C II Aula 01 Equações Paramétricas e Curvas no Espaço

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EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E CURVAS NO ESPAÇO 1 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
PROF. VLADÍMIR DE AQUINO SILVEIRA 
AULA 01-EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E CURVAS NO ESPAÇO 
 
 Considere uma partícula em movimento em um sistema de 
coordenadas cartesiano bidimensional. O movimento desta partícula irá 
descrever uma curva, denominada trajetória. O domínio, para a análise desse 
movimento, será o parâmetro do tempo. 
Observe que essa situação é o exemplo de uma curva, em que seus 
pontos são localizados através de uma função vetorial (vetor posição), 
associada a duas funções escalares parametrizadas no tempo ou a duas 
equações paramétricas. O espaço vetorial sendo bidimensional vincula duas 
equações paramétricas para cada eixo cartesiano. 
A equação da curva ou da trajetória pode ser determinada através de 
uma relação matemática entre as equações paramétricas eliminando-se o 
parâmetro do tempo. 
A construção do esboço gráfico deve obedecer a variação do 
parâmetro de forma crescente, assim como, as restrições de domínio ou 
imagem que as equações paramétricas possam ter. 
Vejamos, matematicamente, como podemos entender esse exemplo: 
 
 
{
�⃗⃗� (𝒕) = 𝒙(𝒕)�̂� + 𝒚(𝒕)�̂�
𝒙(𝒕) 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 𝒏𝒐 𝒑𝒂𝒓â𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 ′′𝒕′′ 
𝒚(𝒕) 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 𝒏𝒐 𝒑𝒂𝒓â𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 ′′𝒕′′
 
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E CURVAS NO ESPAÇO 2 
 
EXEMPLO 1: Faça um esboço gráfico da curva dada pela função vetorial 
�⃗⃗� (𝒕) = 𝐜𝐨𝐬 𝒕 �̂� + 𝐬𝐞𝐧 𝒕 �̂� + 𝒕�̂�, pertencente ao 𝕍(ℝ𝟑) e determine a equação 
da curva. 
 
RESOLUÇÃO: Sabemos que as equações paramétricas associadas as 
direções �̂� ; �̂� ; �̂� são as funções escalares: 𝒙(𝒕) = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 ; 𝒚(𝒕) =
𝒔𝒆𝒏 𝒕 ; 𝒛(𝒕) = 𝒕. Sendo assim, temos: 
 
{
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕
𝒛 = 𝒕
 
 
Para a determinação da equação da curva devemos encontrar a função 
𝒛(𝒙, 𝒚). Para isso, devemos lembrar das principais relações que existe entre 
as funções seno e cosseno. Desse modo: 
 
𝒔𝒆𝒏 (𝒕 +
𝝅
𝟐
) = 𝒔𝒆𝒏(𝒕) ⋅ 𝐜𝐨𝐬 (
𝝅
𝟐
) + 𝒄𝒐𝒔(𝒕) ⋅ 𝐬𝐞𝐧 (
𝝅
𝟐
) 
 
𝒔𝒆𝒏 (𝒕 +
𝝅
𝟐
) = 𝒄𝒐𝒔(𝒕) 
 
𝒄𝒐𝒔 (𝒕 −
𝝅
𝟐
) = 𝒄𝒐𝒔(𝒕) ⋅ 𝐜𝐨𝐬 (
𝝅
𝟐
) + 𝒔𝒆𝒏(𝒕) ⋅ 𝐬𝐞𝐧 (
𝝅
𝟐
) 
 
𝒄𝒐𝒔 (𝒕 −
𝝅
𝟐
) = 𝒔𝒆𝒏(𝒕) 
 
Sabemos que 𝒛 = 𝒕 e que a relação fundamental entre seno e cosseno é: 
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒕) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒕) = 𝟏. Desse modo, relacionando 𝒛 com 𝒙, temos: 
 
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒛) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒛) = 𝟏 
 
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒛 −
𝝅
𝟐
) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒛) = 𝟏 
 
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒛 −
𝝅
𝟐
) = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒛) 
 
𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒛 −
𝝅
𝟐
) = 𝟏 − 𝒙𝟐 
 
𝒄𝒐𝒔 (𝒛 −
𝝅
𝟐
) = ±√𝟏 − 𝒙𝟐 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E CURVAS NO ESPAÇO 3 
 
𝒛 −
𝝅
𝟐
= 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 (±√𝟏 − 𝒙𝟐) 
 
Relacionando 𝒛 com 𝒚, temos: 
 
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒛) + 𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒛) = 𝟏 
 
𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒛) + 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒛 +
𝝅
𝟐
) = 𝟏 
 
𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒛 +
𝝅
𝟐
) = 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒛) 
 
𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒛 +
𝝅
𝟐
) = 𝟏 − 𝒚𝟐 
 
𝒔𝒆𝒏(𝒛 +
𝝅
𝟐
) = ±√𝟏 − 𝒚𝟐 
 
𝒛 +
𝝅
𝟐
= 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(±√𝟏 − 𝒚𝟐) 
 
Somando os dois resultados, temos: 
 
{
𝒛 −
𝝅
𝟐
= 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 (±√𝟏 − 𝒙𝟐)
𝒛 +
𝝅
𝟐
= 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(±√𝟏 − 𝒚𝟐)
 
 
𝟐𝒛 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 (±√𝟏 − 𝒙𝟐) + 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(±√𝟏 − 𝒚𝟐) 
 
𝒛(𝒙, 𝒚) =
𝟏
𝟐
{𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 (±√𝟏 − 𝒙𝟐) + 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏(±√𝟏 − 𝒚𝟐)} 
 
Sabemos que a imagem das funções trigonométricas seno e cosseno são: 
 
{
−𝟏 ≤ 𝒄𝒐𝒔 𝒕 ≤ 𝟏
−𝟏 ≤ 𝒔𝒆𝒏 𝒕 ≤ 𝟏
𝒕 ∈ ℝ
 
 
Desse modo podemos supor que a solução das imagens para as funções 
paramétricas serão: 
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E CURVAS NO ESPAÇO 4 
 
{
−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
−𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏
𝒛 ∈ ℝ
 
 
Sabemos que as funções trigonométricas seno e cosseno não apresentam 
restrições de domínio. Desse modo, podemos escolher uma variação do 
parâmetro dentro do intervalo: 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅. Sendo assim, o esboço gráfico 
será: 
 
 
 
EXEMPLO 2: Faça um esboço gráfico da curva dada pela função vetorial 
�⃗� (𝒕) = 𝐭𝟑 �̂� + 𝐥𝐧(𝟑 − 𝒕) �̂� + √𝒕 �̂�, pertencente ao 𝕍(ℝ𝟑) e determine a 
equação da curva. 
 
RESOLUÇÃO: Sabemos que as equações paramétricas associadas as 
direções �̂� ; �̂� ; �̂� são as funções escalares: 𝒙(𝒕) = 𝐭𝟑 ; 𝒚(𝒕) = 𝐥𝐧(𝟑 −
𝒕) ; 𝒛(𝒕) = √𝒕. Sendo assim, temos: 
 
{
𝒙 = 𝐭𝟑
𝒚 = 𝐥𝐧(𝟑 − 𝒕)
𝒛 = √𝒕
 
 
Para a determinação da equação da curva devemos encontrar a função 
𝒛(𝒙, 𝒚). Desse modo, teremos: 
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E CURVAS NO ESPAÇO 5 
 
𝒚 = 𝐥𝐧(𝟑 − 𝒕) 
 
𝒆𝒚 = 𝟑 − 𝒕 
 
𝒕 ⋅ 𝒕𝟐 = (𝟑 − 𝒆𝒚) ⋅ 𝒕𝟐 
 
𝒕𝟑 = (𝟑 − 𝒆𝒚) ⋅ 𝒕𝟐 
 
𝒙 = (𝟑 − 𝒆𝒚) ⋅ 𝒕𝟐 
 
𝒙
(𝟑 − 𝒆𝒚)
= 𝒕𝟐 
 
𝒕 = ±√
𝒙
(𝟑 − 𝒆𝒚)
 
 
Sabemos que: 𝒛 = √𝒕, então: 𝒛𝟐 = (√𝒕)
𝟐
 o que implica que: 𝒛𝟐 = 𝒕, desse 
modo: 
 
𝒛𝟐 = ±√
𝒙
(𝟑 − 𝒆𝒚)
 
 
𝒛 = ±√±√
𝒙
(𝟑 − 𝒆𝒚)
 
 
Como 𝒕 > 𝟎 e 𝒕 ∈ ℝ, teremos: 
 
𝒛(𝒙, 𝒚) = √
𝒙
(𝟑 − 𝒆𝒚)
𝟒
 
 
Sabemos que 𝒙(𝒕) não apresenta restrições de domínio e que sua imagem é 
todos os reais. No entanto, 𝒚(𝒕) e 𝒛(𝒕) apresentam restrições de domínio: 
 
{
(𝟑 − 𝒕 > 𝟎) ⟹ (𝟑 > 𝒕)
𝒕 > 𝟎
𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑜: 𝟎 < 𝒕 < 𝟑
 
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E CURVAS NO ESPAÇO 6 
 
Desse modo podemos concluir que a função vetorial só existe em um 
intervalo limitado, para valores reais. Graficamente, teremos: 
 
 
EXEMPLO 3: Faça um esboço gráfico da curva dada pela função vetorial 
�⃗� (𝒕) = 𝐭 �̂� + 𝐭𝟐 �̂� + 𝐭𝟑 �̂�, pertencente ao 𝕍(ℝ𝟑) e determine a equação da 
curva. 
 
RESOLUÇÃO: Sabemos que as equações paramétricas associadas as 
direções �̂� ; �̂� ; �̂� são as funções escalares: 𝒙(𝒕) = 𝐭 ; 𝒚(𝒕) = 𝐭𝟐 ; 𝒛(𝒕) = 𝐭𝟑. 
Sendo assim, temos: 
 
{
𝒙(𝒕) = 𝐭
𝒚(𝒕) = 𝐭𝟐
𝒛(𝒕) = 𝐭𝟑
 
 
Em relação as funções paramétricas, podemos pensar em uma curva que 
obedeça a seguinte lei: 
 
{
𝒙 = 𝒕
𝒚 = 𝒕𝟐
{𝒛(𝒕) = 𝒕𝟑 = 𝒕 ∗ 𝒕𝟐} ⟹ {𝒛(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚}
 
 
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E CURVAS NO ESPAÇO 7 
 
Sabemos que 𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕) e 𝒛(𝒕) apresentam crescimento polinomial sem 
restrições de domínio. Desse modo, para a realização de um esboço gráfico, 
definiremos um intervalo para o parâmetro 𝒕. Desse modo: 
 
−𝟐 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐 
 
Graficamente, teremos: