material de amostragem 2

Prévia do material em texto

TE´CNICAS DE AMOSTRAGEM
Paulo J. Ogliari
INE/CTC/UFSC
ogliari@inf.ufsc.br
Exemplos na˜o cient´ıficos:
Exame de sangue
Testar um alimento (aroma, sabor, textura)
Pesquisa cient´ıfica:
Deseja-se conhecer algumas caracter´ısticas da populac¸a˜o
(paraˆmetros) −→ observar uma amostra −→ estimativas
para as caracter´ısticas individuais.
1
Exemplos: aceitabilidade da merenda escolar (proporc¸a˜o);
consumo de hortalic¸as (proporc¸a˜o); estudo das condic¸o˜es de
armazenamento, comercializac¸a˜o dos alimentos do ponto de
vista nutricional; estudo da sanidade dos color´ıficos; estudo
do queijo colonial da regia˜o serrana de SC, etc.
Experimentos e Estudos Observacionais
Experimento: sempre existe uma relac¸a˜o de:
causa ⇒ efeito
Exemplo: 3 meios de cultura ⇒ populac¸o˜es de bacte´rias
(causa, tratamento) (efeito,resposta)
⇑ ⇑
Varia´veis independentes varia´veis dependentes
Fator(es)
2
Estudos Observacionais: as pesquisas baseiam-se no
registro da ocorreˆncia natural de caracter´ısticas ou propri-
edades das unidades. Finalidades: descritiva, estimac¸a˜o ou
detectar relac¸o˜es entre as caracter´ısticas (ana´lise multivari-
ada).
Alguns conceitos e exemplos
Populac¸a˜o: e´ um conjunto real e finito de elementos
pass´ıveis de serem mensurados, com respeito a`s varia´veis
que se pretende levantar. Exemplos: propriedades agr´ıcolas,
pessoas, alunos, supermercados. Podem ser Finitas ou In-
finitas (푛 ≤ 0.05푁 , onde 푛 e´ o tamanho da amostra e 푁
e´ o tamanho da populac¸a˜o). Devemos definir: ”Populac¸a˜o
amostrada” (de onde saira˜o as amostras. E´ mais limitada,
mais acess´ıvel do que a populac¸a˜o objetivo) e ”Populac¸a˜o
objetivo” (sobre a qual desejamos as informac¸o˜es. E´ a po-
pulac¸a˜o finita total). Explicitar a populac¸a˜o respondendo:
3
1) o queˆ? 2)em quem? 3) onde? e 4) quando?
Unidade de amostra: e´ a unidade a ser selecionada
para se chegar aos elementos da populac¸a˜o. E´ a menor parte
distinta da populac¸a˜o, identifica´vel para fins de enumerac¸a˜o
e sorteio. Devemos definir qual a nossa unidade amostral.
Devem cobrir, sem superposic¸a˜o, toda a populac¸a˜o. Se a
unidade de sorteio e´ a mesma para observac¸a˜o e ana´lise,
a unidade amostral sera´ o elemento. Por outro lado, se
a populac¸a˜o for identificada por conjunto de elementos, a
unidade amostral sera´ o conglomerado, ainda que a unidade
de observac¸a˜o e ana´lise seja o elemento.
Amostra: e´ uma parte da populac¸a˜o. Pode ser 푐표푚 e
푠푒푚 reposic¸a˜o.
Paraˆmetros: sa˜o caracter´ısticas dos elementos da po-
pulac¸a˜o. (Principais: Me´dia(휇), Proporc¸a˜o(휋), Variaˆncia(휎2)
4
e Total(휏 )).
Estat´ısticas: sa˜o caracter´ısticas dos elementos da amos-
tra. (Principais: Me´dia(푋¯), Proporc¸a˜o(푃 ), Variaˆncia(푆2) e
Total(푌 )).
Estimativas: os valores derivados dos dados da amos-
tra com o objetivo de avaliar paraˆmetros desconhecidos.
(Me´dia(푥¯), Proporc¸a˜o(푝ˆ), Variaˆncia(푠2) e Total(푦))
Exemplo 1:
Objetivo geral: caracterizac¸a˜o (f´ısico, qu´ımico, microbiolo´gico
e sensorial) do queijo colonial na regia˜o serrana de SC.
Populac¸a˜o: todas as propriedades (unidades de amostra-
gem) da regia˜o. Sera´ obtido um queijo (elemento da po-
pulac¸a˜o).
Amostra: uma parte das propriedades agr´ıcolas da regia˜o.
Paraˆmetro: populac¸a˜o me´dia de coloˆnias de bacte´rias na
populac¸a˜o.
5
Estimativa: e´ o valor nume´rico da populac¸a˜o me´dia de
coloˆnias da amostra.
Estat´ıstica: 푋¯ = Σ푋푛
6
Exemplo 2:
Objetivo geral: estudar a situac¸a˜o econoˆmica dos fun-
ciona´rios de uma Secretaria de Governo.
Populac¸a˜o: todos os funciona´rios da Secretaria de Educac¸a˜o
do Governo do Estado de SC no ano de 2002. Unidade de
amostragem: funciona´rio.
Amostra: uma amostra de 푛 elementos distribu´ıdos nas
seguintes faixas salariais:
ate´ 500 u.m. (푛1)
de 501 u.m. ate´ 1500 u.m. (푛2)
de 1501 ate´ 3000 u.m. (푛3)
acima de 3000 u.m. (푛4)
Paraˆmetro: proporc¸a˜o e o nu´mero dos que tem casa pro´pria
na populac¸a˜o.
Estimativa: a proporc¸a˜o e o nu´mero verificado na amostra.
7
Exemplo 3:
Objetivo geral: identificar os fatores que dificultam o acesso
aos programas de imunizac¸a˜o.
Populac¸a˜o objeto: todas as crianc¸as menores de 13 meses
residentes num determinado munic´ıpio, no ano de 2002.
Populac¸a˜o amostrada: 85,5% da populac¸a˜o objeto.
Unidade de amostragem: quadras residenciais (conglome-
rados)
Elemento: crianc¸as menores de 13 meses.
Amostra: uma amostra de 450 crianc¸as observadas medi-
ante o sorteio pre´vio de 45 quadras residenciais.
Paraˆmetro: grau de instruc¸a˜o dos pais (proporc¸o˜es) na
populac¸a˜o.
Estimativa: a proporc¸a˜o na amostra.
8
Amostragem: relac¸o˜es entre populac¸o˜es e
amostras
Populac¸a˜o
Plano de
-
amostragem
Amostra
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½
½½=Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZZ}
Infereˆncia
Estimativas dos paraˆmetros populacionais
Alguns pontos importantes:
∙ A amostra deve ser obtida por processos adequados ⇒
planos de amostragem.
∙ A amostra deve ser representativa da populac¸a˜o.
9
∙ Os problemas de amostragem exigem muito bom senso
e experieˆncia.
∙ Geralmente exigem uma equipe multidisciplinar.
Por que fazer amostragem?
∙ Economia.
∙ Confiabilidade dos dados (precisa˜o).
∙ Tempo.
∙ Operacionalidade.
∙ A populac¸a˜o pode ser infinita.
∙ Testes destrutivos.
∙ Atualizac¸a˜o.
Situac¸o˜es em que o censo e´ mais vantajoso:
∙ A populac¸a˜o e´ pequena.
∙ Caracter´ıstica de fa´cil mensurac¸a˜o.
10
∙ Necessidade de alta precisa˜o.
∙ O tamanho da amostra e´ grande em relac¸a˜o ao tamanho
da populac¸a˜o.
∙ Ocasionalmente ja´ se dispo˜e de informac¸a˜o completa.
Tipos de amostragem
∙ Aleato´rias ou Probabil´ısticas: a selec¸a˜o dos elementos da
amostra e´ feita sob alguma forma de sorteio (aleato´rio).
∙ Na˜o Probabil´ısticas: e´ subjetiva ou por julgamento (espe-
cialistas escolhem as unidades amostrais representativas
”intencional”). Amostragem por cotas. Exemplo: moi-
nhos de farinha de mandioca no litoral central de SC, um
te´cnico indicou, segundo seu julgamento, aquelas mais
t´ıpicas.
11
Classificac¸a˜o das amostras probabil´ısticas
A. Quanto a probabilidade
igual para cada elemento
diferente1
B. Quanto a unidade amostral2
individual
conglomerado (uma microregia˜o, uma escola)
C. Quanto a divisa˜o em subpopulac¸o˜es
estratificada (bairro)
na˜o estratificada
D. Quanto ao nu´mero de esta´gios
um u´nico
mais de um3 (1o. munic´ıpio e
2o. estabelecimentos agr´ıcolas)
E. Quanto a` selec¸a˜o
aleato´ria
sistema´tica
12
13
1 Temos uma varia´vel conhecida e com alto grau de cor-
relac¸a˜o positiva com a varia´vel em estudo, a informac¸a˜o so-
bre essa varia´vel pode ser usada para selecionar as unidades,
de tal forma que diferentes unidades tenham diferentes pro-
babilidades de selec¸a˜o, com o objetivo de obter estimativas
precisas. Exemplo: numa amostragem de estabelecimentos
comerciais, enquanto prepara-se a lista dos estabelecimentos,
informac¸a˜o sobre o tamanho tambe´m e´ coletado, portanto,
uma amostra de estabelecimentos poderia ser obtida de tal
forma que cada estabelecimento tem uma probabilidade co-
nhecida e diferente.
2 Exemplo: elemento da populac¸a˜o sa˜o as crianc¸as menores
de 13 meses. No primeiro caso (unidade amostral indivi-
dual), 450 crianc¸as foram sorteadas diretamente do registro
de um servic¸o municipal de atendimento a` crianc¸a da ci-
dade. No segundo caso (unidade amostral conglomerados)
14
450 crianc¸as foram observadas mediante o sorteio inicial de
45 quadras residenciais.
3 Usa-se amostragem em mu´ltiplos esta´gios principalmente
devido a falta de um sistema de refereˆncia preciso e atuali-
zado. Facilidade.
Combinac¸o˜es:
- Amostragem estratificada em va´rios esta´gios(idade, esco-
laridade, sexo)- Amostragem na˜o estratificada num u´nico esta´gio
- outras combinac¸o˜es
15
Plano de amostragem
Para realizar um plano de amostragem e´ preciso definir:
∙ Os objetivos da pesquisa (explicitar, com precisa˜o, as
evideˆncias pretendidas).
∙ Hipo´teses (expectativas)
∙ A populac¸a˜o a ser amostrada (o queˆ? em quem? onde?
quando?).
∙ Os paraˆmetros a serem estimados (varia´veis a serem ob-
servadas).
∙ Unidade de amostragem (e´ a unidade a ser selecionada
para se chegar aos elementos da populac¸a˜o; algumas vezes
coincide com os elementos da populac¸a˜o).
∙ A forma de selec¸a˜o da amostra, isto e´, o projeto (Aleato´ria
16
Simples, Sistema´tica, Estratificada, Conglomerados ou
combinac¸a˜o disso. Vai fazer em esta´gios?).
∙ O tamanho da amostra (Geralmente resultara´ da conci-
liac¸a˜o do atendimento do plano de ana´lise proposto com
as limitac¸o˜es dos recursos dispon´ıveis).
∙ O custo do levantamento (atrave´s do custo de uma uni-
dade amostral).
∙ Qual a confiabilidade e precisa˜o desejadas?
∙ Estudo piloto (Teste para a aplicac¸a˜o e ajuste de todas as
deciso˜es tomadas na composic¸a˜o do processo). Usar pelo
menos 50 ”elementos” se estimativas preliminares forem
calculadas para determinar o tamanho da amostra.
17
Problema ba´sico
Temos, X: uma varia´vel aleato´ria qualquer;
Populac¸a˜o: 푋1, 푋2, ..., 푋푁 (valores de X para diferentes
unidades amostrais, exemplo: quantidade de leite, em litros,
entregue pelos fornecedores de um latic´ınio);
Interessados em caracter´ısticas populacionais (paraˆmetros):
Total: 휏
Me´dia: 흁
Proporc¸a˜o: 휋
Variaˆncia: 흈2
Objetivo da amostragem: e´ estimar uma ou mais des-
sas caracter´ısticas com os dados de uma amostra de 푛 ob-
servac¸o˜es da populac¸a˜o.
Valores de X para a amostra: 푥1, 푥2, 푥3, ..., 푥푛 (푛 < 푁)
Para estimar 흁 parece razoa´vel utilizar a me´dia da amostra
18
(푋)
푋 =
1
푛
푛∑
푖=1
푋푖
Como avaliar as propriedades desse estimador (푋)?
Uma possibilidade e´ investigar como os valores de 푋 (es-
tat´ıstica) se comportam em relac¸a˜o a 흁 quando amostras
sucessivas sa˜o retiradas.
Amostragem probabil´ıstica
Caracteriza-se por garantir, a priori, que todo elemento
pertencente ao universo de estudo possua probabilidade, co-
19
nhecida e diferente de zero, de pertencer a` amostra sorteada.
De modo equivalente, vamos considerar (pelo menos con-
ceitualmente) todas as poss´ıveis amostras de tamanho 푛 :
푆1, 푆2, ..., isto e´, cada 푆푖 e´ uma amostra distinta de tama-
nho 푛 retirada da populac¸a˜o.
Um plano de amostragem probabil´ıstica associa uma pro-
babilidade 휋푖 para cada 푆푖 e uma particular amostra,S, e´
escolhida de acordo com esta estrutura de probabilidade.
Diferentes planos de amostragem probabil´ısticas esta˜o dis-
pon´ıveis, correspondendo a diferentes distribuic¸o˜es de pro-
babilidade 흅 = {휋1, 휋2, ...}.
Exemplo:
Populac¸a˜o: composta dos elementos (A, B, C, D, E), nos
quais observa-se a caracter´ıstica X, e os resultados foram:
20
1,2,3,4,5. Assim, 푁 = 5, a me´dia populacional vale 흁 = 3, 0
e a variaˆncia populacional vale 흈2 = 2, 0. 푋 e´ uma varia´vel
discreta.
21
Ca´lculo da variaˆncia populacional:
휎2 =
∑푁
푖=1(푥푖 − 휇)2
푁
=
(1− 3)2 + (2− 3)2 + (3− 3)2 + (4− 3)2 + (5− 3)2
5
= 2, 0
휎 =
√
휎2 = 1, 4142 anos
22
Podemos retirar 10 amostras de tamanho 푛 = 3, sem re-
posic¸a˜o, dessa populac¸a˜o. As amostras, e as me´dias amos-
trais correspondentes sa˜o dadas por:
nu´mero amostra 푋1;푋2, 푋3 me´dia prob(amostra)
1 A B C 1 2 3 2,00 1/10
2 A B D 1 2 4 2,33 1/10
3 A B E 1 2 5 2,67 1/10
4 A C D 1 3 4 2,67 1/10
5 A C E 1 3 5 3,00 1/10
6 A D E 1 4 5 3,33 1/10
7 B C D 2 3 4 3,00 1/10
8 B C E 2 3 5 3,33 1/10
9 B D E 2 4 5 3,67 1/10
10 C D E 3 4 5 4,00 1/10
23
Figure 1: Distribuic¸a˜o amostral da me´dia
Todo o processo de amostragem probabil´ıstica define a dis-
tribuic¸a˜o amostral que, por sua vez, representa a flutuac¸a˜o
das estimativas obtidas. Observe, na tabela a seguir, que fo-
ram encontrados valores para as me´dias das amostras entre
2 e 4, enquanto sabemos que a me´dia da populac¸a˜o e´ u´nica
e vale 3. Observe, tambe´m, na figura, sua forma sime´trica.
