Perdas de Protensao Exercício

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1
CIV 457 - CONCRETO PROTENDIDO
Perdas de Protensão
Gustavo de Souza Veríssimo & Kléos M Lenz César Jr
Concreto Protendido - Fundamentos Básicos
Universidade Federal de Viçosa, novembro de 1998.
��
��
��
��
20,0 m
����
����
����
����
����
����
����
16
40 cm
20 
20 
60
A) Propriedades da seção
Ac cm= × × + × =20 40 2 16 60 2 560 2.
y cm= 50
J cm4= × − × × =40 100
12
2
12 60
12
2 901333
3 3
. .
 cm3W
J
y
= = =2 901333
50
58 027
. .
.
B) Materiais
Concreto: fck = 30 MPa
E fc ck= × + = × + = kgf / cm20 9 21000 35 0 9 21000 300 35 345927, . , . .
Aço: CP 190 RB
E = 1.950.000 kgf/cm2
fptk = 19.000 kgf/cm2
fpyk = 17.100 kgf/cm2
2
C) Cargas
Peso próprio:
g Ac c= × = × =γ 2 56010 000 2 500 640
.
.
. kgf / m
Sobrecarga:
q = 1.600 kgf/m
D) Tipo de protensão
Protensão limitada - pós-tensão com bainha metálica
E) Traçado dos cabos
20 cm
20 cm
30 cm
20
20
10
10
10
P1
P2
P3
������
������
������
������
������
������
������
������
������
20
20
30
posição dos cabos
na ancoragem
������
������
������
������
������
������
������
������
������
10
20
10
posição dos cabos
no centro do vão
Admitindo que cada cabo terá a mesma força de protensão (P):
Mp = P ( 20 + 30 + 40 ) = 90 P
3
F) Cálculo das tensões
M
g L
g = = × = = kgf.m kgf.cm
2 2
8
640 20
8
32 000 3200 000. . .
M
q L
q = = × = = 1. kgf.m kgf.cm
2 2
8
600 20
8
80 000 8 000 000. . .
σg g
M
W
= ± = = 55,15 kgf / cm23200 000
58 027
. .
.
σq q
M
W
= ± = = 137,87 kgf / cm28 000 000
58 027
. .
.
G) Estimativa da força de protensão
⇒ Para protensão limitada:
⇒ Combinação frequente de ações (estado limite de formação de fissuras):
Para seção T no estado limite de formação de fissuras:
σctM ctkf ≤ 1 2,
σctM ckf (0,06 (0,06 MPa≤ + = × + =1 2 0 7 1 2 30 0 7 3 0, , ) , , ) ,
adotado ψ1 = 0,6
σ σ σg p q+ + ≤∞ 0 6 30, kgf / cm2
5515 0 6 137,87 30 107 87, , ,+ ∞ + × ≤ ∴ ≤ −∞σ σp p kgf / cm kgf / cm2 2
W
P
A
P
W
M
A
P
c
p
c
p
 90 3 3 ∞∞∞
∞ +=+=σ
2kgf/cm 87,107 
027.58
90
560.2
3 −=

 +∞P
kgf 616.39 −=∞P ⇒ força por cabo
⇒ Combinação quase-permanente de ações (est. limite de descompressão):
adotado ψ2 = 0,4
σ σ σg p q+ + ≤∞ 0 4 0, 
σ p∞ ≤ − kgf / cm2110 30,
2kgf/cm 30,110 
027.58
90
560.2
3 −=

