APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo Capítulo 4: Espaços Vetoriais

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APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
CAPÍTULO 4: 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
 
4.1 ESPAÇOS VETORIAIS 2R e 3R 
 
Considere o conjunto 






∈





= RR2 yx
y
x
,: . Cada elemento 





y
x
 deste conjunto pode ser representado por 
um ponto no plano euclidiano de coordenadas x e y nos eixos das abscissas e das ordenadas, 
respectivamente; este ponto indica uma posição no plano ou o ponto final de um vetor com ponto inicial 
na origem de coordenadas. Por este último motivo, cada 





y
x
 será denominado um vetor. Em 2R são 
definidas duas operações, denominadas adição e multiplicação por um escalar, como segue: 






+
+
=





+





21
21
2
2
1
1
yy
xx
y
x
y
x
 (adição), e 






=





1
1
1
1
y
x
y
x
α
α
α (multiplicação por um escalar). 
Observe que os resultados das duas operações mencionadas anteriormente, 





+
+
21
21
yy
xx
 e 





2
2
y
x
α
α
, também 
pertencem a 2R . Além disso, estas operações possuem, entre outras, as seguintes propriedades: 
1. 
( )
( )
( )
( )














+





+





=





+
+
+





=






++
++
=





++
++
=





+





+
+
=





+













+





3
3
2
2
1
1
32
32
1
1
321
321
321
321
3
3
21
21
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
yy
xx
y
x
yyy
xxx
yyy
xxx
y
x
yy
xx
y
x
y
x
y
x
 (propriedade 
associativa da adição); 
2. 





+





=





+





1
1
2
2
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
 (propriedade comutativa da adição); 
3. o elemento 





0
0
 de 2R satisfaz; 






=





+
+
=





+





1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
y
x
y
x
y
x
 e 





=





+
+
=





+





1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
y
x
y
x
y
x
 (propriedade do elemento neutro aditivo); 
4. para cada 





1
1
y
x
, o vetor definido por 





−
−
1
1
y
x
, satisfaz: 
( )
( ) 




=





−+
−+
=





−
−
+





0
0
11
11
1
1
1
1
yy
xx
y
x
y
x
 e 
( )
( ) 




=





+−
+−
=





+





−
−
0
0
11
11
1
1
1
1
yy
xx
y
x
y
x
 (propriedade do elemento 
inverso aditivo); 
5. 
( )
( )
( )
( ) ( ) 




=





=





=





=













1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
αβ
αβ
αβ
βα
βα
β
β
αβα ; 
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Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
6. 





=





1
1
1
11
y
x
y
x
; 
7. ( ) ( )( ) 




+





=





+





=





+
+
=





+
+
=





+
2
2
1
1
2
2
1
1
11
11
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
yy
xx
y
x
y
x βαβ
β
α
α
βα
βα
βα
βαβα 
 (propriedade distributiva); 
8. 
( )
( ) 




+





=





+





=





+
+
=





+
+
=





+
+
=













+





2
2
1
1
2
2
1
1
21
21
21
21
21
21
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
yy
xx
yy
xx
yy
xx
y
x
y
x
αα
α
α
α
α
αα
αα
α
α
αα 
(propriedade distributiva). 
 
Similarmente, em 3R são definidas duas operações, denominadas adição e multiplicação por um escalar, 
como segue: 










+
+
+
=










+










21
21
21
2
2
2
1
1
1
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
 (adição), e 










=










1
1
1
1
1
1
z
y
x
z
y
x
α
α
α
α
 (multiplicação por um escalar). 
Também pode se verificar que essas duas operações satisfazem as oito propriedades enunciadas 
anteriormente para 2R . 
 
Agora, enunciamos a definição geral de espaço vetorial. 
Definição 4.1: 
Um conjunto V , não vazio, junto com duas operações 
vuvu
VVV
+
→×+
a),(
:
 e 
uu
VVK
αα a),(
: →×⋅
, 
denominadas adição e multiplicação por escalar, respectivamente, sendo K um corpo, e são satisfeitas as 
seguintes propriedades: 
A1. w)(vuwv)(u ++=++ , para quaisquer Vwv,u, ∈ , (propriedade associativa da adição); 
A2. uvvu +=+ , para quaisquer Vvu, ∈ , (propriedade comutativa da adição); 
A3. existe um elemento em V , denominado vetor nulo e denotado por 0 , tal que uu00u =+=+ , para 
qualquer Vu ∈ (existência de um elemento neutro aditivo); 
A4. para cada elemento Vu ∈ , existe um elemento em V , denominado vetor oposto e denotado por u− , 
tal que 0uu)(u)(u =+−=−+ (existência de um elemento inverso aditivo); 
M1. uu )()( βαβα = , para quaisquer K∈βα , e qualquer Vu ∈ ; 
M2. uu =1 , para qualquer Vu ∈ (sendo 1 o elemento unidade de K ); 
D1. uuu βαβα +=+ )( , para quaisquer K∈βα , e qualquer Vu ∈ , (propriedade distributiva); 
D2. vuv)(u ααα +=+ , para qualquer K∈α e quaisquer Vvu, ∈ , (propriedade distributiva); 
 
é denominado um espaço vetorial sobre o corpo K . Os elementos de V são denominado vetores e as 
propriedades enunciadas anteriormente são chamadas de axiomas de espaço vetorial. O espaço vetorial é 
denotado por )K,,(V, ⋅+ . 
 
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Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
Os corpos são outras estruturas algébricas satisfazendo determinadas propriedades. Os corpos mais 
comuns a serem utilizados são o conjunto Q dos números racionais, o conjunto R dos números reais e o 
conjunto C dos números complexos. 
 
Exemplo 4.1: 
Seja nRRV =














∈












= n
n
xxx
x
x
x
,,,: 21
2
1
K
M
, junto com as operações 












+
+
+
=












+












nnnn yx
yx
yx
y
y
y
x
x
x
MMM
22
11
2
1
2
1
 e 












=












nn x
x
x
x
x
x
α
α
α
α
MM
2
1
2
1
, R∈α . 
Os axiomas de espaço vetorialsão facilmente verificados baseados nas propriedades da adição e 
multiplicação de números reais, como pode ser visto a seguir. 
A1: propriedade associativa da adição 












++
++
++
=












+












+
+
+
=












+


























+












nnnnnnnnn zyx
zyx
zyx
z
z
z
yx
yx
yx
z
z
z
y
y
y
x
x
x
)(
)(
)(
222
111
2
1
22
11
2
1
2
1
2
1
MMMMMM
 e 












++
++
++
=












+
+
+
+












=


























+












+












)(
)(
)(
222
111
22
11
2
1
2
1
2
1
2
1
nnnnnnnnn zyx
zyx
zyx
zy
zy
zy
x
x
x
z
z
z
y
y
y
x
x
x
MMMMMM
 
e quando comparados os últimos vetores de cada seqüência de igualdades são iguais. 
A2: propriedade comutativa da adição 












+












=












+
+
+
=












+
+
+
=












+












nnnnnnnn x
x
x
y
y
y
xy
xy
xy
yx
yx
yx
y
y
y
x
x
x
MMMMMM
2
1
2
1
22
11
22
11
2
1
2
1
. 
A3: propriedade do elemento neutro aditivo: o elemento nR∈












0
0
0
M
 satisfaz 












=












+
+
+
=












+












nnn x
x
x
x
x
x
x
x
x
MMMM
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
. 
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Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
A4: propriedade do elemento inverso aditivo (ou oposto): para cada vetor 












nx
x
x
M
2
1
, o vetor 












−
−
−
nx
x
x
M
2
1
 satisfaz 












=












−+
−+
−+
=












−
−
−
+












0
0
0
)(
)(
)(
22
11
2
1
2
1
MMMM
nnnn xx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
. 
M1: ( )












=












=












=












=


























nnnnn x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
MMMMM
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
αβ
βα
βα
βα
βα
βα
βα
β
β
β
αβα . 
M2: 












=












=












nnn x
x
x
x
x
x
x
x
x
MMM
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1 . 
D1: ( )
( )
( )
( ) 











+












=












+












=












+
+
+
=












+
+
+
=












+
nnnnnnnn x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
x
MMMMMMM
2
1
2
1
2
1
2
1
22
11
2
1
2
1
βα
β
β
β
α
α
α
βα
βα
βα
βα
βα
βα
βα . 
D2:












+












=












+












=












+
+
+
=












+
+
+
=












+
+
+
=


























+












nnnnnnnnnnnn y
y
y
x
x
x
y
y
y
x
x
x
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
y
y
y
x
x
x
MMMMMMMMM
2
1
2
1
2
1
2
1
22
11
22
11
22
11
2
1
2
1
)(
)(
)(
αα
α
α
α
α
α
α
αα
αα
αα
α
α
α
αα . 
Assim, ),( ⋅+ R,,Rn é um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais, ou, simplesmente, um espaço 
vetorial real. 
 
Exemplo 4.2: 
O subconjunto de 2R dado por 






∈





= RV 1
1
:
0
x
x
 junto com as operações 




 +
=





+





000
1111 yxyx
 e 






=





00
11 xx αα com R∈α satisfaz os axiomas de espaço vetorial. 
A1: propriedade associativa da adição: 
( ) ( )














+





+





=





 +
+





=




 ++
=




 ++
=





+




 +
=





+













+





000
000000000
321
321321321321321
xxx
xxxxxxxxxxxxxxx
. 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
A2: propriedade comutativa da adição 





+





=




 +
=




 +
=





+





1
1
2
2122121
0000 y
x
y
xxxxxxx
. 
A3: propriedade do elemento neutro aditivo: o elemento V∈





0
0
 satisfaz 





=




 +
=





+





00
0
0
0
0
111 xxx
. 
A4: propriedade do elemento inverso aditivo (ou oposto): para cada vetor 





0
1x
, o vetor 




−
0
1x
 satisfaz 






=




 −+
=




−
+





0
0
0
)(
00
1111 xxxx
. 
M1: ( ) 





=





=





=





=













00
)(
0
)(
00
11111 xxxxx αββαβαβαβα . 
M2: 





=





=





00
1
0
1 111
xxx
. 
D1: ( ) 





+





=





+





=




 +
=



 +
=





+
000000
)(
0
11111111 xxxxxxxx βαβαβαβαβα . 
D2: 





+





=





+





=




 +
=




 +
=













+





00000
)(
000
2121212121 xxxxxxxxxx αα
ααα
αα . 
Logo, ),( ⋅+ R,V, é um espaço vetorial real. 
 
Exemplo 4.3: 
O conjunto 






∈





= QV 2
2
:
0
x
x
 junto com as operações 





+
=





+





2222
000
yxyx
 e 





=





22
00
xx
α com 
Q∈α satisfaz os axiomas de espaço vetorial. Logo, ),( ⋅+ Q,V, é um espaço vetorial sobre o corpo dos 
números racionais, ou, simplesmente, um espaço vetorial racional. 
 
Exemplo 4.4: 
Considere o conjunto V das funções reais sobre um intervalo ],[ ba , junto com as operações da adição 
usual de funções e multiplicação por escalar real. Pode-se verificar que tal conjunto forma um espaço 
vetorial real. 
 
Exemplo 4.5: 
Considere o conjunto nCCV =














∈












= n
n
xxx
x
x
x
,,,: 21
2
1
K
M
 junto com as operações 












+
+
+
=












+












nnnn yx
yx
yx
y
y
y
x
x
x
MMM
22
11
2
1
2
1
 e 












=












nn x
x
x
x
x
x
α
α
α
α
MM
2
1
2
1
, C∈α . 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
Os axiomas de espaço vetorial são facilmente verificados baseados nas propriedades da adição e 
multiplicação de números complexos. Assim, ),( ⋅+ C,,Cn é um espaço vetorial sobre o corpo dos números 
complexos, ou, simplesmente, um espaço vetorial complexo. 
 
