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1 UNIDADE 1 TRIGONOMETRIA: PARTE I OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir desta unidade você será capaz de: • identificar, calcular e aplicar razões trigonométricas em um triângulo re- tângulo e em um triângulo qualquer; • identificar as medidas de arcos, a relação entre as unidades de medidas (graus e radianos) e o comprimento do arco; • reconhecer a ampliação dos conceitos da trigonometria aplicada no triân- gulo retângulo para trigonometria aplicada no círculo. Nesta unidade de ensino, a abordagem da trigonometria está dividida em quatro tópicos, nos quais se apresentam a trigonometria no triângulo retângulo, sua extensão para um triângulo qualquer e a ampliação desses conceitos à circunferência. Cada tópico oferecerá subsídios que o(a) auxiliarão na interiorização dos conteúdos e na resolução das autoavaliações solicitadas. TÓPICO 1 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO TÓPICO 2 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO TÓPICO 3 – TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER TÓPICO 4 – TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 2 3 TÓPICO 1 UNIDADE 1 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1 INTRODUÇÃO A trigonometria se originou antes da era cristã, quando os astrônomos queriam calcular distâncias que não se podiam medir, como, por exemplo, a medida do raio da Terra, a distância da Terra à Lua e da Terra ao Sol. Inicialmente usou-se valer das propriedades de triângulos semelhantes para o cálculo dessas distâncias. Por isso, a trigonometria foi considerada uma extensão natural da geometria. Daí vem o seu significado: medida dos triângulos, sendo trigonometria uma palavra de origem grega formada por três radicais: tri = três, gonos = ângulos e metron = medir. Apesar de os egípcios e de os babilônios terem já utilizado, de forma rudimentar, as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos para resolver problemas relacionados com agrimensura, navegação e astronomia, muitos historiadores presumem que o astrônomo grego Hiparco (190 a.C.–125 a.C.) tenha sido o iniciador da trigonometria, por ter empregado pela primeira vez relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e por ter construído a primeira Tabela Trigonométrica. Por seus feitos, ele é considerado o “Pai da Trigonometria”. Durante muito tempo, Ptolomeu (125 a.C.) influenciou o desenvolvimento da trigonometria. Sua mais importante contribuição foi o documento Almagesto, baseado nos trabalhos de Hiparco e que contém uma tabela de cordas correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da metade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série de proposições da atual disciplina. Posteriormente, com o acesso ao manuscrito de Ptolomeu e aos trabalhos dos hindus, que eram um povo bastante familiarizado com esse ramo da Matemática, os árabes fizeram notáveis avanços e disseminaram os conhecimentos da trigonometria pela Europa. Atualmente, a Matemática Moderna ampliou o uso da trigonometria e a tornou indispensável em outras áreas do conhecimento, como na eletricidade, mecânica, acústica, música, engenharia, arquitetura, medicina, eletrônica, navegação marítima e aérea, cartografia, entre outros campos. UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 4 Neste tópico vamos iniciar o estudo da trigonometria lembrando o essencial sobre as relações no triângulo retângulo para, nos tópicos seguintes, explanarmos sobre as razões trigonométricas, bem como a ampliação destes conceitos para a circunferência. 2 TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo retângulo. Por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus elementos e as suas relações. O triângulo retângulo é uma figura geométrica plana, composta por três lados e três ângulos internos (é formado por dois lados do triângulo). É assim definido por possuir um ângulo interno de 90° (ângulo reto). Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos: o lado que for oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa, e os demais lados, que formam o ângulo reto, serão chamados de catetos. Hipotenusa é uma palavra de origem grega que significa “se estende debaixo” (dos ângulos agudos) e designa o lado mais longo de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo reto. A palavra cateto, também de origem grega, indica perpendicularidade ou ângulo reto, ou seja, designa os dois lados menores de um triângulo retângulo. NOTA TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 5 Se analisarmos os catetos em relação ao ângulo, eles recebem um complemento em sua denominação. Por exemplo, na figura a seguir. O cateto que forma o ângulo de 30°, juntamente com a hipotenusa, é denominado cateto adjacente, e o outro, que é o segmento oposto ao ângulo, é chamado de cateto oposto. No triângulo retângulo destacamos: • BC é a hipotenusa e a, a sua medida; • AB e AC são catetos e c e b, respectivamente, suas medidas. Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h), conforme a figura a seguir, que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado BC no ponto H, teremos a altura AH do triângulo retângulo, que divide o lado BC em dois segmentos, HB e HC, medindo, respectivamente, m e n. UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 6 • AH é a altura relativa à hipotenusa e h, a sua medida; • HB é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m, sua medida; • HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n, sua medida; • ^A, ^B e ^C são os ângulos internos e med(B ^AC), med(A ^BC) e med(A ^CB), respectivamente, suas medidas. Recordando tópicos da geometria. Vértice é um ponto comum a dois lados de um ângulo. No caso acima, o vértice A é o ponto onde os segmentos AB e AC se encontram. Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando um ângulo de 90°. • Segundo o Microdicionário de Matemática Imenes & Lellis, num triângulo retângulo os segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa são chamados de projeções (sob ângulo de 90°) dos catetos sobre a hipotenusa. IMPORTANT E Exemplo: Examinando o triângulo ABC, determine qual é a medida: a) de cada cateto; Resposta: No triângulo retângulo ABC podemos perceber que o ângulo reto é o ângulo ^C. Portanto, os catetos são AC e BC e medem, respectivamente, 5 cm e 5,8 cm. b) da hipotenusa; TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 7 Resposta: A hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto ^C, e, portanto, mede 9 cm (4 cm + 5 cm). c) da altura relativa à hipotenusa; Resposta: A altura desse triângulo é dada pelo segmento HC que mede 3 cm. d) da projeção do cateto maior sobre a hipotenusa; Resposta: O cateto maior é o lado BC, portanto sua projeção é HB que mede 5 cm. e) da projeção do cateto menor sobre a hipotenusa; Resposta: O cateto menor é o lado AC, portanto sua projeção é HA que mede 4 cm. Uma leitura interessante é a do livro “A Geometria na sua vida”, com consultoria de Nílson José Machado. Não perca o capítulo “A medição da doçura”, que discorre sobre Hipotenusa, filha do rei de Euclideia, Metrônio. Obcecado pela geometria, o soberano só aceita entregar a mão da filha a alguém mais inteligente do que ela. DICAS 3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A partir dos elementos de um triângulo retângulo, podemos estabelecer relações entre essas medidas e demonstrá-las a partir da semelhança de triângulos. Semelhança de triângulos: Em qualquer triânguloretângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si. UNI UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 8 ∆ABH ~ ∆ABC (lê-se: o triângulo com vértices em A, B e H é semelhante ao triângulo com vértices em A, B e C). ∆ACH ~ ∆ABC (lê-se: o triângulo com vértices em A, C e H é semelhante ao triângulo com vértices em A, B e C). ∆ABH ~ ∆ACH (lê-se: o triângulo com vértices em A, B e H é semelhante ao triângulo com vértices em A, C e H). Vamos explorar algumas relações juntos: 1ª Relação: Considere os triângulos ABH e ABC. ^A^H ≡ , pois ambos são ângulos retos. ≡ ^B ^B, pois são os mesmos ângulos. Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ABH ~ ∆ABC. Daí, c m a c = . Dessa proporção podemos escrever: c • c = a • m → c² = a • m O mesmo ocorre com os triângulos ACH e ABC: m TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 9 Exemplo: Neste triângulo retângulo, vamos calcular a medida da hipotenusa. As medidas estão indicadas em centímetros. ^A^H ≡ , pois ambos são ângulos retos. ^C ≡ ^C, pois são os mesmos ângulos. Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ACH ~ ∆ABC. Daí, b n a b= . Dessa proporção podemos escrever: b • b = a • n → b² = a • n Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considerado sobre a hipotenusa, ou seja, b² = a • n ou c² = a • m. FONTE: A autora QUADRO 1- RELAÇÃO MÉTRICA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Cn UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 10 Portanto, a hipotenusa desse triângulo mede 25 cm. 2ª Relação: Considere os triângulos ABH e ACH. Resolução: Sabemos que: ^H^H ≡ , pois ambos são ângulos retos e o mesmo ângulo. ^C ^ A₁ ≡ Pela propriedade da semelhança de triângulos, temos: ∆ABH ~ ∆ACH. Daí, h n m h= . Dessa proporção podemos escrever: h • h = m • n → h² = mn Exemplo 1: Vamos calcular o valor de x nessa figura. Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, ou seja, h² = mn. nm c² = am 15² = a . 