Marcos Alexandrino Algebra linear Lista 1

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1
0
Lista de Exerc��cio de MAT0122 (2
0
semestre 2011)
Turma: 2011234
Bibliogra�a do curso
1 G. Strang,
�
Algebra linear e aplica�c~oes, 4
o
Edi�c~ao, Cengage Learning.
2 S. Lipschutz and M. Lipson,
�
Algebra linear, 3
o
Edi�c~ao, Cole�c~ao Schaum.
1 Parte 1:
1.1 I-Sistemas Lineares e Matrizes
Problema 1.1. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
2u+ v + w = 5
4u� 6v = �2
�2u+ 7v + 2w = 9
Problema 1.2 (M��nimos quadrados). Considere (t
1
; b
1
); : : : (t
m
; b
m
) dados
experimentais de um feno^meno linear, e.g., dados que descrevem um objeto
com velocidade uniforme que no tempo t
i
est�a a uma dista^ncia b
i
de um
certo referencial. A�m de encontrar a reta que y = ax + c que est�a mais
pr�oxima dos pontos coletados de�nimos a fun�c~ao de 2 variaveis E(c; a) =
P
m
i=1
(b
i
� c � at
i
)
2
. Veri�que que se (c^; a^) �e ponto cr��tico de E, i.e., se
@E
@c
(c^; a^) = 0 =
@E
@a
(c^; a^); ent~ao (c^; a^) atende:
�
m
P
t
i
P
t
i
P
t
2
i
� �
c^
a^
�
=
�
P
b
i
P
t
i
b
i
�
Problema 1.3 (Matriz de Vandermonde). Dado pontos (t
1
; b
1
); : : : ; (t
n
; b
n
)
existe um �unico polino^mio P de grau n � 1 tal P (t
i
) = b
i
. Veri�que que
encontrar tal polino^mio P equivale a encontrar (c
1
; : : : ; c
n
) que atende:
2
6
6
6
4
1 t
1
t
2
1
� � � t
n�1
1
1 t
2
t
2
2
� � � t
n�1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 t
n
t
2
n
� � � t
n�1
n
3
7
7
7
5
2
6
6
6
4
c
1
c
2
.
.
.
c
n
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
b
1
b
2
.
.
.
b
n
3
7
7
7
5
1
Problema 1.4. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
(a)
x� 3y � 2z = 6
2x� 4y � 3z = 8
�3x+ 6y + 8z = �5
(b)
x+ 2y � 3z = 1
2x+ 5y � 8z = 4
3x+ 8y � 13z = 7
(c)
x
1
+ 3x
2
� 2x
3
+ 5x
4
= 4
2x
1
+ 8x
2
� x
3
+ 9x
4
= 9
3x
1
+ 5x
2
� 12x
3
+ 17x
4
= 7
Problema 1.5. Resolva o sistema linear, por meio da elimina�c~ao de Gauss
(a)
x+ 2y � z = 3
x+ 3y + z = 5
3x+ 8y + 4z = 17
(b)
x� 2y + 4z = 2
2x� 3y + 5z = 3
3x� 4y + 6z = 7
(c)
x+ y + 3z = 1
2x+ 3y � z = 3
5x+ 7y + z = 7
2
Problema 1.6. Resolva o sistema por elimina�c~ao e retrosubstitui�c~ao.
