servo-VASCO

Prévia do material em texto

Nota de aula de Controle Automa´tico e Servo Mecanismo
Controle Cla´ssico
Prof MSc. Luiz Vasco Puglia
Prof Dr. Fa´bio Delatore
Sa˜o Paulo
2009
2
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 1
1.1 Conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Literatura recomendada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Histo´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Tipos de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Revisa˜o de Laplace 7
2.1 Conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Transformada Inversa para raı´zes reais e distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Transformada inversa para raı´zes reais mu´ltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Transformada inversa para raı´zes complexas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Soluc¸o˜es com MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Tabela de transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.9 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Modelagem Matema´tica 29
3.1 Circuitos Ele´tricos Passivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Circuitos Ele´tricos Ativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Sistemas mecaˆnicos dinaˆmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Sistemas Fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
i
3.5 Sistemas de aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Motor de corrente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Representac¸a˜o por Blocos 53
4.1 Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Tipo de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Diagrama de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Deslocamento de Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Resposta Temporal 71
5.1 Conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2 Sistema de 1o ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Sistema de 2o ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Estabilidade de Sistemas 91
6.1 Arranjo de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Projeto de estabilidade pelo ganho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7 Erro de Estado Estaciona´rio 105
7.1 Conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Erro de estado estaciona´rio em func¸a˜o de F(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Erro de estado estaciona´rio em func¸a˜o de G(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.4 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8 Ana´lise pelo Caminho do Lugar das Raı´zes 121
8.1 CLR por Inspec¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.2 Fundamentos Matema´ticos do CLR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
ii
8.3 Regras para construc¸a˜o do CLR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.4 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9 Projeto pelo Caminho do Lugar das Raı´zes 141
9.1 Conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.2 Compensador por Avanc¸o de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.3 Compensador por Atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.4 Compensador por Avanc¸o / Atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.5 Compensador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9.6 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10 Ana´lise por Resposta em Frequ¨eˆncia 179
10.1 Conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2 Diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.3 Diagrama Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.4 Diagrama de mo´dulo em db versus aˆngulo de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.5 Crite´rios de Estabilidade de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.6 Exercı´cios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11 Projeto por Resposta em Frequ¨eˆncia 203
12 Ziegler Nichols 205
12.1 conceitos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
12.2 1o Me´todo de Ziegler e Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.3 2o Me´todo de Ziegler e Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13 Controle Digital 215
iii
iv
Capı´tulo 1
Introduc¸a˜o
1.1 Conceitos ba´sicos
O curso descrito nestas notas de aula que segue, objetiva a compreensa˜o de calculo de com-
pensadores pelo me´todo cla´ssico, abordando as te´cnicas de lugar das raı´zes e resposta em frequ¨eˆncia,
partindo de uma revisa˜o matema´tica que permita a compreensa˜o das ferramentas utilizadas, identificac¸a˜o
das modelagens usuais e descric¸a˜o em blocos de sistemas. Posteriormente sa˜o definidos os crite´rios
de qualidades necessa´rios a controle e finaliza com o dimensionamento dos controladores pelos me´todos:
• Lugar das Raı´zes
• Resposta em Frequ¨eˆncia
• Ziegler-Nichols
O fluxo do desenvolvimento destes estudos e´ apresentado abaixo, em forma de diagrama de
blocos e a cada mudanc¸a de capitulo e´ reapresentado, localizando o estagio em curso.
Compensador
Introduc¸a˜o
Revisa˜o de
Laplace
Modelagem
Matema´tica
Diagrama
de Blocos
Resposta
Temporal
Estabilidade
Erro
Estaciona´rio
Lugar Ra´ızes
Ana´lise pelo
Lugar Ra´ızes
Projeto pelo
Ziegler
Nichols
Ana´lise por
Resp. Freq. Resp. Freq.
Projeto por
Controle
Digital
1
2
Lembrete
Todas as notas aqui contidas foram extraı´das da literatura ba´sica e complementar propostana ementa
do curso, abaixo descrita.
Para maior profundidade matema´tica, devemos buscar os recursos necessa´rios nas refereˆncias indi-
cadas, pois estas notas de aulas se propo˜em a servir de um guia ra´pido de calculo para compen-
sadores.
Agradecimentos especiais aos professores Jose´ Barbosa Junior, Fabrizio Leonardi, Paulo Alvaro Maia,
Heraldo Silveira Barbuy, entre tantos outros que de uma forma ou outra ofereceram grande contribuic¸a˜o
a este trabalho.
1.2 Literatura recomendada
• Literatura
Ogata, Katsuhiko - Engenharia de Controle Moderno, 4◦ Edic¸a˜o, Pearson - 2003
Nise, Norman S. - Engenharia de Sistemas de Controle, 3◦ Edic¸a˜o, LTC - 2002
Phillips L.Charles - Sistema de Controle e Realimentac¸a˜o, 1◦ Edic¸a˜o, Makron Books - 1996
1.3 Histo´rico
Datado de antes de Cristo, temos na historia relatos da construc¸a˜o do primeiro sistema de cont-
role em malha aberta, de um relo´gio a base de gotejamento de agua em um recipiente graduado.
Posteriormente, o primeiro controle automa´tico mecaˆnico, realizado foi de James Watt, construı´do no
se´culo XVIII e consistia em um controlador centrı´fugo para regulac¸a˜o de velocidade de maquina a va-
por, que podemos observar no esquema que segue.
A seguir, importantes estudos foram realizados em teoria de controle por Minorsky, Hazen e Nyquist,
entre outros.
Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automa´ticos para pilotar navios, determinando sua es-
tabilidade a partir de representac¸o˜es do sistema por equac¸o˜es diferenciais.
Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento para determinar estabilidade de sistemas em malha
fechada com base na resposta estacionaria em malha aberta com excitac¸a˜o senoidal.
Em 1934, Hazen, que introduziu o termo ”servo mecanismos” para denominar sistemas de controle de
posic¸a˜o, discutiu o projeto de servo mecanismo a releˆ capaz de seguir muito de perto, uma excitac¸a˜o
varia´vel no tempo.
3
Figura 1.1: Primeiro Sistema de Controle - Regulador de Watts
Figura 1.2: Exemplo de um sistema de controle digital
4
1.4 Definic¸o˜es
Apresentamos a seguir alguns conceitos e definic¸o˜es bastante utilizados em controle
• Malha Aberta
Executa a ac¸a˜o independentemente da saı´da
– Sema´foro temporizado
– Maquina de lavar roupas
– Menor custo
– Maior facilidade de execuc¸a˜o
– Menor precisa˜o
• Malha Fechada
Observa a saı´da do sistema retroagindo uma amostra do sinal (realimenta o sinal) para a entrada
que modifica a saı´da final.
– Controle de posic¸a˜o
– Controle de velocidade
– Maior custo
– O´tima precisa˜o
– Permite modificar o sinal de saı´da
• Varia´vel Controlada
Grandeza ou varia´vel a ser medida e controlada no processo
• Varia´vel Manipulada
E´ a grandeza ou varia´vel que sera´ manipulada pelo controlador, que afeta a o valor da varia´vel
controlada.
• Planta ou sistema a controlar
Parte de um equipamento, conjunto de componentes ou toda a planta que realiza a func¸a˜o a ser
controlada. (forno, reator nuclear, antena, espac¸onave, etc.).
• Processo
Operac¸a˜o a ser controlada, como processo quı´mico, econoˆmico, mecaˆnico.
5
• Sistema
Conjunto de componentes que constituem a planta estudada. Na˜o se constitui apenas a algo
fı´sico pode ser algo abstrato, como no caso do estudo de um sistema econoˆmico, onde a dinaˆmica
de mercado pode alterar a saı´da de nosso sistema.
1.5 Tipos de sistema
Representac¸a˜o do comportamento de um organismo ou planta atrave´s de uma equac¸a˜o diferen-
cial, seu modelo matema´tico, que apresentam ordem 0, 1 , 2, ... em func¸a˜o dos coeficientes da equac¸a˜o
e isto define a classe do sistema.
Sistema de Ordem 0
Este tipo apresenta uma equac¸a˜o diferencial do tipo y(t) = Ku(t), sendo K uma constante qualquer,
isto significa que a saı´da sera´ a entrada multiplicada por uma constante e um exemplo tı´pico e´ um
divisor de tensa˜o resistivo e seu comportamento e´ sempre esta´vel.
Podemos deduzir que y(t) = 1/10u(t) e graficamente se considerarmos um sinal de entrada u(t) =
degrau de amplitude unita´ria, obtemos:
u(t) y(t)
9KΩ
1KΩ
u(t)
y(t)
tempo
y(t)
6
Sistema de 1o Ordem
Apresenta um comportamento representado por uma exponencial para uma excitac¸a˜o de entrada do
tipo degrau. Se esta exponencial e´ decrescente enta˜o o sistema e´ esta´vel e caso contrario, se a expo-
nencial e´ crescente, o sistema sera´ insta´vel. Podemos representar eletricamente o sistema tipo 1 pelo
circuito RC abaixo:
u(t) y(t)1m F
10K Ω
u(t)
y(t)instável
y(t)estável
y(t)
tempo
Sistema de 2o Ordem ou Superior
Estes sistemas se caracterizam por possuı´rem a equac¸a˜o caracterı´stica diferencial de 2◦ ordem. De-
pendendo dos coeficientes da equac¸a˜o, podemos obter respostas super amortecidas, com amorteci-
mento critico e sub amortecidas em condic¸o˜es de estabilidade ou ser insta´vel.
Respostas com maior riqueza de informac¸o˜es sa˜o observadas em sistemas sub amortecido, um sinal
senoidal multiplicado por uma envolto´rio exponencial, compo˜e automaticamente o sinal de saı´da. O
exemplo cla´ssico do sistema de 2◦ ordem e´ o circuito ressonante abaixo:
���� ���� ���� ����
u(t) y(t)1m F
1 R 1 H
y(t)
u(t)
y(t)estável
y(t)instável
tempo
Capı´tulo 2
Revisa˜o de Laplace
Compensador
Revisa˜o de
Laplace
Revisa˜o de transformada de Laplace para controle
A transformada de Laplace e´ uma ferramenta matema´tica utilizada para soluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenci-
ais lineares. Possibilita a conversa˜o de func¸o˜es comuns como seno, co-seno, exponenciais em func¸o˜es
alge´bricas no domı´nio de uma varia´vel complexa s (domı´nio de laplace). Operac¸o˜es de diferenciac¸a˜o
e integrac¸a˜o sa˜o substituı´das por operac¸o˜es alge´bricas no plano complexo e ao final a equac¸a˜o tem-
poral resultante pode ser obtida pela transformada inversa de Laplace, com muito mais facilidade que
que o caminho direto da operac¸a˜o no domı´nio do tempo. Outra vantagem deste me´todo e´ a utilizac¸a˜o
de te´cnicas gra´ficas para previsa˜o de desempenho de sistemas sem a necessidade de resoluc¸a˜o das
equac¸o˜es diferencias que o descrevem. Observe que a revisa˜o aqui proposta esta direcionada apenas
aos conteu´dos necessa´rios a controle, sendo a ferramenta de Laplace muito mais profunda do que aqui
apresentado.
7
8
Equaçãodiferencial
domíniodotempo
Transf.Laplace Equação
Algébrica
F
á
c
il
D
ifíc
il
Transf.inv.deLaplace
Soluçãoda
equação
algébrica
Soluçãoda
equaçãodifer.
(tempo)
Exemplo 2.1. Como exemplo para fixar este conceito, segue uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o
diferencial de 1◦ ordem pelos dois me´todos citado Dada uma equac¸a˜o diferencial de 1◦ ordem
d
dt
y(t) +
2y(t) = u(t), considerando um sinal de entrada do tipo degrau, temos:
Soluc¸a˜o no domı´nio do tempo
y′(t) + 2y(t) = u(t), com y(0) = 0
sendo y′ + py = q
calculamos o fator integrador I = e
∫
p(t)dt
p(t) = 2→ I = e
∫
2dt = e2t
sendo (uv)′ = u′v + uv′, vem[
y′(t) + 2y(t) = u(t)
]
e2t
y′(t)︸︷︷︸
u′
e2t︸︷︷︸
v
+2y(t)︸︷︷︸
u
e2t︸︷︷︸
v′
= u(t)e
2t
(
2y(t)e
2t
)′
= u(t)e
2t∫ (
2y(t)e
2t
)′
=
∫
u(t)e
2t
e2ty(t) =
e2t
2
u(t) +K
y(t) =
u(t)e
2t
2
+K
e2t
=
u(t)
2
+Ke2t
comacondic¸a˜o inicial y(0) = 0
0 =
u(t)
2
+Ke0 → K = −u(t)
2
y(t) =
1
2
− 1
2
e2t
Soluc¸a˜o no domı´nio de Laplace
d
dt
y(t) + 2y(t) = u(t)
Lf(t)−−−−→
sY(s) + 2Y(s) = U(s)
Y(s) (s+ 2) = U(s)
Y(s) =
U(s)
(s+ 2)
=
1
s (s+ 2)
=
K1
s
+
K2
(s+ 2)

K1 = �s
1
�s (s+ 2)
∣∣∣∣
s=0
=
1
2
K2 =���
�(s+ 2)
1
s���
�(s+ 2)
∣∣∣∣
s=−2
= −1
2
Y(s) =
1
2s
− 1
2 (s+ 2)
L−1F(s)−−−−−→
y(t) =
1
2
− 12
e−2t
9
2.1 Conceitos ba´sicos
Varia´veis complexas e func¸o˜es de varia´veis complexas
Nu´meros complexos A soluc¸a˜o da equac¸a˜o x2 − 1 = 0 , leva ao resultado x = ±1 , porem para a
equac¸a˜o x2 + 1 = 0 , na˜o obtemos soluc¸a˜o no campo dos nu´meros reais que satisfac¸a o resultado.