9 225 = 9a 9a = 225 a = 25 225a 9 = TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 11 Resolução: Em qualquer triângulo retângulo, tem-se: h² = mn. Neste caso, h = 12, n = 8 e m = x. Portanto: Assim, a medida de x é 18. Exemplo 2: Vamos determinar as medidas a, c, h e m indicadas na figura a seguir. Resoluções: CB c 12² = 8 . x 144 = 8x 8x = 144 x = 18 144x 8 = b² = an m + n = a h² = mn c² = am 6² = a . 4 m + 4 = 9 h² = 5 . 4 c² = 9 . 5 36 = 4a m = 9 - 4 h² = 20 c² = 45 m = 5 h = √20 c = √45 h = 2√5 c = 3√5 a = 9 36a 4 = UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 12 3ª Relação: Partindo das relações, onde b² = an e c² = am. Vamos multiplicar membro a membro as igualdades e obteremos: b² • c² = an • am b² • c² = a • a • n • m b² • c² = a² • nm E usando a relação h² = mn, temos: b² • c² = a² • h² (bc)² = (ah)² Ou, extraindo a raiz quadrada de ambos os membros (já que as medidas são sempre números positivos), temos: bc = ah Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa, ou seja, bc = ah. QUADRO 2 – O PRODUTO DAS MEDIDAS DOS CATETOS FONTE: A autora Exemplo: Vamos determinar a altura do triângulo a seguir. Resolução: bc = ah 4 . 3 = 5 . h 5h = 12 A altura h é de unidade de medida. 12 512h 5 = TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 13 A quarta propriedade das relações métricas é um dos mais importantes teoremas da matemática, conhecido como Teorema de Pitágoras, no qual daremos maior enfoque a seguir. NOTA 4 O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS O Egito recebeu a dádiva de ter todo o seu território cortado pelo segundo maior rio do mundo em extensão, o rio Nilo (o primeiro é o rio Amazonas). Aproveitando com sabedoria o rico húmus que as águas formavam ao longo das margens, os egípcios desenvolveram toda a sua agricultura. Porém, a dificuldade era que as cheias anuais destruíam toda a demarcação das propriedades agrícolas. O apagamento das demarcações do Nilo tornou necessária a existência dos mensuradores, conhecidos pelos egípcios por “esticadores de cordas”. Para obter ângulos retos, os “esticadores de cordas” usavam uma corda com 12 nós, a igual distância um do outro, e com ela construíam um triângulo com vértices em três desses nós. O triângulo assim obtido possui lados que medem três, quatro e cinco unidades de comprimento e é um triângulo retângulo. Esse método é baseado na relação enunciada por: FONTE: A autora QUADRO 3 - O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS Apesar de terem sido os egípcios os primeiros a utilizarem essa relação para resolver problemas de medições de terras, foi Pitágoras de Samos (por volta de 570 a.C.), filósofo e matemático grego, quem provou que ela é válida para todo triângulo retângulo. O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. 2 2 2a b c= + UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 14 Demonstração do Teorema de Pitágoras Na história da matemática muitas foram as demonstrações do Teorema de Pitágoras. Vejamos uma delas a partir de duas relações métricas do triângulo retângulo, demonstradas anteriormente. b² = a • n c² = a • m Somando essas igualdades membro a membro, obtemos: b² + c² = am + an b² + c² = a(m + n) Observando que m + n = a, temos: b² + c² = a • a E assim b2 + c2 = a2 Vejamos outra maneira de exemplificar a validade do Teorema de Pitágoras, através da geometria: = 1 unidade de comprimento = 1 unidade de área 3x3=32 4x4=42 5x5=52 5 43 TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 15 Considerando que cada quadradinho corresponde a uma unidade de área, verificamos que nos três quadrados existem 25, 16 e 9 unidades de área; notando que 25 = 16 + 9 ou 5² = 4² + 3², confirma-se a relação: a área do quadrado construído sobre o maior lado do triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois menores lados. Exemplo 1: Vamos calcular a medida da hipotenusa do triângulo a seguir,. Resolução: Considerando a = x, b = 4 e c = 7, temos: b² + c² = a² 4² + 7² = x² 49 + 16 = x² 65 = x² x = √65 x ≅ 8,06 Assim, a hipotenusa mede, aproximadamente, 8,06 unidades de comprimento. Sempre que conhecemos dois dos seis valores a, b, c, h, m, e n indicados na figura, podemos descobrir os outros quatro empregando as relações métricas do triângulo retângulo. NOTA UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 16 Exemplo 2: Vamos encontrar as medidas desconhecidas da figura seguinte. nm Resolução: Observe que os valores desconhecidos desta figura ocupam lugares diferentes da demonstração. Portanto, é necessário substituí-los. Comparando com a figura utilizada na demonstração, temos: c = 13 b = b m = m n = n a = a altura (h) = 12. Do triângulo menor, temos: m² + 12² = 13² (4ª