x+ 2y + 3z = 0
�x+ y � 2z = �3
2x+ y + z = 3
Seja AX = B o sistema acima. Escreva as tre^s matrizes de elimina�c~ao
E
21
, E
31
e E
32
que transformam A na matriz triangular superior U com
E
32
E
31
E
21
A = U . Calcule a matriz M = E
32
E
31
E
21
Problema 1.7. (a) Calcule as inversas das matrizes de elimina�c~ao abaixo:
E
21
=
2
4
1 0 0
5 1 0
0 0 1
3
5
E
31
=
2
4
1 0 0
0 1 0
�7 0 1
3
5
E
32
=
2
4
1 0 0
0 1 0
0 3 1
3
5
(b) Calcule a inversa da matriz M = E
32
E
31
E
21
Problema 1.8. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
2
4
2 1 1
4 �6 0
�2 7 2
3
5
Problema 1.9. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
2
4
1 �3 5
2 �4 7
�1 �2 1
3
5
Problema 1.10. Determine a fatora�c~ao LU da matriz
A =
2
4
1 2 1
2 3 3
�3 �10 2
3
5
Problema 1.11. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversa
da matriz
A =
2
4
2 1 1
4 �6 0
�2 7 2
3
5
3
Problema 1.12. Utilize o m�etodo de Gauss-Jordan para calcular a inversa
da matriz
A =
2
4
1 0 2
2 �1 3
4 1 8
3
5
Problema 1.13 (*). Seja
A =
2
4
3 2 6
6 4 11
3 3 �8
3
5
Calcule a fatora�c~ao LU de A se esta existir ou determine a fatora�c~ao PA =
LU para a matriz de permuta�c~ao P adequada.
1.2 Respostas da Parte 1
Problema 1.1: w = 2, v = 1, u = 1
Problema 1.4:
(a) x = 1; y = �3 e z = 2
(b) x = �3� a, y = 2 + 2a, z = a onde a �e um para^metro
(c) o sistema n~ao possui solu�c~ao.
Problema 1.5:
(a) x =
17
3
, y =
�2
3
, z =
4
3
(b) O sistema n~ao possui solu�c~ao
(c) x = �10a y = 1 + 7a; z = a onde a �e um para^metro.
4
Problema 1.6: z = 0, y = �1, x = 2.
M = E
32
E
31
E
21
=
2
4
1 0 0
0 1 0
0 1 1
3
5
2
4
1 0 0
0 1 0
�2 0 1
3
5
2
4
1 0 0
1 1 0
0 0 1
3
5
=
2
4
1 0 0
1 1 0
�1 1 1
3
5
Problema 1.7:
(a) E
�1
21
=
2
4
1 0 0
�5 1 0
0 0 1
3
5
; E
�1
31
=
2
4
1 0 0
0 1 0
7 0 1
3
5
; E
�1
32
=
2
4
1 0 0
0 1 0
0 �3 1
3
5
:
(b) M =
2
4
1 0 0
�5 1 0
7 �3 1
3
5
:
Problema 1.8: L =
2
4
1 0 0
2 1 0
�1 �1 1
3
5
; U =
2
4
2 1 1
0 �8 �2
0 0 1
3
5
Problema 1.9: L =
2
4
1 0 0
2 1 0
�1 �
5
2
1
3
5
; U =
2
4
1 �3 5
0 2 �3
0 0
�3
2
3
5
Problema 1.10: L =
2
4
1 0 0
2 1 0
�3 4 1
3
5
; U =
2
4
1 2 1
0 �1 1
0 0 1
3
5
Problema 1.11 A
�1
=
2
4
12
16
�
5
16
�
6
16
4
8
�
3
8
�
2
8
�1 1 1
3
5
Problema 1.12 A
�1
=
2
4
�11 2 2
�4 0 1
6 �1 �1
3
5
5
Problema 1.13
Sejam E
21
:=
2
4
1 0 0
�2 1 0
0 0 1
3
5
, E
31
:=
2
4
1 0 0
0 1 0
�1 0 1
3
5
, P := P
23
=
2
4
1 0 0
0 0 1
0 1 0
3
5
,
Observe que PE
31
E
21
A = U :=
2
4
3 2 6
0 1 �14
0 0 �1
3
5
Note tamb�em que PE
31
E
21
= BP onde B :=
2
4
1 0 0
�1 1 0
�2 0 1
3
5
Por �m de�na L := B
�1
:=
2
4
1 0 0
1 1 0
2 0 1
3
5
e conclua que PA = LU .
6
2 Parte 2
2.1 II-Espa�cos e Subespa�cos Vetoriais
Problema 2.1. Escreva o polino^mio v(t) = t
2
+4t�3 como uma combina�c~ao
linear dos polino^mios p
1
(t) = t
2
� 2t+ 5; p
2
(t) = 2t
2
� 3t; p
3
(t) = t+ 1
Problema 2.2. Escreva a matriz M =
�
4 7
7 9
�
como combina�c~ao linear
das matrizes: A =
�
1 1
1 1
�
; B =
�
1 2
3 4
�
; C =
�
1 1
4 5
�
:
Problema 2.3. Seja V o espa�co vetorial real dos polino^mios reais. Deter-
mine se W �e ou n~ao um subespa�co de V onde
(a) W �e composto por todos os polino^mios de coe�cientes inteiros.
(b) W �e composto por todos os polino^mios de grau menor ou igual a 6 e
do polino^mio nulo
(c) W �e composto por todos os polino^mios que possuem apenas pote^ncias
pares.
Problema 2.4. Determine se cada um dos conjuntos abaixo de vetores de-
termina ou n~ao uma base de R
3
(a) (1; 1; 1), (1; 0; 1)
(b) (1; 2; 3), (1; 3; 5), (1; 0; 1), (2; 3; 0)
(c) (1; 1; 1) (1; 2; 3), (2;�1; 1)
(d) (1; 1; 2), (1; 2; 5), (5; 3; 4)
Problema 2.5. Seja S o espa�co das matrizes sim�etricas reais 2 por 2, i.e., o
espa�cos das matrizes reais A = A
t
ond A
t
�e a transposta de A. Determine a
dimens~ao de S e uma base para S.
7
Problema 2.6. (a) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(U)
da matriz U =
2
4
1 3 3 2
0 0 3 3
0 0 0 0
3
5
:
(b) Determine a dimens~ao e uma base para o n�ucleo N(A) da matriz A =
2
4
1 3 3 2
2 6 9 7
�1 �3 3 4
3
5
:
Problema 2.7. Determinea dimens~ao e uma base do espa�co de solu�c~oes dos
sistemas homoge^neos abaixo:
(a)
x+ 2y + 2z � s+ 3t = 0
x+ 2y + 3z + s+ t = 0
3x+ 6y + 8z + s+ 5t = 0
(b)
x+ 2y + z � 2t = 0
2x+ 4y + 4z � 3t = 0
3x+ 6y + 7z � 4t = 0
(c)
x+ y + 2z = 0
2x+ 3y + 3z = 0
x+ 3y + 5z = 0
Problema 2.8. Demonstre as seguintes a�rma�c~oes:
(a) Se m < n ent~ao n~ao podem haver n vetores linearmente independentes
em R
m
.
(b) Sejam f
1
: : : f
m
e g
1
; : : : g
n
bases para um mesmo espa�co vetorial V .
Ent~ao m = n.
(c) Sejam ff
i
g base de um espa�co vetorial W e v 2 W: Ent~ao existe para
cada vetor f
i
somente um n�umero v
i
tal que v =
P
i
v
i
f
i
8
2.2 Respostas da Parte II
Problema 2.1: v =
�17
11
p
1
+
14
11
p
2
+
52
11
p
3
Problema 2.2: M = 2A+ 3B � C
Problema 2.3: (a) n~ao, (b) e (c) sim.
Problema 2.4: (a), (b) n~ao , pois dimR
3
= 3. (c) Sim, pois colocando os
vetores como colunas de uma matriz A tre^s por tre^s, podemos observar que
A �e n~ao singular. (d) N~ao pois colocando os vetores como colunas de uma
matriz A observamos que Ax = 0 admite mais de uma solu�c~ao.
Problema 2.5: dimS = 3 e uma base �e: E
1
=
�
1 0
0 0
�
; E
2
=
�
0 1
1 0
�
;
E
3
=
�
0 0
0 1
�
:
Problema 2.6:
(a) dimN(U) �e igual ao n�umero de vari�aveis livres, i.e., 2. Uma base E
1
, E
2
do subespa�co vetorial N(U) pode ser determinada da seguinte forma:
Considere as solu�c~oes de Ux = 0: Ent~ao E
1
�e obtido tomando x
4
= 1
e x
2
= 0 e E
2
tomando-se x
4
= 0 e x
2
= 1. Assim E
1
= (1; 0;�1; 1) e
E
2
= (�3; 1; 0; 0).
