Marcos Alexandrino Algebra linear P1

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MAT 0122 -
�
Algebra Linear
Gabarito da 1
o
Prova - 29/09/11
1 Prova A
Quest~ao 1.1 (2,5 pt). Considere a matriz:
A =
2
4
1 0 0 2 3 4
3 2 1 7 11 13
4 10 5 17 25 23
3
5
(a) Resolva o sistema linear Ax = 0 por meio da elimina�c~ao de Gauss.
(b) Determine a fatora�c~ao LU da matriz A.
Respostas:
(a)
x
1
= �
3
2
x
5
� 3x
6
x
2
= �
1
2
x
3
�
5
8
x
5
�
1
4
x
6
x
4
= �
3
4
x
5
�
1
2
x
6
(b) L =
2
4
1 0 0
3 1 0
4 5 1
3
5
U =
2
4
1 0 0 2 3 4
0 2 1 1 2 1
0 0 0 4 3 2
3
5
Observa�c~ao: Compare com Problemas 1.4, 1.8, 1.9, 1.10 da
Primeira Lista de Exerc��cios
1
Quest~ao 1.2 (3,0 pt). Considere a base � := f~v
1
; ~v
2
; ~v
3
g de vetores em R
3
onde ~v
1
:= (
1
p
3
;
1
p
14
;
�5
p
42
); ~v
2
:= (
1
p
3
;
2
p
14
;
4
p
42
) e ~v
3
:= (
1
p
3
;
�3
p
14
;
1
p
42
):
Seja T : R
3
! R
3
a transforma�c~ao linear de�nida como
T (x
1
~v
1
+ x
2
~v
2
+ x
3
~v
3
) = (x
1
p
2
2
� x
2
p
2
2
)~v
1
+ (x
1
p
2
2
+ x
2
p
2
2
)~v
2
+ x
3
~v
3
Por �m seja � := f~e
1
; ~e
2
; ~e
3
g a base cano^nica.
(a) Determine a representa�c~ao matricial [T ]
�
�
de T na base �.
(b) Determine a representa�c~ao matricial [Id]
�
�
da aplica�c~ao identidade (base
de entrada �, base de saida �).
(c) Determine a representa�c~ao matricial [Id]
�
�
(d) Seja [T ]
�
�
a representa�c~ao matricial de T na base �:Determine h[T ]
�
�
~e
1
; ~e
1
i;
onde h�; �; i denota o produto escalar no espa�co Euclidiano.
Respostas:
(a) [T ]
�
�
=
2
4
p
2
2
�
p
2
2
0
p
2
2
p
2
2
0
0 0 1
3
5
(b) [Id]
�
�
=
2
6
4
1
p
3
1
p
3
1
p
3
1
p
14
2
p
14
�3
p
14
�5
p
42
4
p
42
1
p
42
3
7
5
(c) [Id]
�
�
=
2
6
4
1
p
3
1
p
14
�5
p
42
1
p
3
2
p
14
4
p
42
1
p
3
�3
p
14
1
p
42
3
7
5
(d)
1
3
+
p
2
3
Observa�c~ao: Compare com o Problema 3.7 da Primeira Lista de
Exerc��cio
2
Quest~ao 1.3 (2,0 pt). Diga se cada a�rma�c~ao abaixo �e verdadeira ou falsa.
(a) Seja V o espa�co vetorial real de polino^mios com coe�cientes reais.
Ent~ao o conjunto W dos polino^mios com coe�cientes racionais �e sub-
espa�co vetorial de V . FALSA
(b) f(1; 1; 1); (1; 0; 3))g �e uma base de R
3
. FALSA
(c) Se m < n ent~ao n~ao podem haver n vetores linearmente independentes
em R
m
. VERDADEIRA
(d) T : R
2
! R
2
de�nida como T (x; y) = (xy; y) �e transforma�c~ao linear.
FALSA
(e) Seja Id : R
2
! R
2
a aplica�c~ao identidade e � uma base de R
2
. Ent~ao
a representa�c~ao matricial [Id]
�
�
�e [Id]
�
�
=
�
1 0
0 1
�
VERDADEIRA
(f) Seja A uma matriz m � n de posto r. Ent~ao N(A) �e complemento
ortogonal de C(A
t
). VERDADEIRA
(g) Seja V �e o espa�co V de matrizes reais n � n. Ent~ao g(A;B) = trA
t
B
onde A;B 2 V �e um produto interno. VERDADEIRA
(h) g(~x; ~y) = h~x;A~yi = x
t
Ay para A =
�
2 6
6 18
�
com ~x; ~y 2 R
2
�e produto
interno. FALSA
(i) Seja B matriz m�n com nucleo trivial e A = B
t
B. Ent~ao g �e produto
interno de R
n
, onde g(x; y) = hx;Ayi = x
t
Ay. VERDADEIRA
(j) A matriz A =
�
1 0
0 �1
�
�e uma matriz ortogonal. VERDADEIRA
Observa�c~ao: Compare com Problemas 2.3 (a), 2.4 (a), 2.8 (a),
3.1 (i), 3.7, 3.13, 4.1 (c)(e), 4.2, 4.4 (c) da Primeira Lista de Ex-
erc��cios
3
Quest~ao 1.4 (2,5 pt). Considere a matriz:
A =
2
4
1 0 0 2 3 4
3 2 1 7 11 13
4 10 5 17 25 23
3
5
(a) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de A:
(b) Determine uma base e a dimens~ao para o espa�co colunas de A.
(c) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A:
Respostas:
(a) Base: f(0;�1=2; 1; 0; 0; 0); (�3=2;�5=8; 0;�3=4; 1; 0) (�3;�1=4; 0;�1=2; 0; 1)g
e dimN(A) = 3
(b) Base: f(1; 3; 4); (0; 2; 10); (2; 7; 17)g e dimC(A) = 3
(c) Base: f(1; 0; 0; 2; 3; 4); (0; 2; 1; 1; 2; 1); (0; 0; 0; 4; 3; 2)g dimC(A
t
) = 3
Observa�c~ao: Compare com Problemas 3.10, 3.11, 3.12 da Primeira
Lista de Exerc��cios
4
2 Prova B:
Quest~ao 2.1 (2,5 pt). Considere a matriz:
A =
2
4
1 0 0 3 2 4
3 2 1 10 7 14
2 2 1 10 9 11
3
5
(a) Resolva o sistema linear Ax = 0 por meio da elimina�c~ao de Gauss.
(b) Determine a fatora�c~ao LU da matriz A.
Respostas:
(a)
x
1
= 2x
5
� 3x
6
x
2
= �
1
2
(x
3
�
1
3
x
5
+
5
3
x
6
)
x
4
= �
4
3
x
5
�
1
3
x
6
(b) L =
2
4
1 0 0
3 1 0
2 1 1
3
5
U =
2
4
1 0 0 3 2 4
0 2 1 1 1 2
0 0 0 3 4 1
3
5
Observa�c~ao: Compare com Problemas 1.4, 1.8, 1.9, 1.10 da Primeira
Lista de Exerc��cio
5
Quest~ao 2.2 (3,0 pt). Considere a base � := f~v
1
; ~v
2
; ~v
3
g de vetores em R
3
onde ~v
1
:= (
1
p
3
;
1
p
14
;
�5
p
42
); ~v
2
:= (
1
p
3
;
2
p
14
;
4
p
42
) e ~v
3
:= (
1
p
3
;
�3
p
14
;
1
p
42
):
Seja T : R
3
! R
3
a transforma�c~ao linear de�nida como
T (x
1
~v
1
+ x
2
~v
2
+ x
3
~v
3
) = (�x
1
p
2
2
� x
2
p
2
2
)~v
1
+ (x
1
p
2
2
� x
2
p
2
2
)~v
2
+ x
3
~v
3
Por �m seja � := f~e
1
; ~e
2
; ~e
3
g a base cano^nica.
(a) Determine a representa�c~ao matricial [T ]
�
�
de T na base �.
(b) Determine a representa�c~ao matricial [Id]
�
�
da aplica�c~ao identidade (base
de entrada �, base de saida �).
(c) Determine a representa�c~ao matricial [Id]
�
�
(d) Seja [T ]
�
�
a representa�c~ao matricial de T na base �:Determine h[T ]
�
�
~e
1
; ~e
1
i;
onde h�; �; i denota o produto escalar no espa�co Euclidiano.
Respostas:
(a) [T ]
�
�
=
2
4
�
p
2
2
�
p
2
2
0
p
2
2
�
p
2
2
0
0 0 1
3
5
(b) [Id]
�
�
=
2
6
4
1
p
3
1
p
3
1
p
3
1
p
14
2
p
14
�3
p
14
�5
p
42
4
p
42
1
p
42
3
7
5
(c) [Id]
�
�
=
2
6
4
1
p
3
1
p
14
�5
p
42
1
p
3
2
p
14
4
p
42
1
p
3
�3
p
14
1
p
42
3
7
5
(d)
1
3
�
p
2
3
Observa�c~ao: Compare com o Problema 3.7 da Primeira Lista de
Exerc��cios.
6
Quest~ao 2.3 (2,0 pt). Diga se cada a�rma�c~ao abaixo �e verdadeira ou falsa.
(a) A matriz A =
�
1 0
0 �1
�
�e uma matriz ortogonal. VERDADEIRA
(b) Seja B matriz m�n com nucleo trivial e A = B
t
B. Ent~ao g �e produto
interno de R
n
, onde g(x; y) = hx;Ayi = x
t
Ay. VERDADEIRA
(c) Seja V o espa�co vetorial real de polino^mios com coe�cientes reais.
Ent~ao o conjunto W dos polino^mios com coe�cientes racionais �e sub-
espa�co vetorial de V . FALSA
(d) f(1; 1; 1); (1; 0; 3))g �e uma base de R
3
. FALSA
(e) T : R
2! R
2
de�nida como T (x; y) = (xy; y) �e transforma�c~ao linear.
FALSA
(f) Seja A uma matriz m � n de posto r. Ent~ao N(A) �e complemento
ortogonal de C(A
t
). VERDADEIRA
(g) Seja Id : R
2
! R
2
a aplica�c~ao identidade e � uma base de R
2
. Ent~ao
a representa�c~ao matricial [Id]
�
�
�e [Id]
�
�
=
�
1 0
0 1
�
VERDADEIRA
(h) Se m < n ent~ao n~ao podem haver n vetores linearmente independentes
em R
m
. VERDADEIRA
(i) Seja V �e o espa�co V de matrizes reais n � n. Ent~ao g(A;B) = trA
t
B
onde A;B 2 V �e um produto interno. VERDADEIRA
(j) g(~x; ~y) = h~x;A~yi = x
t
Ay para A =
�
2 6
6 18
�
com ~x; ~y 2 R
2
�e produto
interno. FALSA
Observa�c~ao: Compare com Problemas 2.3 (a), 2.4 (a), 2.8 (a), 3.1
(i), 3.7, 3.13, 4.1 (c) (e), 4.2, 4.4 (c) da Primeira Lista de Exerc��cios
7
Quest~ao 2.4 (2,5 pt). Considere a matriz:
A =
2
4
1 0 0 3 2 4
3 2 1 10 7 14
2 2 1 10 9 11
3
5
(a) Determine uma base e a dimens~ao do n�ucleo de A:
(b) Determine uma base e a dimens~ao para o espa�co colunas de A.
(c) Determine uma base e a dimens~ao do espa�co de linhas de A:
Respostas:
(a) Base: f(0;�1=2; 1; 0; 0; 0); (2; 1=6; 0;�4=3; 1; 0); (�3;�5=6; 0;�1=3; 0; 1)g
e dimN(A) = 3
(b) Base: f(1; 3; 2); (0; 2; 2); (3; 10; 10)g e dimC(A) = 3
(c) Base: f(1; 0; 0; 3; 2; 4); (0; 2; 1; 1; 1; 2); (0; 0; 0; 3; 4; 1)g e dimC(A
t
) = 3
Observa�c~ao: Compare com Problemas 3.10, 3.11, 3.12 da Primeira
Lista de Exerc��cios
8