Y and standard deviations �X and �Y, respectively. (5-21)
Marginal
Distributions of
Bivariate Normal
Random Variables
Figure 5-19 illustrates that the marginal probability distributions of X and Y are normal. 
JWCL232_c05_152-190.qxd 1/7/10 2:33 PM Page 178
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Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Normal Bivariada
A função densidade de probabilidade de uma distribuição normal
bivariada é dada por:
fXY (x ,y)= 12piσXσY
√
1−ρ2
exp
{
− 12(1−ρ2)
[(
X−µX
σX
)2
− 2ρ(X−µX )(Y−µY )
σXσY
+
(
Y−µY
σY
)2]}
com parâmetros σX > 0, σY > 0, µX , µY e −1 < ρ < 1.
178 CHAPTER 5 JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS
The result that fXY (x, y; �X, �Y, �X, �Y, �) integrates to 1 is left as an exercise. Also, the bivari-
ate normal probability density function is positive over the entire plane of real numbers.
Two examples of bivariate normal distributions are illustrated in Fig. 5-17 along with
corresponding contour plots. Each curve on the contour plots is a set of points for which the
probability density function is constant. As seen in the contour plots, the bivariate normal
probability density function is constant on ellipses in the (x, y) plane. (We can consider a circle
to be a special case of an ellipse.) The center of each ellipse is at the point (�X, �Y). If � � 0
(� � 0), the major axis of each ellipse has positive (negative) slope, respectively. If � � 0, the
major axis of the ellipse is aligned with either the x or y coordinate axis.
EXAMPLE 5-28
The joint probability density function 
is a special case of a bivariate normal 
distribution with �X � 1, �Y � 1, �X � 0, �Y � 0, and � � 0.
1
12�
 e�0.51x
2
y22
fXY 1x, y2 � This probability density function is illustrated in Fig. 5-18.
Notice that the contour plot consists of concentric circles
about the origin.
Figure 5-17 Examples of bivariate normal distributions.
x
y
fXY(x, y)
fXY(x, y)
y
x
0
x
y
y
x
�X �X �X�X
�Y
�Y �Y
�Y
fXY(x, y)
Figure 5-18 Bivariate normal probability density
function with �X � 1, �Y � 1, � � 0, �X � 0, and 
�Y � 0.
0
0
x
y
fXY(x, y)
x
0
y
0
x
z
y
Figure 5-19 Marginal probability
density functions of a bivariate
normal distribution.
The following results can be shown for a bivariate normal distribution. The details are left
as an exercise.
If X and Y have a bivariate normal distribution with joint probability density fXY (x, y;
�X, �Y, �X, �Y, �), the marginal probability distributions of X and Y are normal
with means �X and �Y and standard deviations �X and �Y, respectively. (5-21)
Marginal
Distributions of
Bivariate Normal
Random Variables
Figure 5-19 illustrates that the marginal probability distributions of X and Y are normal. 
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Normal Bivariada
A função densidade de probabilidade de uma distribuição normal
bivariada é dada por:
fXY (x ,y)= 12piσXσY
√
1−ρ2
exp
{
− 12(1−ρ2)
[(
X−µX
σX
)2
− 2ρ(X−µX )(Y−µY )
σXσY
+
(
Y−µY
σY
)2]}
com parâmetros σX > 0, σY > 0, µX , µY e −1 < ρ < 1.
178 CHAPTER 5 JOINT PROBABILITY DISTRIBUTIONS
The result that fXY (x, y; �X, �Y, �X, �Y, �) integrates to 1 is left as an exercise. Also, the bivari-
ate normal probability density function is positive over the entire plane of real numbers.
Two examples of bivariate normal distributions are illustrated in Fig. 5-17 along with
corresponding contour plots. Each curve on the contour plots is a set of points for which the
probability density function is constant. As seen in the contour plots, the bivariate normal
probability density function is constant on ellipses in the (x, y) plane. (We can consider a circle
to be a special case of an ellipse.) The center of each ellipse is at the point (�X, �Y). If � � 0
(� � 0), the major axis of each ellipse has positive (negative) slope, respectively. If � � 0, the
major axis of the ellipse is aligned with either the x or y coordinate axis.
EXAMPLE 5-28
The joint probability density function 
is a special case of a bivariate normal 
distribution with �X � 1, �Y � 1, �X � 0, �Y � 0, and � � 0.
1
12�
 e�0.51x
2
y22
fXY 1x, y2 � This probability density function is illustrated in Fig. 5-18.
Notice that the contour plot consists of concentric circles
about the origin.