Para esta soluc¸a˜o devemos utilizar nu´meros no campo imagina´rio, tal que:
6
-,
,
,
,
,
,
,
,,
................................................................................................................................................................................
c=a+bj
Im
Re
bj
a
M
a
C = a+ bj
M =
√
a2 + b2
α = arctan
b
a
Forma polar c = M ∠α
Varia´vel Complexa Definimos um nu´mero complexo como sendo a soma de um par de valores
que representa uma parcela real e uma parcela imaginaria de valores constantes. Quando temos
variac¸o˜es na parte real e/ou na parte imaginaria, o nu´mero complexo passa a receber o nome de
varia´vel complexa. Nos estudos sob o domı´nio de Laplace, utilizamos a notac¸a˜o ”s”, para identificar
uma varia´vel complexa s = σ + jω
Plano s E´ padronizado em controle apresentar nu´meros, variareis e resultados em um gra´fico
de coordenadas retangulares, com o eixo horizontal representando a parte real e o eixo vertical (σ),
representando a parte imaginaria (jω)
-
6
��
��
��
��
�*
J
J
J
JJ^
P2
P1
α2
α1
Im
Re
Figura 2.1: Representac¸a˜o
S1 = 1− 2j → P1
|S1| =
√
12 + 22 =
√
5
α1 = arctan
−2
1
= ∠− 63, 43◦
S2 = 4 + 2j → P2
|S2| =
√
22 + 42 =
√
20
α2 = arctan
2
4
= ∠26, 56◦
por Euler, temos
ejθ = cos θ + j sen θ

σ = |S| cos θ
ω = |S| sen θ
S = |S| cos θ + j |S| sen θ
S = |S| ejθ
S1 =
√
5 e−j63, 43◦ e S2 =
√
20 e+j26, 56
◦
10
Func¸a˜o complexa de varia´vel complexaDefinimos uma func¸a˜o complexa F (s), quando possuı´mos
uma parte real e uma parte imaginaria varia´vel em func¸a˜o de s, tal que:
F(s) = Fx + jFy, onde Fx eFy sa˜o quantidades reais. Sua Magnitude e argumento sa˜o dados por:
F(s) =
√
Fx
2 + Fy
2 e θ = arctan
Fy
Fx
com o aˆngulo medido no sentido anti-hora´rio a partir do semi-eixo real positivo.
Exemplo 2.1.1. Para os pontos do exemplo anterior, podemos calcular a varia´vel complexa da func¸a˜o,
para cada um dos pontos.
6
-�
�
�
�
�
��
J
J
J
JJ^
+0,25
+0,25
+0,12
-0,16
F1(s)
F2(s)
Re |Fx|
Im |Fy|
Figura 2.2: func¸a˜o complexa
F(s) =
1
s+ 1
F (s1) =
1
s1 + 1
F (s1) =
1
1− 2j + 1
F (s1) =
1
2− 2j
2 + 2j
2 + 2j︸ ︷︷ ︸
conjugado
F (s1) =
2 + 2j
8
= 0, 25 + 0, 25j
F (s2) =
1
s2 + 1
F (s2) =
1
2 + 4j + 1
F (s2) =
1
3 + 4j
3− 4j
3− 4j︸ ︷︷ ︸
conjugado
F (s2) =
3− 4j
25
= 0, 12− 0, 16j
Definic¸o˜es de uma func¸a˜o de Laplace Representamos uma func¸a˜o dde Laplace por F (s) =
N(s)
D(s)
, onde N(s) e´ o polinoˆmio do numerador e D(s) o polinoˆmio do denominador, e ambos varia´veis
complexas em s. Desta forma definimos enta˜o:
Polinoˆmio caracterı´stico A equac¸a˜o matema´tica de D(s), identifica o comportamento do sistema no
domı´nio do tempo, recebendo portanto o nome de polinoˆmio caracterı´stico.
Ordem do sistema E´ o grau do polinoˆmio caracterı´stico, ou seja, se D(s) e´ um polinoˆmio de 1◦ grau, o
sistema sera´ de 1◦ ordem, se for do 2◦ grau, sera´ de 2◦ ordem e assim sucessivamente.
Zero do sistema Sa˜o os valores de s que anulam o polinoˆmio do numerador N(s).
Po´lo do sistema Sa˜o os valores de s que anulam o polinoˆmio do caracterı´stico D(s).
11
Assim podemos definir que dada uma F(s) =
(s+ z)
(s+ p)
, temos:
p e´ umpo´lo se lim
s→pF(s) =∞ e z e´ umzero se lims→z F(s) = 0
Exemplo 2.1.2. Para a func¸a˜o de transfereˆncia F (s) =
s+ 3
s+ 1
, determinar quem e´ seu polinoˆmio carac-
terı´stico, a ordem do sistema e a posic¸a˜o de po´los e zeros.
Sendo F (s) =
s+ 3
s+ 1
=
N(s)
D(s)
, logo o polinoˆmio caracterı´stico e´ D(s) = (s+ 1)
Como a ordem do sistema e´ determinada pelo polinoˆmio caracterı´stico e neste caso o polinoˆmio e´ de
1◦ ordem (s+ 1), o sistema e´ de 1◦ ordem.
Igualando N(s) a` zero, obtemos os zeros do sistema. (s+ 3) = 0 −→ s = −3, ou o zero do sistema se
encontra em -3.
Igualando D(s) a` zero, obtemos os po´los do sistema. (s+ 1) = 0 −→ s = −1, ou o po´lo do sistema se
encontra em -1.
Representamos po´los e zeros de um sistema em coordenadas cartesianas com o nome de planos s
que segue abaixo.
f
6
...........
...............................
?
-
?
plano s
s=-3
zero
s=-1
Re
Im
po´lo
Exemplo 2.1.3. Para a func¸a˜o de transfereˆncia F (s) =
s2 − 2s− 15
s2 + 4s+ 5
, determine a ordem do sistema,
os po´los e zeros e represente o sistema no plano s.
Polinoˆmio caracterı´stico D(s) = (s2 + 4s+ 5) =⇒ sistema de 2◦ ordem
Para determinac¸a˜o dos zeros e po´los, vem:
N(s) =
(
s2 − 2s− 15)→
 s = −3
s = +5
D(s) =
(
s2 + 4s+ 5
)→
 s = −2 + j
s = −2− j
f6
Im
f ..........................................
...........
...............................? ?
zero=-3
po´lo=-2+j
po´lo=-2-j zero=+5
Re
Figura 2.3: po´los ou zeros complexos conjugados
12
2.2 Transformadas de Laplace
Definic¸o˜es matema´ticas das transformadas de Laplace
Matematicamente a transformada de Laplace e´ definida por:
L[f(t)] = F (s) =
∞∫
0
e−stdt[f(t)] =
∞∫
0
f(t) e−st dt
Onde:
• f(t)= func¸a˜o temporal em que f(t)=0 para t<0
• s = varia´vel complexa de Laplace
• L= sı´mbolo que indica transformac¸a˜o por Laplace de f(t)
• F(s) = transformada de Laplace de f(t)
Logo a transformada de Laplace de qualquer func¸a˜o ”transformavel”pode ser obtida integrando o pro-
duto de f(t)e−st, com limites de integrac¸a˜o entre 0 e ∞. Entretanto cabe aqui uma observac¸a˜o
importante no estudo destinado ao controle cla´ssico. A transformada de Laplace e´ uma ferramenta
matema´tica que deve ser utilizada para agilizar a obtenc¸a˜o de resultados em controle, portanto uma
vez calculada as func¸o˜es de interesse para nossa a´rea, as mesmas esta˜o tabeladas no final deste
capı´tulo, dispensando a necessidade do calculo integral, bastante demorado e trabalhoso.
Definimos tambe´m a transformada inversa de Laplace (caminho inverso de s → t), como sendo a
operac¸a˜o matema´tica que segue:
L−1[F (s)] = 1
2pij
σ+∞j∫
σ−∞j
F (s)estds
Do mesmo modo, podemos calcular a transformada inversa de Laplace, pelo arranjo matema´tico acima
apresentado, embora na maioria dos casos sua resoluc¸a˜o seja de alta complexidade, facilitamos a
soluc¸a˜o utilizando a tabela de converso˜es como no caso anterior.
Particularmente quando efetuamos a transformada inversa de Laplace, estamos trabalhando sobre
termos de maior ordem matema´tica, pois este e´ o resultado das operac¸o˜es alge´bricas efetuadas. Ob-
viamente a tabela de converso˜es na˜o permite uma colec¸a˜o muito extensa de valores, concentrando
suas apresentac¸o˜es nas transformadas de primeira ordem. Para sistemas de ordem superior que nor-
malmente resulta nos ca´lculos de sistemas, efetuamos a divisa˜o em frac¸o˜es parciais, aplicando enta˜o
a tabela. O processo de divisa˜o em frac¸o˜es parciais consiste em transformar uma F (s) complexa, em
uma somato´ria de diversos fatores mais simples, para os quais se conhece a transformada inversa de
13
Laplace pela tabela. O resultado deste processo permite chegar ao resultado de uma maneira o menos
complexa possı´vel para soluc¸o˜es temporais.
Exemplo 2.2.1. Dada a func¸a˜o de transfereˆncia abaixo, aplicando as propriedades da tabela de con-
versa˜o, obter a resposta temporal.
F (s) =
s3 + 2s2 + 6s+ 7
s2 + s+ 5
= (s+ 1) +
2
s2 + s+ 5
Que resulta em:
f(t) =δu(t)
δt
+ u(t) + L−1
[
2
s2 + s+ 5
]
Observe que este u´ltimo termo deve agora ser dividido em frac¸o˜es parciais, para obtenc¸a˜o da resposta
temporal total.
Exemplos de transformadas de Laplace
Exemplo 2.2.2. Func¸a˜o Exponencial Para a func¸a˜o exponencial no tempo abaixo apresentada, obter
a equivalente transformada de Laplace:
f(t) =
 0 para t〈0
Ae−αt para t > 0
ondeAeα sa˜ o constantes
A transformada de Laplace pode ser obtida por:
L [Ae−αt] = ∞∫
0
Ae−αte−stdt = A
∞∫
0
e−αte−stdt = A
∞∫
0
e−(α+s)tdt =
A
(s+ α)
⇒ L [Ae−αt] = A
(s+ α)
Exemplo 2.2.3. Func¸a˜o Degrau Para a func¸a˜o degrau no tempo abaixo apresentada, obter a equiva-
lente transformada de Laplace:
f(t) =
 0para t〈0
Apara t > 0
onde A e´ umaconstante
A transformada de Laplace pode ser obtida por:
L [A] =
∞∫
0
Ae−stdt =
A
s
⇒ L [A] = A
s
Exemplo 2.2.4. Func¸a˜o Degrau de amplitude unita´ria Para a func¸a˜o degrau de amplitude unita´ria
(normalizada), que e´ de ampla utilizac¸a˜o em controle,
14
pode ser calculada conforme segue:
f(t) =
 0para t〈0
1para t > 0
onde A e´ uma constante
A transformada de Laplace pode ser obtida por:
L [u(t)] =
∞∫
0
1e−stdt =
1
s
⇒ L [u(t)] = 1
s
2.3 Transformada inversa de Laplace
No estudo de transformadas inversa de Laplace aplicadas ao curso de controle cla´ssico onde
aproximamos a resposta das plantas em estudo a sistemas de 2o ordem, devido a teoria dos po´los
dominantes, 3 casos devem ser estudados com maior atenc¸a˜o pois sera˜o muito utilizadas ao longo
desta apostila.
Sa˜o eles relacionados as possı´veis raı´zes que um sistema de 2o ordem podem nos fornecer.
