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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo DISCIPLINA: CÁLCULO II UNIDADE 2: (Parte 6) 2.6 Área de uma Superfície de Revolução A área de revolução consiste na rotação de um arco em torno de um eixo. Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S obtida quando uma curva C, de equação 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], gira em torno do eixo dos x. Considerando que, o comprimento de arco é dado por: 𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]² 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Vamos multiplicar esse comprimento pelo comprimento da circunferência que é 2𝜋 𝑓(𝑥) e portanto, a área da superfície de revolução em torno do eixo dos x, será: 𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)]² 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 Observamos que, se considerarmos uma curva 𝑥 = 𝑔(𝑦), 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] gerando em torno do eixo dos y , a área será dada por: 𝑆𝑦 = 2𝜋 ∫ 𝑔(𝑦)√1 + [𝑔′(𝑥)]² 𝑑 𝑐 𝑑𝑦 Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo Exemplos: 1 – calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo dos x, da curva dada por 𝑦 = 2√𝑥, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2. 𝑦′ = (2𝑥 1 2) ′ = 2. 1 2 𝑥− 1 2 = 𝑥− 1 2 = 1 √𝑥 𝑆𝑥 = 2𝜋 ∫ 2√𝑥 . √1 + ( 1 √𝑥 ) ² 2 1 𝑑𝑥 𝑆𝑥 = 4𝜋 ∫ √𝑥 . √ 𝑥 + 1 𝑥 2 1 𝑑𝑥 𝑆𝑥 = 4𝜋 ∫ √𝑥 . √𝑥 + 1 √𝑥 2 1 𝑑𝑥 𝑆𝑥 = 4𝜋 ∫ (𝑥 + 1) 1 2 2 1 𝑑𝑥 = 4𝜋 ∫ 𝑢 1 2 2 1 𝑑𝑢 = 4𝜋 𝑢 3 2 3 2 | 2 1 = 8𝜋 3 (𝑥 + 1) 3 2 | 2 1 = 8𝜋 3 (3 3 2 − 2 3 2) = 8𝜋 3 (√3³ − √2³) 𝑆 = 8𝜋 3 (3√3 − 2√2) 𝑢. 𝑎 Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 2- O segmento de reta 𝑥 = 1 − 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 é girado em torno do eixo y gerando um cone. Determine sua área de superfície lateral. 𝑥′ = −1 𝑆𝑦 = 2𝜋 ∫ (1 − 𝑦). √1 + (−1)² 1 0 𝑑𝑦 𝑆𝑦 = 2𝜋 ∫ (1 − 𝑦). √2 1 0 𝑑𝑦 𝑆𝑦 = 2√2 𝜋 ∫ (1 − 𝑦) 1 0 𝑑𝑦 𝑆𝑦 = 2√2 𝜋 (𝑦 − 𝑦² 2 ) | 1 0 ⇒ 𝑆𝑦 = 2√2𝜋 ( 1 2 ) ⇒ 𝑆𝑦 = √2𝜋 𝑢. 𝑎
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