 +∞P
kgf 509.40 −=∞P ⇒ força por cabo
4
Para pós-tensão e aço RB, admitindo-se 20 % de perdas, tem-se:
 
 kgf / cm
 kgf / cm
2
2σ pi ptk
pyk
f
f
≤ = × == × =



0 77 0 77 19 000 14 630
0 86 0 86 17 100 14 706
, , . .
, , . .
kgf 50.636 
8,0
509.40 
8,0
= ==∞PPi
H) Dimensionamento da armadura ativa
2cm 46,3 
630.14
636.50 
 ===
pi
i
p
PA σ
designação bitola (mm) área (cm2) n n × A folga
CP 190 RB 9,5 9,5 0,548 7 3,84 11 %
CP 190 RB 11 11,0 0,742 5 3,71 7 %
CP 190 RB 12,7 12,7 0,987 4 3,95 14 %
CP 190 RB 15,2 15,2 1,400 3 4,20 21 %
SOLUÇÃO: adotar 5 φ 11,0
P Ai pi p= = × = 54 kgfσ . . , .14 630 3 71 277
25,0
277.54
509.4011folga =−=−= ∞
iP
P ⇒ 25% de folga
Nesse ponto, P1 = P2 = P3. Como as curvaturas dos cabos são diferentes, cada cabo
sofrerá uma perda por atrito diferente e ao final das perdas, P1 ≠ P2 ≠ P3.
I) Cálculo das perdas de protensão
I.1 - Cálculo das perdas por acomodação da ancoragem:
Admitindo que:
• o cabo penetra δ = 6,0 mm na ancoragem individual por cordoalha;
• os cabos serão protendidos pelas duas pontas, ou seja, ambas as ancoragens são
ativas.
L = 20 m = 20.000 mm
∆L = 6 + 6 = 12 mm
ε p LL= = = ×
− 
∆ 12
20 000
600 10 6
.
ε σP p pE× = = × × =− 600 kgf / cm2∆ 10 1950 000 11706 . . .
% 0,8 08,0 
630.14
170.1 ===∆
pi
p
σ
σ
5
I.2 - Cálculo das perdas por atrito:
- Curvatura dos cabos:
θ/2
x
yα
θ
2
θ
2
θ/2
tg 
 α = y
x
α = 

arctg 
x
y
αθθα 2
2
 
2
2 =∴=
cabo x y tg α α [rad] θ /2 = 2α [rad]
1 1.000 40 0,04 0,04 0,08
2 1.000 30 0,03 0,03 0,06
3 1.000 20 0,02 0,02 0,04
coeficiente de atrito (cordoalha-bainha): µ = 0,20
atrito devido à ondulação parasita: β = 0,017 rad/m
( )∆ ΣP x P ei x( ) ( )= − − + 1 µ α β
No centro do vão, x = 10 m:
cabo Pi (kgf) Σ α = θ /2 β.x ∆P(x) ∆P/P perda
1 54.277 0,08 0,1700 2647 0,0488 4,88 %
2 54.277 0,06 0,1700 2440 0,0450 4,50 %
3 54.277 0,04 0,1700 2232 0,0411 4,11 %
I.3 - Perdas por deformação imediata o concreto:
Será admitido que as cinco cordoalhas de cada cabo serão protendidas simultaneamente.
Assim, o número de cabos a considerar é n = 3.
Valores da força de protensão descontadas as perdas por atrito e encunhamento:
P1 = 54.277 ( 1 - 0,08 - 0,0488 ) = 47.286 kgf
P2 = 54.277 ( 1 - 0,08 - 0,0450 ) = 47.492 kgf
P3 = 54.277 ( 1 - 0,08 - 0,0411 ) = 47.704 kgf
Como o cabo 2 ocupa uma posição intermediária, vamos usá-lo como referência.
6
As tensões na seção no centro do vão serão:
- coordenada y do cabo 2 no centro do vão: y = 30 cm
 
 
 
 
 + 33,09 kgf / cm2σg g
M
J
y= ± × = × =3200 000
2 901333
30
. .
. .
kgf.cm 280.274.4 30492.473 =××=pM
2kgf/cm ,8599 30
333.901.2
4.274.280 
560.2
3.49247 −=×−×−=Pσ
α = = =E
E
p
c
1950 000
345927
5 64
. .
.
,
( )∆σ α σ σp cp cg n n= + − 12
2kgf/cm 125,51 = 
32
13)09,3385,99(64,5 −×
−×+−×=∆ Pσ
% 86,0 
630.14
51,125 ==∆=
Pi
Pperda σ
σ
kgf084.47 
100
86,01 492.47 2 =

 −=oP
Totalização das perdas imediatas:
na ancoragem: 8,00 %
por atrito dos cabos: 4,50 %
por deformação imediata do concreto: 0,86 %
total: 13,36 %
I.4 - Perdas devido à retração do concreto:
dados admitidos:
umidade relativa: U = 60 %
temperatura média: T = 22° C
slump: 8,0 cm
tempo inicial: to = 28 dias
tempo final: t = 3.000 dias (aprox. 8 anos)
ε1
2
66 16
484 1590
10 000 401 982 10s
U U= − − +

 ÷ = − ×
− ,
.
. ,
( )γ = + =− +1 11657 8 0 1 e U, , ,
7
h
A
ufic
c
ar
 
 
 
 .560 
 cm= = × =γ 2 1165 2 2
288
20 711, , = 0,207 m
ε2
0 33 2
0 21 3
0 895s
fic
fic
h
h
= ++ = 
 
 
 
,
,
,
ε ε εcs s s∞ − −= × = − × × = − × 401,982 ,895 1 2 6 610 0 359 774 10,
A = 40
B = 116 h3 - 282 h2 + 220 h - 4,8 = 29,685
C = 2,5 h3 - 8,8 h + 40,7 = 38,901
D = -75 h3 + 585 h2 + 496 h - 6,8 = 120,273
E = -169 h4 + 88 h3 + 584 h2 - 39 h + 0,8 = 18,221
( hfic = 0,207 m )
βs t
t
A
t
B
t
t
C
t
D
t
E
( ) =



 +



 +







 +



 +



 +
100 100 100
100 100 100
3 2
3 2
 
 
idade fictícia o concreto:
retração: α = 1
to fic_ ,= + × =22 1030 28 29 867 dias
t fic = + × =22 1030 3 000 3200. . dias
βs t( ) ,= 0 977
βs ot( ) ,= 0 216
( ) ( )[ ]ε ε β βcs o cs s s ot t t t( , ) = − =∞ 
[ ]= − × − = − ×− − 359 774 10 0 977 0 216 273 788 106 6, , , ,
∆σ εPs p cs oE t t -1.950.000 (-273,788 10 ) 533,89 kgf / cm-6 2= − = × × =( , )
perda Ps
Pi
 3,65 %= = =∆σσ
533 89
14 630
,
.
encurtamento da peça:
∆L t t Lcs o - 273,788 10 .000 -5,48 mm-6= × = × × =ε ( , ) 20
I.5 - Perdas devido à fluência do concreto:
8
( ) ( )[ ]φ φ φ β β φ β( , )t t t to a f f f o d d = + − +∞ ∞
idade fictícia o concreto:
- para cimento CP, α = 2 no cálculo do coeficiente de fluência. Assim,
to fic_ ,= × + × =2 22 1030 28 59 733 dias
t fic = × + × =2 22 1030 30006 400. . dias
f t
f t
t t
t t
c o
c
o o
o o
( )
( )
( )
( )( )
,
∞
= ++ + =
9 42
9 40 61
0 784
φa c o
c
f t
f t
 = −

 =∞0 8 1 0 173,
( )
( )
,
φ1c = 4,45 - 0,035 U = 2,350
φ2
0 42
0 20
1 540c
fic
fic
h
h
 = ++ =
,
,
,
φf∞ = φ1c × φ2c = 2,350 - 1,540 = 3,620
φd∞ = 0,4
βd o
o
t t
t t
 