• Duas raı´zes reais e diferentes (quando ∆ > 0)
• Duas raı´zes reais e iguais (quando ∆ = 0)
• Duas raı´zes complexas e conjugadas (quando ∆ < 0, negativo)
Obtemos a soluc¸a˜o temporal pelo me´todo da divisa˜o em frac¸o˜es parciais, nos treˆs casos, estudando
inicialmente a soluc¸a˜o para duas raı´zes, estendendo a aplicac¸a˜o para um nu´mero maior logo apo´s,
cobrindo ao final toda gama de respostas temporais que um sistema convencional de controle pode
apresentar. Dentro de nosso comparativo visto anteriormente, estaremos executando a parte inferior
do modelo, a partir da soluc¸a˜o alge´brica no domı´nio de Laplace obter a resposta temporal.
Equaçãodiferencial
domíniodotempo
Transf.Laplace Equação
Algébrica
F
á
c
il
D
ifíc
il
Transf.inv.deLaplace
Soluçãoda
equação
algébrica
Soluçãoda
equaçãodifer.
(tempo)
Figura 2.4: Efetuando a transformada inversa de Laplace
15
2.4 Transformada Inversa para raı´zes reais e distintas
Exemplo 2.4.1. Apresentamos inicialmente uma func¸a˜o de transfereˆncia com duas raı´zes reais e difer-
entes, para qual desejamos obter a resposta temporal que a represente.
F (s) =
2
s2 + 3s+ 2
=
2
(s+ 1)(s+ 2)
Devemos dividir a equac¸a˜o acima em duas novas equac¸o˜es, que se somadas novamente resultem na
mesma equac¸a˜o que as originou, enta˜o:
F (s) =
2
(s+ 1)(s+ 2)
=
K1
(s+ 1)
+
K2
(s+ 2)
Para obtenc¸a˜o dos valores de K1 e K2, devemos observar que:
F (s) =
N(s)
D(s)
=
N(s)
(s+ p1) (s+ p2) ... (s+ pm)
=
K1
(s+ p1)
+
K2
(s+ p2)
+ ...+
Km
(s+ pm)
Multiplicando ambos os lados por (s+ pm), vem:
F (s) (s+ pm) =
K1
(s+ p1)
(s+ pm) +
K2
(s+ p2)
(s+ pm) + ...+
Km
(s+ pm)
(s+ pm)
fazendo o valor de s→ −pm, todos os termos multiplicados por (s−pm) sera˜o iguais a zero, excetuando
o termo Km, restando enta˜o:
Km = (s+ pm)F (s)|s=−pm
Substituindo F (s), chegamos a:
Km = (s+ pm)
N(s)
(s+ p1) (s+ p2) ... (s+ pm)
∣∣∣∣
s=−pm
= Km = (s+ pm)F (s)|s=−pm
Anulando o termo (s+ pm) do numerador e do denominador, podemos calcular Km.
Nosso exemplo fica enta˜o:
K1 = (���s+ 1)
2
(���s+ 1) (s+ 2)
∣∣∣∣
s=−1
=
2
(s+ 2)
∣∣∣∣
s=−1
=
2
1
→ K1 = 2
K2 = (���s+ 2)
2
(s+ 1) (���s+ 2)
∣∣∣∣
s=−2
=
2
(s+ 1)
∣∣∣∣
s=−2
=
2
−1 → K2 = −2
Reescrevendo a equac¸a˜o temos:
F (s) =
2
(s+ 1)
− 2
(s+ 2)
Consultando a tabela de Laplace, temos na linha 8
1
(s+ a)
= e−at, logo:
f(t) =
c(t)
u(t)
⇔ c(t) = u(t) f(t) = u(t) [2e−t − 2e−2t]
16
Para validar o processo d divisa˜o por frac¸o˜es parciais, basta somar as duas frac¸o˜es e verificar se
obtemos a equac¸a˜o inicial:
F (s) =
2
(s+ 1)
− 2
(s+ 2)
=
2 (s+ 2)− 2 (s+ 1)
(s+ 1) (s+ 2)
=
2s+ 4− 2s− 2
(s+ 1) (s+ 2)
=
2
(s+ 1) (s+ 2)
Exemplo 2.4.2. Podemos aplicar esta propriedade tambe´m para equac¸o˜es diferenciais, como segue
Dada a equac¸a˜o diferencial abaixo, obter a resposta temporal y(t), considerando as condic¸o˜es
iniciais nulas, atrave´s da transformada inversa de Laplace.
d2y
dt2
+ 12
dy
dt
+ 32y = 32u(t)
Levando a equac¸a˜o no domı´nio do tempo para o domı´nio de Laplace, resulta
s2Y (s) + 12sY (s) + 32s =
32
s
Isolando Y (s), temos:
Y (s)
(
s2 + 12s+ 32
)
=
32
s
⇔ Y (s) = 32
s (s2 + 12s+ 32)
=
32
s (s+ 4) (s+ 8)
Dividindo em frac¸o˜es parciais, obtemos:
Y (s) =
32
s (s+ 4) (s+ 8)
=
K1
s
+
K2
(s+ 4)
+
K3
(s+ 8)
Determinamos os valores de K1,K2 eK3
K1 = �s
32
�s (s+ 4) (s+ 8)
∣∣∣∣
s=0
=
32
(s+ 4) (s+ 8)
∣∣∣∣
s=0
=
32
32
= 1
K2 = (���s+ 4)
32
s (���s+ 4) (s+ 8)
∣∣∣∣
s=−4
=
32
s(s+ 8)
∣∣∣∣
s=−4
=
32
−16 = −2
K3 = (���s+ 8)
32
s (s+ 4)���
�(s+ 8)
∣∣∣∣
s=−8
=
32
s(s+ 4)
∣∣∣∣
s=−8
=
32
32
= 1
Substituindo, vem:
Y (s) =
K1
s
+
K2
(s+ 4)
+
K3
(s+ 8)
=
1
s
− 2
(s+ 4)
+
1
(s+ 8)
Consultando a tabela de Laplace, temos na linha 2
1
s
= u(t) e na linha 6
1
(s+ a)
= e−at, logo:
y(t) = 1− 2e−4t + e−8t
17
2.5 Transformada inversa para raı´zes reais mu´ltiplas
Exemplo 2.5.1. Considere a func¸a˜o de transfereˆncia que segue F (s) =
2
(s+ 1)(s+ 2)2
Tentando a resoluc¸a˜o pelo 1o me´todo, verificamos na˜o ser possı´vel obter a soluc¸a˜o, como segue.
F (s) =
2
(s+ 1) (s+ 2)2
=
2
(s+ 1) (s+ 2) (s+ 2)
=
K1
(s+ 1)
+
K2
(s+ 2)
+
K3
(s+ 2)
Quando tentamos obter os valores de K1,K2 eK3, ocorre uma indeterminac¸a˜o.
K1 = (���s+ 1)
2
(���s+ 1) (s+ 2)2
∣∣∣∣
s=−1
=
2
(s+ 2)2
∣∣∣∣
s=−1
=
2
1
= 2
K2 = K3 = (���s+ 2)
2
(s+ 1) (s+ 2)�2
∣∣∣∣∣
s=−2
=
2
(s+ 1) (s+ 2)
∣∣∣∣
s=−2
=
2
0
→ indeterminado
Para soluc¸a˜o deste caso devemos utilizar uma propriedade matema´tica, chamada de termos adicionais
com fator do denominador de multiplicidade reduzida, que podemos verificar pelo arranjo que segue:
N(s)
(s+ a)n
=
K1
(s+ a)n
+
K2
(s+ a)n−1
+ ...+
Kn
(s+ a)
E para calculo dos termos, devemos proceder a derivada de ordem n − 1, em cada calculo, ou seja,
para o calculo de K1 mantemos o procedimento padra˜o com uma derivada de ordem zero, que resulta
no proprio termo. Para calculo de K2, repetimos o calculo anterior, acrescido da derivada primeira, e
assim sucessivamente.
Retornamos ao exemplo para verificar o procedimento.
F (s) =
2
(s+ 1) (s+ 2)2
=
K1
(s+ 1)
+
K2
(s+ 2)2
+
K3
(s+ 2)
Calculamos K1 e K2 pelo me´todo convencional:
K1 = ���
�(s+ 1)
2
���
�(s+ 1) (s+ 2)2
∣∣∣∣
s=−1
=
2
(s+ 2)2
∣∣∣∣
s=−1
=
2
1
= 2
K2 = ���
�
(s+ 2)2
2
(s+ 1)���
�
(s+ 2)2
∣∣∣∣
s=−2
=
2
(s+ 1)
∣∣∣∣
s=−2
=
2
−1 = −2
Agora para o calculo de K3, efetuamos a derivada de 1o ordem.
K3 =
d
ds
[
���
�
(s+ 2)2
2
(s+ 1)���
�
(s+ 2)2
∣∣∣∣
s=−2
]
=
d
ds
[
2
(s+ 1)
∣∣∣∣
s=−2
]
→
d
[u
v
]
=
u′v − uv′
v2
=
0. (s+ 1)− 2 (1)
(s+ 1)2
∣∣∣∣
s=−2=
−2
(s+ 1)2
∣∣∣∣
s=−2
=
−2
1
= −2
Resultando em:
F (s) =
2
(s+ 1)
− 2
(s+ 2)2
− 2
(s+ 2)
18
Efetuando a transformada inversa obtemos:
c(t) = u(t)
[
2e−t − 2te−2t − 2e−2t] = 2u(t) [e−t − te−2t − e−2t]
Verificando se o processo de divisa˜o por termos adicionais com fator do denominador de multi-
plicidade reduzida, retorna a mesma expressa˜o de partida, obtemos:
F (s) =
2
(s+ 1)
− 2
(s+ 2)2
− 2
(s+ 2)
=
2 (s+ 2)2 − 2 (s+ 1)− 2 (s+ 1) (s+ 2)
(s+ 1) (s+ 2)2
F (s) =
2
(
s2 + 4s+ 4
)− 2 (s+ 1)− 2 (s2 + 3s+ 2)
(s+ 1) (s+ 2)2
=
(
2s2 + 8s+ 8
)− (2s+ 2)− (2s2 + 6s+ 4)
(s+ 1) (s+ 2)2
F (s) =
2s2 + 8s+ 8− 2s− 2− 2s2 − 6s− 4
(s+ 1) (s+ 2)2
=
2
(s+ 1) (s+ 2)2
Exemplo 2.5.2. Para sistemas ate´ 2o ordem sua amplitude na˜o sofre alterac¸o˜es, mas para ordens su-
periores, temos um fator adicional a ser considerado, permitindo generalizar os termos de multiplicidade
qualquer pelas expresso˜es que seguem
F1(s) = (s+ pm)
n F (s) e Ki =
1
(i− 1)!
di−1
dsi−1
F1(s)
∣∣∣∣
s=−pm
sendo 0! = 1
Verifique pelo exemplo que segue:
F (s) =
s2 + 2s+ 3
(s+ 1)3
=
K1
(s+ 1)3
+
K2
(s+ 1)2
+
K3
(s+ 1)
F1(s) = (s+ pm)
n F (s) =���
�
(s+ 1)3
s2 + 2s+ 3
���
�
(s+ 1)3
→ F1(s) = s2 + 2s+ 3
K1 =
1
(1− 1)!︸ ︷︷ ︸
1
d0
ds0︸︷︷︸
1
F1(s)
∣∣∣∣∣∣∣∣
s=−1
= s2 + 2s+ 3
∣∣
s=−1 = 1− 2 + 3 = 2
K2 =
1
(2− 1)!︸ ︷︷ ︸
1
d1
ds1
F1(s)
∣∣∣∣∣∣∣∣
s=−1
=
d1
ds1
[
s2 + 2s+ 3
∣∣
s=−1
]
= [2s+ 2]|s=−1 = −2 + 2 = 0
K3 =
1
(3− 1)!︸ ︷︷ ︸
2!
d2
ds2
F1(s)
∣∣∣∣∣∣∣∣
s=−1
=
d2
ds2
[
s2 + 2s+ 3
∣∣
s=−1
]
=
1
2
[2]|s=−1 = 1
Reescrevendo F (s), temos:
F (s) =
K1
(s+ 1)3
+
K2
(s+ 1)2
+
K3
(s+ 1)
=
2
(s+ 1)3
+
0
(s+ 1)2
+
1
(s+ 1)
Levando para o domı´nio do tempo, vem:
c(t) = u(t)
[
1
�2
�2t
2e−t + 0 + e−t
]
= u(t)e−t
[
t2 + 1
]
19
2.6 Transformada inversa para raı´zes complexas conjugadas
Quando a equac¸a˜o caracterı´stica apresenta em suas raı´zes partes complexas, podemos obter a
transformada inversa de Laplace por dois me´todos distintos:
• Euler
• Arranjo matema´tico
A soluc¸a˜o pelo me´todo de Euler, permite obter a resposta temporal quando a equac¸a˜o apresenta ale´m
das raı´zes complexas, outros termos associados. No caso de arranjo matema´tico, podemos aplicar
apenas para equac¸o˜es caracterı´sticas com raı´zes complexas sem nenhum outro termo adicional.
