Root Locus

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Lugar Geométrico das Raízes
• Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da 
função de transferência de malha aberta G(s)H(s).
• Os pólos de malha fechada são solução da equação
1 + G(s)H(s) = 0, ou:
® arg( G(s)H(s) ) = ± 180o (2k+1), k = 0, 1, 2, ...
® | G(s)H(s) | = 1
u Para cada ponto so (do plano complexo s) que satisfaz a 
condição de ângulo, arg( G (so)H(so) ), há um ganho K 
correspondente que satisfaz a condição de módulo.
Lugar Geométrico das Raízes
• LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos 
os valores do ganho K de 0 a ¥.
• Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas 
achar os pontos que satisfazem a condição angular (a 
aplicação da condição do módulo dirá que valor de K 
corresponde a uma dada localização no LGR).
• Primeiro passo: localizar os pólos (pontos de partida do 
LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha 
aberta (ou seja, da função de transferência G(s)H(s) ).
• A seguir: determinar que porções do eixo real 
pertencem ao LGR (ponto de teste so).
Lugar Geométrico das Raízes
® Regra geral 1: Os pontos no eixo real que encontram-
se à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros 
são parte do LGR. (por que?)
• Próximo passo:determinar o número de ramos do LGR.
® Regra geral 2: Um ramo do LGR parte de cada pólo de 
malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para 
K ® ¥, cada ramo irá terminar em um zero de malha 
aberta. Se o sistema tiver n pólos e m zeros finitos, com 
n ³ m, m ramos irão terminar nos m zeros finitos, e os 
n – m ramos restantes irão terminar nos n – m zeros no 
infinito. (® Mas onde estão estes zeros no infinito?)
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Lugar Geométrico das Raízes
• Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3:
® Vimos que as assíntotas originam-se no eixo real no 
ponto:
® e partem ao longo dos ângulos: 
mn
zerospólos
-
å-å
=s
( )
...2 ,1 ,0 ,
12180
=
-
+
=q k
mn
ko
Lugar Geométrico das Raízes
• Exemplo:
® Passo 1: Determinar os pólos e zeros de malha aberta
• não há zeros de malha aberta;
• pólos de malha aberta: 
® Passo 2: Determinar o LGR no eixo real Þ o eixo real 
negativo (por que?)
® Passo 3: Zeros no infinito Þ 3 zeros no infinito e, 
portanto, 3 assíntotas (por que?)
( ) 1)( ,22 
1
)( 2 =++
= sH
sss
sG
jss ±-== 1 e 0
Lugar Geométrico das Raízes
• Assíntotas:
• ponto de partida:
• ângulos:
® Passo 4: Cada ramo do LGR parte de um pólo de 
malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, 
neste caso) ou em um zero no infinito.
• Um ramo inicia-se em s = 0 e percorre o eixo real 
negativo (® - ¥);
• E os outros dois ramos?
3
2
3
)1()1(0
-=
--++-+
=s
jj
( )
3
12180 +=q k
o
3
Lugar Geométrico das Raízes
• Os outros dois ramos partem dos pólos complexo 
conjugados e “caminham” na direção dos zeros no 
infinito ® Mas de que modo?
Lugar Geométrico das Raízes
• Ângulos de partida (a partir dos pólos complexos 
conjugados): determinam a direção em que os ramos 
partem dos pólos de malha aberta.
® Considere um ponto de teste so muito próximo (à uma 
distância e > 0) do pólo em s = – 1 + j.
• Suponha que um vetor partindo do pólo para so faça 
um ângulo q em relação ao eixo real positivo. Neste 
caso, como fica a condição de ângulo?
oo 90135)()()()(
11
--q-=-Ð--Ð=Ð åå
==
n
j
i
m
i
ioo pszssHsG
Lugar Geométrico das Raízes
Þ Estes ângulos serão 
constantes, independentes 
de q, somente se a 
distância e entre so e o 
pólo em s = – 1 + j for 
muito pequena.
oo 90135)()()()(
11
--q-=-Ð--Ð=Ð åå
==
n
j
i
m
i
ioo pszssHsG
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Lugar Geométrico das Raízes
• Condição angular:
Þ q = - 45°
• Assim, o LR parte do pólo em s = – 1 + j com um 
ângulo de - 45°
• Como as raízes complexas ocorrem em pares 
conjugados Þ ângulo de partida a partir do pólo em 
s = – 1 – j é + 45°.
oo 90135)()()()(
11
--q-=-Ð--Ð=Ð åå
==
n
j
i
m
i
ioo pszssHsG
oo 180225)()( -=-q-=Ð oo sHsG
Lugar Geométrico das Raízes
• Uma questão permanece: como os pólos de malha 
fechada partem dos pólos de malha aberta (K = 0) e 
atingem as assíntotas (K ® ¥) ?