(b) Sabemos que PA = LU . Logo A = P
�1
LU . Logo Ax = 0 se e somente
se Ux = 0: Logo N(A) = N(U).
Problema 2.7:
(a) Dimens~ao �e 3. Base: v
1
= (�2; 1; 0; 0; 0), v
2
= (5; 0;�2; 1; 0), v
3
=
(�7; 0; 2; 0; 1)
(b) Dimens~ao �e 2. Base v
1
= (�2; 1; 0; 0) v
2
= (�5; 0;�1; 2)
(c) Dimens~ao 0, i.e., o espa�co �e o espa�co vetorial trivial f(0; 0; 0)g.
Problema 2.8: Demonstrado em sala de aula. Para maiores detalhes
consulte livro de Strang, cap��tulo 2.
9
3 Parte 3
3.1 II- Transforma�c~oes Lineares
Problema 3.1. Diga se as aplica�c~oes abaixo s~ao ou n~ao transforma�c~oes
lineares
(a) T : R! R, T (x) = 7x
(b) T : R! R, T (x) = cos(x)
(c) T : R! R, T (x) = 7x+ 1
(d) T : R
2
! R
3
, T (x; y) =
2
4
1 3
4 7
8 1
3
5
�
�
x
y
�
(e) T : C
1
(R)! C
1
(R), T (f) =
d
dt
f
(f) T : R! R, T (x) = x
2
(g) T : C
1
(R)! C
1
(R), T (f) =
R
t
0
f(x)d x
(h) T : C
1
(R)! C
1
(R), T (f) =
R
t
0
f(x)g(x; t)d x onde g(x; t) 2 C
1
(R
2
)
(i) T : R
2
! R
2
, T (x; y) = (xy; y)
(j) T : R
3
! R
2
, T (x; y; z) = (x+ y + z; 2x� 3y + 4z)
(k) T : R
2
! R
3
, T (x; y) = (x+ 3; 2y; x+ y)
Problema 3.2. Determine a transforma�c~ao linear T : R
2
! R
3
tal que
T ((1; 0)) = (2; 3; 4) e T ((0; 1)) = (4; 6; 8)
Problema 3.3. Determine a transforma�c~ao linear R
�
: R
2
! R
2
que deter-
mina a rota�c~ao de vetores por meio de um a^ngulo �:
10
Problema 3.4. Sejam P (t
3
) o espa�co vetorial dos polino^mios de grau 3 e
� := fp
0
= 1; p
1
= t; p
2
= t
2
; p
3
= t
3
g base de P (t
3
). Considere a trans-
forma�c~ao linear T : P (t
3
) ! P (t
3
), T (f) =
d
dt
f . Determine a representa�c~ao
matricial [T ]
�
�
de T na base �.
Problema 3.5. Sejam P (t
3
) o espa�co vetorial dos polino^mios de grau 3 e
� := fq
1
= t
3
; q
2
= t
2
; q
3
= t; q
4
= 1g base de P (t
3
). Considere a trans-
forma�c~ao linear T : P (t
3
) ! P (t
3
), T (f) =
d
dt
f . Determine a representa�c~ao
matricial [T ]
�
�
de T na base �.
Problema 3.6. Sejam P (t
3
) o espa�co vetorial dos polino^mios de grau 3 e
� := fp
0
= 1; p
1
= t; p
2
= t
2
; p
3
= t
3
g base de P (t
3
): Sejam P (t
4
) o espa�co
vetorial dos polino^mios de grau 4 e ~� := fp
0
= 1; p
1
= t; p
2
= t
2
; p
3
= t
3
; p
4
=
t
4
g uma base de P (t
4
). Considere a transforma�c~ao linear T : P (t
3
)! P (t
4
),
T (f) =
R
t
0
f(x)d x. Determine a representa�c~ao matricial [T ]
~�
�
de T:
Problema 3.7. Sejam v
1
= (
1
p
2
;
1
p
2
) e v
2
= (
�1
p
2
;
1
p
2
). Considere a aplica�c~ao
linear T (xv
1
+ yv
2
) = xv
1
� yv
2
.
(a) Considere as bases e = f(1; 0); (0; 1)g (base cano^nica) e v = fv
1
; v
2
g:
Determine as representa�c~oes matriciais de Id (aplica�c~ao identidade)
[Id]
e
e
, [Id]
v
v
; [Id]
v
e
; [Id]
e
v
.
(b) Determine a representa�c~ao matricial [T ]
v
v
(c) Determine a representa�c~ao matricial [T ]
e
e
.
Problema 3.8. Considere as seguintes bases � = fu
1
; u
2
g = f(1; 2); (3; 5)g
e � = fv
1
; v
2
g = f(1;�1); (1;�2)g Determine a mudan�ca de base da base
[Id]
�
�
Problema 3.9. Considere a matriz A =
2
4
1 3 3 2
2 6 9 7
�1 �3 3 4
3
5
:
11
(a) Determine uma base e a dimens~ao para o espa�co colunas de A.
(b) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de A:
(c) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A:
Problema 3.10. Seja F : R
4
! R
3
a aplica�c~ao linear de�nida por
F (x; y; z; t) = (x� y + z + t; x+ 2z � t; x+ y + 3z � 3t)
(a) Determine a representa�c~ao matricial A de F na base cano^nica.
(b) Determine uma base e a dimens~ao da imagem de F .
(c) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de F .
(d) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A:
Problema 3.11. Seja F : R
3
! R
3
a aplica�c~ao linear de�nida por
F (x; y; z) = (x+ 2y � z; y + z; x+ y � 2z)
(a) Determine a representa�c~ao matricial A de F na base cano^nica.
(b) Determine uma base e a dimens~ao da imagem de F .
(c) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de F .
(d) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A:
Problema 3.12. Considere a matriz A =
2
4
1 2 3 1
1 3 5 �2
3 8 13 �3
3
5
:
(a) Determine uma base e a dimens~ao para o espa�co colunas de A.
(b) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de A:
(c) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A:
12
Problema 3.13. Demonstre as a�rma�c~oes abaixo.
(a) Seja T : V ! W uma aplica�c~ao linear. Ent~ao T �e determinada por
fT (v
i
)g onde fv
i
g �e base de V .
(b) Sejam T : V ! W uma aplica�c~ao linear, fv
i
g base de V e fw
i
g base de
W . Ent~ao T admite representa�c~ao matricial A = (a
ij
) onde T (v
j
) =
P
i
a
ij
w
i
:
(c) Seja A uma matriz m � n de posto r. Seja C(A) o espa�co colunas de
A. Ent~ao dimC(A) = r:
(d) Seja A uma matriz m�n de posto r. Seja N(A) o n�ucleo de A. Ent~ao
dimN(A) = n� r:
(e) Seja A uma matriz m � n de posto r. Ent~ao o n�umero de linhas
independentes de A �e r:
(f) Seja A uma matriz m � n de posto r. Ent~ao N(A) �e complemento
ortogonal de C(A
t
).
(g) Seja A uma matriz m � n de posto r. Ent~ao N(A
t
) �e complemento
ortogonal de C(A).
3.2 Respostas da Parte 3
Problema 3.1
(a) Sim, T �e transforma�c~ao linear
(b) N~ao, T n~ao �e transforma�c~ao linear
(c) N~ao,T n~ao �e transforma�c~ao linear
(d) Sim, T �e transforma�c~ao linear
(e) Sim, T �e transforma�c~ao linear
(f) N~ao, T n~ao �e transforma�c~ao linear
13
(g) Sim, T �e transforma�c~ao linear
(h) Sim, T �e transforma�c~ao linear
(i) N~ao, T n~ao �e transforma�c~ao linear
(j) Sim, T �e transforma�c~ao linear
(k) N~ao, T n~ao �e transforma�c~ao linear
Problema 3.2: T (x; y) =
2
4
2 4
4 6
4 8
3
5
�
�
x
y
�
Problema 3.3: R
�
(x; y) =
�
cos(�) �sen (�)
sen (�) cos(�)
�
�
�
x
y
�
Problema 3.4: [T ]
�
�
=
2
6
6
4
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
0 0 0 0
3
7
7
5
Problema 3.5: [T ]
�
�
=
2
6
6
4
0 0 0 0
3 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
3
7
7
5
Problema 3.6: [T ]
�
�
=
2
6
6
6
6
4
0 0 0 0
1 0 0 0
0
1
2
0 0
0 0
1
3
0
0 0 0
1
4
3
7
7
7
7
5
Problema 3.7
(a) [Id]
e
e
= [Id]
v
v
=
�
1 0
0 1
�
; [Id]
e
v
=
"
1
p
2
�
1
p
2
1
p
2
1
p
2
#
; [Id]
v
e
=
"
1
p
2
1
p
2
�
1
p
2
1
p
2
#
;
14
(b) [T ]
v
v
=
�
1 0
0 �1
�
:
(c) [T ]
e
e
=
�
0 1
1 0
�
:
Problema 3.8: Primeiro resolva os dois sistemas lineares abaixo (lembre-
se v
1
; v
2
; u
1
; u
2
s~ao vetores)
v
1
= a
11
u
1
+ a
21
u
2
v
2
= a
12
u
1
+ a
22
u
2
Assim obtemos [Id]
�
�
=
�
a
11
a
12
a
21
a
22
�
=
�
�8 �11
3 4
�
:
Problema 3.9
(a) dimens~ao do espa�co coluna de A �e 2. Uma base �e f(1; 2;�1); (3; 9; 3)g
(b) dimens~ao do n�ucleo de A �e 2. Uma base �e f(�3; 1; 0; 0); (1; 0;�1; 1)g
(c) dimens~ao do espa�co de linhas deA �e 2. Uma base �e f(1; 3; 3; 2); (0; 0; 3; 3)g
Problema 3.10:
(a) A =
2
4
1 �1 1 1
1 0 2 �1
1 1 3 �3
3
5
:
(b) dimens~ao da imagem de F (espa�co colunas de A) �e 2. Uma base �e
f(1; 1; 1); (�1; 0; 1)
(c) dimens~ao do n�ucleo de F (n�ucleo de A) �e 2. Uma base �e (2; 1;�1; 0) e
(1; 2; 0; 1)
(d) dimens~ao do espa�co de linhas de A �e 2. Uma base �e (1;�1; 1; 1) e
(0; 1; 1;�2)
Problema 3.11
15
(a) A =
2
4
1 2 �1
0 1 1
1 1 �2
3
5
:
(b) dimens~ao da imagem de F (espa�co colunas de A) �e 2 . Uma base �e
f(1; 0; 1); (2; 1; 1)g
(c) dimens~ao do n�ucleo de F (n�ucleo de A) �e 1. Uma base �e f(3;�1; 1)g
(d) dimens~ao do espa�co de linhas de A �e 2. Uma base �e f(1; 2;�1); (0; 1; 1)g
Problema 3.12
(a) dimens~ao do espa�co coluna de A �e 2. Uma base �e f(1; 1; 3); (2; 3; 8)g
(b) dimens~ao do n�ucleo de A �e 2. Uma base �e f(1;�2; 1; 0); (�7; 3; 0; 1)g
(c) dimens~ao do espa�co de linhas deA �e 2. Uma base �e f(1; 2; 3; 1); (0; 1; 2;�3))g
Problema 3.13: Demonstrado em sala de aula. Maiores detalhes vide
Cap��tulo 2 do Strang.
16
4 Parte 4
4.1 III- Produto Interno e Matrizes Ortogonais
Problema 4.1. Veri�que se g �e produto interno do espa�co vetorial V em
quest~ao.