Por Euler
Exemplo 2.6.1. Dada a func¸a˜o de transfereˆncia F (s) =
2s+ 12
s2 + 2s+ 5
, obter a sua resposta temporal
Primeiramente, vamos determinar as raı´zes da equac¸a˜o caracterı´stica.
s2 + 2s+ 5 = 0 ⇒ −2±
√
22 − 4.1.5
2
=
−2±√4− 20
2
=
−2±√−16
2
=
−2± 4j
2
= −1± 2j
F (s) =
2s+ 12
s2 + 2s+ 5
=
2s+ 12
(s+ 1− 2j) (s+ 1 + 2j) =
K1
(s+ 1− 2j) +
K2
(s+ 1 + 2j)
K1 = ((((
(((s+ 1− 2j) 2s+ 12
((((
(((s+ 1− 2j) (s+ 1 + 2j)
∣∣∣∣
s=−1+2j
=
2s+ 12
(s+ 1 + 2j)
∣∣∣∣
s=−1+2j
K1 =
−2 + 4j + 12
��−1 + 2j��+1 + 2j =
10 + 4j
4j
=
10, 77∠21, 8◦
4∠90◦ = 2, 69∠− 68, 2
◦
K2 = ((((
(((s+ 1 + 2j)
2s+ 12
(s+ 1− 2j)(((((((s+ 1 + 2j)
∣∣∣∣
s=−1−2j
=
2s+ 12
(s+ 1− 2j)
∣∣∣∣
s=−1−2j
K2 =
−2− 4j + 12
��−1− 2j��+1− 2j =
10− 4j
−4j =
10, 77∠− 21, 8◦
4∠− 90◦ = 2, 69∠+ 68, 2
◦
Definic¸o˜es por Euler.
K1 = (s+ a− bj)|s=−a+bj = Mejθ
K2 = K
∗
1 = (s+ a+ bj)|s=−a−bj = Me−jθ
 onde * indica o conjugado
20
f(t) = Mejθe(−a+bj)t +Me−jθe(−a−bj)t
f(t) = M
(
e+jθ.e−at.e+bjt
)
+M
(
e−jθ.e−at.e−bjt
)
f(t) = 2Me−at
[
ej(bt+θ) + e−j(bt+θ)
2
]
︸ ︷︷ ︸
cos(bt+ θ)
f(t) = 2Me−at cos (bt+ θ)
Aplicando a este exercı´cio, obtemos:
F (s) =
2, 69∠− 68, 2◦
(s+ 1− 2j) +
2, 69∠+ 68, 2◦
(s+ 1 + 2j)
⇒ c(t) = 2.2, 69u(t)e−t (cos 2t− 68, 2◦)
c(t) = 5, 38u(t)e−t (cos 2t− 68, 2◦)
Exemplo 2.6.2. Dada uma F(s) composta de po´lo real e po´los complexos conjugados
F (s) =
10
(s+ 2) (s2 + 2s+ 10)
=
K1
(s+ 2)
+
K2
(s+ 1− 3j) +
K∗2
(s+ 1 + 3j)
K1 = ���
�(s+ 2)
10
���
�(s+ 2) (s2 + 2s+ 10)
∣∣∣∣
s=−2
=
10
(s2 + 2s+ 10)
∣∣∣∣
s=−2
=
10
4− 4 + 10 =
10
10
= 1
K2 =((((
(((s+ 1− 3j) 10
(s+ 2)((((
(((s+ 1− 3j) (s+ 1 + 3j)
∣∣∣∣
s=−1+3j
=
10
(s+ 2) (s+ 1 + 3j)
∣∣∣∣
s=−1+3j
K2 =
10
(−1 + 3j + 2) (−1 + 3j + 1 + 3j) =
10∠0◦
3, 16∠72◦ 6∠90◦ = 0, 53∠− 162
◦
K∗2 = 0, 53∠162◦
21
F (s) =
1
(s+ 2)
+
0, 53∠− 162◦
(s+ 1− 3j) +
0, 53∠162◦
(s+ 1 + 3j)
c(t) = u(t)
[
e−2t + 1, 06e−t cos (3t− 162◦)]
Arranjo matema´tico
Exemplo 2.6.3. Seja a mesma func¸a˜o de transfereˆncia F (s) =
2s+ 12
s2 + 2s+ 5
, estudada na resoluc¸a˜o por
Euler no Exemplo 2.6.1. Solucionando agora por arranjo matema´tico, temos:
F (s) =
2s+ 12
s2 + 2s+ 5
=
2s+ 12
(s+ 1 + 2j) (s+ 1− 2j)
Neste processo, na˜o e´ de interesse a divisa˜o por frac¸o˜es parciais, mas sim um arranjo matema´tico na
forma de senos ou cossenos amortecidos que se encontram apresentados na tabela de conversa˜o de
Laplace.
w
(s+ a)2 + w2
= e−at senwt e
(s+ a)
(s+ a)2 + w2
= e−at coswt
(s+ 1 + 2j) (s+ 1− 2j) = (s+ 1)2︸ ︷︷ ︸
real2
+ 22︸︷︷︸
Imag2
Reescrevendo F (s), temos:
F (s) =
2s+ 12
s2 + 2s+ 5
=
2s+ 12
(s+ 1)2 + 22
Separando o numerador na forma necessaria apresentada por Laplace.
2s+ 12
s+ 1
= 2 (s+ 1) + 10
F (s) =
2s+ 12
(s+ 1)2 + 22
=
2 (s+ 1) + 10
(s+ 1)2 + 22
= 2
(s+ 1)
(s+ 1)2 + 22
+ 5
2
(s+ 1)2 + 22
c(t) = u(t)
[
5e−tsen2t+ 2e−t cos 2t
]
= e−tu(t) [5sen2t+ 2 cos 2t]
A equac¸a˜o acima ainda permite uma minimizac¸a˜o.
-�
�
�
�
�
�
�
���6
R
es
ul
ta
nt
e
5
se
n
(2
t)
2 cos (2t)
asenθ + b cos θ ⇒

Mo´dulo = M =
√
a2 + b2
Argumento = θ =
(
arctan
a
b
)
M∠θ =
√
a2 + b2∠arctan a
b
Resultando na func¸a˜o temporal abaixo.
c(t) = 5, 38u(t)e−t cos (2t− 68, 2◦)
Exatamente o mesmo resultado obtido na soluc¸a˜o por Euler efetuado anteriormente.
22
2.7 Soluc¸o˜es com MatLab
Todas transformadas e transformadas inversas apresentadas, podem tambe´m ser obtidas com
o auxilio do MatLab. Para obtenc¸a˜o das respostas, e´ necessa´rio entrar com as informac¸o˜es na janela
”Command Window” do MatLab e aguardar o resultado no mesmo local. A seguir, exemplos de como
proceder para efetuar a transformac¸a˜o ao lado de alguns comenta´rios sobre os comandos efetuados.
Transforma no domı´nio de Laplace ou retornar no tempo
No MatLab Comenta´rios
>> syms a s t w Definic¸a˜o de varia´veis
f=2*exp(-t)-exp(-2*t) Define a func¸a˜o temporal f(t)
f=
2*exp(-t)-exp(-2*t) Retorna o valor definido de f(t)
>> L=laplace(f,t,s) Define e executa a transformada de Laplace
L=
2/(s+1)-1/(s+2) Retorna a func¸a˜o no domı´nio da frequ¨eˆncia
>>ilaplace(L,s,t) Define e executa a transformada inversa
ans=
2*exp(-t)-exp(-2*t) Retorna a func¸a˜o temporal inicial
23
Definir polinoˆmios
No MatLab Comenta´rios
>> a=poly[-1 -2 -3 -4]) Define a func¸a˜o na forma fatorada a = (s+ 1)(s+ 2)(s+ 3)(s+ 4)
a=
1 10 35 50 24 Retorna o vetor a na forma polinomial a = s4 + 10s3 + 35s2 + 50s+ 24
>> a=[1 10 35 50 24] Define a entrada na forma do polinoˆmio a = s4 + 10s3 + 35s2 + 50s+ 24
a=
1 10 35 50 24 Retorna o polinoˆmio da mesma forma a = s4 + 10s3 + 35s2 + 50s+ 24
Divisa˜o em frac¸o˜es parciais
No MatLab Comenta´rios
>> n=[1 3] Define o numerador no domı´nio de Laplace (s+ 3)
num=
1 3 Retorna o numerador (s+ 3)
>> d=[1 3 2] Define o denominador no domı´nio de Laplace (s2 + 3s+ 2)
den=
1 3 2 Retorna o denominador (s2 + 3s+ 2)
>>[r,p,k]=residue(n,d) Define e executa a transformada inversade Laplace
r=
-1
2 Retorna os indices K1 e K2
p=
-2
-1 Retorna os po´los (s+ 2)(s+ 1)
K=
[ ] Retorna resı´duo, neste caso = zero
Resultado F (s) =
(s+ 3)
s2 + 3s+ 2
=
−1
(s+ 2)
+
2
(s+ 1)
24
2.8 Tabela de transformadas de Laplace
Pares de Transformadas de Laplace
item f(t) F(s)
1
du(t)
dt
sU(s)
2
du(t)n
dtn
sn U(s)
3 Impulso unita´rio d(t) 1
4 Degrau unita´rio = u(t) = 1
1
s
5 t
1
s2
6
tn− 1
(n− 1)! p/ n = 1, 2, 3....
1
sn
7 tn p/ n = 1, 2, 3....
n!
sn+1
8 e−at 1
(s+ a)
9 te−at 1
(s+ a)2
10
1
(n− 1)! t
n− 1e−at 1
(s+ a)n
11 tne−at p/ n = 1, 2, 3... n!
(s+ a)n+1
12 senwt
w
s2 + w2
13 coswt
s
s2 + w2
14 senhwt
w
s2 − w2
15 coshwt
s
s2 − w2
16
1
a
(1− e−at) 1
s(s+ a)
25
item f(t) F(s)
17
1
b− a
(
e−at − e−bt
) 1
(s+ a) (s+ b)
18
1
b− a
(
be−bt − ae−at
) s
(s+ a) (s+ b)
19
1
ab
[
1 +
1
a− b
(
be−at − ae−bt
)] 1
s (s+ a) (s+ b)
20
1
a2
(
1− e−at − a t e−at) 1
s (s+ a)2
21
1
a2
(
at− 1− e−at) 1
s2 (s+ a)
22 e−at senwt w
(s+ a)2 + w2
23 e−at coswt (s+ a)
(s+ a)2 + w2
24
wn√
1− ζ2 e
−ζwnt sen
(
wn
√
1− ζ2t
)
p/ 0〈 ζ 〈1 w
2
n
s2 + 2ζwns+ w2n
25 − 1√
1− ζ2 e
−ζwntsen
(
wn
√
1− ζ2 t− ϕ
)
p/
ϕ = arctan
√
1− ζ2
ζ
0 〈 ζ 〈 1 e 0 〈 ϕ 〈 pi/2
s
s2 + 2ζwns+ w2n
26 1− 1√
1− ζ2 e
−ζwntsen
(
wn
√
1− ζ2 t− ϕ
)
p/
ϕ = arctan
√
1− ζ2
ζ
0 〈 ζ 〈 1 e 0 〈 ϕ 〈 pi/2
s
s (s2 + 2ζwns+ w2n)
27 1− coswt w
2
s (s2 + w2)
28 wt− senwt w
2
s2 (s2 + w2)
29 senwt− wt coswt 2w
3
(s2 + w2)2
30
1
2w
t senwt
s
(s2 + w2)2
31 t coswt
s2 − w2
(s2 + w2)2
32
1
w22 − w21
(cosw1t− cosw2t) p/ w22 6= w21
s(
s2 + w21
) (
s2 + w22
)
33
1
2w
(senwt+ wt coswt)
s2
(s2 + w2)2
26
item f(t) F(s)
34
M∠θ
(s+ a− bj) +
M∠− θ
(s+ a+ bj)
2Me−at cos (bt+ θ)
27
2.9 Exercı´cios de Fixac¸a˜o
Exercı´cio 2.1. Dadas as func¸o˜es temporais que segue, obter a suas transformadas em Laplace.
