Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICEX DISCIPLINA: ESTATÍSTICA E PROBABILIDADES Primeira Lista de Exercícios 1. Uma urna contem 12 bolas numeradas de 1 a 12. Considere os eventos: • A ≡ “retirada de bola com número par” • B ≡ “retirada de bola com número múltiplo de 3” • C ≡ “retirada de bola com número ímpar” • D ≡ “retirada de bola com número múltiplo de 5” Determine os seguintes eventos: A,B,C,D,Ac, Bc, Cc, Dc, A∪D,A∩B,A∩C,Bc∪D, (C∪D)c, A∪B∪C. 2. Dois dados são lançados. Sejam os eventos: • A ≡ “o primeiro número maior que o segundo” • B ≡ “o primeiro número é igual ao dobro do segundo” • C ≡ “a soma dos dois números é maior ou igual a 8” Calcule as probabilidades: P (A), P (Bc), P (A ∪B), P (B ∩ Cc). 3. Sejam A1, A2, . . . eventos aleatórios. Mostre que a. P ( n⋂ k=1 Ak ) ≥ 1− n∑ k=1 P (Ack). b. Se P (Ak) ≥ 1− ε, para k = 1, . . . , n, então, P ( n⋂ k=1 Ak ) ≥ 1− nε. c. P ( ∞⋂ k=1 Ak ) ≥ 1− ∞∑ k=1 P (Ack). 4. Demonstre as seguintes propriedades: a. Se P (An) = 0, para n = 1, 2, . . ., então, P ( ∞⋃ n=1 An ) = 0. b. Se P (An) = 1, para n = 1, 2, . . ., então, P ( ∞⋂ n=1 An ) = 1. 5. Sejam A,B e C eventos aleatórios. Mostre que P (A ∪B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P (A ∩ C)− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C). 1 6. Demonstre: Se P (A|B) > P (A), então, P (B|A) > P (B). 7. Prove que, se os eventos A e B têm probabilidade positiva e não são disjuntos, então P (A) = P (B) se e somente se P (A|B) = P (B|A). 8. Mostre que se P (A) = P (B) = 3/4, então, P (A|B) ≥ 2/3. 9. Uma indústria automobilística possui 15000 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo: Idade Sexo Masculino Feminino Menos de 25 3000 500 25 à 45 anos 4000 2500 Mais de 45 anos 1000 4000 Se um empregado é selecionado ao acaso, calcule a probabilidade dele: a) ter no mínimo 25 anos; R. 0.766 b) os eventos: “ter pelo menos 25 anos” e “ser do sexo masculino” são independentes? São mutuamente exclusivos? Justifique. R. não/não 10. Uma caixa contém fichas de duas cores sendo 4 vermelhas e 3 pretas. Uma outra caixa contém 2 verme- lhas e 4 pretas. Uma ficha é selecionada aleatoriamente da primeira caixa e colocada na segunda. Em seguida uma ficha é retirada da segunda caixa. Qual a probabilidade dessa ficha ser vermelha? R. 0.367 11. Uma das formas de avaliar a eficiência de um teste para detectar uma doença é quantificar a proba- bilidade de erro. Em geral, testes sofisticados envolvem vários procedimentos laboratoriais e diversos equipamentos. Denominamos falso-positivo ao erro em que o teste indica positivo para um paciente que não tem a doença. Por outro lado, teremos um falso-negativo se o teste não acusar a doença num paciente doente. Não é difícil imaginar os incovenientes dessas ocorrências. Os erros originam doentes sadios e sadios doentes. Considere que um determinado teste resulta positivo para não doentes com probabilidade 0.1. Também com probabilidade 0.1, o teste será negativo para um paciente doente. As informações fornecidas se referem aos erros que podem ser cometidos ao realizar o teste. Se a incidência da doença na população é de 1 para cada 10 mil habitantes, qual a probabilidade de uma pessoa estar realmente doente se o teste deu positivo? R. 0.0009. 12. Uma indústria fabrica três modelos de turbinas. Os percentuais de fabricação para os três modelos são, respectivamente, 40%, 30% e 30%. Os percentuais de vendas para cada modelo são: 90%, 80% e 95%, respectivamente. Uma turbina é escolhida ao acaso na produção. a) Qual a probabilidade dele ser vendida? R. 0.885 b) Se ela for vendida, qual a probabilidade de que ela seja do modelo 1? R. 0.4 c) Se ela não for vendida, qual é a probabilidade de que ela seja do modelo 2? R. 0.52 13. No curso de Engenharia Mecânica 5% dos homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais. Um estudante é escolhido aleatoriamente. Sabe-se também que 60% dos estudantes são homens. Sorteando-se aleatoriamente um estudante, calcule a probabilidade de que ele: a) esteja acima do peso. R. 0.038 2 b) seja mulher, sabendo que o mesmo está acima do peso. R. 0.21 14. Sejam A e B dois eventos tais que P (A) = 0.4 e P (A ∪B) = 0.7. Qual o valor de P (B), quando A e B forem: a) Mutuamente exclusivos? R. 0.3 b) Independentes? R. 0.5 15. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é de 3/4 e de seu marido é de 3/5. Calcule a probabilidade de: a) apenas o homem estar vivo. R. 0.15 b) apenas a mulher estar viva. R. 0.3 c) pelo menos um estar vivo. R. 0.9 d) ambos estarem vivos. R. 0.45 16. Três companhias A, B e C disputam a obtenção do contrato de fabricação. A chefia do departamento de vendas de A estima que sua companhia tem probabilidade igual à da companhia B de obter o contrato, mas que por sua vez é igual a duas vezes a probabilidade de C obter o mesmo contrato. Determine a probabilidade de A ou C obter o contrato. R. 0.6 17. Suponha que temos dois lotes nas seguintes condições: O primeiro com 200 peças, onde 10 tem defeito de fabricação, e o segundo com 300 peças, onde 12 tem defeito de fabricação. Se uma peça for retirada de cada lote, qual é a probabilidade de que: a) nenhuma delas tenha defeito de fabricação? R. 0.912 b) apenas a peça do primeiro lote tenha defeito de fabricação? R. 0.048 18. Em uma universidade, 40% dos estudantes praticam vôlei e 30% praticam natação. Dentre os que praticam vôlei, 20% praticam também natação. Que porcentagem de estudantes não pratica nenhum dos dois esportes? R. 0.38 19. Suponha que, numa linha de produção, a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é igual a 0.1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter: a) uma peça defeituosa? R. 0.3874 b) nenhuma peça defeituosa? R. 0.3486 c) duas peças defeituosas? R. 0.1937 d) no mínimo duas peças defeituosas? R. 0.2639 e) no máximo duas peças defeituosas? R. 0.9298 20. Considere que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual. Determine a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 homens e 2 mulheres. R. 0.2344 21. Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras? R. 0.12013 22. Uma prova tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alterna- tivas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo as questões a esmo, qual a probabilidade de tirar nota 5, supondo que a nota máxima é 10? R. 0.000002 23. Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho com cabelos loiros seja 1/4. Se houver 6 crianças na família, qual a probabilidade de que metade delas tenha cabelos loiros? R. 0.1318 3 24. Uma rodovia está dividida em 8 trechos de igual comprimento, cada qual sob a jurisdição de uma guarnição de polícia rodoviária e todos igualmente perigosos. Sabendo-se que nessa rodovia há, média, 6 desastres por dia, calcular a probabilidade de que: a. em determinado dia haja quatro trechos sem desastre. R. 0.2695 b. três trechos com um desastre cada. R. 0.2786 c. um trecho com mais de um desastre. R. 0.3690 25. O que é mais provável quando você compete com uma pessoa tão hábil quanto você? a. você ganhar três jogos de quatro ou cinco jogos de oito? b. não menos que três jogos de quatro ou pelo menos cinco jogos de oito? 26. Revisadas as provas de um livro, verificou-se que há, em média, 2 erros em cada 5 páginas. Em um livro de 100 páginas, estimar quantas páginas não precisarão ser modificadas por não apresentarem erros. 27. Uma vacina, com taxa de imunização de 80%, segundo o fabricante, foi aplicada num conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam se certificar se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram sorteadasdentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para avaliar sua imunização. a. sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3 crianças não imunizadas, no grupo das 20 crianças? b. se você fosse encarregado de decidir sobre a aceitação ou não da afirmação do fabricante, que critério você estabeleceria? 28. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus na pista, havia em média um estouro de pneu a cada 5000 km. a. qual a probabilidade que num teste de 3000 km haja no máximo um pneu estourado? b. qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu? 29. Em uma empresa de cerâmica sabe-se que existe em média 0, 1 defeito por m2. Um comprador analisa uma área de 5m × 4m de piso e decide comprar dessa marca se encontrar no máximo 1 defeito nesta área. Qual a probabilidade do comprador comprar desta marca de cerâmica? 30. Considere o experimento do lançamento de três moedas honestas. a. construa a função de probabilidade de X, onde X representa o número de caras obtidas no lança- mento das três moedas. b. determine o valor esperado de X. 31. Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: P (X = k) = { c, para k = 1, 3, 5, 2 c, para k = 2, 4. a. determine o valor de c que torna legítima a função de probabilidade acima; b. obtenha a função de distribuição acumulada FX ; c. encontre a esperança e a variância de X. 4 32. Estabeleça condições sobre a e b de modo que a função p(x) = P (X = x), apresentada a seguir, seja uma função de probabilidade: X −2 −1 0 1 2 p(x) −(a− b) b a a+ b b− a 33. A variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: X −2 −1/2 0 1 3/2 p(x) 0.2 0.4 0.1 0.2 0.1 a. obtenha F , a função de distribuição de X. b. determine F (0). 5
Compartilhar