Propriedades 4.1: 
Seja )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial. Então são válidas as seguintes propriedades: 
1. 00 =α , para qualquer K∈α ; 
2. 0u =0 , para qualquer Vu ∈ ; 
3. )()( uu αα −=− , para qualquer Vu ∈ ; 
4. se 0u ≠ e 0u =α , então 0=α . 
Prova: 
As provas destas afirmações são rotineiras. Elas são apresentadas de maneira resumida: 
1. Como 00000 αααα +=+= )( , então 00 =α . 
2. Como uuuu 00)00(0 +=+= , então 0u =0 . 
3. Como ( ) uuuu0 )()(0 αααα −+=−+== , então )()( uu αα −=− . 
4. Se 0u ≠ e 0u =α , mas 0≠α , então uuu00 ==⋅== −− 111 ααα , uma contradição. Logo, 
0=α . 
 
Definição 4.2: 
Seja )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial. Então um subconjunto não vazio VW ⊂ é denominado um 
subespaço vetorial de V se, e somente se, o conjunto W junto com as operações de adição e 
multiplicação por escalar restritas a W forma, por sua vez um espaço vetorial sobre K . 
 
Propriedade 4.2: 
Seja )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial. Então um subconjunto não vazio VW ⊂ é um subespaço vetorial de 
V se, e somente se, Www ∈+ 21 βα sempre que K∈βα , e Www ∈21, . 
 
Exemplo 4.6: 
Considere o espaço vetorial ),( ⋅+ R,,R2 . Logo, 211 :0 RRW ⊂





∈





= x
x
 é um subespaço vetorial de 2R , 
pois, de acordo com a propriedade anterior, W∈




 +
=





+





000
1111 yxyx βαβα . 
 
Exemplo 4.7: 
Considere o espaço vetorial V das funções reais sobre um intervalo ],[ ba . O conjunto VW ⊂ das 
funções contínuas sobre ],[ ba é um subespaço de V , pois, sabe-se, do cálculo, que se f e g são 
contínuas então gf βα + é contínua para quaisquer R∈βα , . 
 
4.2 INDEPENDÊNCIA LINEAR E BASES 
Definição 4.3: 
Seja )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial. 
1. Os vetores { }n21 v,,v,v K são ditos linearmente dependentes sobre K se, e somente se, existem 
escalares nααα ,,, 21 K não todos nulos tais que 0vvv n21 =+++ nααα L21 . 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
2. Os vetores { }n21 v,,v,v K são ditos linearmente independentes sobre K se, e somente se, não são 
linearmente dependentes sobre K , ou seja, a igualdade 0vvv n21 =+++ nααα L21 implica que 
021 ==== nααα K . 
 
Exemplo 4.8: 
Considere o espaço ),( ⋅+ R,,R3 . Suponha que é requerido determinar se os vetores 






























1
1
1
,
2
1
3
 são 
linearmente independentes ou não. Considere a combinação nula 










=










+










0
0
0
1
1
1
2
1
3
21 αα . 
Essa combinação origina o sistema de equações lineares 





=+
=+
=+
02
0
03
21
21
21
αα
αα
αα
. A seguir, mostra-se matriz 
aumentada desse sistema e sua transformação para uma forma escalonada: 










 →
−→










 →
−→
−→










0
0
0
0
1
0
0
3
0
0
01
0
0
3
0
0
0
1
1
1
2
1
3
3
2
3
1
3
2
M
M
M
M
M
M
M
M
M
22
1
3313
2
33
13
1
22
LLLLLL
LLL
. 
Logo, o sistema é equivalente a 





=
=
=+
00
0
03
23
2
21
α
αα
, cuja única solução é 021 == αα . Portanto, os vetores 






























1
1
1
,
2
1
3
 são linearmente independentes (sobre R). 
 
Exemplo 4.9: 
Considere o espaço ),( ⋅+ R,,R3 . O conjunto 








































1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
 origina a combinação nula: 










=










+










+










0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
321 ααα , 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
ou seja, o sistema 





=
=+
=++
.0
,0
,0
3
32
321
α
αα
ααα
 A matriz do sistema é 










100
110
111
 cujo determinante é 1. Logo, a 
única solução do sistema é 0321 === ααα . Portanto, os vetores 








































1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
 são linearmente 
independentes (sobre R). 
 
Exemplo 4.10: 
Considere o espaço ),( ⋅+ R,,R3 . O conjunto 








































1
1
0
,
1
1
1
,
0
0
1
 origina a combinação nula: 










=










+










+










0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
321 ααα , 
ou seja, o sistema quadrado 





=+
=+
=+
0
0
0
32
32
21
αα
αα
αα
 A matriz do sistema é 










110110
011
 cujo determinante é 0 . 
Procede-se a encontrar as soluções desse sistema montando a matriz aumentada e transformando para uma 
forma escalonada: 










 →
−→










0000
0110
0011
0110
0110
0011
M
M
M
M
M
M
233 LLL
. 
Logo, o sistema é equivalente a 





=
=+
=+
00
0
0
32
21
αα
αα
, cujas soluções são 32 αα −= e 321 ααα =−= , ou seja, 










−=










−=










1
1
1
3
3
3
3
3
2
1
α
α
α
α
α
α
α
, onde 3α é um parâmetro livre. Observa-se que existem (infinitas) soluções não 
nulas do sistema homogêneo. Portanto, os vetores 








































1
1
0
,
1
1
1
,
0
0
1
 são linearmente dependentes (sobre R). 
 
Definição 4.4: 
Seja )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial. O espaço V é dito de dimensão finita se, e somente se, existe um 
conjunto finito de vetores { }n21 v,,v,v K tal que todo vetor Vv ∈ pode ser escrito como a combinação 
linear n21 vvvv nααα +++= L21 , para alguns escalares K∈nααα ,,, 21 K . 
 
 
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
Definição 4.5: 
Seja )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial de dimensão finita. Um conjunto finito de vetores { }n21 v,,v,v K é dito 
uma base do espaço vetorial se, e somente se, eles são linearmente independentes sobre K e todo vetor 
Vv ∈ pode ser escrito como a combinação linear n21 vvvv nααα +++= L21 , para alguns escalares 
K∈nααα ,,, 21 K , denominados coordenadas do vetor Vv ∈ na base { }n21 v,,v,v K . 
 
Pode-se verificar que as coordenadas de um vetor Vv ∈ na base { }n21 v,,v,v K são únicas. 
 
Propriedade 4.3: 
Seja )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial de dimensão finita. Então quaisquer duas bases desse espaço vetorial 
possuem o mesmo número de vetores. 
Em vista da propriedade anterior, o número de vetores das bases do espaço é denominado a dimensão do 
espaço V sobre K . A dimensão do espaço V é denotada por )(dim VK . 
 
Exemplo 4.11: 
Considere o espaço ),( ⋅+ R,,R3 . Todo vetor 3R∈










z
y
x
 pode ser escrito como 










+










+










=










1
0
0
0
1
0
0
0
1
zyx
z
y
x
, 
e observe que o conjunto 








































1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
 é linearmente independente sobre R. Logo, tal conjunto define 
uma base de 3R sobre R . Pela simplicidade desta base, ela é denominada a base canônica de 3R . As 
coordenadas do vetor 3R∈










z
y
x
 na base canônica são 










z
y
x
. Pode-se concluir, também, que a dimensão de 
3R sobre R é 3, ou seja, ( ) 3dim =3R R . 
 
O processo desenvolvido no exemplo anterior, pode ser estendido para o espaço ),( ⋅+ R,,Rn . Em 
outras palavras, o conjunto de n vetores, 


















































1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
M
L
MM
, forma uma base de nR sobre R , 
denominada a base canônica. Daí, pode-se concluir que ( ) n=nR Rdim . Este resultado é importante pois 
afirma que sempre existe, pelo menos, um espaço vetorial de dimensão n , para cada n natural. Mais 
adiante, pode-se comprovar que as propriedades algébricas de um espaço vetorial de dimensão n são as 
mesmas que as propriedades de ),( ⋅+ R,,Rn . Assim, para estudar os espaços de dimensão finita, basta 
estudar os espaços ),( ⋅+ R,,Rn . 
 
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Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
A seguinte propriedade afirma que, num espaço de dimensão finita, a dimensão de qualquer subespaço 
também é finita. 
 
Propriedade 4.4: 
Sejam )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial de dimensão finita e VW ⊂ um subespaço. Então W é de 
dimensão finita e )dim()dim( VW ≤ . 
 
Exemplo 4.12: 
Considere o espaço vetorial ),( ⋅+ R,,R3 . Logo, 3RRW ⊂










∈










+
−
= yxyx
yx
,:
0
 é um subespaço vetorial de 
3R (por que?). Também, observe que todo vetor W∈










+
−
0
yx
yx
 pode ser escrito como 









−
+










=










+
−
0
1
1
0
1
1
0
yxyx
yx
, 
e o conjunto de vetores 



















−










0
1
1
,
0
1
1
 é linearmente independente sobre R (por que?) e portanto, tal 
conjunto constitui uma base para W . Logo, )dim32dim 3RR (R(W) =<= . 
 
4.3 MUDANÇA DE BASE 
 
Seja )K,,(V, ⋅+ um espaço vetorial tal que n=)dim(V . Seja Vv ∈ . Dada uma base { }n21 v,,v,v K=B , 
tem-se que n21 vvvv nααα +++= L21 , para alguns escalares K∈nααα ,,, 21 K . Denota-se [ ]
B
Bv












=
nα
α
α
M
2
1
 e 
denomina-se vetor de coordenadas do vetor Vv ∈ na base B . Dada outra base, { }'''' n21 v,,v,v K=B , 
existem, de fato, alguns escalares K∈',,',' 21 nααα K tais que ''''' 21 n21 vvvv nααα +++= L , e, nesse caso, 
o vetor de coordenadas de Vv ∈ na base 'B é [ ]
B
Bv












=
'
'
'
2
1
'
nα
α
α
M
. 
Observe que se 







+++=
+++=
+++=
'''
'''
'''
21
22212
12111
n21n
n212
n211
vvvv
vvvv
vvvv
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
L
M
L
L
, para certos escalares K∈ija , então se teria que 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
[ ]
[ ] .''' 2
1
21
22221
11211
2
1
21
























=












=+++=
nnnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
α
α
α
α
α
α
ααα
M
L
MOMM
L
L
L
M
LL
n21
n21n21
vvv
vvvvvvv
 
Esta igualdade significa que se [ ]












=
nα
α
α
M
2
1
Bv é o vetor de coordenadas na base { }n21 v,,v,v K=B , então o 
vetor de coordenadas [ ]












=
'
'
'
2
1
'
nα
α
α
M
Bv na base { }'''' n21 v,,v,v K=B está dado por 
[ ]












=
























=












nnnnnn
n
n
n aaa
aaa
aaa
α
α
α
α
α
α
α
α
α
M
L
M
L
MOMM
L
L
M
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
][][][
'
'
'
BnB2B1 vvv . 
A matriz 












=→
nnnn
n
n
aaaaaa
aaa
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
B'BP é denominada a matriz de mudança de base de { }n21 v,,v,v K=B 
para { }'''' n21 v,,v,v K=B . Assim, 
[ ] [ ] [ ]BBnB2B1B'BB vvvvPv ][][][' L== → . 
 
A matriz BBP →' de mudança de base de 'B para B está dada simplesmente pela inversa de B'BP → , ou seja, 
1
'
)( −→→ = B'BBB PP . 
A importância das matrizes de mudança de base é considerável, pois ela auxilia na conversão de 
coordenadas de vetores de uma base para outra, e também para determinar as equações cartesianas de 
lugares geométricos em outras bases. 
 
Exemplo 4.14: 
Considere o espaço vetorial ),( ⋅+ R,,R3 . Provou-se anteriormente que 
{ }








































==
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
321 v,v,vB e { }








































==
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
'''' 321 v,v,vB 
são bases de 3R sobre R . Agora, 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
,'1')1('0
1
1
1
1
0
1
1
)1(
0
0
1
0
1
0
0
,'0'1')1(
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
)1(
0
1
0
,'0'0'1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
3213
3212
3211
vvvv
vvvv
vvvv
+−+=










+










−+










=










=
++−=










+










+










−=










=
++=










+










+










=










=
 
e a matriz de mudança de base de B para 'B é 










−
−
=→
100
110
011
B'BP . Assim, por exemplo, o vetor de 
coordenadas 










−
1
2
5
 na base canônica B tem o vetor de coordenadas 










−=










−










−
−
1
3
7
1
2
5
100
110
011
 na base 
'B . 
 
Exemplo 4.15: 
Considere o espaço vetorial ),( ⋅+ R,,R3 . Sabe-se, da geometria analítica, que, na base canônica 
{ }








































==
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
321 v,v,vB , 
2553 =−+ zyx 
é a equação de um plano. Quer-se determinar qual é a equação deste plano na base 
{ }








































==
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
'''' 321 v,v,vB . Observe que 
BB
B'B
B
P




















−
−
=










=










→
z
y
x
z
y
x
z
y
x
100
110
011
'
, ou seja, 
''
1
'
'
100
110
011
100
110
011
BBB
BB
B
P




















=




















−
−
=










=










−
→
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
. 
Por outro lado, a equação do plano, na base B , pode ser escrita como 
[ ] 2553 =










⋅−
Bz
y
x
, ou seja, 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
[ ]
'
100
110
011
553
B










⋅










⋅−
z
y
x
=2, ou, [ ] 2083
'
=










⋅
Bz
y
x
, ou, 
283 =+ yx na base 'B . 
Similarmente, suponha que é desejado transformar a equação cartesiana 
15823 222 =−−+−++ zyxzyxyx 
para a equação na base { }








































==
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
'''' 321 v,v,vB . Observe que a equação quadrática anterior pode 
ser escrita como 
[ ] [ ] 1158
100
011
013
=










−+




















− BB
B
z
y
x
z
y
x
zyx 
e considerando que 
''
1
'
'
100
110
011
100
110
011
BBB
BB
B
P




















=




















−
−
=










⋅=










−
→
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
 tem-se que 
[ ] [ ] [ ]










=










=
110
011
001
100
110
011
'' BBB zyxzyxzyx
t
. 
Substituindo os valores de [ ]Bzyx e 
B










z
y
x
 na equação cartesiana, tem-se que 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] 14138
021
264
143
100
110
011
158
100
110
011
100
011
013
110
011
001
158
100
011
013
''
'
''
'
=










+




















⋅=




















−+






























−









=










−+




















−
BB
B
BB
B
BB
B
z
y
x
z
y
x
zyx
z
y
x
z
y
x
zyx
z
y
x
z
y
x
zyx
ou seja, a 
equação quadrática 15823 222 =−−+−++ zyxzyxyx na base canônica pode ser escrita como 
141384283 22 =+++++++ zyxyzxzyxyx 
na base { }








































==
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
'''' 321 v,v,vB . 
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
A idéia de determinar equações cartesianas em outras bases pode ser estendida a partir deste exemplo. Isto 
é interessante porque permite identificar qual é o tipo de seção cônica ou superfície quádrica determinada 
por uma equação cartesiana em 2R ou 3R , desde que se conheça uma base adequada nesses espaços. 
 
O procedimento prático para calcular a matriz B'BP → é o seguinte: 
Forme a matriz [ ]BB' M e reduza tal matriz, mediante operações elementares por linhas para a forma 
[ ]B'BPI →M . 
 
Exemplo 4.16: 
Considere o espaço vetorial ),( 2 ⋅+ R,,R e as bases { }











−





==
1
1
,
1
1
21 v,vB e 
{ }











−






==
1
2
,
2
1
''' 21 v,vB . Para determinar B'BP → mostra-se a seguir a matriz [ ]BB' M e sua 
transformação para a forma [ ]B'BPI →M : 
[ ]






−
 →
+→





 −
−
−
 →
→





 −
−
−
 →
−→





 −−
=
5
3
5
1
5
1
5
3
211
5
3
5
1
25
1
2
122
2LLL
LL
2LLLBB'
M
M
M
M
M
M
M
M
M
1
0
0
1
11
1
2
0
1
3
1
1
1
5
2
0
1
1
1
1
1
1
2
2
1
 
Logo, 





−
=→
5
3
5
1
5
1
5
3
B'BP . 
 
4.4 EXERCICIOS PROPOSTOS 
 
 
1. Verifique que cada um dos seguintes conjuntos de vetores é linearmente dependente: 
a. 


















2
2
,
1
1
 b. 


















0
0
,
0
1
 c. 






























−
−










0
2
0
,
1
1
1
,
1
1
1
 
d. 






























0
0
0
,
1
1
1
 e. 
























1
1
,
1
0
,
0
1
 f. 


















































1
1
1
,
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
 
E 
2. Diga se cada um dos seguintes conjuntos de vetores é linearmente independente ou linearmente 
dependente: 
a. 


















1
0
,
1
1
 b. 











−






0
1
,
0
1
 c. 








































1
0
0
,
1
1
0
,
0
1
1
 
APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES Prof. Germán R. C. Suazo 
Capítulo 4: Espaços Vetoriais 
d. 




















−




















0
1
1
,
0
1
1
,
1
1
1
 e. 












0
1
 f. 








































1
0
1
,
1
1
0
,
0
0
1
 
3. Diga se cada subconjunto a seguir é um subespaço do conjunto referido 
a. 21:0
0
RRW ⊂






∈





= x ; b. 2RRW ⊂






∈





= 1
1
:
0
y
y
; 
c. 3RRW ⊂










∈










= 11 :
0
1
yy ; d. 3RRW ⊂










∈










= 11
1
1 ,:
0
zy
z
y . 
e. 3RRW ⊂










∈










+= 1111
1
,:
1
yxyx
x
; f. 3RRW ⊂










∈










+
−
= 1111
11
,:
0
yxyx
yx
. 
4. Encontre a matriz de mudança de base indicada: 
a. da base canônica de 2R para a base 


















1
0
,
1
1
; 
b. da base 


















1
0
,
1
1
 para a base 


















− 1
1
,
1
1
; 
c. da base 








































1
0
0
,
1
1
0
,
0
1
1
 para a base canônica de 3R ; 
d. da base 








































1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
 para a base 








































1
0
0
,
1
1
0
,
1
1
1
. 
5. Considere B como sendo a base canônica de 2R e 


















=
1
0
,
1
1
'B . Encontre B'BP → e determine a 
equação na base 'B das seguintes equações dadas na base canônica B : 
a. 227 =− yx ; b. 1=− xxy ; c. 222 =+− yxyx . 
6. Considere B como sendo a base canônica de 3R e 








































=
1
1
1
,
0
1
1
,
0
0
1
'B . Encontre B'BP → e 
determine a equação na base 'B das seguintes equações dadas na base canônica B : 
a. 2=++ zyx ; b. 2=− xzxy ; 
c. 242 22 =+++++− zyxzyxxyx .