(a) f(t) = 4u(t) + 2e−3t
(b) f(t) =
du(t)2
dt2
+ 2u(t) com u(t) = 2, 2 + 3 sen 2t
(c) r1(t) = 12, 5u(t)
(d) r2(t) = 7, 6tu(t)
(e) r3(t) = 3, 3t2u(t)
Exercı´cio 2.2. Dadas as func¸o˜es de Laplace abaixo, obter sua resposta temporal, considerando uma
entrada tipo degrau unita´rio, em todos os casos.
(a) F (s) =
(s+ 1)(s+ 3)
(s+ 2) (s+ 4) (s+ 6)
(b) F (s) =
32s+ 15
(s+ 2, 5) (s+ 3, 6) (s+ 4, 1) (s+ 5)
(c) F (s) =
2s4 + 1, 5s3 + 7s2 + 3s+ 2
(s+ 3, 2)5
(d) F (s) =
2s+ 5
(s+ 1) (s+ 3)3
(e) F (s) =
4s− 9
s2 + 6s+ 34
(f) F (s) =
4s+ 8
(s+ 2, 5) (s2 + 4s+ 13)
Exercı´cio 2.3. Resolva por Laplace as equac¸o˜es diferenciais que seguem.
(a)
d2y(t)
dt2
+ 2
dy(t)
dt
+ 17y(t) = 6u(t)
(b)
d2y(t)
dt2
+ 3
dy(t)
dt
+ 2y(t) =
du(t)
dt
+ u(t) com u(t) = 1 + cos 2t (ENADE 2005)
(c) 2
d2y(t)
dt2
+ 12
dy(t)
dt
+ 2y(t) = 4
du(t)
dt
+ 2u(t)
Exercı´cio 2.4. Dada a func¸a˜o de Laplace, obter sua respectiva equac¸a˜o diferencial.
(a) G(s) =
2s+ 1
s3 + 2s2 + 6s+ 2
28
Capı´tulo 3
Modelagem Matema´tica
Compensador
Modelagem
Matema´tica
Modelar um sistema significa transcrever matematicamente seu comportamento no tempo ou na
frequ¨eˆncia (em Laplace) para que possa ser utilizado posteriormente na forma de expressa˜o alge´brica
determinando sua resposta. Modelamos sistemas fı´sicos, mecaˆnicos (rotac¸a˜o, translac¸a˜o, etc.), pneuma´ticos,
hidra´ulicos, ele´tricos, entre outros. Dentro do curso de controle cla´ssico nos limitaremos ao calculo da
modelagem de sistemas ele´tricos passivos e ativos, mas apresentamos ao final deste capitulo alguns
exemplos de modelagem cla´ssicas.
1. Sistemas ele´tricos passivos
2. Sistemas ele´tricos ativos
3. Sistemas mecaˆnicos dinaˆmicos
4. Sistemas de nı´vel de fluido (tanques)
5. Sistemas te´rmicos (fornos)
6. Motores ele´tricos de CC
29
30
3.1 Circuitos Ele´tricos Passivos
Definimos como circuitos passivos, montagens compostas por resistores, indutores e capaci-
tores, que associados tem a possibilidade de modificar a forma do sinal recebido na entrada, sem
contudo propiciar um ganho de tensa˜o a este. Sa˜o basicamente circuitos atenuadores ou na melhor
das condic¸o˜es que mante´m a amplitude recebida.
No estudo de circuitos ele´tricos temos as relac¸o˜es entre tensa˜o, corrente e carga no tempo, de cada
um destes componentes.
Componente v(t) = f(i(t)) i(t) = f(v(t)) v(t) = f(q(t)) Z(s)
Resistor v(t) = R i(t) i(t) =
1
R
v(t) v(t) = R
dq(t)
dt
R
Capacitor v(t) =
1
C
t∫
0
i(t)dt i(t) = C
dv(t)
dt
v(t) =
1
C
q(t)
1
sC
Indutor v(t) = L
di(t)
dt
i(t) =
1
L
t∫
0
v(t)dt v(t) = L
d2q(t)
dt2
sL
A partir das equac¸o˜es acima, podemos modelar circuitos ele´tricos utilizando suas func¸o˜es tem-
porais ou suas relac¸o˜es em frequ¨eˆncia, que em nosso caso se observa ser muito mais pra´tico.
Exemplo 3.1.1. Aplicando as propriedades apresentadas, podemos equacionar circuitos ele´tricos no
domı´nio de laplace e obter sua func¸a˜o de transfereˆncia e sua resposta temporal.
-
R
C
I(s)
Vi(s) Vo(s)
Sendo um circuito se´rie, teremos a corrente comum a todos, resultando em:
V o(s) = I(s)
1
sC
e V i(s) = I(s)
(
1
sC
+R
)
F(s) =
V o(s)
V i(s)
=
���I(s)
1
sC
�
�I(s)
(
1
sC
+R
) = 1sC
1
sC
+R
=
1
��sC
RCs+ 1
��sC
=
1
RCs+ 1
⇒ F(s) =
1
RC
s+
1
RC
31
Impondo uma excitac¸a˜o de entrada em degrau, resulta:
C(s) = R(s)F(s) =
1
RC
s
(
s+
1
RC
) = K1
s
+
K2
s+
1
RC
K1 = �s
1
RC
�s
(
s+
1
RC
)
∣∣∣∣∣∣∣∣
s=0
=
1
RC
1
RC
= 1
K2 =
��
��
��
(
s+
1
RC
) 1
RC
s
��
��
��
(
s+
1
RC
)
∣∣∣∣∣∣∣∣
s=−
1
RC
=
1
RC
− 1
RC
= −1
C(s) =
K1
s
+
K2
s+
1
RC
=
1
s
− 1
s+
1
RC
L−1C(s)−−−−−→ c(t) = 1− e−
t
/RC
Exemplo 3.1.2. Para um circuito um pouco mais complexo determinamos sua func¸a˜o de transfereˆncia
e sua resposta temporal:
�� �� ��
12 Ω 0,5 H
0,02 F
Vi(s)
Vo(s)
8 Ω
V o(s) = I(s)
(
1
sC
+R1
)
= I(s)
(
1
0, 02s
+ 8
)
V i(s) = I(s)
(
sL+R1 +R2 +
1
sC
)
= I(s)
(
0, 5s+ 20 +
1
0, 02s
)
F(s) =
V o(s)
V i(s)
=
�
�I(s)
(
1
0, 02s
+ 8
)
�
�I(s)
(
0, 5s+ 20 +
1
0, 02s
) = 8 + 50s
0, 5s+ 20 +
50
s
F(s) =
8s+ 50
�s
0, 5s2 + 20s+ 50
�s
=
8s+ 50
0, 5s2 + 20s+ 50
=
16s+ 100
s2 + 40s+ 100
F(s) =
16s+ 100
s2 + 40s+ 100
=
16s+ 100
(s+ 5)2
32
Impondo uma excitac¸a˜o de entrada de degrau unita´rio, vem:
C(s) =
4s+ 25
s (s+ 5)2
=
K1
s
+
K2
(s+ 5)2
+
K3
(s+ 5)
K1 = �s
4s+ 25
�s (s+ 5)
2
∣∣∣∣
s=0
=
4s+ 25
(s+ 5)2
∣∣∣∣
s=0
=
25
25
= 1
F1(s) =��
��(s+ 5)2
4s+ 25
s���
�
(s+ 5)2
=
4s+ 25
s
K2 =
(4s+ 25)
s
∣∣∣∣
s=−5
=
5
−5 = −1
K3 =
d
ds
[
(4s+ 25)
s
]∣∣∣∣
s=−5
→ d
ds
u
v
=
u′v − v′u
v2
→ 4 (s)− 1 (4s+ 25)
s2
=
−25
s2
∣∣∣∣
s=−5
=
−25
25
= 1
C(s) =
1
s
− 1
(s+ 5)2
+
1
(s+ 5)
L−1C(s)−−−−−→ c(t) = 1− te−5t + e−5t = 1 + e−5t(1− t)
Exemplo 3.1.3. Para um novo circuito determinamos sua func¸a˜o de transfereˆncia, resposta temporal e
resposta estacionaria (apo´s passado muito tempo), tambe´m para uma excitac¸a˜o a degrau unita´rio:
�� �� ��
Vi(s) Vo(s)
1 Ω 0,1 H
0,01 F 9Ω
Para calcular a func¸a˜o de transfereˆncia deste circuito devemos conhecer:
Zo(s)= Ro//Co e Zi(s) = Li +Ri + Zo(s)
1
Zo(s)
=
1
Ro
+
sCo
1
=
1
9
+ 0, 01s =
1 + 0, 09s
9
→ Zo(s) =
9
0, 09s+ 1
=
100
s+ 11, 11
Zi(s) = 0, 1s+ 1 +
100
(s+ 11, 11)
=
(0, 1s+ 1) (s+ 11, 11) + 100
(s+ 11, 11)
=
0, 1s2 + 2, 11s+ 111, 1
(s+ 11, 11)
F(s) =
Zo(s)
Zi(s)
=
100
���
���(s+ 11, 11)
0, 1s2 + 2, 11s+ 111, 1
���
���(s+ 11, 11)
=
1.000
s2 + 21, 1s+ 1.111
=
1.000
(s+ 10, 6− 31, 6j) (s+ 10, 6 + 31, 6j)
C(s) =
1.000
s (s+ 10, 6− 31, 6j) (s+ 10, 6 + 31, 6j) =
K1
s
+
K2
(s+ 10, 6− 31, 6j) +
K∗2
(s+ 10, 6− 31, 6j)
33

K1 = �s
1.000
�s (s2 + 21, 1s+ 1.111)
∣∣∣∣
s=0
=
1.000
1.111
= 0, 9
K2 = ((((
((((
((
(s+ 10, 6− 31, 6j) 1.000
s((((
((((
((
(s+ 10, 6− 31, 6j) (s+ 10, 6 + 31, 6j)
∣∣∣∣
s=−10,6+31,6j
=
K2 =
1.000
(−10, 6 + 31, 6j) (����−10, 6 + 31, 6j +���10, 6 + 31, 6j)
=
1.000∠0◦
33, 33∠109◦ 63, 2∠90◦ = 0, 47∠− 199
◦
C(s) =
0, 9
s
+
0, 47∠− 199◦
(s+ 10, 6− 31, 6j) +
0, 47∠+ 199◦
(s+ 10, 6 + 31, 6j)
L−1−−→ c(t) = 0, 9 + 0, 94e−10,6t cos(31, 6t− 199◦)
Finalizamos calculando o valor final para tempo tendendo a infinito, vem:
c(t) = 0, 9 + 0, 94 e
−10, 6t︸ ︷︷ ︸
t =∞→ 0
cos(31, 6t− 199)
︸ ︷︷ ︸
zero
= 0, 9
Aplicado um degrau unita´rio, resultou em um sinal de valor final 0,9, ou seja um erro de que sera´
estudado no capitulo de erro de estado estaciona´rio
3.2 Circuitos Ele´tricos Ativos
Pela utilizac¸a˜o de amplificadores operacionais, podemos modificar o sinal de entrada como nos
circuitos passivos e ainda impor um ganho maior que a unidade. Este recurso e´ bastante utilizado na
confecc¸a˜o de compensadores analo´gicos e esta configurac¸a˜o de montagem recebe o nome de circuito
ativo. Montagens com resistores, capacitores e amplificadores operacionais convenientemente associ-
ados determinam uma func¸a˜o de transfereˆncia ao circuito que associada a planta em estudo, modificam
seu comportamento para obter a resposta desejada.
Para melhor compreendermos seu funcionamento vamos estudar inicialmente as montagens carac-
terı´sticas do Amp Op como inversor de tensa˜o e como na˜o inversor de tensa˜o.
Amplificador inversor
��
��
�H
HH
HH
-
-
�
�
�>
Terra virtual
Ri
Rf
If
Ii
-
+
Vi Vo
34
Considerando um amplificador operacional como um circuito ideal (impedaˆncia de entrada e
ganho infinitos), dentro de seus limites de operac¸a˜o, podemos afirmar que a tensa˜o necessaria nas
entradas diferenciais para levar a saı´da no estado de saturac¸a˜o, sera´ desprezı´vel. Nesta montagem,
com a entrada na˜o inversora ligada a terra e uma queda muito baixa entre elas, por aproximac¸a˜o, con-
sideramos a entrada inversora com o mesmo potencial da entrada na˜o inversor, ou seja ”terra”, que
nestas condic¸o˜es e´ chamado de terra virtual. Admitido que a entrada inversora tem o potencial de terra
virtual, podemos calcular:
Ii =
V i
Ri
Mas com a impedaˆncia de entrada muito alta (no caso de um operacional 741 da ordem de MΩ), so´
permite a corrente de entrada seguir o caminho de Rf .
Desta forma deduzimos que:
VRf = Rf Ii pois Ii = If
Em uma ra´pida ana´lise percebemos que Vo = −VRf , que substituindo vem:
Vo = −ViRf
Ri
O caso particular do amplificador inversor, quando Ri = Rf , resulta Vo = −Vi Em controle substituı´mos
as resisteˆncias por impedaˆncia na entrada e na realimentac¸a˜o, resultando em:
F(s) =
Vo(s)
Vi(s)
= −Zf(s)
Zi(s)
Exemplo 3.2.1. Para o circuito abaixo, obter sua func¸a˜o de transfereˆncia
��
��
�H
HH
HH
-
+
C1 R1
R2 C2
Vi(s) Vo(s)
Zf(s) = R2 + C2 → R2 +
1
C2s
→ Zf(s) =
C2R2s+ 1
C2s
Zi(s) = R1 + C1 → R1 +
1
C1s
→ Zi(s) =
C1R1s+ 1
C1s
F(s) = −
Zf(s)
Zi(s)
= −
C2R2s+ 1
C2s
C1R1s+ 1
C1s
= −C2R2s+ 1
C2�s
C1�s
C1R1s+ 1
→ F(s) = −
C1
C2
(C2R2s+ 1)
(C1R1s+ 1)
35
Amplificador na˜o inversor Considere a configurac¸a˜o que segue
��
��
�H
HH
HH
Vi(s) +
-
Vo(s)
R1
Va
R2
Vo = Av (Vi − Va) onde Av e´ o ganhodo amplificador
Atrave´s do divisor de tensa˜o formado por R1 e R2, temos:
Va =
R1
R1 +R2
V0
Substituindo na equac¸a˜o inicial, vem:
Vo = Av
(
Vi − Vo R1
R1 +R2
)
= AvVi −AvVo R1
R1 +R2
→ Vo +AvVo R1
R1 +R2
= AvVi
Vo
(
1 +Av
R1
R1 +R2
)
= AvVi → Vo
Vi
=
Av
1 +Av
R1
R1 +R2
�1 +Av
R1
R1 +R2
' Av R1
R1 +R2
Vo
Vi
= �
�Av
��Av
R1
R1 +R2
=
1
R1
R1 +R2
→ F(s) =
Vo
Vi
=
R1 +R2
R1
A soluc¸a˜o particular ocorre quando R2 = 0 (curto circuito) e R1 = ∞ (circuito aberto), netas condic¸o˜es
a montagem recebe o nome de seguidor de tensa˜o, pois a tensa˜o de entrada e´ copiada para a saı´da
com um desacoplamento de impedaˆncia.
��
��
�H
HH
HH
Vi(s) + Vo(s)
-
36
Exemplo 3.2.2. Obter a func¸a˜o de transfereˆncia do circuito que segue
��
��
�H
HH
HH
Vi(s) +
Vo(s)-
C2
R1
C1
R2
Z1(s) = R1 + C1 → R1 +
1
C1s
=
R1C1s+ 1
C1s
Z2(s) = R2 + C2 → R2 +
1
C2s
=
R2C2s+ 1
C2s
F(s) =
Z1(s) + Z2(s)
Z1(s)
=
R1C1s+ 1
C1s
+
R2C2s+ 1
C2s
R1C1s+ 1
C1s
F(s) =
C2 (R1C1s+ 1) + C1 (R2C2s+ 1)
C1C2s
R1C1s+ 1
C1s
F(s) =
C2 (R1C1s+ 1) + C1 (R2C2s+ 1)
��C1C2�s
��C1s
R1C1s+ 1
→
F(s) =
C2 (R1C1s+ 1) + C1 (R2C2s+ 1)
C2 (R1C1s+ 1)
Compensadores de avanc¸o, ou de atraso de fase e a composic¸a˜o entre eles, o avanc¸o/atraso de
fase sa˜o muito utilizados como compensadores analo´gicos normalmente em cascata com a planta para
modificar seu comportamento. Analisaremos estes casos a seguir, sendo que o modelo ele´trico tanto
para o avanc¸o, como para o atraso sa˜o os mesmos, o que diferencia o funcionamento do compensador
e´ a relac¸a˜o entre as resisteˆncias e as capacitaˆncias.
37
Compensador de Avanc¸o ou Atraso de fase
��
��
�H
HH
HH
-
+
��
��
�H
HH
HH
-
+
R1
C2
R2
R3
R4
C1
Z1(s) = R1//C1 →
1
Z1(s)
=
1
R1
+ C1s =
R1C1s+ 1
R1
→ Z1(s) =
R1
R1C1s+ 1
Z2(s) = R2//C2 →
1
Z2(s)
=
1
R2
+ C2s =
R2C2s+ 1
R2
→ Z2(s) =
R2
R2C2s+ 1
F(s) = F1(s)F2(s) =
(
−Z2(s)
Z1(s)
)(
−R4
R3
)
=
R4
R3
Z2(s)
Z1(s)
F(s) =
R4
R3
R2
R2C2s+ 1
R1
R1C1s+ 1
=
R4
R3
R2
R2C2s+ 1
R1C1s+ 1
R1
→ F(s) =
R4R2
R3R1
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)
F(s) =
R4R2
R3R1︸ ︷︷ ︸
Ganho
zero︷ ︸︸ ︷
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)︸ ︷︷ ︸
polo
Podemos definir para esta configurac¸a˜o de compensador
• O ganho proporcional sera K = R4R2
R3R1
• Quando R1C1 > R2C2, o po´lo estara´ mais pro´ximo da origem que o zero e o compensador sera´
de atraso de fase
• Quando R1C1 < R2C2, o zero estara´ mais pro´ximo da origem que o po´lo e o compensador sera´
de avanc¸o de fase
38
Exemplo 3.2.3. Para determinar o valor dos componentes, devemos a partir da func¸a˜o de transfereˆncia
calculada (isto sera visto nos capı´tulos 9 e 11) e proceder como segue
Gc(s) = 2, 35
(s+ 3, 75)
(s+ 6, 88)
=
R4R2
R3R1
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)
Observe que o fator (R1C1s+ 1) e´ apresentado do outro lado da igualdade como (s+ 3, 75).
O mesmo ocorre com (R2C2s+ 1) e (s+ 6, 88).
A normalizac¸a˜o deste efeito, e´ conseguida como segue:
3, 75
3, 75
(s+ 3, 75) = 3, 75
(
s
3, 75
+�
��3, 75
��
�3, 75
)
= 3, 75 (0, 267s+ 1)
6, 88
6, 88
(s+ 6, 88) = 6, 88
(
s
6, 88
+�
��6, 88
��
�6, 88
)
= 6, 88 (0, 145s+ 1)
Agrupando tudo, resulta:
Gc(s) = 2, 35
(s+ 3, 75)
(s+ 6, 88)
= 2, 35
3, 75 (0, 267s+ 1)
6, 88 (0, 145s+ 1)
= 1, 28
(0, 267s+ 1)
(0, 145s+ 1)
Gc(s) = 1, 28
(0, 267s+ 1)
(0, 145s+ 1)
=
R4R2
R3R1
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)→

1, 28 =
R4R2
R3R1
0, 267 = R1C1
0, 145 = R2C2
Sendo capacitores mais difı´ceis de serem obtidos, e´ usual adotarmos valores conhecidos para estes
componentes e calcularmos os valores dos resistores, como segue: C1 = C2 = 5uF e R3 = 10KΩ
R1 =
0, 267
5uF
= 53K4Ω R2 =
0, 145
5uF
= 29KΩ R4 =
1, 28R3R1
R2
= 23K6Ω
��
��
�H
HH
HH
-
+
��
��
�H
HH
HH
-
+
53K4Ω
5uF
29KΩ
10KΩ
23K6Ω
5uF
39
Exemplo 3.2.4. Repetido agora para um compensador de atraso de fase
Gc(s) = 1, 1
(s+ 0, 1)
(s+ 0, 05)
=
R4R2
R3R1
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)
Gc(s) = 1, 1
(s+ 0, 1)
(s+ 0, 05)
= 1, 1
0, 1
0, 1
(s+ 0, 1)
0, 05
0, 05
(s+ 0, 05)
= 1, 1
0, 1
0, 05
(10s+ 1)
(20s+ 1)
= 2, 2
(10s+ 1)
(20s+ 1)
Gc(s) = 2, 2
(10s+ 1)
(20s+ 1)
=
R4R2
R3R1
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)
Adotando C1 = C2 = 470uF e R3 = 22KΩ, vem:
R1 =
10
C1
=
10
470uF
= 21K3Ω R2 =
20
C2
=
20
470uF
= 42K6Ω R4 =
2, 2R3R1
R2
= 24K2Ω
��
��
�H
HH
HH
-
+
��
��
�H
HH
HH
-
+
21K3Ω
470uF
42K6Ω
22KΩ
24K2Ω
470uF
Compensador de Avanc¸o/Atraso de fase
��
��
�H
HH
HH
-
+��
��
�H
HH
HH
-
+
R1
R3
C2 R2
R4
R5
R6
C1
Esta montagem permite associar um compensador de avanc¸o a um compensador de atraso de
fase em um u´nico circuito, sem a necessidade de utilizac¸a˜o de 4 amplificadores operacionais.
Z1(S) = (R1 + C1) //R3 →
1
Z1(S)
=
1(
R1 +
1
C1s
) + 1
R3
→ Z1(S) =
R3 (R1C1s+ 1)
(R1C1s+ 1) + (R3C1s)
40
Z2(S) = (R2 + C2) //R4 →
1
Z2(S)
=
1(
R2 +
1
C2s
) + 1
R4
→ Z2(S) =
R4 (R2C2s+ 1)
(R2C2s+ 1) + (R4C2s)
F(s) =
R6
R5
R4 (R2C2s+ 1)
(R2C2s+ 1) + (R4C2s)
(R1C1s+ 1) + (R3C1s)
R3 (R1C1s+ 1)
→
F(s) =
R6R4
R5R3
[(R1 +R3)C1s+ 1]
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)
[(R2 +R4)C2s+ 1]
Exemplo 3.2.5. Associando os dois compensadores calculados anteriormente (um de avanc¸o e outro
de atraso) temos
Gcav(s)Gcat(s) = 1, 28
(0, 267s+ 1)
(0, 145s+ 1)
2, 2
(10s+ 1)
(20s+ 1)
→
2, 82
(0, 267s+ 1)
(0, 145s+ 1)
(10s+ 1)
(20s+ 1)
=
R6R4
R5R3
[(R1 +R3)C1s+ 1]
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)
[(R2 +R4)C2s+ 1]
Adotando C1 = 10uF , C2 = 100uF e R5 = 47KΩ, resulta:
0, 145 = R1C1 → R1 = 0, 145
10uF
= 14K5Ω 0, 267 = (R1 +R3)C1 → R3 = 0, 267
10uF
− 14K5 = 12K2Ω
10 = R2C2 → R2 = 10
100uF
= 1MΩ 20 = (R2 +R4)C2 → R4 = 20
100uF
− 1M = 1MΩ
2, 82 =
R6R4
R5R3
→ R6 = 2, 82R5R3
R4
= 2, 82
47K 12K2
1M
= 1K6Ω
��
��
�H
HH
HH
-
+��
��
�H
HH
HH
-
+
14K5Ω
12K2Ω
100uF 1MΩ
1MΩ
47KΩ
1K6Ω
10uF
Resumidamente, em controle cla´ssico os principais controladores sa˜o assim, definidos.
41
Func¸a˜o Z1(s) entrada Z2(s) realimentac¸a˜o F(s) = −
Z2(s)
Z1(s)
Ganho R1 R2 −R2
R1
Integrador R1 C2 − 1R1C2/s
Diferenciador C1 R2 −R2C1
PI R1 R2 ↔ C2 −R2
R1
(
s+ 1/R2C2
)
s
PD R1//C1 R2 −R2
R1
(R1C1s+ 1)
PID R1//C1 R2 ↔ C2 −
[(
R2
R1
+
C1
C2
)
+R2C2s+
1/R1C2
s
]
Avanc¸o de fase R1//C1 R2//C2 −R2
R1
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)
p/ R1C1 < R2C2
Atraso de fase R1//C1 R2//C2 −R2
R1
(R1C1s+ 1)
(R2C2s+ 1)
p/ R1C1 > R2C2
42
3.3 Sistemas mecaˆnicos dinaˆmicos
Os treˆs elementos mecaˆnicos ba´sicos, sa˜o massa, mola (resisteˆncia) e amortecedor (atrito),
identificados abaixo.
Figura 3.1:
Massa
De acordo com a 2o lei de Newton, podemos escrever matematicamente:
f(t) = ma(t) = m
dv(t)
dt
= m
d2x(t)
dt2
onde

x(t) → posic¸a˜o
v(t) → velocidade
a(t) → acelerac¸a˜o
⇒ doponto emestudo
Considerando que a massa e´ um corpo rı´gido, ou seja, o ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a na˜o se move
em relac¸a˜o a um outro ponto qualquer da massa, portanto x(t) e´ a posic¸a˜o de qualquer ponto da massa.
Considerando tambe´m a massa como sendo um elemento de armazenamento de energia cine´tica do
movimente de translac¸a˜o, em uma analogia a circuitos ele´tricos, podemos considerar equivalente a
uma indutaˆncia.
Mola e Amortecedor
Em uma mola armazenamos energia potencial, sendo ana´loga a um capacitor em circuitos ele´tricos.
O atrito ou amortecimento, causado pelo amortecedor sera´ para nos equivalente a resisteˆncia ele´trica
de circuitos.
Nestes dois casos, diferentes da massa, podemos ter deslocamento do ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a
43
com relac¸a˜o ao ponto de apoio do elemento, por este motivo necessitamos de duas varia´veis de deslo-
camento para descrever a resposta do elemento, conforme segue.
Amortecedor⇔ f(t) = B
(
∂X1(t)
∂t
− ∂X2(t)
∂t
)
→ B = coeficiente de atrito
Mola⇔ f(t) = K
(
X1(t) −X2(t)
)
Estas equac¸o˜es sa˜o validas com as forc¸as aplicadas no sentido do desenho acima, caso a aplicac¸a˜o
se de em sentido contrario, o sinal equivalente devera´ ser invertido na equac¸a˜o. O amortecedor tem a
propriedade de dissipar energia, sem a capacidade de armazenamento, enquanto massa e mola per-
mitem armazenamento de energia, sem contudo poderem dissipar as mesmas. Usando a lei de Newton
podemos escrever:
”A soma das forc¸as aplicadas a um corpo e´ igual ao produto de sua massa pela acelerac¸a˜o
adquirida”
Exemplo 3.3.1. Para o sistema mecaˆnico da figura abaixo, sendo f(t) o sinal de entrada e x(t), o sinal
de saı´da, obter a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema.
Massa
K B
f(t) x(t)
Treˆs forc¸as esta˜o em ac¸a˜o no sistema

f(t) → forc¸a aplicada
B
∂x(t)
∂t
→ forc¸a de atrito
Kx(t) → forc¸a da mola
F = M
∂2x(t)
∂t2
= f(t) −B
∂x(t)
∂t
−Kx(t) L
−1−−→Ms2X(s) = F(s) −BsX(s) −KX(s)
F(s) = Ms
2X(s) +BsX(s) +KX(s) = X(s)
(
Ms2 +Bs+K
)→
G(s) =
F(s)
X(s)
=
1
Ms2 +Bs+K
44
Exemplo 3.3.2. Na figura abaixo observamos o diagrama esquema´tico da suspensa˜o de um automo´vel.
Com o deslocamento do veiculo ao longo de uma estrada, em um piso irregular, os deslocamentos
verticais dos pneus agem como uma excitac¸a˜o do sistema de suspensa˜o do automo´vel. O movimento
deste sistema e´ composto por uma translac¸a˜o do centro de massa e de uma rotac¸a˜o em torno do
centro de massa. Sua modelagem e´ bastante complexa, porem em uma visa˜o simplificada, podemos
considerar
Centrodemassa
Carroceria M
K B
P
X0
X1
Considerando que o deslocamento X1 do ponto P seja a grandeza de entrada do sistema e que
o deslocamento vertical X0 da carroceria seja a grandeza de saı´da (estamos estudando as oscilac¸o˜es
da carroceria com a ondulac¸a˜o do piso), obtemos da func¸a˜o de transfereˆncia considerando apenas o
deslocamento vertical da carroceria.
M
∂2x0
∂t2
+B
(
∂X0
∂t
− ∂X1
∂t
)
+K (X0 −X1) = 0
M
∂2x0
∂t2
+B
∂X0
∂t
+KX0 = B
∂X1
∂t
+KX1
Levando para o domı´nio de Laplace temos:
(
Ms2 +Bs+K
)
X0(s) = (Bs+K)X1(s)→G(s) =
X0(s)
X1(s)
=
Bs+K
Ms2 +Bs+K
Exemplo 3.3.3. Considerando agora o efeito ela´stico que o pneu impo˜e no sistema anterior, podemos
refazer o Exemplo 3.3.2 um pouco mais detalhado
45
• M1→Massa da carroceria do automo´vel
• M2→ Massa da roda
• B → Atrito do amortecedor
• K1 → constante elastica da mola do
carro
• K2→ constante elastica do pneu

M1⇒M1∂
2x1
∂t2
= −B
(
∂X1
∂t
− ∂X2
∂t
)
−K1 (X1 −X2)
M2⇒M2∂
2x2
∂t2
= f(t)−B
(
∂X2
∂t
− ∂X1
∂t
)
−K1 (X2 −X1)−K2X2
Desmembrando e engarupando os termos, temos
M1s
2X1(s) +B
(
sX1(s) − sX2(s)
)
+K1
(
X1(s) −X2(s)
)
= 0
M2s
2X2(s) +B
(
sX2(s) − sX1(s)
)
+K1
(
X2(s) −X1(s)
)
+K2X2(s) = F(s)

X1(s) =
Bs+K1
M1s2 +Bs+K1
X2(s) = G1(s)X2(s)
X2(s) =
1
M2s2 +Bs+ (K1 +K2)
F (s) +
Bs+K1M2s2 +Bs+ (K1 +K2)
X1(s) = G2(s)F(s) +G3(s)X1(s)
Solucionamos com maior facilidade este equacionamento com auxilio de reduc¸a˜o blocos, que tem seu
estudo mais detalhado apresentado no pro´ximo capitulo.
m- - - -
ff
6
F(s)
++G2(s)
G3(s)
X1(s)
G1(s)
- - -
X1(s)F(s)
G2(s)
G1(s)
1−G1(s)G3(s)
∼=
--
X1(s)F(s) G1(s)G2(s)
1−G2(s)G3(s)
Aplicando valores ao diagrama reduzido, obtemos a func¸a˜o de transfereˆncia procurada com a
substituic¸a˜o de G1(s), G2(s) e G3(s)
46
G(s) =
X1(s)
F(s)
=
Bs+K1
M1M2s4 +B (M1 +M2) s3 + (K1M2 +K1M1 +K2M1) s2 +K2Bs+ (K1K2)
3.4 Sistemas Fluido
Exemplo 3.4.1. Considere o tanque abaixo, com suas respectivas entradas e saı´das especificadas
Figura 3.2:
• Q→ Vaza˜o em volume em regime permanente [m3/seg]
• K → Coeficiente [m2/seg]
• H → Altura do nı´vel de agua em regime permanente [m]
• ∗ → E´ a variac¸a˜o na 6= de nı´vel necessaria para obter uma variac¸a˜o unita´ria na taxa de fluxo de
saı´da
• ∗∗ → E´ a variac¸a˜o na quantidade de liquido armazenado, necessa´rio para causar uma variac¸a˜o
unita´ria na altura do tanque
C = (qi − qo) no tempo−−−−−−−→ Cdh = (qi − qo) dt e qo = h
R
Cdh =
(
qi − h
R
)
dt→ RCdh = (Rqi − h) dt→ RCdh
dt
+ h = Rqi →
h↔ H(s)
qi ↔ Qi(s)
47
RCsH(s) +H(s) = RQi(s) → H(s) (RCs+ 1) = RQi(s) ∴
H(s)
Qi(s)
=
R
RCs+ 1
Caso seja de interesse a relac¸a˜o entre entrada e saı´da, vem:
h = q0R→ H(s) = Q0(s)R⇒
Q
0(s)
Qi(s)
R =
1
��R
��R
RCs+ 1
∴ F(s) =
1
RCs+ 1
3.5 Sistemas de aquecimento
Exemplo 3.5.1. Obter a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema de troca de calor que segue
Figura 3.3:
Sa˜o definidos para este sistema
• Resisteˆncia te´rmica→ Quociente de variac¸a˜o da diferenc¸a de temperatura pela variac¸a˜o da taxa
de fluxo de calor massa x calor especifico =
[
Kcal
��Kg
oC
] [
��Kg
]
=
[
Kcal
oC
]
• Capacitaˆncia te´rmica → Quociente de variac¸a˜o de calor armazenado no sistema, pela variac¸a˜o
da temperatura =
d (M θ)
dq
=
variac¸a˜o o da temperatura
variac¸a˜o o de fluxo de calor
E as varia´veis que vamos utilizar sa˜o:
48
G Fluxo de lı´quido em regime permanente
[
Kg
seg
]
M Massa de liquido no tanque [Kg]
C Calor especifico de liquido
[
cal
KgoC
]
R Resisteˆncia te´rmica
[oCseg
cal
]
C Capacitaˆncia te´rmica
[
Kcal
oC
]
H Taxa de entrada de calor em regime permanente
[
Kcal
seg
]
Supondo que a temperatura do liquido de entrada seja mantida constante Φi = cte e que a
taxa de entrada de calor fornecida pelo aquecedor, seja modificada rapidamente de H para H + hi,
onde hi representa a variac¸a˜o de η. Desta forma a taxa de saı´da de calor vai variar gradualmente de
H → H + hi, enta˜o:
h0 = GcPhi0 ; R =
Φ0
h0
e C = mc onde

h0 = taxa de entrada de calor
G = vaza˜o do sistema
c = calor especifico
ϕ0 = temperatura de saı´da
R = Resisteˆncia te´rmica
C = Capacidade te´rmica
m = massa
Pelo balanc¸o energe´tico do sistema, calor de entrada=calor de saı´da
CdΦ = (hi − h0) dt→ CdΦ
dt
= (hi − h0) sendo h0 = Φ0
R
, temos
C
dΦ0
dt
+ h0 = hi → CdΦ0
dt
+
Φ0
R
= hi → RCdΦ0
dt
+Φ0 = Rhi
L−1−−→
RC(s)Φ0(s)s+Φ0(s) = RHi(s) →
Φ0(s)
Hi(s)
=
R
RCs+ 1
Na pratica a temperatura de entrada na˜o e´ constante podendo variara de Φi para Φi + Φ, enquanto
a taxa de entrada de calor H e o fluxo de calor G, sa˜o mantidos constantes. Desta forma a taxa de
calor de saı´da sera´ alterada de H → H + h0, causando uma variac¸a˜o de temperatura de saı´da de
Φ0 → Φ0 +Φ, ficando o balanc¸o energe´tico do sistema como:
CdΦ = (hi − h0) dt como hi = GcΦi
49
C
dΦ
dt
=
1
R
Φi − h0 mas h0 = Φ
R
e Gc =
1
R
C
dΦ
dt
=
1
R
Φi − Φ
R
→ RcdΦ
dt
+Φ0 = Φi
L−1−−→ R (sΦ0(s) +Φ0(s)) = Φi(s)
Φ0(s) (RCs+ 1) = Φi(s) ∴ G(s) =
Φ0(s)
Φi(s)
=
1
RCs+ 1
3.6 Motor de corrente continua
Exemplo 3.6.1. Para ummotor de corrente continua abaixo apresentado, com suas respectivas equac¸o˜es,
obter sua func¸a˜o de transfereˆncia.
Figura 3.4: Esquema ele´trico de um motor CC
• Ra→ Resisteˆncia de armadura
• La→ Indutaˆncia de armadura
• Fem→ Forc¸a eletro motriz
• Fcem→ Forc¸a contra eletro motriz
V0(t) = RaIa(t) + La
dIa(t)
dt
+ ea(t)
L−1−−→ V0(s) = (Ra + Las) Ia(s) +Ea(s)
Equacionando a FCEM por Faraday, temos:
ea(t) = Ke
dθm(t)
dt
onde

Ke → Constante do motor
dθm(t)
dt
= Wm(t) → velocidade angular
L−1−−→ Ea(s) = KeΩm(s)
50
A forc¸a mecaˆnica que um motor desenvolve em seu eixo, que recebe a denominac¸a˜o de conju-
gado mecaˆnico, e´ proporcional ao campo magne´tico que neste caso e´ constante pois consideramos
um motor de ı´ma˜ permanente e a corrente de armadura Ia(t). Esta forc¸a multiplicada pelo brac¸o de
alavanca preso ao eixo de saı´da do motor, corresponde ao conjugado de saı´da.