 
 = − +− + =
20
70
0 992,
A = 42 h3 - 350 h2 + 588 h + 113 = 220,14
B = 768 h3 - 3060 h2 + 3234 h - 23 = 522,36
C = -200 h3 + 13 h2 + 1090 h + 183 = 407,53
D = 7579 h3 -31916 h2 + 35343 h + 1931 = 7949,20
β f t t A t Bt C t D( ) , 
 
 
 = + ++ + =
2
2 0 972
β f o o o
o o
t
t A t B
t C t D
( ) , 
 
 
 = + ++ + =
2
2 0 481
[ ]φ( , ) , ,t to ,173 3,620 ,4 ,992 2,347= + − + × =0 0 972 0 481 0 0
( ) ( ) kN026.471336,01277.54%36,131 =−=−= io PP
na altura da fibra correspondente ao cabo 2:
9
2kgf/cm87,9830
333.901.2
30026.473
560.2
026.47330
3033 −=×××−×−=××−−=
J
P
A
P o
c
o
cPoσ
2kgf/cm 675.12
71,3
026.47 ===
p
o
Po A
Pσ
∆σ α φ σ σ
α σσ
φφP
cg cPo
cPo
Po
= −
− +


= 
 
( )
1 1
2
2kgf/cm 80,962 
 
2
347,21
675.12
87,98,6451 
),879809,33(,3472,645 −=


 +×−
−×=∆ φσ P
% 6,58 
630.14
80,962 ==∆=
Pi
Pperda σ
σ φ
I.6 - Perdas devido à relaxação do aço de protensão:
tempo inicial: to = 28 dias
tempo final: t = 3.000 dias (aprox. 8 anos)
aço RB
σ Pi
ptkf
= =14 630
19 000
0 77.
.
, ⇒ ψ1000 = 0,032 (3,2 %)
% 061,0
1000
24)28000.3( 320,0 
1000
 ),(
15,015,0
1000 =

 ×−=

 −= horastttt oo ψψ
a perda por relaxação pura será:
 kgf/cm 887,94 = 061,04.6301 = ),( . ),( 2Pr ×=∆ oPoi tttt i ψσσ
As perdas de protensão devido à retração e à fluência do concreto são:
 kgf/cm 1497 = 962,80 533,89 2, +=∆ +φσ sP
2,
PrPr kgf/cm 797,08 = 630.14
14971 887,94 = 1 ),( 

 −


 ∆−∆=∆ +
i
i
P
sP
ott σ
σσσ φ
% 5,45 
630.14
08,797 Pr ==∆=
Pi
perda σ
σ
I.7 - Totalização das perdas:
na ancoragem: 8,00 %
10
por atrito dos cabos: 4,50 %
por deformação imediata do concreto: 0,86 %
devido à retração do concreto: 3,65 %
devido à fluência do concreto: 6,58 %
devido à relaxação do aço de protensão: 5,45 %
total: 29,04 %
I.8 - Ajuste da armadura:
As perdas estimadas inicialmente foram de 20 % e o ajuste da armadura ativa conduziu
a uma folga total de 25 % em relação à força de protensão teoricamente necessária.
Pode-se corrigir a força de protensão e a armadura ativa ou adotar a primeira solução
com um erro de ≈ 4 %.
Adotar uma cordoalha a mais de 11,5 resultaria em:
6 φ 11,5 mm ⇒ Ap = 4,45 cm2 ⇒ Pi = 65.133 kgf ⇒ folga de 37,8%
Adotar 4 cordoalhas de 1/2" resultaria em:
4 φ 12,7 mm ⇒ Ap = 3,95 cm2 ⇒ Pi = 57.759 kgf ⇒ folga de 29,9%
Percebe-se. Sem necessidade de novos cálculos, que a adoção de 4 φ 12,7 mm dará uma
aproximação melhor do que 6 φ 11,5 mm. Recomenda-se, portanto, adotar 4 φ 12,7 mm.
Assim, considerando aproximadamente 30% de perdas, Po ≈ 40.431 kgf.