(a) g(x; y) = hx;Ayi = x
t
Ay para A =
�
cos(�) �sen (�)
sen (�) cos(�)
�
e V = R
2
(b) g(x; y) = hx;Ayi = x
t
Ay para A =
�
4 0
0 7
�
e V = R
2
:
(c) g(A;B) = trA
t
B onde A e B pertencem ao espa�co V das matrizes reais
n� n.
(d) g(f; h) =
R
1
0
f(t)h(t)d t onde f; h pertencem ao espa�co V das fun�c~oes
cont��nuas com dominio [0; 1].
(e) g(x; y) = hx;Ayi = x
t
Ay para A =
�
4 8
3 6
�
e V = R
2
Problema 4.2. Seja B matriz m� n com nucleo trivial e A = B
t
B. Prove
que
g(x; y) = hx;Ayi = x
t
Ay
�e um produto interno em R
n
.
Problema 4.3. Prove que as a�rma�c~oes abaixo s~ao equivalentes para uma
matriz real A n� n.
(a) A �e ortogonal, i.e., AA
t
= A
t
A = Id
(b) A preserva o produto escalar de R
n
, i.e., hAx;Ayi = hx; yi para todos
os vetores x; y em R
n
.
(c) As colunas (respectivamente linhas) de A formam uma base ortonormal
de R
n
:
17
Problema 4.4. Determine se a matriz A �e ou n~ao matriz ortogonal. Em
caso a�rmativo determine a inversa da matriz A.
(a) A matriz de rota�c~ao por um angulo �: A =
�
cos(�) �sen (�)
sen (�) cos(�)
�
:
(b) A matriz de proje�c~ao no eixo x: A =
�
1 0
0 0
�
:
(c) A matriz de re
ex~ao em rela�c~ao ao eixo x: A =
�
1 0
0 �1
�
:
(d) A =
2
4
1 1 �1
1 3 4
7 �5 2
3
5
:
(e) A =
2
6
4
1
p
3
1
p
3
�1
p
3
1
p
26
3
p
26
4
p
26
7
p
78
�5
p
78
2
p
78
3
7
5
:
(f) Sejam v
1
= (v
11
; v
21
; v
31
), v
2
= (v
12
; v
22
; v
32
) e v
3
= (v
13
; v
23
; v
33
) ve-
tores ortonormais em R
3
. Considere as bases � = fv
1
; v
2
; v
3
g e a base
cano^nica e = fe
1
; e
2
; e
3
g. A matriz A em quest~ao �e a mudan�ca de base
A = [Id]
e
�
:
4.2 Respostas da Parte 4
Problema 4.1:
(a) n~ao, A n~ao �e sim�etrica
(b) sim,
(c) sim,
(d) sim
(e) nao, A �e singular.
18
Problema: 4.2: Observe primeiro que A
t
= (B
t
B)
t
= B
t
(B
t
)
t
= B
t
B =
A, ou seja A �e sim�etrica.
Observe depois que
hx;Axi = x
t
B
t
Bx
= (Bx)
t
Bx
= hBx;Bxi
= kBxk
2
Como nucleo de B �e trivial, concluimos que para qualquer x diferente de
zero, kBxk
2
> 0 e assim hx;Axi > 0.
As duas observa�c~oes implicam que A �e sim�etrica positiva de�nida, logo g
�e produto interno.
Problema: 4.3: (a) equivale (b) segue direto de
hAx;Ayi = (Ax)
t
Ay
= x
t
A
t
Ay
(a) equivale (c) segue direto da de�ni�c~ao de produto de matrizes.
Problema: 4.4:
(a) Sim. A
�1
= A
t
=
�
cos(�) sen (�)
�sen (�) cos(�)
�
:
(b) N~ao.
(c) Sim. A
�1
= A
t
=
�
1 0
0 �1
�
:
(d) N~ao.
(e) Sim. A
�1
= A
t
=
2
6
4
1
p
3
1
p
26
7
p
78
1
p
3
3
p
26
�5
p
78
�1
p
3
4
p
26
2
p
78
3
7
5
:
(f) Sim. A
�1
= A
t
=
2
4
v
11
v
21
v
31
v
12
v
22
v
32
v
13
v
23
v
33
3
5
:
19