lista 3 geometria analítica

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Lista 3 - Geometria Analítica - Angelina
Exercício 1. Fazer os exercícios 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 12 das páginas 101 e 102
(Cap V, Caroli, Callioli, Feitosa) .
Exercício 2. Fazer os exercícios 1, 2 e 3 da página 104 (Cap V, Caroli,
Callioli, Feitosa) .
Resuminho ,
Módulo de um vetor
Dado um vetor −→v = (a, b, c) o módulo é dado por
|−→v | = +
√
a2 + b2 + c2
Distância de dois pontos
Sendo A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), a distância entre os pontos A e
B é dada por
d(A,B) = |B − A| = +
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
Distância de um ponto a um plano
Sendo P = (x0, y0, z0) um ponto e pi um plano dado pela equação geral
pi : ax+ by + cz + d = 0, a distância de P a pi é dada por
d(P, pi) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
Distância de um ponto a uma reta
Sendo P = (x0, y0, z0) um ponto e r uma reta dada pela equação vetorial
r : X = A+ t−→v , a distância de P a r é dada por
d(P, r) =
|(P − A) ∧ −→v |
|−→v | .
1
Área de um triângulo
Seja um triângulo ABC formado pelos pontos A, B e C não colineares
(ié, que não pertencem a mesma reta). Então, a área do triângulo é dada
por
S =
1
2
|(B − A) ∧ (C − A)| .
Volume de um tetraedro
Seja um tetraedro ABCD formado pelos pontos A, B, C e D três a três
não colineares e os quatro não complanares (ié, não pertencem ao mesmo
plano). Então, o volume do tetraedro é dado por
V =
1
6
|(B − A) ∧ (C − A)× (D − A)|
ou ainda,
V =
1
6
|[(B − A), (C − A), (D − A)]| .
Ângulo de vetores
Dados os vetores −→u e −→v o ângulo θ entre eles pode ser calculado como
cos θ =
|−→u ×−→v |
|−→u |.|−→v |
ou ainda,
senθ =
|−→u ∧ −→v |
|−→u |.|−→v |
e ainda devemos ter 0 ≤ θ ≤ pi
2
.
Ângulo entre retas
Sejam as retas r e s com direção dos vetores −→u e −→v respectivamente.
Para saber o ângulo entre as retas r e s, basta calcular o ângulo entre os
vetores −→u e −→v .
Ângulo entre reta e plano
Seja a reta r com direção do vetor −→u e o plano pi com vetor normal −→n .
Para saber o ângulo entre a reta r e o plano pi, basta calcular o ângulo entre
os vetores −→u e −→n .
Ângulo entre reta e plano
Sejam os planos pi1 e pi2 com vetores normais −→n1 e −→n2 respectivamente.
Para saber o ângulo entre o plano pi1 e o plano pi2, basta calcular o ângulo
entre os vetores −→n1 e −→n2.
2