Cm = KmIa(t)
L−1−−−→ Cm(s) = KmIa(s)
mas Cmec(t) − Cres(t) = J
dw(t)
dt
onde J = momento de ine´rcia
Cres(t) = BWm(t) onde
B → atrito viscoso
Wm → velocidade angular
Cmec(t) = J
dw(t)
dt
+BWm(t)
L−1−−→ Cmec(s) = (Js+B)Ω(s)
Representando o resultado em diagrama de blocos, temos:
m- - -
ff
6
--
Vo(s)
Ea(s)
1
Ra + Las
Km
Km
1
Js+B
Ω(s)
Ia(s) Cm(s)
-+
51
3.7 Exercı´cios de Fixac¸a˜o
Exercı´cio 3.1. Para os circuitos apresentados abaixo, obtenha a sua func¸a˜o de transfereˆncia em
Laplace, sua resposta temporal e seu valor final
(a)
�� �� ��
8 Ω 0,75 H
0,01 F
16 Ω
(b)
�� ����
75Ω 25Ω
0, 05F
0, 25H
(c)
�� ����
75Ω 50Ω
0, 05F
0, 25H
(d)
�� �� ��
0, 025F
20Ω
0, 8H
80Ω
Exercı´cio 3.2. Para o compensador abaixo apresentado, calcule o valor dos componentes para as
func¸o˜es de transfereˆncia que seguem
��
��
�H
HH
HH
-
+
��
��
�H
HH
HH
-
+
R1
C2
R2
R3
R4
C1
(a) G(s) = 5, 75
(s+ 2, 83)
(s+ 10, 57)
com C1 = C2 = 4, 7uF e R3 = 47K
(b) G(s) = 1, 32
(s+ 0, 88)
(s+ 5, 6)
com C1 = 2, 2uF , C2 = 6, 8uF e R3 = 22K
(c) G(s) = 0, 98
(s+ 0, 025)
(s+ 0, 01)
com C1 = C2 = 220uF e R3 = 33K
(d) G(s) = 1, 07
(s+ 0, 001)
(s+ 0, 0001)
com C1 = 470uF , C2 = 1000uF e R3 = 18K
52
Exercı´cio 3.3. Para o compensador abaixo apresentado, calcule o valor dos componentes para as
func¸o˜es de transfereˆncia que seguem
��
��
�H
HH
HH
-
+��
��
�H
HH
HH
-
+
R1
R3
C2 R2
R4
R5
R6
C1
(a) G(s) = 3, 47
(s+ 1, 82)
(s+ 7, 88)
(s+ 0, 1)
(s+ 0, 008)
com C1 = C2 = 150uF e R3 = 33K
(b) G(s) = 2, 22
(s+ 0, 53)
(s+ 4, 91)
(s+ 0, 065)
(s+ 0, 001)
com C1 = 220uF , C2 = 470uF e R3 = 10K
Exercı´cio 3.4. Para cada um dos compensadores abaixo apresentados, calcule a sua func¸a˜o de trans-
fereˆncia e aloque seus po´los e zeros sobre o plano s
(a)
��
��
�H
HH
HH
-
+
��
��
�H
HH
HH
-
+
21K3Ω
470uF
42K6Ω
22KΩ
24K2Ω
470uF
(b)
��
��
�H
HH
HH
-
+
��
��
�H
HH
HH
-
+
53K4Ω
5uF
29KΩ
10KΩ
23K6Ω
5uF
(c)
��
��
�H
HH
HH
-
+��
��
�H
HH
HH
-
+
14K5Ω
12K2Ω
100uF 1MΩ
1MΩ
47KΩ
1K6Ω
10uF
Capı´tulo 4
Representac¸a˜o por Blocos
Compensador
Diagrama
de Blocos
4.1 Sistema de Controle
A func¸a˜o ba´sica de um sistema de controle com realimentac¸a˜o, consiste em comparar o valor real
de saı´da com a referencia de entrada (chamado de valor desejado ou Set-Point) determinar o desvio
desta comparac¸a˜o (sinal de erro) e produzir um sinal de controle que vai atuar sobre o sistema para
zerar ou minimizar o erro de saı´da. Esta atuac¸a˜o recebe o nome de ”Ac¸a˜o de Controle”, que esta
apresentadaem termos de diagrama de blocos abaixo, para um sistema de controle industrial.
�-
- -
ff
-
6
-'
m --- C(s)R(s) +
-
Sensor
PlantaAtuadorAmplificador
Detector
de erro
Sinal de erro
Sistema de controle
Entrada, Refereˆncia ou Set Point
53
54
A saı´da do controlador fornece o sinal de erro atuante ja´ provida de amplificac¸a˜o de poteˆncia que
permita ac¸a˜o do atuador. O atuador e´ normalmente um transducer de sinal ele´trico em mecaˆnico, como
um motor ele´trico, um pista˜o hidra´ulico ou pneuma´tico, uma va´lvula, resisteˆncias de aquecimento, etc.
e atua sobre o processo levando a planta a correc¸a˜o da saı´da com a minimizac¸a˜o do sinal de erro ou
anulando a sua existeˆncia. Sensor e´ o elemento que converte o sinal o sinal de saı´da em um sinal
compatı´vel ao sistema de controle, como rotac¸a˜o, temperatura, pressa˜o, posic¸a˜o, entre outros, a ser
comparado com o sinal de entrada (Set-Point). Este sensor e´ que executa o ramo de realimentac¸a˜o de
um sistema de malha fechada. Plantas industriais sa˜o classificadas pela ac¸a˜o do controlador sobre o
processo, conforme descrito.
4.2 Tipo de controladores
Tipo Descric¸a˜o
On-Off Controladores On-Off
P Controladores Proporcionais
I Controladores Integrais
PI Controladores Proporcionais Integrais
PD Controladores Proporcionais Derivativos
PID Controladores Proporcionais Integrais Derivativos
Controladores tipo On-Off Sistema de controle que so´ permite dois estados (ligado ou desli-
gado). E´ o controlador mais simples que existe, porem robusto e barato, por isto de utilizac¸a˜o bastante
difundida em resideˆncias e indu´strias, como no exemplo abaixo.
Boia
qo
qi
Rede
Figura 4.1: Modelo de controle a realimentac¸a˜o tipo On-Off
55
A va´lvula eletromagne´tica e´ utilizada para controle da vaza˜o de entrada do sistema (planta).
Possuindo duas posic¸o˜es, aberta ou fechada, portanto a vaza˜o de entrada sera´ ma´xima ou nula em
func¸a˜o da va´lvula. Desta forma o nı´vel h do tanque permanece aproximadamente constante com uma
variac¸a˜o no seu nı´vel, caracterı´stico de sistema.
-
.........................................
.........
.........
..............................................
.........
.........
.....................................
?
6
6
...........
..........
..........
...........
............
..........
..............
............
............
.............
............
............
............
............
............
...........
............
.............
Intervalo
diferencial
t
h(t)
Controladores Proporcionais
Em um controle proporcional, o sinal que aparece na saı´da do comparador de erro, sera´ multipli-
cado por uma constante de ganho.
Matematicamente temos:
u(t) = Kpe(t)
L−1−−→ U(s)
E(s)
= Kp onde

u(t) → sinal de entrada
Kp → ganho proporcional
e(t) → sinal de erro
Qualquer que seja o mecanismo de atuac¸a˜o, o controlador proporcional sera´ um amplificador com
ganho ajusta´vel.
Controladores Integrais
Neste tipo de controlador o valor do sinal de saı´da sera´ modificado a uma taxa de variac¸a˜o
proporciona ao erro atuante e(t), com uma constante Ki sendo esta ajusta´vel, em outras palavras,
ocorre um acumulo crescente no tempo da taxa de erro, estacionando quando o valor de entrada for
nulo ou o erro for zero.
du(t)
dt
= Kie(t) ⇒ u(t) = Ki
t∫
0
e(t)dt
L−1−−→ G(s) = U(s)
E(s)
=
Ki
s
Como exemplo, o conjunto platoˆ + disco de embreagem do motor de um carro, armazena energia para
garantir a marcha lenta e sem o qual na˜o podemos garantir o funcionamento continuo.
Controladores Proporcionais Integrais
Caso semelhante aos dois anteriores compostos, ou seja, a ac¸a˜o integral sera´ multiplicada por
um ganho proporcional.
u(t) = Kpe(t) +
Kp
Ti
t∫
0
e(t)dt
L−1−−→ U(s)
E(s)
= Kp
(
1 +
1
Tis
)
onde Ti → tempo integral
56
Controladores Proporcionais Derivativos
Para este tipo de controlador definimos:
u(t) = Kpe(t) +KpTd
de(t)
dt
L−1−−→ U(s)
E(s)
= Kp (1 + Tds) onde Td → tempo derivativo
Como exemplo pode ser observado o sistema de avanc¸o utilizado em veı´culos carburados que ao pisar
no acelerador para efetuar uma ultrapassagem, um diferencial de combustı´vel e´ injetado para que o
motor adquira maior poteˆncia de acelerac¸a˜o, bem como os pulsos de centelhamento das velas tambe´m
sa˜o adiantados em relac¸a˜o a posic¸a˜o dos pisto˜es para adquirir maior velocidade.
Controladores Proporcionais Integrais-Derivativos
Este compensador e´ a junc¸a˜o de todos os compensadores anteriormente apresentados, com as
vantagens individuais de cada um dos compensadores apresentados.
A equac¸a˜o resultante desta composic¸a˜o fica:
u(t) = Kpe(t) +
Kp
Ti
t∫
0
e(t)dt+KpTi
de(t)
dt
L−1−−→ U(s)
E(s)
= Kp
(
1 +
1
Tis
+ Tds
)
4.3 Diagrama de Blocos
Nos estudos de controle e´ bastante usual a representac¸a˜o de sistemas em termos de diagra-
mas de blocos, como ja´ pode ser observado no capitulo anterior, onde foi obtida uma simplificac¸a˜o da
modelagem do conjunto mecaˆnico da suspensa˜o veicular por reduc¸a˜o de blocos.
Exemplo 4.3.1. Vamos verificar um circuito de uso bastante comum, o integrador discreto RC, mode-
lado e representado por blocos.
-
R
C
I(s)
Vi(s) Vo(s)
Para este circuito podemos escrever:
I(s) =
Vi(s) − V0(s)
R
e V0(s) = I(s)
1
sC
Estas duas equac¸o˜es matema´ticas podem ser ”escritas”em termos de diagramas de blocos como
abaixo.
57
�
��--
6
-- - -+
-
1Vi(s)
R
Vo(s)
I(s)I(s) 1
sC
Existindo pontos iguais, podemos interligar, logo
�
��- -
6
- - -
Vi(s)
+
-
Vo(s)
1
R
I(s) I(s) 1
sC
Vo(s)
Portanto podemos associar os blocos
�
��-- -
6
+
-
1
sRC
Vi(s) Vo(s)
Para reduc¸a˜o vamos utilizar a propriedade abaixo que sera´ vista ainda neste capitulo
F(s) =
G(s)
1 +G(s)H(s)
=
1
RCs
1 +
1
RCs
.1
=
1
��RC
RCs+ 1
���RCs
→ F(s) =
1
RCs+ 1
Aprenderemos agora a representar uma planta, um compensador os componentes de um sistema
atrave´s de diagrama de blocos.
Representamos um subsistema por uma entrada, uma saı´da e uma func¸a˜o de transfereˆncia, porem
sistemas sa˜o formados por alguns ou diversos subsistemas, de forma que podemos representar suas
conexo˜es e apresentar um resultado mais conveniente.
Para isto devemos considerar componentes utilizados para representac¸a˜o em blocos de um sistema
linear e invariante no tempo mostrados abaixo:
58
Sinal de entrada
R(s)
-
Sinal de saı´da
C(s)
-
Subsistema
- -F(s)
R(s) C(s)
Junta somadora ou subtratora
����- -
6
R1(s)
R2(s)
±±
Vo(s) = ±R1(s) ±R2(s)
Ponto de distribuic¸a˜o
-
-
-
R(s)
R(s)
R(s)
R(s)
Multiplicador
- -
��
��
�H
HH
HH
K
R(s) K.R(s)
A partir destas representac¸o˜es ba´sicas, associac¸o˜es entre subsistemas podem ser obtidas, para facili-
dade de ca´lculos e interpretac¸a˜o de processos.
Reduc¸a˜o de blocos em cascata
--- - - -
�
�
�
�
���
.............................................................................
..............................�
G1(s)G2(s)G3(s)
C(s)C(s) R(s)
X2(s) = R(s)G1(s)G2(s)
G1(s) G2(s) G3(s)
R(s)
X1(s) = R(s)G1(s)
C(s) = R(s)G1(s)G2(s)G3(s)
Reduc¸a˜o de associac¸a˜o de avanc¸o
��
ff�
-
-
-
- - -
?
6
-
@@R
R(s) C(s)±±± ±G1(s) ±G2(s) ±G3(s)
C(s)R(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
R(s)G1(s)
R(s)G2(s)
RR(s)G3(s) C(s) = R(s)(±G1(s) ±G2(s) ±G3(s))
59
Reduc¸a˜o de uma malha fechada com realimentac¸a˜o (ramo de retrocesso) Para o diagrama
de blocos apresentado abaixo, de realimentac¸a˜o negativa, temos: