Introdução à Met Dinâmica - Holton (cap. 2)

Prévia do material em texto

1 
CAPÍTULO II 
 
LEIS BÁSICAS DE CO�SERVAÇÃO 
 Os movimentos atmosféricos são governados por três princípios físicos 
fundamentais que são: conservação de massa, conservação de momento e conservação 
de energia. As relações matemáticas que expressam estas leis podem ser obtidas por 
considerações de equilíbrio (balanço) de massa, momento e energia, para um volume de 
controle infinitesimal dentro do fluido. 
 Dois tipos de volume de controle são normalmente utilizados. No sistema de 
referência Euleriano o volume de controle consiste de um paralelepípedo de lados δx, 
δy e δz cuja posição é fixa relativa aos eixos coordenados. Balanços de massa, momento 
e energia dependerão dos fluxos devidos ao escoamento do fluido, através dos 
contornos do volume de controle. No sistema de referência Lagrangeano, contudo, o 
volume de controle consiste de uma massa infinitesimal de partículas do fluido, que se 
movem seguindo o movimento, e sempre contendo as mesmas partículas do fluido. 
 O sistema de referência Lagrangeano, é particularmente usado para obter as leis 
de conservação, desde que tais leis, possam ser enunciadas em termos de um elemento 
particular de massa do fluido. O sistema Euleriano é, entretanto, mais conveniente para 
resolver a maioria dos problemas, por que nesse sistema, os campos das variáveis são 
relacionados por um conjunto de equações diferenciais parciais, nas quais, as variáveis 
independentes são coordenadas x, y, z e t. No sistema Lagrangeano, por outro lado, é 
necessário seguir a evolução no tempo, dos campos para várias parcelas individuais do 
fluído. Então, as variáveis independentes são x0, y0, z0 e t0, onde essas variáveis são x0, 
y0, z0 representam a posição pela qual uma parcela particular passou no tempo de 
referência t0. 
 
DIFERE�CIAÇÃO TOTAL 
 As leis da conservação que serão derivadas nesse item contêm expressões para a 
taxa de variação da densidade, momento e energia termodinâmica, seguindo o 
movimento de uma parcela particular do fluído. Para aplicar estas leis em um sistema 
Euleriano é necessário obter uma relação entre a taxa de variação de um campo variável 
seguindo o movimento e sua taxa de variação em um ponto fixo. A primeira é chamada 
 2 
derivada substantiva, total ou material e é denotada por 
Dt
D
. E a última é chamada 
derivada local; ela é simplesmente uma derivada parcial com respeito ao tempo. 
 Para se obter uma relação entre a derivada total e a derivada local é conveniente 
nos referirmos a um campo variável em particular, a temperatura, por exemplo. 
 Suponha que a temperatura medida sobre um balão que se move com o vento é T0 
em um ponto de coordenadas x0, y0, z0 e tempo t0 (figura 2.1). 
 
Figura 2.1: Trajetória de uma parcela de ar. 
 
Se o balão se move para o ponto x0+δx, y0+δy e z0+δz em um incremento de tempo δt, 
então a variação na temperatura registrada no balão δT pode ser expressa por uma 
expansão em série de Taylor, como: 
z
z
T
y
y
T
x
x
T
t
t
T
T δ





∂
∂
+δ





∂
∂
+δ





∂
∂
+δ





∂
∂
=δ + (termos de ordem superior) 
Dividindo por δt e notando que δT é a mudança na temperatura seguindo o movimento, 
então: 
t
T
Dt
DT
lim
0t δ
δ
≡
→δ
 
Nós encontramos que no limite que δt→0 
Dt
Dz
z
T
Dt
Dy
y
T
Dt
Dx
x
T
t
T
Dt
DT






∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
+
∂
∂
= 
É a taxa de mudança de T seguindo o movimento. Se fizermos: 
u
Dt
Dx
≡ , v
Dt
Dy
≡ , w
Dt
Dz
≡ 
Então u, v e w são as componentes da velocidade nas direções x, y e z respectivamente, 
e: 
 3 






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
z
T
w
y
T
v
x
T
u
t
T
Dt
DT
 
(2.1) 
 
Que usando a notação vetorial pode ser reescrita como: 
TU
Dt
DT
t
T
∇•−=
∂
∂ r
 
Sendo wkˆvjˆuiˆU ++=
r
o vetor velocidade. O termo TU ∇•−
r
é chamado de advecção 
de temperatura. Ele dá a contribuição para a variação local de temperatura devida ao 
movimento de ar. Advecção é um dos mais importantes processos em meteorologia 
sinótica. O sinal menos que aparece na expressão para a advecção é necessário por que 
o vetor gradiente aponta na direção do decréscimo da quantidade que estamos 
analisando. Por exemplo, se o vento está soprando de uma região fria para uma região 
quente (advecção fria) o termo TU ∇•−
r
tem valores negativos. E o termo advectivo 
contribui negativamente para a variação local de temperatura. Quando o vento sopra da 
região quente para a fria (advecção quente) o termo TU ∇•−
r
tem valores positivos, e a 
contribuição na variação local de temperatura é positiva (figura 2.2). Deste modo, a 
variação local da temperatura é igual a variação da temperatura seguindo o movimento 
(isto é, o aquecimento ou esfriamento de uma parcela de ar individual) + o termo 
variação advectiva da temperatura. 
 
Figura 2.2: Exemplos de (esquerda) advecção positiva e (direita) negativa de T no ponto P. O 
fluxo está indo para a região fria no primeiro caso e para a região quente no segundo. 
 
 A relação dada pela equação (2.1) vale para qualquer variável de campo. Deste 
modo, a derivada total pode ser definida seguindo um outro campo se movendo que não 
o vento. Por exemplo, podemos querer relacionar a mudança de pressão medida por um 
barômetro em um barco se movendo com a mudança local de pressão. 
 
Exemplo: 
 4 
 A pressão em superfície decresce por 0,3kPa/180km na direção leste. Um barco 
viaja para leste a 10km/h mede um queda na pressão de 0,1 kpa/3h. Qual é a variação na 
pressão em uma ilha em que o navio está passando. 
S: Se nós orientarmos o eixo x na direção leste, então a variação local na pressão da ilha 
será: 
x
p
u
Dt
Dp
t
p
∂
∂
−=
∂
∂
, sendo 
Dt
Dp
 a mudança na pressão observada pelo navio e u a 
velocidade do navio. Deste modo, 
h6
kPa1,0
km180
kPa3.0
h
km
10
h3
kPa1,0
t
p
−=




 −






−
−
=
∂
∂
, de modo que a taxa de queda da 
pressão na ilha é somente metade da taxa medida no navio se movendo. 
 Se a derivada total de uma variável de campo é nula, então a variável é uma 
quantidade conservativa seguindo o movimento. A mudança local é inteiramente devida 
a advecção. Mais tarde veremos que variáveis de campo que são aproximadamente 
conservadas seguindo o movimento têm um importante papel na meteorologia 
dinâmica. 
DIFERE�CIAÇÃO TOTAL DE UM VETOR EM UM SISTEMA EM ROTAÇÃO 
 A lei de conservação de momento de Newton (2ª lei) relaciona a taxa de variação 
do momento seguindo o movimento em um sistema de referência inercial e a soma das 
forças atuando sobre o fluido. Para a maioria das aplicações em meteorologia, é 
desejável que sistema de referencia esteja girando com a Terra. A transformação da 
equação do momento para um sistema de coordenadas em rotação necessita de uma 
relação entre a derivada total de um vetor em um sistema inercial e a correspondente 
derivada total em um sistema que gira. 
Para derivar esta relação, vamos utilizar vetor arbitrário A
r
cujas componentes 
cartesianas em um sistema inercial são dadas por: 
zyx AkˆAjˆAiˆA ++=
r
 
Sendo Ax, Ay e Az as componentes de A
r
nas direções iˆ, jˆ , kˆ ou nas direções x,y,z, 
respectivamente. 
 Em um sistema de coordenadas em rotação velocidade angular Ω , A
r
 é dado por: 
zyx 'A'kˆ'A'jˆ'A'iˆA ++=
r
 
 5Sendo 'iˆ , 'jˆ , 'kˆ os versores nas direções x’, y’, z’ em um dado instante. A’x, A’y e A’z 
são as componentes de A
r
nestas direções. 
Considerando 
Dt
ADa
r
a derivada total de A
r
em um sistema inercial, isto é: 
 
Dt
DA
kˆ
Dt
DA
jˆ
Dt
DA
iˆ
Dt
AD zyxa ++=
r
= 
z
a
y
a
x
azyx 'A
Dt
'kˆD
'A
Dt
'jˆD
'A
Dt
'iˆD
Dt
'DA
'kˆ
Dt
'DA
'jˆ
Dt
'DA
'iˆ +++++ 
Vamos definir: 
Dt
AD
Dt
'DA
'kˆ
Dt
'DA
'jˆ
Dt
'DA
'iˆ z
yx
r
≡++ 
é exatamente a derivada total de A
r
como visto no sistema de coordenadas em rotação 
(que é, a taxa de variação de A
r
 seguindo o movimento relativo). Conseqüentemente, 
desde que 'iˆ pode ser pensado como um vetor posição de módulo unitário, 
Dt
'iˆDa é a 
velocidade de 'iˆ devido à sua rotação. Então, 'iˆ
Dt
'iˆDa ×Ω=
r
 e de um modo semelhante, 
'jˆ
Dt
'jˆDa ×Ω=
v
 e 'kˆ
Dt
'kˆDa ×Ω=
r
. 
Então, juntando as três componentes, teremos: 
 A
Dt
AD
'A
Dt
'kˆD
'A
Dt
'jˆD
'A
Dt
'iˆD
Dt
AD
Dt
AD
zyx
aa
rr
rrr
×Ω+≡







+++= 
Ou, 
A
Dt
AD
Dt
ADa
rr
rr
×Ω+= 
(2.2) 
Que é a relação que queríamos. 
 
A FORMA VETORIAL DA EQUAÇÃO DE MOME�TO EM UM SISTEMA DE 
COORDE�ADAS EM ROTAÇÃO 
 Em um sistema de referência inercial, a segunda lei do movimento de Newton 
pode ser escrita simbolicamente como: 
∑= F
Dt
UD aa
r
r
 
(2.3) 
 6 
 
 O lado esquerdo dessa equação representa a taxa de variação da velocidade 
absoluta aU
r
,seguindo o movimento como visto de um sistema inercial. O lado direito, 
representa a soma das forças reais por unidade de massa que estão atuando. Agora 
vamos transformar essa expressão, para o sistema de referência com rotação. Para isso 
teremos que encontrar primeiro uma relação entre a velocidade absoluta e a velocidade 
relativa ao sistema em rotação. Esta relação pode ser obtida aplicando-se a expressão 
(2.2) ao vetor posição r
r
 para uma parcela de ar na Terra girando: 
r
Dt
rD
Dt
rDa rr
rr
×Ω+= 
(2.4) 
Mas: 
a
a U
Dt
rD r
r
≡ (velocidade absoluta) 
U
Dt
rD r
r
≡ (velocidade relativa a Terra) 
r
rr
×Ω (velocidade devido a rotação da Terra). 
Deste modo, (2.4) pode ser escrita como: 
rUUa
rrrr
×Ω+= (2.5) 
 
 Que determina simplesmente que a velocidade absoluta de um objeto sobre uma terra 
em rotação é igual a sua velocidade relativa à terra mais a velocidade devida a própria 
rotação da terra. 
 Agora aplicamos (2.2) ao vetor velocidade absoluta aU
r
e obtemos: 
a
aaa U
Dt
UD
Dt
UD rr
rr
×Ω+= 
(2.6) 
Substituindo a partir de (2.5) no lado direito de (2.6), encontramos que: 
( ) ( )rUrU
Dt
D
Dt
UD aa r
rrrrrr
r
×Ω+×Ω+×Ω+= 
RU2
Dt
UD
Dt
UD 2aa
rrrr
rr
Ω−×Ω+= 
(2.7) 
Sendo Ω
r
 suposto constante. Aqui R
r
é um vetor perpendicular ao eixo de rotação, com 
magnitude igual à distância a esse eixo (figura 2.3): 
 7 
 
Figura 2.3: Secção meridional da Terra 
 
Tal que, com a ajuda da identidade vetorial: 
R)R()r( 2
rrrrrrrr
Ω−=×Ω×Ω=×Ω×Ω 
 A equação (2.7) determina que a aceleração seguindo o movimento em um 
sistema inercial é igual a taxa de mudança da velocidade relativa seguindo o movimento 
relativo em um sistema girando mais as acelerações de Coriolis e centrípeta. 
 Se supusermos que somente as forças reais que atuam sobre a atmosfera são a 
força do gradiente da pressão, a força de gravitação e a força de atrito, podemos 
reescrever a segunda lei de Newton (2.3) com a ajuda de (2.7) como: 
rFgp
1
U2
Dt
UD rrr
r
++∇
ρ
−×Ω−= 
(2.8) 
Sendo rF
r
 a força de atrito, e a força centrífuga foi combinada com a gravitação no 
termo de gravidade g. 
 A equação (2.8) é o enunciado da segunda lei do movimento de Newton para 
movimento relativo a um sistema de coordenadas com rotação. Ela determina que a 
aceleração seguindo o movimento relativo no sistema de referência em rotação é igual a 
soma das forças de Coriolis, do gradiente da pressão, gravidade efetiva e atrito. Esta é a 
forma da equação do movimento que é básica para a maioria dos trabalhos em 
meteorologia dinâmica. 
 
 
 
AS EQUAÇÕES COMPO�E�TES EM COORDE�ADAS ESFÉRICAS 
 Para fins de análise teórica e previsão numérica, é necessário expandir a 2ª Lei na 
forma vetorial (2.8) em suas componentes escalares. É conveniente expandir (2.8) em 
coordenadas esféricas tal que a superfície da terra (considerada de nível) corresponda a 
uma superfície coordenada. Os eixos coordenados são então (λλλλ, φφφφ, z) sendo λλλλ a 
 8 
longitude, φφφφ a latitude e z a distância vertical acima da superfície da terra. Se os vetores 
unitários iˆ , jˆ e kˆ são direcionados para leste, norte e para cima, respectivamente, a 
velocidade relativa é: 
kˆwjˆviˆuU ++≡
r
 
Sendo que as componentes u, v e w são definidas como: 
Dt
D
cosru
λ
φ≡ , 
Dt
D
rv
φ
≡ e 
Dt
Dz
w ≡ 
(2.9) 
Sendo, r a distancia até o centro da Terra, que é relacionada com z pela relação r = a + z, 
e a é o raio da Terra. Esta é uma boa aproximação deste que z<<a, que é a região da 
atmosfera utilizada em geral. Por questão de simplicidade, é conveniente definir as 
componentes x e y como: 
λφ= DcosaDx e φ= aDDy . Deste modo, as componentes da velocidade horizontal 
são 
Dt
Dx
u ≡ e 
Dt
Dy
v ≡ nas direções leste e norte, respectivamente. O sistema de 
coordenadas (x, y, z) definido desta maneira não é, entretanto, um sistema de 
coordenadas cartesiano porque as direções iˆ , jˆ , kˆ não são constantes, mas são funções 
da posição sobre uma terra esférica. Esta dependência da posição dos vetores unitários 
deve ser levada em conta quando o vetor aceleração é expandido em suas componentes 
sobre a esfera. Então, podemos escrever: 
Dt
kˆD
w
Dt
jˆD
v
Dt
iˆD
u
Dt
Dw
kˆ
Dt
Dv
jˆ
Dt
Du
iˆ
Dt
UD
+++++=
r
 
(2.10) 
Para se obter as equações das componentes, é necessário que se avalie primeiro as taxas 
de variações dos vetores unitários seguindo o movimento. 
 Consideramos primeiro 
Dt
iˆD
. Expandindo a derivada total como dado na equação 
(2.1) e notando que iˆ é uma função somente de x, ou seja, um vetor dirigido para leste 
que não muda sua orientação mesmo que o movimento esteja dirigido para norte ou 
vertical, encontramos que: 
x
iˆ
u
Dt
iˆD
∂
∂
= 
Da figura 2.3 nós vemos que: 
φ
=
∂
∂
=
δ
δ
→δ cosa
1
x
iˆ
x
iˆ
lim
ox
 
 9 
E que o vetor 
x
iˆ
∂
∂
é direcionado para o eixo de rotação. Deste modo, como ilustrado na 
figura 2.4: 
)conkˆsenjˆ(
cosa
1
x
iˆ
φ−φ
φ
=
∂
∂
 
Então: 
)coskˆsenjˆ(
cosa
u
Dt
iˆD
φ−φ
φ
= 
(2.11) 
 
 
Figura 2.3: Dependência longitudinal do vetor 
unitário iˆ . 
Figura 2.4: Resolução de δ iˆ para as 
componentes norte e vertical. 
 
Considerando agora 
Dt
jˆD
, nós notamos que jˆ é função somente de x e y. Deste modo, 
com a ajuda da figura 2.5 nós vemos que o movimento para leste 
φ
δ
=δ
tan
a
s
jˆ . 
Lembrando que o vetor 
x
jˆ
∂
∂
 é direcionado na direção negativa de x, então: 
iˆ
a
tan
x
jˆ φ
−=
∂
∂
 
 
Da figura 2.6 vemos que o movimento para o norte é δφ=δjˆ . Mas, δφ=δ ay e δ jˆ é 
direcionado para cima, de modo que: 
a
kˆ
y
jˆ
−=
∂
∂
 
Então: 
 10 
kˆ
a
v
iˆ
a
tanu
Dt
jˆD
−
φ
−= 
(2.12) 
 
E finalmente, por argumentos similares podemosmostrar que: 
a
v
jˆ
a
u
iˆ
Dt
kˆD
+= 
(2.13) 
 
 
 
Figura 2.5: Dependência longitudinal do vetor 
unitário jˆ . 
Figura 2.6: Dependência latitudinal do vetor 
unitário jˆ . 
 
Substituindo (2.11)-(2.13) e usando (2.10) e rearranjando os termos, nós obtemos a 
expansão em coordenadas polares esféricas da aceleração seguindo o movimento: 
kˆ
a
vu
Dt
Dw
jˆ
a
vw
a
tanu
Dt
Dv
iˆ
a
uw
a
tanuv
Dt
Du
Dt
UD 222







 +
−+







+
φ
+−




 +
φ
−=
r
 
(2.14) 
 
A seguir voltamos a expansão em componentes dos termos da força em (2.8). A força 
de Coriolis é expandida notando-se que o vetor Ω não tem componente paralelo a iˆ e 
que suas componentes paralelas a jˆ e kˆ são φΩcos2 e φΩsen2 , respectivamente. 
Então, usando a definição do produto vetorial, 
wvu
sencos0
kˆjˆiˆ
2U2 φφΩ−=×Ω−
rv
 
= ( ) kˆcosu2jˆusen2iˆvsen2cosw2 φΩ+φΩ−φΩ−φΩ− 
 
 
(2.15) 
 
 11 
A força de gradiente de pressão pode ser expressa como: 
z
p
kˆ
y
p
jˆ
x
p
iˆp
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
(2.16) 
E a gravidade é convenientemente representada por: 
kˆgg −=
r
 (2.17) 
 
Sendo g um escalar positivo (g ≅ 9,8 m s-2 na superfície da Terra). Finalmente, a força 
de atrito é expandida em componentes com: 
rzryrxr FkˆFjˆFiˆF ++=
r
 (2.18) 
 