• Considere a reta a - 45° a partir do pólo em s = – 1 + j.
• Se nos movermos ao longo desta linha:
® As contribuições ao argumento dos pólos em s = 0 
e s = – 1 + j não irão mudar. 
® No entanto, a contribuição do pólo em s = – 1 – j
irá diminuir.
Þ Portanto, a fase será menos negativa do que – 180°
ao longo desta linha.
Lugar Geométrico das Raízes
• Assim, como q deve variar para que a condição de 
ângulo continue sendo satisfeita?
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Lugar Geométrico das Raízes
• Próximas considerações:
• Em que ponto o LR corta o eixo imaginário?
• Em que ponto sobre o eixo real os ramos partindo de pólos de 
malha aberta reais separam-se?
• Para isto, considere o sistema dado por: 
• LGR? 
• Pólos e zeros de malha aberta;
• Porção do eixo real pertencente ao LGR;
• Zeros no infinito: ângulo e ponto de partida das assíntotas.
( ) ( )2 1 
1
)()(
++
=
sss
sHsG
Lugar Geométrico das Raízes
• Nenhum zero de malha aberta;
• Pólos de malha aberta em: s = 0; s = – 1 e s = – 2; 
• Zeros no infinito: n – m = 3 Þ
•
• Pólo em s = – 2: LGR parte de – 2 e move-se para a 
esquerda, na direção – ¥;
• E nos pólos em s = 0 e s = – 1?
( ) ( )2 1 
1
)()( 
++
=
sss
KsHsGK
3
)12(180 +=q k 1
03
)2()1(0 -=
-
-+-+=s
Lugar Geométrico das Raízes
• Pólos em s = 0 e s = – 1 ® Um ramo parte de 0 e outro 
de – 1 Þ em algum ponto sobre o eixo real, os ramos 
se encontram e, a seguir, os pólos tornam-se 
complexos.
Þ Como determinar este ponto em que os ramos se 
separam?
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Lugar Geométrico das Raízes
• Determinação do ponto de quebra:
• Até agora: ao variar K de 0 a ¥, como o LGR (ou 
seja, os pólos de malha fechada) variam?
• Agora: ao caminharmos ao longo do LGR, como K
varia? 
® Começando de s = 0, e movendo-se para a esquerda (não 
há LR à direita de s = 0) Þ o valor de K aumenta.
® Começando de s = – 1, e movendo-se para a direita, 
também sabemo que o valor de K aumenta.
® Se continuássemos em cima do eixo real, ao invés de 
acompanharmos os pólos de malha fechada, ao passarmos 
do ponto de quebra, o valor de K passa a diminuir, até 0.
Lugar Geométrico das Raízes
• Determinação do ponto de quebra (continuação):
• Portanto, o ponto de quebra é um ponto de máximo
para K.
• Assim, para determinar o ponto de quebra, podemos 
pensar em K como uma função de s, K(s). O ponto 
de máximo de K(s), que é o ponto de quebra, pode 
ser encontrado por:
• Como K somente é definido ao longo do LGR, para 
pontos pertencentes ao LR, pode-se obter K(s) a 
partir da condição de magnitude.
?)( Mas . 0
)(
==
¶
¶
sK
s
sK
Lugar Geométrico das Raízes
• IMPORTANTE: Os pontos de quebra podem ser pontos de 
separação de partida ou de chegada em relação ao eixo real.
• Se um lugar das raízes estiver entre dois pólos de malha 
aberta adjacentes sobre o eixo real, então existe pelo menos 
um ponto de separação de partida entre os dois pólos.
• Analogamente, se existir um lugar das raízes entre dois 
zeros adjacentes (um zero pode estar localizado em – ¥) 
sobre o eixo real, então sempre existirá pelo menos um 
ponto de separação de chegada entre os dois zeros.
• Se existir um lugar das raízes entre um pólo e um zero 
(finito ou infinito) de malha-aberta sobre o eixo real, então 
não podem existir pontos de separação de partida ou 
chegada, ou então, lá existirá tanto pontos de separação de 
partida como de chegada.
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Lugar Geométrico das Raízes
• Voltando ao exemplo:
• Para um ponto s pertencer ao lugar das raízes, deve-
se ter:
• Pode-se definir K(s) como: 
( ) ( )2 1 
1
)()( 
++
=
sss
KsHsGK
( ) ( )
1
2 1 
-=
++sss
K ® equação característica 
do sistema
( ) ( )2 1 )( ++-= ssssK
( ) 0)263()( 23 )( 223 =++-=
¶
¶
Þ++-= ss
s
sK
ssssK
3
3
1
6
23466
0263
2
2 ±-=
××-±
-=Þ=++ sss
Lugar Geométrico das Raízes
• Como podemos saber qual é o valor de s correspon-
dente ao ponto de quebra?
Þ Somente s1 pertence ao LGR!!!
• Realmente, substituindo s1 e s2 para determinar o 
respectivo valor de K:
1.5774 0.4226; 
3
31 21 -=-=Þ±-= sss
Lugar Geométrico das Raízes
• Portanto, o LGR para o sistema é da forma: 
• O que o LGR nos diz a respeito do sistema?
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Lugar Geométrico das Raízes
• Qual é o erro de regime estacionário para uma entrada 
degrau unitário?
• Como há um pólo em s = 0, ess = 0 para a entrada degrau.
• Suponha que K = 0,35. O sistema é sobreamortecido, 
criticamente amortecido ou subamortecido?
• Como o ponto de quebra só ocorre para K = 0,38 , o sistema 
para o K dado possui 3 raízes reais ® 2 muito mais lentas 
do que a terceira, por estarem mais próximas do eixo jw: são 
portanto pólos dominantes. Þ Com dois pólos dominantes 
reais, o sistema é sobreamortecido.
• Como determinar o valor de K para o qual o sistema 
irá cruzar o eixo imaginário? 
Lugar Geométrico das Raízes
• Valor de K para o qual o sistema cruza o eixo 
imaginário:
Þ Pode-se utilizar o critério de Routh-Hurwitz.
Ksss
K
sHsG
sG
sR
sC
+++
=
+
=
23)()(1
)(
)(
)(
23
0 >Þ K
6 <Þ K
60 <<Þ K para o sistema ser estável Þ K = 6 : as raízes 
da equação característica (pólos de malha 
fechada) são imaginárias. 
Lugar Geométrico das Raízes
• Para K = 6, o sistema será oscilatório, sem 
amortecimento. Qual é a freqüência de oscilação?
® Para tanto, é necessário achar os pólos de malha fechada 
para este valor de K:
® O polinômio é cúbico, mas sabemos que a raiz é
imaginária. Assim, s = jw e:
® Assim, tanto a parte real quanto a imaginária devem ser 
iguais a zero:
0623 23 =+++ sss
0623 23 =+w+w-w- jj
0=6+w-0=w+w- 23 e 23
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Lugar Geométrico das Raízes
• Isto é, a oscilação senoidal ocorre a uma freqüêcia de 
Ö2 rd/s.
• Em outras palavras, o lugar das raízes corta o eixo 
imaginário em w = Ö2 .
• Exemplo: Plote o lugar das raízes para um sistema 
com realimentação unitária, com:
( )
2±=wÞ2=wÞ0=6+w-
2±=w0;=wÞ0=2-ww-Þ0=w+w-
22
2
3
 23
)1( 
2
)(
+
+
=
ss
s
sG
Lugar Geométrico das Raízes
1) Localizar os pólos e zeros de malha aberta no plano 
complexo s. ® zeros: s = – 2; pólos: s = 0; s = – 1.
2) Eixo real Î LGR: s < – 2 e – 1 < s < 0.
3) Assíntotas: 2 pólos e 1 zero Þ 1 zero no infinito e, 
portanto, 1 assíntota. q = 180(2k+1)/1 = 180.
4) Pontos de quebra: 
)1( 
2
)(
+
+
=
ss
s
sG
2)(
1)(
2
+
+-=-=
s
ss
sG
sK
Lugar Geométrico das Raízes
4) Pontos de quebra (continuação):
® Observe que estes dois pontos estão no lugar das 
raízes Þ Um é o ponto de separação de partida e o 
outro de chegada em relação ao eixo real.
( ) ( ) ( )( )
( )
0
2
1 2 12)(
2
2
=
+
+-++-=
¶
¶
s
ssss
s
sK
( ) 0240252 222 =++Þ=+-++ ssssss
22
2
2444 2
±-=
×-±-
=s
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