푥 2,00 2,33 2,67 3,00 3,33 3,67 4
P(푋 − 푥) 0,10 0,10 0,20 0,20 0,20 0,10 0,10
A me´dia e a variaˆncia da distribuic¸a˜o amostral da me´dia
e´ dada por:
흁푥 = 2.0, 10+2, 33.0, 10+2, 67.0, 20+ ...+4, 00.0, 10 = 3, 0
흈2푥 =
흈2
푛
.
푁 − 푛
푁 − 1 = 0, 667.0, 50 = 0, 3333.
흈푥 =
√
0, 3333 = 0, 5773 (Erro padra˜o).
24
휎푥¯ =
휎√
푛
.
√√√√√√√⎷
푁 − 푛
푁 − 1 =
1, 4142√
3
.
√√√√√√⎷2
4
= 0, 5773
Portanto, a dispersa˜o dos resultados em torno do valor po-
pulacional sera´, em me´dia, inferior a 1 unidade.
Erro amostral
푒 = (푋 − 흁)
tambe´m denominado de v´ıcio e, quanto menor sua magni-
tude, menor sera´ a variabilidade das estimativas.
Cada tipo de amostragem, portanto, exige estimadores
apropriados para evitar a introduc¸a˜o de v´ıcio e a consequente
quebra da validade das estimativas.
De acordo com os princ´ıpios de amostragem probabil´ıstica
podemos discutir algumas propriedades das estat´ısticas ou
estimadores, p.e., na˜o-tendenciosidade e precisa˜o.
Seja 휽 uma caracter´ıstica populacional e vamos estima´-lo
25
atrave´s de alguma func¸a˜o, 휽˜(푺), da amostra. 휽˜ e´ chamado
de estat´ıstica ou estimador.
26
Exemplo:
푋(푒푠푡푖푚푎푑표푟) = 푓 (푋1, 푋2, ..., 푋푛) =
1
푛
푛∑
푖=1
푋푖
Podemos discutir as propriedades do plano de amostragem
e do estimador em termos da distribuic¸a˜o amostral de 휽˜:
⋄ diferentes valores de 휽˜⋄ e as probabilidades dadas por 흅.
(As propriedades do plano de amostragem e do estimador
sa˜o estudadas atrave´s da distribuic¸a˜o amostral)
Na˜o-tendenciosidade:
퐸[휽˜(푆)] = 휽
onde E representa o valor esperado (me´dia).
27
Precisa˜o:
푉 푎푟[휽˜(푆)] = 퐸
⎧⎨⎩
⎡⎣휽˜(푆)− 퐸(휽˜(푆))
⎤⎦2
⎫⎬⎭
Quanto menor essa variaˆncia, maior e´ a precisa˜o do estima-
dor.
Eficieˆncia:
Na˜o-tendenciosidade e commenor variaˆncia (Podemos com-
parar diferentes estimadores e planos de amostragem)
Acuracidade:
28
(a)
Ri-
fle
A:
na˜o-
viesado,
pouca
pre-
cisa˜o
e
pouca
acura´cia
(b)
Ri-
fle
B:
vi-
e-
sado,
pouca
pre-
cisa˜o
e
pouca
acura´cia
(c)
Ri-
fle
C:
na˜o-
viesado,
boa
pre-
cisa˜o
e
boa
acura´cia
(d)
Ri-
fle
D:
vi-
e-
sado,
boa
pre-
cisa˜o
e
baixa
acura´cia
Figure 2: Resultados de 15 tiros dos rifles A, B, C e D (ilustrac¸a˜o das propriedades dos estimadores). Fonte: Bussab
e Morettin (2002).
퐸푄푀(휽˜(푆)) = 퐸
⎡⎣휽˜(푆)− 휽
⎤⎦2
Quanto menor este valor, melhor e´ o plano e o estimador.
Uma representac¸a˜o gra´fica conjunta dos conceitos de pre-
cisa˜o, acuracidade e auseˆncia de v´ıcio e´ feita atrave´s do es-
quema dos tiros ao alvo. Veja figura 2.
29
O objetivo da teoria de amostragem e´ derivar planos
amostrais econoˆmicos e fa´ceis de operar, os quais
fornecem estimadores na˜o-tendenciosos e minimizem os
efeitos da variac¸a˜o amostral.
30
Planejamento Amostral
(Projetos amostrais)
1. AMOSTRAGEM ALEATO´RIA SIMPLES (AAS)
Caracter´ıstica: Todos os elementos da populac¸a˜o tem
igual probabilidade de pertencer a amostra, e todas as
poss´ıveis amostras tem igual probabilidade de ser sorte-
ada.
A AAS serve quando a populac¸a˜o e´ razoavelmente
homogeˆnea para a caracter´ıstica em estudo.
Exemplo: verificar se um produto esta´ de acordo com as
especificac¸o˜es.
31
Obtenc¸a˜o de uma amostra aleato´ria simples
Pop. Infinita → exemplo: produc¸a˜o de uma ma´quina
(anota-se as pec¸as, na ordem em que sa˜o produzidas,
num determinado tempo).
Pop. finita → lista completa (elementos ou unidades
de amostragem) → numerar a populac¸a˜o de 1 ate´ N
→ sortear 푛 nu´meros dessa sequeˆncia ⇒ amostra
aleato´ria.
Uso da tabela de nu´merosaleato´rios
∙ Fac¸a uma lista dos elementos da populac¸a˜o;
∙ Numere consecutivamente os elementos na lista (1 a
N);
∙ Leia os nu´meros na tabela de nu´meros aleato´rios, de
modo que o nu´mero de algarismos em cada um seja
32
igual ao nu´mero de algarismos do u´ltimo nu´mero da
sua listagem;
∙ Despreze quaisquer nu´meros que na˜o correspondam a
nu´meros da lista, ou que sejam repetic¸o˜es de nu´meros
lidos anteriormente. Continue o processo ate´ ter o
nu´mero 푛 desejado de observac¸o˜es;
∙ Use os nu´meros assim identificados para escolher os
elementos que va˜o fazer parte da amostra.
Exemplo:
Objetivo e´ estudar algumas caracter´ısticas dos funciona´rios
de uma certa empresa. Vamos extrair uma AAS de ta-
manho 5 (calcular o tamanho da amostra).
33
Table 1: Populac¸a˜o: funciona´rios da empresa
Aristoleles Anasta´cia Arnaldo Ermı´lio Fabr´ıcio
Cardoso Carlito Cla´udio Fel´ıcio Joa˜o Silva
Ernestino Endevaldo Francisco Hiraldo Jose´ Souza
Geraldo Gabriel Getu´lio Jose´ Silva Mauro
Joana Joaquim Joaquina Maria Cristina
Josefa Josefina Maria Jose´ Bernardino
Paula Paulo Cesar Bartolomeu Erc´ılio
∙ Ler nu´meros na TNA com 2 algarismos
∙ Iniciar na 3푎 linha e 9푎 e 10푎 colunas
Amostra de 푛 = 5 elementos
{ − −− , −−− , −−− , −−− , −−− }
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Varia´vel X em estudo
{ 푋1 푋2 푋3 푋4 푋5 }
34
Table 2: Populac¸a˜o: funciona´rios da empresa
01 Aristoleles 02 Anasta´cia 03 Arnaldo 04 Ermı´lio 05 Fabr´ıcio
06 Cardoso 07 Carlito 08 Cla´udio 09 Fel´ıcio 10 Joa˜o Silva
11 Ernestino 12 Endevaldo 13 Francisco 14 Hiraldo 15 Jose´ Souza
16 Geraldo 17 Gabriel 18 Getu´lio 19 Jose´ Silva 20 Mauro
21 Joana 22 Joaquim 23 Joaquina 24 Maria Cristina
25 Josefa 26 Josefina 27 Maria Jose´ 28 Bernardino
29 Paula 30 Paulo Cesar 31 Bartolomeu 32 Erc´ılio
Me´todos de Estimac¸a˜o
Objetivo: obter estimativas para valores populacionais
desconhecidos, tais como a me´dia ou a proporc¸a˜o, atrave´s
dos dados de uma aostra.
Varia´veis quantitativas
A estimativa da me´dia populacional, (휇), e´ feita atrave´s
35
da me´dia da amostra selecionada, calculada por:
푥¯ =
∑푛
푖=1 푥푖
푛
A variaˆncia populacional, 휎2푋 , e´ estimada atrave´s da variaˆncia
da amostra:
푠2푋 =
∑푛
푖=1(푥푖 − 푥¯)2
푛− 1
36
A estimativa da variaˆncia da me´dia amostral sera´ calcu-
lada, na amostra sorteada, por:
푠2푥¯ = (1− 푓 )
푠2푋
푛
onde 푓 = 푛/푁 , e´ a frac¸a˜o de amostragem.
Exemplo:
Deseja-se estimar a concentrac¸a˜o me´dia de fumonisina, 휇,
(micotoxina, milho armazenado), dada em 휇푔/푔, no Es-
tado de Santa Catarina. Atrave´s de uma amostra casual
simples de 10 armaze´ns, os resultados obtidos de concen-
trac¸a˜o de fumonisina (푋) foram:
1,05 3,25 0,78 2,21 4,01
1,98 0,68 2,28 2,02 1,15
Os resultados obtidos, foram:
푥¯ = 1, 941휇푔/푔.
37
푠2푋 = 1, 1719
푠푋 =
√
1, 1719 = 1, 08 휇푔/푔
푠2푥¯ = 1, 1719/10 = 0, 1172 푝표푖푠, f=n/N −→ 0 (zero)
푠푥¯ = 0, 3426휇푔/푔.
Varia´veis Qualitativas
Exemplo
Foi realizada uma pesquisa por amostragem em 4 esta-
belecimentos comerciais no munic´ıpio de Floriano´polis,
sobre o consumo de tomates minimamente processados.
Duas varia´veis qualitativas de interesse foram:
1) O consumidor prefere tomates com casca de cor: a)verde,
b) rosado ou c) vermelho;
2) Se o consumidor compraria o tomate fatiado e emba-
lado.
38
No caso da varia´vel 2, deseja-se estimar a porcentagem
(휋), de consumidores que comprariam o tomate fatiado e
embalado.
Em casos dicotoˆmicos, pode-se definir uma nova varia´vel
quantitativa da seguinte forma:
푥 = 1 se compraria
푥 = 0 se na˜o compraria.
Assim, a proporc¸a˜o de casos favora´veis na amostra, 푝,
pode ser tratado como:
푥¯ = 푝
A variaˆncia de 푃 e´ calculada por:
푠2푃 = (1− 푓 )
⎛⎜⎜⎜⎝
푝.(1− 푝)
푛− 1
⎞⎟⎟⎟⎠
onde p e´ a proporc¸a˜o na amostra.
39
Exemplo: os resultados obtidos na pesquisa (푛 = 400)
questiona´rios foram:
Consumo 푛푖=frequ¨eˆncia absoluta
Consumiria 364
Na˜o consumiria 36
Total 400
푝 = 푥¯ =
364
400
= 0, 91 = 91%
푠2푃 =
푝.(1− 푝)
푛− 1 =
0, 91(0, 09)
400− 1 =
0, 0819
399
= 0, 00021 pois 1-f e´ desprez´ıvel
푠푃 = 0, 0143 = 1, 43%
40
No caso da varia´vel 1, cor da casca, com 3 categorias
(politoˆmica), a variaˆncia da proporc¸a˜o e´ calculada como
anteriormente:
푠2푃 = (1− 푓 )
⎛⎜⎜⎜⎝
푝.(1− 푝)
푛− 1
⎞⎟⎟⎟⎠
fixando-se a categoria de interesse e reunindo todos os
demais elementos (pertencentes a`s outras categorias) na
classe que corresponde ao valor 0 (zero) para 푋 .
Exemplo:
Para estimar a proporc¸a˜o de consumidores que preferem
tomates com casca de cor vermelha, teˆm-se:
푝 =
244
400
= 0, 61 푒 1− 0, 61 = 0, 39.
41
Portanto,
푠2푃 =
0, 61(0, 39)
400− 1 = 0, 000596 (variaˆncia da me´dia)
푠푃 = 0, 024 = 2, 4% (erro padra˜o da me´dia)
Intervalos de Confianc¸a
Deseja-se, a partir das estimativas pontuais, construir ex-
presso˜es que com certo coeficiente de confianc¸a e grau
de precisa˜o desejados, nos fornec¸am informac¸o˜es sobre os
valores populacionais desconhecidos. Ou seja, desejamos
construir um intervalo dentro do qual esperamos que es-
teja o verdadeiro valor da caracter´ıstica em estudo.
42
Intervalo de confianc¸a para a concentrac¸a˜o me´dia de fu-
monisina (vamos supor que a amostra seja grande).
푥¯ = 1, 941 푠푥¯ = 0, 3423
2, 00.푠푥¯ = 2, 00(0, 3423) = 0, 6846
푥¯− 2, 00푠푥¯ = 1, 941− 0, 6846 = 1, 2564
푥¯ + 2, 00푠푥¯ = 1, 941 + 0, 6846 = 2, 6256
1, 2564 ≤ 휇 ≤ 2, 6256
[1, 2564; 2, 6256]
Podemos afirmar com 95% de confianc¸a que a verdadeira
me´dia (휇) e´ um valor entre 1,2564 e 2,63.
푥¯± 2, 00 푠√
푛
43
Intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o dos consumidores
que preferem tomates com casca cor vermelha.
푝ˆ = 0, 61 푠푃 = 0, 024
2, 00푠푃 = 2, 00(0, 024) = 0, 048
푝ˆ− 2, 00푠푃 = 0, 61− 0, 048 = 0, 562
푝ˆ + 2, 00푠푃 = 0, 61 + 0, 048 = 0, 658
0, 56 ≤ 휋 ≤ 0, 66
[0, 56; 0, 66]
푝ˆ± 2, 00
√√√√√√√⎷
푝ˆ(1− 푝ˆ)
푛− 1
Podemos afirmar com 95% de confianc¸a que a verdadeira
proporc¸a˜o e´ um valor entre 0,56 e 0,66.
44
Outros planos de amostragem
∙ Amostragem Sistema´tica
∙ Amostragem Estratificada
Proporcional
Uniforme
∙ Amostragem de Conglomerados
2. AMOSTRAGEM SISTEMA´TICA (AS)
Caracter´ıstica: semelhante a amostra aleato´ria sim-
ples (AAS).
Situac¸a˜o de uso: quando os elementos da populac¸a˜o
encontram-se naturalmente ordenados. Exemplos: fichas
num ficha´rio, lista telefoˆnica, linha de produc¸a˜o.
Como fazer para retirar uma amostra?
45
Exemplo: Populac¸a˜o = 800 clientes de uma fa´brica (N)
Amostra = 50 clientes dessa fa´brica (n).
Calcular o intervalo de selec¸a˜o = N/n. Exemplo: 800/50=16.
Usando a tabela de nu´meros aleato´rios, vamos determi-
nar onde comec¸ar na primeira sequeˆncia (N/n)
Escolhemos para pertencer a amostra os seguintes ele-
mentos:
Y-e´simo = Y1; Y1 + N/n = Y2; Y2 + N/n = Y3; e assim
por diante.
A vantagem da AS esta´ na facilidade de selecionar a amos-
tra. Assim como a AAS, a AS requer uma lista dos ele-
mentos da populac¸a˜o. Cuidado se tiver dados com carater
perio´dico.
46
Exemplo de amostragem sistema´tica
Tamanho da pop. N=32 fun.; Obter uma AS de 푛 = 5
Table 3: Populac¸a˜o: funciona´rios da empresa
01 Aristoleles 02 Anasta´cia 03 Arnaldo 04 Ermı´lio 05 Fabr´ıcio
06 Cardoso 07 Carlito 08 Cla´udio 09 Fel´ıcio 10 Joa˜o Silva
11 Ernestino 12 Endevaldo 13 Francisco 14 Hiraldo 15 Jose´ Souza
16 Geraldo 17 Gabriel 18 Getu´lio 19 Jose´ Silva 20 Mauro
21 Joana 22 Joaquim 23 Joaquina 24 Maria Cristina
25 Josefa 26 Josefina 27 Maria Jose´ 28 Bernardino
29 Paula 30 Paulo Cesar 31 Bartolomeu 32 Erc´ılio
Intervalo de selec¸a˜o: 32/5 ∼= 6. Observac¸a˜o: n mu´ltiplo
de N.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ , , , , }
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Varia´vel X em estudo
{ 푋1 푋2 푋3 푋4 푋5 }
47
3. AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA (AE)
Situac¸a˜o de uso: quando a populac¸a˜o apresenta grandevariabilidade com respeito a varia´vel em estudo. Nesse
caso, procede-se a divisa˜o da populac¸a˜o de 푁 elemen-
tos, em subpopulac¸o˜es, sem superposic¸a˜o (ESTRATOS)
de tamanho 푁ℎ. Estes estratos devem ser internamente
mais homogeˆneos que a populac¸a˜o toda.
O crite´rio para a formac¸a˜o dos estratos deve ter relac¸a˜o com a(s)
varia´vel(is) em estudo e, que derive estratos homogeˆneos.
48
Fatores que contribuem para a na˜o utilizac¸a˜o de uma
AAS:
(a) A populac¸a˜o e´ extremamente heterogeˆnea, o que acar-
reta falta de precisa˜o nas estimativas. Exemplo: le-
vantamento da renda familiar no munic´ıpio de Flo-
riano´ipolis.
(b) A populac¸a˜o se subdivide naturalmente em diferentes
setores, a´reas de estudo ou regio˜es geogra´ficas. Neste
caso ha´ interesse em enfocar cada parte isoladamente.
Exemplo: levantamento de dados para as estimativas e
previso˜es de produc¸a˜o de leite no Estado de Santa Ca-
tarina, podemos ter: Regia˜o Litoraˆnea, Baixo, Me´dio
e Alto Vale do Itaja´ı, Planalto e Oeste Catarinense.
(c) Embora a populac¸a˜o seja homogeˆnea e na˜o se subdi-
vida naturalmente em setores ou a´reas, a pro´pria natu-
reza do problema nos indica a necessidade de se enfo-
car isoladamente certos campos. Interesse em produzir
49
estimativas para os estratos. Nesse caso, a precisa˜o e´ fi-
xada para cada estrato que passa a se chamar domı´nio.
Exemplo: podemos estar interessados em estudar iso-
ladamente cada grande supermercado de Fpolis.
(d) Sistemas de refereˆncias diferentes, isso implica na aplicac¸a˜o
de planos e/ou estimativas diferentes em cada estrato.
(e) Deseja-se controlar o efeito de alguma caracter´ıstica
na distribuic¸a˜o da caracter´ıstica que esta´ sendo avali-
ada. Exemplo: o efeito da escolaridade sobre o estado
nutricional de crianc¸as menores de 5 anos pode ser con-
trolado pela composic¸a˜o de uma amostra que contenha
os diversos n´ıveis de escolaridade dos chefes de famı´lia
da populac¸a˜o estudada.
(f) Deseja-se que a amostra mantenha a composic¸a˜o da
populac¸a˜o segundo algumas caracter´ısticas ba´sicas. Por
exemplo, em estudos sociais ou epidemiolo´gicos, e´ usual
a obtenc¸a˜o de amostras que apresentam composic¸a˜o
50
segundo o sexo e a idade semelhante a` populac¸a˜o es-
tudada.
51
Exemplos:
1- Estratificac¸a˜o pela qualificac¸a˜o dos opera´rios;
2- Estratificac¸a˜o dos supermercados da grande Floriano´polis;
estratificac¸a˜o por nu´mero de caixas.
3- Estratificac¸a˜o de uma cidade em bairros;
4- Estratificac¸a˜o de uma populac¸a˜o por sexo, por n´ıvel
de escolaridade, tamanho da cidade, idade;
5- Estratificac¸a˜o das empresas por volume de vendas ou
por setores.
6- Estratificac¸a˜o das propriedades agr´ıcolas pelo nu´mero
de vacas leiteiras.
52
Exemplo
Objetivo: fazer um levantamento para estimar a pro-
porc¸a˜o de aceitac¸a˜o de uma nova formulac¸a˜o de um ali-
mento em uma populac¸a˜o de escolares de primeiro grau.
A aceitac¸a˜o do novo alimento e´ diferente quando se con-
sidera a idade e o sexo das crianc¸as, e´ recomenda´vel que
essa populac¸a˜o seja estratificada por essas caracter´ısticas,
antes da selec¸a˜o da amostra.
53
Obtenc¸a˜o da amostra
Populac¸a˜o
Estrato 1
Estrato 2Estrato 2
.........
Estrato k
-
-
-
Estrato 1 da amostra
Estrato 2 da amostra
Estrato k da amostra
Amostra
Estratificada
Notac¸a˜o
푁 representa o tamanho da populac¸a˜o;
푁ℎ e´ o tamanho do ℎ-e´simo estrato da populac¸a˜o;
푊ℎ =
푁ℎ
푁 e´ o peso do estrato ℎ (ponderac¸a˜o), ℎ =
1, 2, ..., 푘.
54
Ca´lculo da me´dia estratificada:
푥¯푒푠푡 =
푘∑
ℎ=1
(푊ℎ푥¯ℎ)
onde 푘 e´ o nu´mero de estratos, e
푥¯ℎ =
∑푛ℎ
푖=1 푥푖,ℎ
푛ℎ
A variaˆncia da me´dia estratificada e´ dada por:
푠2푥¯푒푠푡 =
푘∑
ℎ=1
(푊 2ℎ푠
2
푥¯,ℎ)
onde:
푠2푥¯,ℎ = (1− 푓ℎ)
푠2ℎ
푛ℎ
,
푓ℎ =
푛ℎ
푁ℎ
55
e,
푠2ℎ =
∑푛ℎ
푖=1{푥푖,ℎ − 푥¯ℎ}2
푛ℎ − 1
O desvio padra˜o da me´dia estratificada e´ dado por:
푠푥¯푒푠푡 =
√√√⎷푠2푥¯푒푠푡.
Amostragem Estratificada Uniforme
Sorteia-se igual nu´mero de elementos em cada estrato.
푛ℎ =
푛
푘
Uso:
56
1. Quando o interesse e´ derivar estimativas para cada es-
trato, ou quando deseja-se comparar diversos estratos.
2. E´ recomenda´vel quando os estratos da populac¸a˜o fo-
rem aproximadamente do mesmo tamanho.
Exemplo: selecionar uma amostra estratificada uniforme
de tamanho 푛 = 12 da comunidade da universidade.
Nesse caso devemos selecionar quatro pessoas de cada ca-
tegoria(Professores, Estudantes e Te´cnicos-Administrativos).
푛 = 12 푘 = 3 푛ℎ = 12/3 = 4, portanto, 푛1 = 푛2 = 푛3 = 4
Objetivo: deseja-se estimar o nu´mero me´dio de pessoas
por famı´lia.
Amostra 1 (Professores): 2 3 3 4
Amostra 2 (Estudantes): 4 5 6 6
57
Amostra 3 (T-A): 4 6 7 7
Ca´lculo da me´dia amostral
ℎ 푛ℎ (푋푖,ℎ) 푥¯ℎ 푊ℎ =
푁ℎ
푁
1 4 (2,3,3,4) 3,00 2500/22500=0,11
2 4 (4,5,6,6) 5,25 15000/22500=0,67
3 4 (4,6,7,7) 6,00 5000/22500=0,22
Ca´lculo da variaˆncia amostral
ℎ 푛ℎ 푓ℎ =
푛ℎ
푁ℎ
푠2ℎ 푠
2
푋¯,ℎ
1 4 4/2500=0,0016 0,67 (1-0,0016)0,67/4=0,1672
2 4 4/15000=0,0003 0,92 (1-0,0003)0,92/4=0,2299
3 4 4/5000=0,0008 2,00 (1-0,0008)2,00/4=0,4996
푥¯푒푠푡 =
3∑
ℎ=1
(푊ℎ푥¯ℎ) = (0, 11.3)+(0, 67.5, 25)+(0, 22.6, 00) = 5, 1675
58
푠2푥¯푒푠푡 =
3∑
ℎ=1
(푊 2ℎ푠
2
푋¯,ℎ) =
= (0, 112.0, 1672)+(0, 672.0, 2299)+(0, 222.0, 4996) = 0, 1294
푠푥¯푒푠푡 =
√
0, 1294 = 0, 3597 pessoas/famı´lia.
O desvio dos valores em relac¸a˜o a` me´dia e´, em me´dia,
igual a 0,3597.
O intervalo de confianc¸a fica:
푥¯푒푠푡±2, 00.푠푥¯푒푠푡 = 5, 1675±2, 00.0, 3597 = 5, 1675±0, 7194
4, 45 ≤ 휇 ≤ 5, 88.
Podemos afirmar com 95% de confianc¸a que a me´dia real
e´ um valor entre 4,45 e 5,88.
59
Amostragem Estratificada Proporcional
Populac¸a˜o
Professores
Servidores
Alunos
-
-
-
20 %
20 %
60 %
-
Amostra
Professores
Servidores
Alunos
-
-
-
20 %
20 %
60 %
A proporc¸a˜o na populac¸a˜o e´ mantida na amostra. A
amostra sorteada sera´, portanto, considerada auto pon-
derada, e o procedimento de estimac¸a˜o podera´ sofrer sim-
plicac¸o˜es. Melhor quando as variaˆncias dos estratos sa˜o
pro´ximas.
60
Exemplo:
Objetivo: levantar o estilo de lideranc¸a preferido.
Populac¸a˜o: 10 professores, 10 servidores e 30 alunos.
Amostra: amostragem estratificada, proporcional por ca-
tegoria, de tamanho 푛 = 10. (Podemos determinar 푛;
precisamos de 푆2ℎ, precisa˜o e confianc¸a).
61
Populac¸a˜o
푃푟표푓푒푠푠표푟푒푠 : 푃1 푃2 푃3 푃4 푃5 푃6 푃7 푃8 푃9 푃10
푆푒푟푣푖푑표푟푒푠 : 푆1 푆2 푆3 푆4 푆5 푆6 푆7 푆8 푆9 푆10
퐴푙푢푛표푠 : 퐴1 퐴2 퐴3 퐴4 퐴5 퐴6 퐴7 퐴8 퐴9 퐴10
: 퐴11 퐴12 퐴13 퐴14 퐴15 퐴16 퐴17 퐴18 퐴19 퐴20
: 퐴21 퐴22 퐴23 퐴24 퐴25 퐴26 퐴27 퐴28 퐴29 퐴30
62
Ca´lculo do tamanho da amostra por estrato
Estrato Proporc¸a˜o na populac¸a˜o Tamanho do estrato na amostra Fator de amostragem
Professores 10/50=0,20 (20 %) 푛푝=20% de 10 = 2 푓1=2/10=0,20
Servidores 10/50=0,20 (20 %) 푛푠=20% de 10 = 2 푓2=2/10=0,20
Alunos 30/50=0,60 (60 %) 푛푎=60% de 10 = 6 푓3=6/30=0,20
Para selecionar aleatoriamente os elementos que va˜o for-
mar a amostra, usar a tabela de nu´meros aleato´rios. Pode-
se fazer amostragem sistema´tica, nova estratificac¸a˜o, fa-
zer censo.
Estratos sa˜o mais homogeˆneos que a populac¸a˜o, isto im-
plica em resultados mais precisos (mais pro´ximos dos
paraˆmetros da populac¸a˜o), e necessidade de menor ta-
manho de amostra.
63
Exemplo 2:
Objetivo: estimar o nu´mero me´dio de pessoas por famı´lia.
Populac¸a˜o: 10 professores, 10 servidores e 30 alunos.
Amostra: 푛 = 10 (2 professores (20%), 2 servidores
(20%) e 6 alunos (60%))
푛1 = 0, 20(10) = 2 (20%da amostra)
푛2 = 0, 20(10) = 2 (20%da amostra)
푛3 = 0, 20(30) = 6 (60%da amostra)
A me´dia estratificada e a variaˆncia, simplificam-se para:
푥¯푒푠푡 =
푛∑
푖=1
푥푖/푛 = 푥¯
푠2푥¯푒푠푡 =
(1− 푓 )
푛
푘∑
ℎ=1
푊ℎ푠
2
ℎ
64
Ca´lculoda variaˆncia da me´dia amostral
ℎ 푛ℎ (푥푖,ℎ) 푠
2
ℎ 푊ℎ = 푁ℎ/푁 푊ℎ푠
2
ℎ
1 2 (3,4) 0,50 10/50=0,20 0,10
2 2 (4,8) 8,00 10/50=0,20 1,60
3 6 (5,6,4,8,6,7) 2,00 30/50=0,60 1,20
푥¯ = 5, 5 pessoas/famı´lia
푠2푥¯푒푠푡 =
⎧⎨⎩
(1− 0, 20)
10
⎫⎬⎭ 2, 90 = 0, 232
푠푥¯푒푠푡 =
√
0, 232 = 0, 4817 pessoas/famı´lia.
O intervalo de confianc¸a fica:
5, 5± 2, 00.0, 4817 =⇒ 5, 5± 0, 9634 =⇒ 4, 5 ≤ 휇 ≤ 6, 5
65
Estimativas para proporc¸o˜es
Partilha Proporcional
Exemplo
Objetivo: estimar a proporc¸a˜o de crianc¸as vacinadas na
populac¸a˜o (휋).
Populac¸a˜o: 984 crianc¸as menores de 12 meses.
Estrato 1: crianc¸as com assisteˆncia pre´-natal, 푁1 = 325
Estrato 2: crianc¸as sem assisteˆncia pre´-natal, 푁2 = 659.
Amostra: 푓1 = 푓2 = 푓 = 200/984 = 0, 2033
푛1 = 66 = 0, 2033× 325
푛2 = 134 = 0, 2033× 659
푛 = 66 + 134 = 200
66
Resultados: no estrato 1, 33 foram vacinadas e no estrato
2, 40 crianc¸as foram vacinadas.
푝푒푠푡 = 푥¯ =
200∑
푖=1
푥푖/200 = 73/200 = 0, 365(36, 5%)
Ca´lculo da variaˆncia:
ℎ 푊ℎ 푛ℎ 푝ℎ (1− 푝)ℎ 푊ℎ(푝ℎ)(1− 푝ℎ)(푛ℎ/(푛ℎ − 1))
1 325/984=0,3303 66 0,50 0,50 0,0838
2 659/984=0,6697 134 0,30 0,70 0,1417
푠2푝푒푠푡 = {(
1− 푓
푛
)(
푘∑
ℎ=1
푊ℎ(푝ℎ)(1− 푝ℎ)
푛ℎ
푛ℎ − 1
)} =
푠2푝푒푠푡 =
1− 0, 2033
200
(0, 0838 + 0, 1417) = 0, 000898
=⇒ 푠푝푒푠푡 =
√
0, 000898 = 0, 0299 ≃ 0, 03(3%)
67
Ca´lculo do intervalo de confianc¸a
퐼.퐶.(휋; 95%) : 푝푒푠푡 ± 1, 96.푠푝푒푠푡
: 0, 365± 1, 96(0, 0299)
0, 365± 0, 0586
0, 3064 ≤ 휋 ≤ 0, 4236
Podemos afirmar com 95% de confianc¸a que a proporc¸a˜o
de crianc¸as vacinadas na populac¸a˜o e´ um valor entre
0,3064 e 0,0586.
68
4. AMOSTRAGEM DE CONGLOMERADOS (AC)
Cada conglomerado e´ uma minipopulac¸a˜o ⇒ os conglo-
merados sa˜o subgrupos heterogeˆneos.
E´ adequada quando e´ poss´ıvel dividir a populac¸a˜o em um
grande nu´mero de subpopulac¸o˜es.
Vantagens:
-Facilidade administrativa.
-Tende a ser mais econoˆmica.
-Na˜o exige uma lista de todos os elementos da populac¸a˜o.
Basta uma lista dos conglomerados selecionados.
Desvantagem:
-Produz uma amostra que gera resultados menos precisos
do que uma AAS ou AAE.
69
Populac¸a˜o dividida em conglomerados
h h h h h h
h h h h h h
h h h h h h
h h h
h h h
h h h
h h h h h h
h h h h h h
h h h h h h
h h h
h h h
h h h
h h h h
h h h h
h h h h
hh
hh
hh
h h h h h h
h h h h h h
h h h h h h
h h h
h h h
h h h
⇓
Primerio esta´gio: selec¸a˜o aleato´ria de conglomerados
⇓
h h h h h h
h h h h h h
h h h h h h
h h
h h
h h
h h h h
h h h h
h h h h
h h h
h h h
h h h
⇓
Segundo esta´gio: selec¸a˜o aleato´ria de elementos
70
⇓
Amostra: { h h h h h h h h }
Exemplos:
1 - Numa populac¸a˜o de domic´ılios de uma cidade, os
quarteiro˜es formam conglomerados de domic´ılios.
2 - Numa populac¸a˜o de propriedades agr´ıcolas no Estado
de Santa Catarina, os munic´ıpios formam conglomera-
dos.
3 - Numa populac¸a˜o de domic´ılios do Estado de Santa
Catarina, podemos, no 1표 esta´gio, selecionar munic´ıpios,
no 2표 esta´gio, selecionar quarteiro˜es e, finalmente, no
terceiro esta´gio, selecionar domic´ılios.
71
Exemplo:
Deseja-se sortear uma amostra de 500 escolares (elemen-
tos). Vamos sortear algumas escolas e considerar todas as
crianc¸as dessas escolas para compor a amostra. Se as es-
colas tivessem o mesmo nu´mero de crianc¸as (퐵푗 = 100),
o procedimento seria por conglomerados em um u´nico
esta´gio, e (푛 = 푎.퐵푗) ou (500 = 5.100).퐵푗 e´ o tamanho
do conglomerado 푗, onde cada escola e´ um conglomerado.
Outros procedimentos (3 esta´gios):
50 escolas 7−→ 2 classes por escola 7−→ 5 crianc¸as por
classe
25 escolas 7−→ 4 classes por escola 7−→ 5 crianc¸as por
72
classe.
73
Exemplo:
Pesquisa Nacional por Amostra de Domic´ılios (PNAD)
(Fundac¸a˜o IBGE).
Primeiro esta´gio: amostras de munic´ıpios para cada uma
das sete regio˜es geogra´ficas do Brasil.
Segundo esta´gio: setores censita´rios sa˜o sorteados em
cada munic´ıpio.
Terceiro esta´gio: sorteados os domic´ılios.
74
Como selecionar a amostra?
Primeiro esta´gio: selecionar conglomerados de elementos.
Segundo esta´gio: 1)observa-se todos os elementos dos con-
glomerados (amostragem em um esta´gio
u´nico);
2) faz-se a selec¸a˜o de elementos dos conglo-
merados (AAS, AS, AE, AC).
75
Exemplo: Selecionar uma amostra de domic´ılios de uma
cidade de tamanho 푛 = 12 em 3 conglomerados(ruas).
Pode-se tomar as ruas como conglomerados.
Ruas Domic´ılios
A A1 A2 A3 A4 A5 A6
B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14
C C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10
D D1 D2 D3 D4
E E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7
Primeiro esta´gio: sorteio de conglomerados [ruas].
Segundo esta´gio: sorteio de domic´ılios, dentro de cada
rua selecionada.
76
Sorteio de congloemrados
Sorteio em dois esta´gios com probabilidade proporcional
ao tamanho dos conglomerados.
O sorteio dos conglomerados (ruas) e´ sistema´tico com
intervalo (푖푛푡 = 41/3 = 13, 6 ≃ 14). Numa listagem
em que os tamanhos de cada conglomerado (rua), 퐵푗,
sa˜o organizados em intervalos de nu´meros acumulados
ate´ o nu´mero total de elementos (41), identificam-se os
nu´meros sorteados e as respectivas ruas. Se, por exemplo,
o in´ıcio casual for igual a 9 (INC=9), os nu´meros sorte-
ados (9, 9+14=23, 23+14=37) sera˜o identificados. Veja
77
tabela.
Rua 퐵푗 Soma acumulada Intervalos Nu´meros sorteados 푓1 푓2
A 6 6 1-6
퐵∗ 14 20 7-20 9 3(14)41
4
14
퐶∗ 10 30 21-30 23 3(10)41
4
10
D 4 34 31-34
퐸∗ 7 41 35-41 37 3(7)41
4
7
∗ ruas sorteadas.
No 2∘ esta´gio sera˜o sorteados 4 domic´ılios em cada rua.
푓1 e´ a probabilidade da j-e´sima rua ser sorteada.
푓2 e´ a probabilidade do i-e´simo domic´ılio ser sorteado
dentro da rua 푗.
78
AMOSTRAGENS NA˜O ALEATO´RIAS
Dificuldade ou impossibilidade de obter uma AAS, prin-
cipalmente devido a falta de uma listagem dos elementos
da pop.
Em geral, as amostras na˜o aleato´rias representam razoa-
velmente bem a populac¸a˜o de onde foram extra´ıdas.
5. AMOSTRAGEM POR COTAS
Esta amostragem e´ muito semelhante a amostragem es-
tratificada proporcional.
A populac¸a˜o e´ dividida em va´rios subgrupos.
Para formar a amostra, seleciona-se uma cota de cada
subgrupo, proporcional ao seu tamanho.
79
A selec¸a˜o dos elementos na˜o precisa ser aleato´ria.
Dividir a populac¸a˜o num grande nu´mero de subgrupos.
O entrevistador e´ instru´ıdo a coletar uma cota de in-
div´ıduos do sexo M e F, de uma certa idade, classe social,
etc., mas a selec¸a˜o dos elementos e´ deixado a cargo do en-
trevistador.
Exemplo:
Objetivo: verificar o estado nutricional dos estudantes da
rede escolar de uma cidade.
80
Caracter´ısticas: complementar os dados antropome´tricos
com exames laboratoriais (alunos volunta´rios).
Amostra: estratificada por n´ıvel escolar (1표 grau e 2표
grau) e por tipo de escola (pu´blica e privada), tomando-
se volunta´rios em cada estrato.
81
6. AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO
As amostras sa˜o constitu´ıdas apenas por certos elementos
que julgamos possuirem caracter´ısticas de boa represen-
tatividade da populac¸a˜o a que pertencem. Sa˜o elementos
t´ıpicos da populac¸a˜o em estudo.
Exemplo:
Objetivo: estudar a produc¸a˜o cient´ıfica dos departamen-
tos de ensino de uma universidade.
Amostra: alguns departamentos t´ıpicos. Limitac¸a˜o: os
resultados podem na˜o ser va´lidos para toda a populac¸a˜o.
82
DETERMINAC¸A˜O DO TAMANHO DE UMA
AMOSTRA ALEATO´RIA SIMPLES
Para a determinac¸a˜o do tamanho da amostra e´ preciso fi-
xar o erro ma´ximo desejado, o grau de confianc¸a
e ter algum conhecimento a priori da variabili-
dade da populac¸a˜o. Os dois primeiros sa˜o fixados pelo
pesquisador, enquanto o terceiro pode ser obtido de pes-
quisas passadas (refereˆnciasbibliogra´ficas) ou de amostras
pilotos, tambe´m dos pro´prios dados de pesquisa. Outro pro-
cedimento e´ considerar um intervalo onde aproximadamente
95% dos indiv´ıduos da populac¸a˜o estariam concentrados,
e a´ı, igualar ao comprimento deste intervalo a quantidade
4휎 (pois, se os dados seguem aproximadamente uma dist.
normal, enta˜o, 95% dos mesmos encontram-se no intervalo
푚 ± 2푑푝). Podemos, grosseiramente estimar 푠 tomando-se
os 2 valores extremos dos dados dispon´ıneis e determinar a
83
amplitude.
O tamanho da amostra depende tambe´m da estat´ıstica que
se deseja estudar (me´dia, proporc¸a˜o ou total), se a amostra
e´ com ou sem reposic¸a˜o e dos custos. Depende do projeto
de coleta dos dados, ou seja, da forma.
Conceito de erro amostral
Chama-se de erro amostral a diferenc¸a entre o valor que
a estat´ıstica pode acusar e o verdadeiro valor do paraˆmetro
que se deseja estimar.
푒 = (휃ˆ − 휃).
Aumentando-se o tamanho da amostra, as estimativas amos-
trais aproximan-se cada vez mais dos valores populacionais
(o erro amostral diminue).
84
Amostragem para estimar proporc¸o˜es(AAS)
Se deseja-se estimar uma proporc¸a˜o na populac¸a˜o e que-
remos, com n´ıvel (1 − 훼) de certeza, que a proporc¸a˜o da
amostra esteja, no ma´ximo a uma distaˆncia 푒 da proporc¸a˜o
verdadeira, enta˜o
푛 = 푍2훼푃 (1− 푃 )/푒2 =
⎛⎜⎜⎜⎝
푍훼
푒
⎞⎟⎟⎟⎠
2
푝(1− 푝)
onde:
훼 e´ o risco aceita´vel de que a proporc¸a˜o populacional esteja
fora dos limites 푝± 푒; 푧훼 e´ o valor que elimina a a´rea 훼 de
ambos os lados (bilateral) da distribuic¸a˜o 푛표푟푚푎푙 (valores
obtidos na tabela da distribuic¸a˜o 푛표푟푚푎푙); 휋 e´ a proporc¸a˜o
populacional. 푃 e´ a proporc¸a˜o da amostra.
A proporc¸a˜o populacional geralmente na˜o e´ conhecida,
enta˜o usa-se alguma estimativa para a mesma; pode ser de
85
um estudo anterior; pode-se tambe´m usar 푝 = 1/2, assim,
푛 = 푧2훼/4푒
2. Neste caso a amostra provavelmente sera´ su-
perestimada.
Para valores de 푃 muito pequenos (푃 < 0, 10), nesse caso
a aproximac¸a˜o de Poisson pode ser usada e o ca´lculo do ta-
manho da amostra e´ dado por: 푛 = 푧2훼푃/푒
2.
Quando a amostra e´ sem reposic¸a˜o, e a frac¸a˜o de amostra-
gem 푛/푁 na˜o e´ desprez´ıvel (푛 ≥ 0, 05푁), uma estimativa
mais satisfato´ria do tamanho da amostra e´ dada por:
푛
′
=
푛
1 + 푛/푁
(1)
onde 푛 e´ obtido como na equac¸a˜o pre´via.
Exemplo: Deve-se realizar uma pesquisa sobre consumo de
hortalic¸as. Deseja-se determinar a proporc¸a˜o de pessoas que
86
consomen tomate no preparo da salada. Quantas pessoas
devera˜o ser ouvidas para que sejam satisfeitas as seguintes
condic¸o˜es: 푒 = 0, 05, 푝 = 60%, 훼 = 0, 05. Para 훼 = 5%⇒
푧 ∼= 1, 96. O tamanho da amostra sera´:
푛 =
(3, 84)(0, 60)(0, 40)
0, 052
= 369 pessoas.
Para 푝 = 1/2, temos:
푛 =
푧2
4푒2
=
3, 84
4(0, 05)2
= 384 푝푒푠푠표푎푠.
87
Amostragem para a me´dia(AAS)
O valor de 푛 e´ dado por:
푛 =
⎛⎜⎜⎜⎝
푍훼푆
푒
⎞⎟⎟⎟⎠
2
onde S e´ o desvio padra˜o da amostra e Z e´ um valor obtido
na tabela da distribuic¸a˜o normal padra˜o.
Quando a amostragem e´ sem reposic¸a˜o e a frac¸a˜o de amos-
tragem e´ maior ou igual a 5%usar a expressa˜o (??) para
correc¸a˜o para populac¸a˜o finita.
88
Exemplo: Deseja-se realizar um estudo sobre o forneci-
mento de leite, em litros, em uma cooperativa que reu´ne 180
pequenos produtores, no meˆs de dezembro. Dimensionar
uma amostra, com grau de precisa˜o 푒 = 0, 10푦, com a fina-
lidade de se estimar a me´dia, com um grau de confianc¸a de
95%. Utilizar uma amostra preliminar de tamanho 푛 = 12.
Table 4: Amostra preliminar
150 400 320 140 300 285
285 300 310 230 500 474
Temos: 푍 = 2, 0, 푠2 =
∑푛
푖=1(푦푖−푦)2
푛−1 = 12.135, 42 푙푖푡푟표푠2,
푠 = 110, 16 litros e=0,10(307,8)=30,78 litros. Logo,
푛 =
(2, 02)(12135, 42)
30, 782
= 51, 23 ∼= 52.
89
A frac¸a˜o 푛/푁 = 52/180 = 0, 2889 e a amostragem foi feita
sem reposic¸a˜o, enta˜o o tamanho final da amostra sera´:
푛
′
=
52
1 + 52/180
= 40, 3 ∼= 41.
Enta˜o devemos acrescentar mais 29 fornecedores na amostra
preliminar.
90
REFEREˆNCIAS BIBLIOGRA´FICAS
Barbetta,P.A. (1998), Estat´ıstica Aplicada a`s Cieˆncias
Sociais, Floriano´polis: Editora da UFSC.
Bolfarine,H., and Bussab,W.O. (1994), ”Elementos de
Amostragem,” 11표 Simpo´sio Nacional de Probabilidade
e Estat´ıstica, Belo Horizonte, MG.
Cochran,W.G. (1977), Sampling Techniques, 3.ed., New
York: John Wiley & Sons. 1977.
Silva,N.N. (1998), Amostragem Probabil´ıstica, Sa˜o Paulo:
Editora da Universidade de Sa˜o Paulo.
Som,R.K. (1996), Practical Sampling Techniques, New
York: Marcel Dekker, Inc.
91
Software para amostragem:
SAMPLING
Enderec¸o: www.est.ufmg.br/ sampling/
(funciona acoplado ao MINITAB)
Professora coordenadora: Sueli Ap. Mingoti.
92