Substituindo (2.14) a (2.18) na equação do movimento (2.8) e igualando todos os 
termos nas direções das coordenadas iˆ , jˆ , kˆ respectivamente, nós obtemos: 
rxFcosw2vsen2
x
p1
a
uw
a
tanuv
Dt
Du
+φΩ−φΩ+
∂
∂
ρ
−=+
φ
− 
(2.19) 
 
ry
2
Fusen2
y
p1
a
vw
a
tanu
Dt
Dv
+φΩ+
∂
∂
ρ
−=+
φ
− 
(2.20) 
 
rz
22
Fcosu2g
z
p1
a
vu
Dt
Dw
+φΩ+−
∂
∂
ρ
−=
+
− 
(2.21) 
Que são as componentes para leste, norte e vertical da equação do movimento 
respectivamente. Os termos proporcionais a 
a
1
no lado direito das equações de (2.19) a 
(2.21) são chamados “termos de curvatura” porque eles surgem devido à curvatura da 
terra. Esses termos são não-lineares, e são difíceis de manusear em análises teóricas. 
Felizmente, como será visto adiante, esses termos de curvaturas terão importância 
menor para os sistemas de escala sinótica nas latitudes médias. Ainda assim, mesmo 
quando os termos de curvatura são desprezados as equações (2.19) a (2.21) ainda são 
diferenciais parciais não-lineares como pode ser visto quando expandimos suas 
derivadas totais em partes locais e advectivas: 
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
Dt
Du
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
 12 
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
Dt
Dv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
Dt
Dw
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
Em geral os termos de aceleração advectiva são comparáveis em termos de ordem de 
magnitude ao termo da aceleração local. É principalmente pela presença dos processos 
de advecção não-lineares que faz da meteorologia dinâmica um assunto interessante. 
 
A�ÁLISE DE ESCALA DE EQUAÇÕES DE MOVIME�TO 
 Como as equações usadas na meteorologia são equações completamente gerais, 
uma das maneiras de se filtrar movimentos indesejáveis sem interesse para a 
meteorologia é a análise de escala. A eliminação de termos por considerações de escala 
não tem somente a vantagem de simplificar a matemática do problema mas também, 
como vamos ver adiante, a eliminação de pequenos termos que em alguns casos tem a 
propriedade muito importante de eliminar completamente ou filtrar um tipo de 
movimento sem interesse para a meteorologia. O conjunto de equações do movimento 
(2.19) a (2.21) descreve todo tipo e escala dos movimentos atmosféricos. Ondas de som, 
por exemplo, são soluções perfeitamente válidas destas equações. Entretanto, as ondas 
de som são de pouco importância para os problemas meteorológicos. De modo a 
simplificar o sistema (2.19) a (2.21) para movimentos de escala sinótica nas latitudes 
médias definimos as seguintes escalas características do campo das variáveis baseadas 
em valores observados para sistemas de escala sinótica nas latitudes médias. 
U ≈10 m/s Escala horizontal de velocidade 
W ≈1 cm/s Escala vertical de velocidade 
L ≈106m Escala de comprimento [ ~ 1/(2π) comprimentos de onda ] 
H ≈104m Escala de profundidade 
ρδ /p ≈103m2/s2 Escala de flutuação horizontal da pressão 
L/U ≈105s Escala de tempo 
 
A flutuação horizontal da pressão δP é normalizada pela densidade ρ de modo a 
produzir uma escala estimativa que é válida em todas as alturas na troposfera a despeito 
do decréscimo aproximadamente exponencial com altura de tanto δ como ρ. Note que 
ρδ /p tem unidades de geopotencial. 
 13 
Na verdade a magnitude da flutuação de ρδ /p sobre uma superfície de altura 
constante deve ser igual a magnitude da flutuação do geopotencial sobre uma superfície 
isobárica. A escala de tempo aqui é uma escala de tempo advectiva que é apropriada 
para sistemas de pressão que se movem a uma velocidade aproximadamente igual a do 
vento horizontal, tal como é observado para sistemas sinóticos de latitudes médias. 
Então, L/U é o tempo requerido para um desses sistemas se deslocar de uma distância L 
com velocidade U, e a diferencial total D/Dt ≈U/L para tais movimentos. Deve ser 
salientado aqui que a velocidade vertical na escala sinótica não é uma quantidade 
medida diretamente. Entretanto, como será visto adiante, a magnitude de w pode ser 
deduzida a partir do conhecimento do campo de velocidade horizontal. Podemos agora 
estimar a magnitude de cada termo nas equações (2.19) e (2.20) para movimentos de 
escala sinótica a uma dada latitude. É conveniente considerar distúrbios centrados na 
latitude de φ0= 45° e introduzir a notação: 
14
000 s10cos2sen2f
−−≅φΩ=φΩ= 
A tabela 2.1 mostra a magnitude de cada termo em (2.19) e (2.2) baseado nas 
considerações de escala acima. Os termos de atrito não estão incluídos por que na escala 
de tempo dos movimentos sinóticos, dissipação friccional tem um papel secundário de 
pouca importância acima do primeiro quilômetro da atmosfera. Ele é de grande 
importância na discussão dos movimentos na Camada Limite Planetária. Nota-se que as 
ordens de magnitude variam de 10-3 m/s2 a 10-12 m/s-2. Assim, alguns termos são tão 
extremamente pequenos que podem ser desprezados sem causar prejuízo à essência da 
dinâmica dos movimentos atmosféricos da escala sinótica. 
Tabela 2.1: Análise de escala da equação de momento horizontal 
 
 
 
 14 
A APROXIMAÇÃO GEOSTRÓFICA E O VE�TO GEOSTRÓFICO 
Como pode ser visto da tabela 2.2 que para distúrbios de escala sinótica de latitudes 
médias a Força de Coriolis (termo B) e a força do gradiente da pressão (termo F) estão 
aproximadamente em equilíbrio. Portanto, retendo somente estes termos nas equações 
(2.19) e (2.20), nos obtemos, como uma primeira aproximação a relação geostrófica: 
x
p1
fv
∂
∂
ρ
−≈− e 
y
p1
fu
∂
∂
ρ
−≈ 
(2.22) 
 
Sendo φΩ≡ sen2f o parâmetro de Coriolis. O balanço geostrófico é uma relação 
diagnóstica que dá uma relação aproximada entre os campos da pressão e da velocidade 
horizontal nos sistemas de escala sinótica. A aproximação (2.22) não contém qualquer 
referência ao tempo e conseqüentemente não pode ser usada para prever a evolução do 
campo de velocidades. Ela é, por esta razão, uma relação de diagnóstico. 
Por analogia com a relação (2.22) é possível definir um campo de velocidade horizontal 
ggg vjˆuiˆV+≡
r
chamado de vento geostrófico, que satisfaz a equação (2.22) 
identicamente. Então na forma vetorial: 
 p
f
1
kˆVg ∇ρ
×≡
r
 
(2.23) 
Deste modo, o conhecimento da distribuição da pressão em qualquer tempo determina o 
vento geostrófico. Deve ser lembrado que a equação (2.23) sempre define o vento 
geostrófico; mas somente para movimentos de grande escala o vento geostrófico deve 
substituir o vento horizontal real. Para as escalas usadas na tabela 2.2 o vento 
geostrófico somente aproxima o vento horizontal real dentro de 10-15% nas latitudes 
médias. A Figura 2.7 esquematiza o vento geostrófico em relação ao campo de pressão 
no HS. 
 
Figura 2.7: Vento geostrófico em relação as isóbaras 
 
 15 
EQUAÇÕES APROXIMADAS DE PROG�ÓSTICO; O �ÚMERO DE ROSSBY 
 Para se obter equações prognosticas, é necessário reter os termos de aceleração 
(termo A) nas equações (2.19) e (2.20). As equações resultantes são as equações 
aproximadas para o momento horizontal: 
)vv(f
x
p1
fv
Dt
Du
g−=∂
∂
ρ
−= 
(2.24) 
 
)uu(f
y
p1
fu
Dt
Dv
g−−=∂
∂
ρ
−−= 
(2.25) 
 
Nossa análise de escala mostrou que os termos de aceleração nas equações (2.24) e 
(2.25) são aproximadamente uma ordem de magnitude menor que as forças de Coriolis 
e do gradiente da pressão. O fato de que o escoamento horizontal está em equilíbrio 
geostrófico é de ajuda para a análise diagnóstica. Contudo, isto torna as aplicações reais 
destas equações na previsão do tempo difícil porque as acelerações (que devem ser 
medidas acuradamente) são dadas por pequena diferença entre dois termos grandes. 
Então, um pequeno erro na medida de ambas as velocidades ou na força do gradiente da 
pressão, levará a um grande erro na estimativa das acelerações. 
Uma medida conveniente da magnitude da aceleração, comparada com a força de 
Coriolis pode ser obtida, formando-se a razão entre as escalas características para a 
aceleração horizontal e a força de Coriolis, ( )Uf
L
U
0
2
. Esta razão é um número 
adimensional chamado número de Rossby, deduzido primeiramente pelo meteorologista 
sueco C. G. Rossby [1898 – 1957], designado por ( )Lf/UR 00 ≡ . Então, quanto menor 
for o número de Rossby, melhor será a medida da validade da aproximação geostrófica. 
 
A APROXIMAÇÃO HIDROSTÁTICA 
 Uma análise de escala similar pode ser aplicada à componente vertical da equação 
do momento (2.21). Os termos em (2.21) podem então ser estimados para movimentos 
de escala sinótica e são mostrados na tabela 2.2. Do mesmo modo que para os termos 
das componentes horizontais, consideramos movimentos centrados na latitude de 45º e 
desprezamos o atrito. 
 16 
 
Tabela 2.2: Análise de escala da equação de momento vertical. 
 
 Nota-se que os termos das forças de gradiente de pressão (vertical) e gravidade 
são muito maiores do que os demais termos. Assim tem-se, muito aproximadamente, a 
aproximação hidrostática: 
g
z
p1
−≡
∂
∂
ρ
 
 
Todavia, precisamos saber se as partes da pressão e densidade que variam 
horizontalmente, associados aos sistemas sinóticos, estão em equilíbrio hidrostático. 
Para tanto, vamos definir uma pressão padrão )z(p0 (média horizontal) e uma densidade 
correspondente )z(0ρ que estejam em equilíbrio hidrostático. Assim, podemos escrever: 
g
z
p1 0
0
−≡
∂
∂
ρ
 
(2.26) 
Nós podemos então escrever os campos da pressão e densidade total como: 
)t,z,y,x('p)z(p)t,z,y,x(p 0 += 
)t,z,y,x(')z()t,z,y,x( 0 ρ+ρ=ρ 
(2.27) 
Sendo que p’ e ρ' são perturbações a partir dos valores padrões da pressão e densidade. 
Para uma atmosfera em repouso eles seriam então iguais a zero. Em geral p’<< p0 e ρ’ 
<< ρ0. 
Usando as definições (2.26) e (2.27) supondo que 1
'p
'
<<
ρ
em magnitude tal que 
( ) 





ρ
ρ
−≅ρ+ρ −
0
1
0
'
1' nós encontramos que: 
 
(2.28) 
Para movimentos de escala sinótica, os termos em (2.28) tem magnitudes: 
 17 
 
 
 Comparando as magnitudes desses termos com os demais da terceira equação de 
movimento, ainda podemos desprezar todos os termos, exceto a força de gradiente de 
pressão e gravidade. Assim tem-se, muito aproximadamente: 
 
(2.29) 
 Conseqüentemente, para movimentos de escala sinótica, as acelerações verticais 
são desprezíveis e a velocidade vertical não pode ser determinada a partir da equação do 
momento vertical. 
 
A EQUAÇÃO DA CO�TI�UIDADE 
 Foi visto até agora que os movimentos atmosféricos ou parte destes, podem ser 
descritos a partir de uma única lei básica – a segunda lei do movimento de Newton. 
Contudo, pouco foi dito acerca do movimento vertical na atmosfera. Vimos a partir de 
argumentos de escala que a componente vertical da equação do movimento não pode ser 
usada diretamente para se calcular o movimento vertical devido ao fato de que os 
sistemas de escala sinótica estão aproximadamente em equilíbrio hidrostático. Vamos 
considerar agora uma Segunda lei física básica – a lei de conservação da massa, que 
relaciona os campos dos movimentos horizontal e vertical. Neste princípio de 
conservação da massa, o campo do movimento vertical pode ser deduzido a partir de 
medidas do campo de velocidade horizontal. A expressão matemática que expressa a 
conservação de massa para um fluído é chamada equação da continuidade. Vamos 
desenvolver a equação da continuidade usando dois métodos alternativos. O primeiro é 
baseado num volume de controle Euleriano (fixo) e o segundo é baseado num volume 
de controle Lagrangeano (movendo). 
 
DERIVAÇÃO EULERIA�A 
 Considere um elemento de volume δx, δy, δz , o qual está fixo em relação a um 
sistema de coordenadas cartesianas (volume de controle fixo) conforme a Figura 2.8 
abaixo. 
 18 
 
Figura 2.8: Fluxo de massa entrando em um volume de controle Euleriano 
 
 Fluxo de massa (kg s-1 m-2) em um ponto é dado pelo produto da densidade e a 
velocidade. O fluxo de massa através de uma dada área infinitesimal é o produto da 
densidade do fluído e o componente do movimento perpendicular à área. A razão (taxa) 
líquida de fluxo do fluído para dentro do volume é dada pelo somatório dos fluxos 
líquidos nas três direções, x, y e z. Considerando a direção x, na Figura 2.8, tem-se 
fluído entrando no volume através da parede a esquerda e fluído saindo através da 
parede a direita. O fluxo líquido é a diferença entre os dois fluxos. Assim sendo, obtém-
se o fluxo líquido para dentro do volume pelo componente u do movimento da seguinte 
forma: 
 
 
 
 Da mesma forma, a taxa de massa que acumula no volume devido aos 
movimentos v e w são, respectivamente: 
 
e 
 
Somando os três termos, a taxa total de acúmulo de massa dentro do volume é: 
 
A taxa por volume unitário é: 
 19 
)U(
r
ρ•∇− 
Esta deve igualar a taxa de aumento de massa por volume unitário, que é exatamente a 
variação da densidade local 
t∂
ρ∂
. Isto é: 
0)U(
t
=ρ•∇+
∂
ρ∂ r
 
(2.30) 
A equação (2.30) é a forma da divergência de massa da equação da continuidade. Uma 
forma alternativa da equação da continuidade é obtida aplicando a identidade vetorial: 
 
 
E a relação: 
∇•+
∂
∂
≡ U
tDt
D r
 
 
Temos: 
 
(2.31) 
 A equação (2.31) é a forma da divergência da velocidade da equação da 
continuidade. Ela determina que a taxa de variação fracional do aumento de densidade, 
seguindo a parcela, é igual a convergência (ou divergência negativa) da velocidade. Isto 
deve ser claramente distinguido de (2.30) que determina que a taxa local de variação da 
densidade é igual a menos a divergência de massa. 
 
DERIVAÇÃO LAGRA�GEA�A 
 O significado físico dadivergência também pode ser ilustrado através de uma 
derivação alternativa de (2.31). 
 Consideramos um elemento de massa fluída δM que se move com o fluído. 
Designando por δV = δx δy δz o volume, encontramos que, δM = ρ δV = ρ δx δy δz é 
conservado seguindo o movimento e pode ser escrito como: 
( ) ( ) ( ) 0V
Dt
D
V
1
Dt
D1
V
Dt
D
V
1
M
Dt
D
M
1
=δ
δ
+
ρ
ρ
=ρδ
ρδ
=δ
δ
 
(2.32) 
Mas: 
 
( ) ( ) ( ) ( )z
Dt
D
z
1
y
Dt
D
y
1
x
Dt
D
x
1
V
Dt
D
V
1
δ
δ
+δ
δ
+δ
δ
=δ
δ
 
 
 
 20 
 
Figura 2.9: variação no volume de controle lagrangeano devido ao movimento do fluido paralelo 
ao eixo x. 
 
Na figura (2.9) nós vemos que as faces do volume de controle nos planos y e z 
(designadas por A e B) são advectadas com o fluxo na direção x e com velocidades 
Dt
Dx
ua = e 
( )
Dt
xxD
ub
δ+
= , respectivamente. Deste modo, a diferença das velocidades 
nas duas faces é 
( )
Dt
Dx
Dt
xxD
uuu ab −
δ+
=−=δ , ou, 
Dt
xD
u
δ
=δ . Similarmente temos 
Dt
yD
v
δ
=δ e 
Dt
zD
w
δ
=δ . Então: 
U
z
w
y
v
x
u
)V(
Dt
D
V
1
lim
0z,y,x
r
•∇=
δ
δ
+
δ
δ
+
δ
δ
=


 δ
δ→δδδ
 
De maneira que no limite δV→0 e (2.32) reduz-se a equação da continuidade (2.31); a 
divergência do campo velocidade em três dimensões é igual a taxa fracional de 
mudança de volume de um fluído no limite quando δV→0. 
 
MOVIME�TO VERTICAL 
 Já vimos que para movimentos de escala sinótica a componente vertical da 
velocidade é da ordem de pouco centímetros por segundo. Entretanto as sondagens 
meteorológicas de rotina nos fornecem a velocidade dos ventos com uma precisão por 
volta de um metro por segundo. Isso significa que a velocidade vertical no caso geral 
não pode ser medida diretamente, mas, inferida a partir dos campos medidos 
diretamente. 
 Entre as várias maneiras de se obter a velocidade vertical, encontra-se a integração 
da equação da continuidade na vertical. Este método pode ser mostrado considerando-se 
o caso de um fluído incompressível (o oceano, por exemplo). 
 21 
 Para um fluido incompressível, 0
t
=
∂
ρ∂
 de modo que a equação (2.30) se 
transforma para ( ) 0U =ρ•∇ r , ou, em termos de componentes escalares: 






∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂
t
v
t
u
t
w
 
integrando na vertical do solo (z = 0), até uma altura genérica onde z = h 
∫∫ 





∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂ h
0
h
0
dz
t
v
t
u
dz
t
w
 








∂
∂
+
∂
∂
−=−
t
v
t
u
)0(w)h(w 
Sendo que a notação significa média na vertical. Isto quer dizer que para um fluido 
incompressível a diferença entre as velocidades médias na base e no topo de uma coluna 
é dada pelo produto da altura da coluna (profundidade) pela divergência média 
horizontal. Se o fluido é compressível (caso da atmosfera) é mais simples aplicar a 
forma em coordenadas isobáricas da equação da continuidade. Integrando a equação 
acima com respeito à pressão, temos: 
dp
t
v
t
u
)p(w)p(w
p
p
p
0
0
∫ 





∂
∂+
∂
∂−=− 
Que relaciona a velocidade vertical em um nível qualquer de pressão p a w(p0) e à 
divergência média na coluna entre as superfícies isobáricas p0 e p. 
 
MEDIDA DA DIVERG�CIA HORIZO�TAL 
 A aplicação da equação anterior para estimar o campo da velocidade vertical, 
requer conhecimento da divergência horizontal. Para determinar a divergência 
horizontal, as derivadas parciais 
x
u
∂
∂
 e 
y
v
∂
∂
são geralmente estimadas a partir dos campos 
de u e v usando aproximação por diferenças finitas. Por exemplo, se queremos 
determinar a divergência horizontal no ponto x0, y0, podemos escrever (ver figura 
abaixo): 
 22 
 
d2
)dy(v)dy(v
d2
)dx(u)dx(u
y
u
x
u 0000 −−++
−−+
≅
∂
∂
+
∂
∂
 
 É sabido que para movimentos de escala sinótica nas médias latitudes a 
velocidade horizontal está aproximadamente em equilíbrio geostrófico. Exceto para 
pequenos efeitos devidos a variação do parâmetro de Coriolis o vento geostrófico é não 
divergente, ou seja,
x
ug
∂
∂
 e 
y
vg
∂
∂
são aproximadamente iguais em módulo mas têm sinais 
contrários, então, a divergência horizontal é devida principalmente a pequenos desvios 
do vento a partir do equilíbrio geostrófico. Um erro de 10 por cento na avaliação das 
componentes do vento na equação (2.9) pode facilmente causar à divergência estimada 
um erro de 100 por cento. Por esta razão, a equação da continuidade não é recomendada 
para ser usada como estimativa do campo do movimento vertical a partir dos ventos 
horizontais observados. Outros métodos serão desenvolvidos posteriormente, inclusive a 
equação omega, que dá uma melhor estimativa da velocidade vertical. 
 
A�ÁLISE DE ESCALA DA EQUAÇÃO DA CO�TI�UIDADE 
 Seguindo a técnica de análise de escala já vista, pode-se escrever a equação da 
continuidade (2.31) como: 
0U
dz
dw
'U
t
'1
C
B
0
0
A
0
≈•∇+
ρ
ρ
+




 ρ∇•+
∂
ρ∂
ρ 321
r
43421444 3444 21
r
 
(2.33) 
 
 
Em que ρ é o desvio local da densidade a partir de seu valor médio horizontal, ρ0(z). 
Para movimentos de escala sinótica, 2
0
10
' −≈
ρ
ρ
, tal que usando as escalas 
características dadas anteriormente, encontramos que o termo A tem magnitude: 
 23 
17
00
s10
L
U'
'U
t
'1 −−≈
ρ
ρ
≈




 ρ∇•+
∂
ρ∂
ρ
r
 
Para movimentos no qual a escala de profundidade é comparável a escala da densidade 
H, 10 H
dz
lnd −≈
ρ
, tal que o termo B é escalado como: 
160
0
s10
H
W
dz
dw −−≈≈
ρ
ρ
 
E expandindo o termo C em coordenadas cartesianas, nós temos: 
z
w
y
v
x
u
U
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=•∇
r
 
Para movimentos de escala sinótica os termos
x
u
∂
∂
 e 
y
v
∂
∂
 tendem a ser de magnitudes 
iguais, mas, de sinais opostos. Então, eles tendem a se equilibrar tal que: 
161 s10
L
U
10
y
v
x
u −−− ≈≈





∂
∂
+
∂
∂
 
Somando a isto: 
16s10
H
W
z
w −−≈≈
∂
∂
 
Então, os termos B e C são cada um, cerca de uma ordem de magnitude maior, que o termo 
A, e como uma primeira aproximação, os termos B e C se equilibram na equação da 
continuidade tal que, nós temos: 
( ) 0ln
dz
d
w
z
w
y
v
x
u
0 =ρ+∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
ou na forma vetorial 
( ) 0U0 =ρ•∇
r
 (2.34) 
 Isto é, para movimentos de escala sinótica, o fluxo de massa calculado, usando o 
estado básico da densidade ρ0, é não divergente. Esta aproximação é similar à 
idealização da incompressibilidade que é freqüentemente usada em mecânica dos 
fluídos. Contudo, um fluido incompressível tem densidade constante ao longo do 
movimento: 
0
Dt
D
=
ρ
 
 Assim, por (2.31) a divergência de velocidade torna-se nula (∇.U=0) num fluido 
incompressível. A equação (2.34) mostra que para um escoamento puramente horizontal 
 24 
a atmosfera comporta-se como se fosse um fluído incompressível. Contudo, quando há 
movimento vertical, a compressibilidade associada com a dependência de altura de ρ0 
deve ser levada em conta. 
 
A EQUAÇÃO DA ENERGIA TERMODINÂMICA 
 Voltamos agora para o terceiro princípio fundamental de conservação, a 
conservação da energia termodinâmica como é aplicada a um elemento de fluido em 
movimento. A primeira lei da termodinâmica é geralmente derivadapor considerar um 
sistema termodinâmico em equilíbrio, isto é, um sistema que está inicialmente em 
repouso e após trocar calor com sua vizinhança e realizar trabalho sobre as vizinhanças 
está novamente em repouso. Para tal sistema, a primeira lei determina que a taxa de 
variação na energia interna do sistema é igual a diferença entre o calor adicionado ao 
sistema e o trabalho realizado pelo sistema. Um volume de controle lagrangeano 
consistindo de uma massa especificada do fluido pode ser pensado como um sistema 
termodinâmico. Entretanto, a menos que o fluido esteja em repouso, ele não estará em 
equilíbrio termodinâmico. Ainda assim, a primeira lei pode ser aplicada desde que a 
energia instantânea do volume de controle seja considerada consistir da soma da energia 
interna (devida a energia cinética das moléculas individuais) e a energia cinética devida 
ao movimento macroscópico do fluido. 
 A forma modificada da primeira lei da termodinâmica, ou equação da energia, que 
deve ser aplicada a um elemento do fluido então determina que a taxa de variação da 
energia termodinâmica total (interna mais cinética) é igual a taxa de aquecimento mais a 
taxa com que trabalho é realizado sobre o elemento pelas forças externas. 
Para um gás como o ar, cv δT é a variação de energia interna por massa unitária, 
onde cv é o calor específico a volume constante, pδα é o trabalho feito pelo sistema 
(parcela de ar) contra a pressão para expansão, e δQ é a quantidade de calor 
infinitesimal adicionado. 
A lei é expressa da seguinte forma: 
J
Dt
D
p
Dt
DT
vc =
α
+ 
(2.35) 
 
 Que é a forma usual da Equação da Termodinâmica. O segundo termo da 
esquerda representa a taxa de trabalho pelo sistema fluido (por unidade de massa) e 
representa uma conversão entre as energias termal e mecânica. É este processo de 
conversão que habilita energia calorífica solar a forçar os movimentos da atmosfera. 
 25 
 Utilizando a equação do estado: pα=RT e sabendo que 
Dt
DQ
J ≡ é a taxa de adição 
de calor; a equação também pode ser escrita da seguinte forma: 
J
Dt
Dp
Dt
DT
pc =α− 
(2.36) 
Sendo cp o calor específico a pressão constante, cv = cp - R 
Dividindo a equação por T, tem-se: 
Dt
Ds
T
J
Dt
plnD
R
Dt
TlnD
pc ≡=− 
(2.37) 
Sendo s a entropia. 
 A última equação fornece a taxa de variação de entropia por massa unitária, 
seguindo o fluxo do fluído para processos termodinamicamente reversíveis. Isto é, para 
processos em que a parcela muda de seu estado e volta para o mesmo estado inicial sem 
causar mudanças no estado do fluido vizinho. Para tais processos s é uma variável de 
campo e Ds é um diferencial total (perfeito) e 
Dt
Ds
 é uma derivada total. Deve-se notar 
que calor não é uma variável de campo e a taxa de aquecimento J não é uma derivada 
total. As constantes tem os seguintes valores numéricos para o ar seco. 
Cp = 1004 J kg 
-1K-1 
R= 287 J kg -1K-1 
Cv= Cp - R= 717 J kg 
-1K-1 
 As definições e explanações dadas abaixo são de grande importância: 
- Processo reversível é um processo no qual o sistema muda de seu estado e retorna ao 
estado original sem causar nenhuma mudança na sua vizinhança. Para tais processos a 
entropia é uma variável de campo que depende somente do estado do fluído. Ds é um 
diferencial perfeito e 
Dt
Ds
 é uma derivada total. 
- Processo adiabático é um processo reversível no qual não ocorre troca de calor entre 
o sistema e sua vizinhança, ou seja, dQ = 0. Nesse caso a equação termodinâmica é dada 
por: 
plnRDTlnDpc = (2.38) 
 
TEMPERATURA POTE�CIAL 
 26 
Integrando a equação termodinâmica para processos adiabáticos (Equação 2.39) de um 
estado (p,T ) a um estado de referência (ps ,θ ), tem–se : 
pc
R
p
spT 





=θ 
(2.39) 
 Esta equação é chamada equação de Poisson. A temperatura θ é definida como 
temperatura potencial. Esta é a temperatura que uma parcela de ar, a uma pressão p e 
temperatura T, teria se fosse expandida ou comprimida adiabaticamente a uma pressão 
ps. Em meteorologia usamos ps = 1000 hPa (100KPa). Assim, cada e toda parcela de ar, 
possui uma única temperatura potencial. 
 Longe das regiões de precipitação ativa, os movimentos sinóticos são 
aproximadamente adiabáticos. Portanto, θ é quase conservada. Obtendo a derivada 
logarítmica da equação de Poisson tem-se 
Dt
Ds
Dt
plnD
R
Dt
TlnD
pcDt
lnD
pc =−=
θ
 
(2.40) 
 Isto é, para processos reversíveis a variação diferencial da temperatura potencial é 
proporcional a variação da entropia. 
 Deste modo, um processo isentrópico é o processo que conserva θ ou, as parcelas 
de ar que conservam suas θ (isto é, para movimentos ao longo de superfícies de θ = 
constante) conservam a sua entropia. 
 
DECRÉSCIMO ADIABÁTICO DE TEMPERATURA 
 Usando a equação hidrostática, a equação de Poisson derivada logariticamente 
com respeito a z pode ser escrita: 
pc
g
z
T
t
T
+
∂
∂
=
∂
θ∂
θ
 
(2.41) 
 Para uma atmosfera na qual a temperatura potencial é constante com a altura, tem-
se: 
d
pc
g
z
T
Γ≡=
∂
∂
− 
(2.42) 
 Sendo que, a taxa de resfriamento adiabático seco é aproximadamente constante 
na baixa atmosfera. 
 
ESTABILIDADE ESTÁTICA 
 27 
 Se a temperatura potencial é função da altura, a taxa de resfriamento atmosférico, 
z
T
∂
∂
−≡Γ pode diferir da taxa de resfriamento adiabático e 
 Γ−Γ=
∂
θ∂
θ dz
T
 
(2.43) 
Sendo Γ a taxa de decréscimo da temperatura com a altura na atmosfera. 
 Para Γ < Γd, θ aumenta com a altura. Neste caso, uma parcela que deslocada 
verticalmente terá sua temperatura maior (menor) que a do ambiente, para 
deslocamentos para baixo (para cima) (veja Figura 2.10). Isto é, a parcela se encontra 
pesada (leve) em relação ao novo ambiente, para deslocamento para cima (baixo). 
Portanto a parcela tende a retornar para a sua posição original. Neste caso a atmosfera é 
dita “estavelmente estratificada”. 
 
Figura 2.9: Estabilidade estática. Perfil de temperatura (esquerda) e perfil temperatura 
potencial (b). Variação vertical Γ1 instável. Γ2 estável. Γd é decaimento de temperatura 
adiabática. 
 De fato, uma parcela deslocada verticalmente numa atmosfera estavelmente 
estratificada sofre oscilações em torno do nível original. A freqüência destas oscilações 
é dada por: 
z
0lng2N
∂
θ∂
= 
(2.44) 
Sendo )z(0θ a distribuição da temperatura potencial na vertical da atmosfera. N é 
chamada de “freqüência de flutuação” (ou freqüência de Brunt - Vaisäla). Para 
condições troposféricas médias, N ≈ 1,2 x 10-2 s-1, tal que o período de uma oscilação de 
flutuação é da ordem de 8 minutos. Quando N = 0, isto indica que nenhuma força 
existirá e a parcela estará em equilíbrio neutro em seu novo nível. Para N2 > 0 → 
oscilação e para N2 < 0, que é o caso onde a temperatura potencial decresce com a 
altura, o deslocamento aumentará exponencialmente no tempo → instabilidade. 
Ou, podemos escrever um critério de estabilidade gravitacional para o ar seco, dado por: 
 28 
0
dz
0d >
θ
 → estabilidade estática 
0
dz
0d =
θ
 → estabilidade neutra 
0
dz
0d <
θ
 → instabilidade estática 
 
A�ÁLISE DE ESCALA DA EQUAÇÃO DA E�ERGIA TERMODI�ÂMICA 
 Uma vez que as variações na temperatura potencial são pequenas em comparação 
com o seu valor típico θ0, é conveniente escrever: 
)t,z,y,x()z(0tot θ+θ≡θ (2.45) 
Que substituindo na equação termodinâmica simplificada gera: 
Tpc
J
dz
0lndwU
t
1
=
θ
+




 θ∇•+
∂
θ∂
θ
r
 
(2.46) 
Longe das regiões de precipitação ativa dia/1
pc
J
°≤ . Colocandovalores típicos nos 
termos das equação 2.46 tem-se 1Cd4
L
U
U
t0
T −°≈
θ
≈




 θ∇•+
∂
θ∂
θ
r
, e a advecção 
vertical, ( ) 1Cd4~dwdz
0d
0
T
w −°Γ−Γ=




 θ
θ
. Podemos, então, como uma primeira 
aproximação nós encontramos que, na ausência de fortes aquecimentos diabáticos, a 
taxa de variação da perturbação na temperatura potencial é igual ao aquecimento ou 
esfriamento adiabático devidos ao movimento vertical no estado básico estaticamente 
estável: 
0
dz
0dw
Dt
D
≈
θ
+
θ
 
(2.47)