Figure 5-17 Examples of bivariate normal distributions.
x
y
fXY(x, y)
fXY(x, y)
y
x
0
x
y
y
x
�X �X �X�X
�Y
�Y �Y
�Y
fXY(x, y)
Figure 5-18 Bivariate normal probability density
function with �X � 1, �Y � 1, � � 0, �X � 0, and 
�Y � 0.
0
0
x
y
fXY(x, y)
x
0
y
0
x
z
y
Figure 5-19 Marginal probability
density functions of a bivariate
normal distribution.
The following results can be shown for a bivariate normal distribution. The details are left
as an exercise.
If X and Y have a bivariate normal distribution with joint probability density fXY (x, y;
�X, �Y, �X, �Y, �), the marginal probability distributions of X and Y are normal
with means �X and �Y and standard deviations �X and �Y, respectively. (5-21)
Marginal
Distributions of
Bivariate Normal
Random Variables
Figure 5-19 illustrates that the marginal probability distributions of X and Y are normal. 
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuições Marginais e Condicionais
Distribuições Marginais
X ∼ N(µX , σ2X )
Y ∼ N(µY , σ2Y ).
Distribuições Condicionais
A distribuição condicional de Y , dado que X = x , é normal com
média
µY |x = µY − µX · ρ ·
σY
σX
+
σY
σX
· ρ · x
e variância:
σ2Y |x = σ
2
Y (1− ρ2).
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Distribuições de ProbabilidadesConjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuições Marginais e Condicionais
Distribuições Marginais
X ∼ N(µX , σ2X )
Y ∼ N(µY , σ2Y ).
Distribuições Condicionais
A distribuição condicional de Y , dado que X = x , é normal com
média
µY |x = µY − µX · ρ ·
σY
σX
+
σY
σX
· ρ · x
e variância:
σ2Y |x = σ
2
Y (1− ρ2).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuições Marginais e Condicionais
Distribuições Marginais
X ∼ N(µX , σ2X )
Y ∼ N(µY , σ2Y ).
Distribuições Condicionais
A distribuição condicional de Y , dado que X = x , é normal com
média
µY |x = µY − µX · ρ ·
σY
σX
+
σY
σX
· ρ · x
e variância:
σ2Y |x = σ
2
Y (1− ρ2).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuições Marginais e Condicionais
Distribuições Marginais
X ∼ N(µX , σ2X )
Y ∼ N(µY , σ2Y ).
Distribuições Condicionais
A distribuição condicional de Y , dado que X = x , é normal com
média
µY |x = µY − µX · ρ ·
σY
σX
+
σY
σX
· ρ · x
e variância:
σ2Y |x = σ
2
Y (1− ρ2).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuições Marginais e Condicionais
Distribuições Marginais
X ∼ N(µX , σ2X )
Y ∼ N(µY , σ2Y ).
Distribuições Condicionais
A distribuição condicional de Y , dado que X = x , é normal com
média
µY |x = µY − µX · ρ ·
σY
σX
+
σY
σX
· ρ · x
e variância:
σ2Y |x = σ
2
Y (1− ρ2).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuições Marginais e Condicionais
Distribuições Marginais
X ∼ N(µX , σ2X )
Y ∼ N(µY , σ2Y ).
Distribuições Condicionais
A distribuição condicional de Y , dado que X = x , é normal com
média
µY |x = µY − µX · ρ ·
σY
σX
+
σY
σX
· ρ · x
e variância:
σ2Y |x = σ
2
Y (1− ρ2).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Distribuição Condicional
distributed (or, f(x|y = y0) ∼ N (µx|y=y0, σ2x|y=y0)). The conditional mean and variance of x, given
that y = y0 is:
µx|y=y0 = µx + ρσx
(y − µy)
σy
(6)
σx|y=y0 = σx
√
1− ρ2 (7)
From these parameters, we can determine the probability that x will fall in a given range x0 ≤ x ≤
x1 from the normal distribution. This point is illustrated in Figure 3.
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
f(x) 
 f(x|y=1.5)
Figure 3: Conditional Probability from the Bivariate Normal Distribution. Top: bivariate normal
distribution based on a correlation of 0.4. Bottom: conditional distribution for variable x, given that
variable y = 1.5. The shading indicates the probability that x will exceed 1.5 standard deviations
if nothing is known about y (dark shading for lower curve), and if it is known that y = 1.5 (light
shading for upper curve). Note the large difference in probabilities, though the correlation is not
exceptionally high.
3
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Independência
Fato: Se X e Y tiverem uma distribuição normal bivariada com
ρ = 0, então X e Y são independentes.
Nesse caso, a função densidade de probabilidade conjunta
fXY (x , y) é dada por:
fXY (x ,y)=fX (x)·gY (y)= 12piσXσY ·exp
{
− 12
[(
x−µX
σX
)2
+
(
y−µY
σY
)2]}
.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Independência
Fato: Se X e Y tiverem uma distribuição normal bivariada com
ρ = 0, então X e Y são independentes.
Nesse caso, a função densidade de probabilidade conjunta
fXY (x , y) é dada por:
fXY (x ,y)=fX (x)·gY (y)= 12piσXσY ·exp
{
− 12
[(
x−µX
σX
)2
+
(
y−µY
σY
)2]}
.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Independência
Fato: Se X e Y tiverem uma distribuição normal bivariada com
ρ = 0, então X e Y são independentes.
Nesse caso, a função densidade de probabilidade conjunta
fXY (x , y) é dada por:
fXY (x ,y)=fX (x)·gY (y)= 12piσXσY ·exp
{
− 12
[(
x−µX
σX
)2
+
(
y−µY
σY
)2]}
.
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Exemplo
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
SOI vs CTI. ρ = −0.8
CTI
SO
I
Figure 2: Scatterplot of the standardized Cold Tongue Index (x axis) and the standardized Southern
Oscillation Index (y-axis).
and y1 (or, P{y0 ≤ y ≤ y1 ∩ x0 ≤ x ≤ x1}) is just the volume integral under the surface f(x, y):
P{y0 ≤ y ≤ y1 ∩ x0 ≤ x ≤ x1} =
∫ y2
y1
∫ x2
x1
f(x, y)dxdy (4)
This integration is typically done numerically.
For normalized variables zx = (x−µx)/σx and zy = (y−µy)/σy , the bivariate normal PDF becomes:
f(zx, zy) =
1
2pi
√
1− ρ2 exp
[
−z
2
x + z
2
y − 2ρzxzy
2(1− ρ2)
]
(5)
The bivariate standard normal distribution has a maximum at the origin. Note that the only
parameter in the bivariate standard normal distribution is the correlation ρ between x and y. If x
and y are independent (ρ = 0) then the surfaces of constant f(x, y) are concentric circles around
the origin. As ρ increases, the distribution is stretched diagonally, forming elliptical isopleths with
positive sloped major axes. For negative ρ, the major axes have a negative slope. Figure 1 depicts
the bivariate standard normal distribution based on a correlation ρ = −0.8 between the Cold
Tongue Index (CTI; SST averaged along the equator) and the Southern Oscillation Index (SOI;
SLP at Tahiti minus SLP at Darwin, or equivalent). Figure 2 depicts the scatterplot of the CTI
and the SOI, which graphically serves the same purpose as a histogram would for a univariate
distribution.
A powerful feature of the bivariate normal distribution is that the conditional probability distri-
bution function for one of the variables, given a known value for the other variable, is normally
2
The Bivariate Normal Distribution
Most of the following discussion is taken from Wilks, Statistical Methods in the Atmospheric Sci-
ences, section 4.5.
First, lets define the bivariate normal distribution for two related, normally distributed variables
x ∼ N (µx, σ2x), and x ∼ N (µy, σ2y). Then, the bivariate normal distribution is defined by the
following probability density function:
f(x, y) =
1
2piσxσy
√
1− ρ2 exp
[
− 1
2(1− ρ2)
[(
x− µx
σx
)2
+
(
y − µy
σy
)2
− 2ρ
(
x− µx
σx
)(
x− µy
σy
)]]
(1)
The bivariate normal PDF difines a surface in the x−y plane (see Figure 1). Like its one dimensional
counterpart, the bivariate normal distribution has the following properties:∫
y
∫
x
f(x, y)dxdy = 1 (2)
f(x, y) >= 0 (3)
As might be inferred, the probability of observing a value x between x0andx1, and y between y0
−10
−8 −6
−4
−2
0 2
4
6 8
10
−10
−5
0
5
10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
CTI
Bivariate PDF based on CTI and SOI
SOI
Figure 1: Bivariate Normal PDF calculated for parameters based on the Cold Tongue Index (x
axis) and the Southern Oscillation Index (y-axis).
1
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Distribuiçõesde Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Exemplo 5-48
Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é
gradualmente adicionada(o) ao outro até que eles estejam
completamente neutralizados. Sejam X e Y os mililitros de ácido e
de base necessários para a equivalência, respectivamente.
Considere que X e Y tenham uma distribuição normal bivariada,
com σX = 5 mL, σY = 2 mL, µX = 120 mL, µY = 100 mL e
ρ = 0, 6.
Determine o seguinte:
a) Covariância entre X e Y ;
b) Distribuição de probabilidades marginal de X ;
c) P(X < 116);
d) Distribuição de probabilidades condicionais de X , dado que
Y = 102;
e) P(X < 116|Y = 102).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Exemplo 5-48
Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é
gradualmente adicionada(o) ao outro até que eles estejam
completamente neutralizados. Sejam X e Y os mililitros de ácido e
de base necessários para a equivalência, respectivamente.
Considere que X e Y tenham uma distribuição normal bivariada,
com σX = 5 mL, σY = 2 mL, µX = 120 mL, µY = 100 mL e
ρ = 0, 6. Determine o seguinte:
a) Covariância entre X e Y ;
b) Distribuição de probabilidades marginal de X ;
c) P(X < 116);
d) Distribuição de probabilidades condicionais de X , dado que
Y = 102;
e) P(X < 116|Y = 102).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Exemplo 5-48
Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é
gradualmente adicionada(o) ao outro até que eles estejam
completamente neutralizados. Sejam X e Y os mililitros de ácido e
de base necessários para a equivalência, respectivamente.
Considere que X e Y tenham uma distribuição normal bivariada,
com σX = 5 mL, σY = 2 mL, µX = 120 mL, µY = 100 mL e
ρ = 0, 6. Determine o seguinte:
a) Covariância entre X e Y ;
b) Distribuição de probabilidades marginal de X ;
c) P(X < 116);
d) Distribuição de probabilidades condicionais de X , dado que
Y = 102;
e) P(X < 116|Y = 102).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Exemplo 5-48
Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é
gradualmente adicionada(o) ao outro até que eles estejam
completamente neutralizados. Sejam X e Y os mililitros de ácido e
de base necessários para a equivalência, respectivamente.
Considere que X e Y tenham uma distribuição normal bivariada,
com σX = 5 mL, σY = 2 mL, µX = 120 mL, µY = 100 mL e
ρ = 0, 6. Determine o seguinte:
a) Covariância entre X e Y ;
b) Distribuição de probabilidades marginal de X ;
c) P(X < 116);
d) Distribuição de probabilidades condicionais de X , dado que
Y = 102;
e) P(X < 116|Y = 102).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Exemplo 5-48
Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é
gradualmente adicionada(o) ao outro até que eles estejam
completamente neutralizados. Sejam X e Y os mililitros de ácido e
de base necessários para a equivalência, respectivamente.
Considere que X e Y tenham uma distribuição normal bivariada,
com σX = 5 mL, σY = 2 mL, µX = 120 mL, µY = 100 mL e
ρ = 0, 6. Determine o seguinte:
a) Covariância entre X e Y ;
b) Distribuição de probabilidades marginal de X ;
c) P(X < 116);
d) Distribuição de probabilidades condicionais de X , dado que
Y = 102;
e) P(X < 116|Y = 102).
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Distribuição Normal Bivariada
Exemplo 5-48
Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é
gradualmente adicionada(o) ao outro até que eles estejam
completamente neutralizados. Sejam X e Y os mililitros de ácido e
de base necessários para a equivalência, respectivamente.
Considere que X e Y tenham uma distribuição normal bivariada,
com σX = 5 mL, σY = 2 mL, µX = 120 mL, µY = 100 mL e
ρ = 0, 6. Determine o seguinte:
a) Covariância entre X e Y ;
b) Distribuição de probabilidades marginal de X ;
c) P(X < 116);
d) Distribuição de probabilidades condicionais de X , dado que
Y = 102;
e) P(X < 116|Y = 102).
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Distribuições de Probabilidades Conjuntas
Distribuição Normal Bivariada
Exemplo 5-48
Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é
gradualmente adicionada(o) ao outro até que eles estejam
completamente neutralizados. Sejam X e Y os mililitros de ácido e
de base necessários para a equivalência, respectivamente.
Considere que X e Y tenham uma distribuição normal bivariada,
com σX = 5 mL, σY = 2 mL, µX = 120 mL, µY = 100 mL e
ρ = 0, 6. Determine o seguinte:
a) Covariância entre X e Y ;
b) Distribuição de probabilidades marginal de X ;
c) P(X < 116);
d) Distribuição de probabilidades condicionais de X , dado que
Y = 102;
e) P(X < 116|Y = 102).
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	Covariância e Correlação. Independência.
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