propriedade) m² = 169 – 144 m² = 25 m = √25 m = 5 Pela 1ª propriedade: c2 = am 13² = a • 5 169 = 5a 169a 5 = a = 33,8 TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 17 Pela 2ª propriedade, temos: h² = mn 12² = 5 • n 144= 5n 144n 5 = n = 28,8 Pela 3ª propriedade,podemos escrever: bc = ah b • 13 = 33,8 • 12 13b = 405,6 405,6b 13 = b = 31,2 18 Neste tópico você fez o estudo do triângulo retângulo, partindo dos seus elementos até as suas relações. RESUMO DO TÓPICO 1 ● O quadrado da medida de cada cateto (b e c) é igual ao produto da medida de sua projeção (n e m, respectivamente) sobre a hipotenusa pela medida da hipotenusa (a). ● O quadrado da medida da altura (h) relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa (m e n). ● O produto das medidas dos catetos (b e c) é igual ao produto da medida da hipotenusa (a) pela medida da altura relativa à hipotenusa (h). ● A medida da hipotenusa (a) é igual à soma das medidas das projeções dos catetos (m e n) sobre ela. ● O quadrado da medida da hipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c). } } } } } b² = an c² = am h² = mn bc = ah a = m + n a² = b² + c² 19 AUTOATIVIDADE 2 Calcule a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles (possui dois lados de mesma medida), com catetos de 1 cm. 3 A área de um terreno quadrangular é igual a 128 m². Quanto mede a diagonal desse terreno? (Lembre que a área de uma região quadrangular é dada por: Área do Quadrado = (medida do lado)²). 4 As raízes da equação x² - 10x + 24 = 0 expressam, em cm, as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa desse triângulo. 5 Um triângulo STU, retângulo em ^S , tem catetos com medidas iguais a 5 cm e 12 cm. Calcule: a) a medida da hipotenusa; b) a medida da altura relativa à hipotenusa; c) as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 6 Determine num triângulo retângulo ABC, de catetos com medidas iguais a 3 e 4, a medida da hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa. 7 Calcule, em cada figura, a medida de y. Lembra do seu manual, “Não basta saber, é preciso saber fazer”? Agora chegou a sua vez de colocar em prática as relações métricas do triângulo retângulo que você acabou de estudar. 1 Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo abaixo. 20 a) b) c) d) 8 Dois navios partem de um mesmo ponto, no mesmo instante, e viajam em direções que formam um ângulo reto. Depois de uma hora de viagem, a distância entre os dois navios é de 13 milhas. Se um deles é 7 milhas mais rápido que o outro, determine a velocidade de cada navio. 9 No triângulo retângulo da figura a seguir temos que m = x + 5,6, n = x e a = 20. Sabendo que as medidas são dadas em centímetros, determine as medidas b, c e h indicadas. 10 Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e a área é de 54 cm². Calcule a medida da altura relativa à hipotenusa. 21 TÓPICO 2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO No estudo anterior estabelecemos as bases necessárias para a compreensão da Trigonometria, visto que esta é considerada uma extensão da Geometria. Neste tópico daremos início ao estudo da Trigonometria, focando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, que relaciona as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos e é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como, por exemplo, a altura de torres e árvores, de montanhas ou a largura de rios e lagos. 2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere estes dois triângulos retângulos: Sabemos que se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes. Logo, podemos escrever: a b x y = Dessa proporção deduzimos outra: b y a x= UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 22 Ou seja, nos dois triângulos, a razão entre o cateto oposto ao ângulo de 30° e a hipotenusa é o mesmo número. Vamos fazer o cálculo para descobrir que valor é esse. ● No triângulo menor: cateto oposto a 30° hipotenusa = x 2,3 y 4,6= = 0,5 ● No triângulo maior: cateto oposto a 30° hipotenusa = x 3,7 y 7,4= = 0,5 NOTA Em qualquer triângulo retângulo com ângulo de 30°, a razão tem o mesmo valor, pois todos os triângulos nessas condições são semelhantes. cateto oposto a 30° hipotenusa Vejamos outros exemplos: 1) • No triângulo menor: cateto oposto a 45° hipotenusa = x 1 y √2 = TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 23 Como o denominador desta fração é um número irracional, precisamos fazer o processo de racionalização do denominador. A racionalização de denominadores consiste na obtenção de uma fração com denominador racional, equivalente a anterior, que possua um ou mais radicais em seu denominador. Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. Neste caso, vamos multiplicar o numerador e o denominador desta fração por √2. Observe: Assim, cateto oposto a 45° hipotenusa = x 1 y √2 = ● No triângulo maior: cateto oposto a 45° hipotenusa = x 2√2 √2 y 4 2 = = Igualmente ao exemplo anterior, podemos observar que em qualquer triângulo retângulo com ângulo de 45°, a razão cateto oposto a 45° hipotenusa tem o mesmo valor √2 2 , pois todos os triângulos nessas condições são semelhantes. 1 2 2 2 22 2 2 2 ⋅ = = ⋅ UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 24 • No triângulo menor: ● No triângulo maior: Mais uma vez, podemos observar que em qualquer triângulo retângulo com ângulo de 60°, a razão cateto oposto a 60° hipotenusa tem o mesmo valor, pois todos os triângulos nessas condições são semelhantes. cateto oposto a 60° hipotenusa = b 3 a = = 2√3 3√3 2√9 = √3 2 cateto oposto a 60° hipotenusa = b a = 6√3 12 = √3 2 Teste você mesmo(a)! Construa outros triângulos retângulos, de mesmo ângulo, mas com medidas variadas, veja se a razão cateto oposto ao ângulo hipotenusa é a mesma para todos eles. Depois, faça o mesmo com outros ângulos. Experimente estabelecer outras razões. ATENCAO Se você realizou a atividade acima, deve ter percebido que a razão entre cateto oposto e cateto adjacente e a razão entre cateto adjacente e hipotenusa também é a mesma para triângulos retângulos semelhantes. Veja, a seguir, como isto é possível. 2.1 SENO Uma das constantes obtidas ao relacionar as medidas dos lados em triângulos retângulos é conhecida por seno. Num triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo (menor que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa, conforme observamos nos exemplos anteriores. TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 25 Considerando, inicialmente, o ângulo de medida a₁ da figura a seguir, de vértice V e lados VA e VB. No lado VB consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄,... ,perpendiculares a VB. Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4,... são todos semelhantes. Logo: A₁B₁ VA₁ A₂B₂ VA₂ A₃B₃ VA₃ A₄B₄ VA₄= = = = ... = K₁ Dessas igualdades podemos deduzir que o valor de k1 não depende do triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante ao ∆AVB. Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠a1) da figura seguinte, de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ... retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes. UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 26 Novamente, podemos escrever: C₁D₁ OC₁ C₂D₂ OC₂ C₃D₃ OC₃ C₄D₄ OC₄= = = = ... = K₂ Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e k2, encontramos k1 ≠ k2. Isso ocorre, pois a diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. Portanto, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipotenusa de cada triângulo retângulo – depende da medida do ângulo considerado. A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de seno do ângulo a (sen a). Assim: FONTE: A autora QUADRO 4 - SENO DO ÂNGULO a (SEN a) sen a = AC BC = b a ou sen a = medida do cateto oposto a a medida da hipotenusa Exemplo 1: Na figura dada, calculemos o valor de sen a: TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 27 Resolução: Inicialmente precisamos calcular a hipotenusa do triângulo. a² = 8² + 15² a² = 289 a = √289 a = 17 Então, temos: Resposta: sen a ≅ 0,47. Exemplo 2: Vamos calcular o valor de x, sabendo que sen a = 0,8. Resolução: Aplicando a razão seno, temos: sen a = cateto oposto ao ângulo a hipotenusa sen a = 8 17 sen a ≅ 0,47 sen a = cateto oposto ao ângulo a hipotenusa 0,8 = x 20 0,8 . 20 = x x = 16 Resposta: O valor de x é 16 unidades de medida. UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 28 A palavra seno é derivada do latim sinus, que significa “baía” ou “dobra”. O termo originalmente utilizado foi ardha-jiva (“meia-corda”), que foi abreviado para jiva e então transliterada pelos árabes como jiba. Tradutores europeus do século XII confundiram jiba com jaib, que significa “baía”, provavelmente porque jiba e jaib são escritas da mesma forma na escrita arábica. UNI 2.2 COSSENO Com um procedimento semelhante ao apresentado anteriormente, podemos definir outras razões entre as medidas de lados de um triângulo retângulo cujos valores dependam apenas da medida do ângulo considerado. Portanto, outra constante obtida ao relacionar essas medidas é conhecida por cosseno. Considere um ângulo de medida a1 conforme a figura a seguir, de vértice V e lados VA e . No lado , consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos VB₁, VB₂, VB₃, VB₄,... Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4,.. são todos semelhantes. Logo: VB₁ VA₁ VB₂ VA₂ VB₃ VA₃ VB₄ VA₄= = = = ... = K₁ Dessas igualdades podemos deduzir que o valor k1 não depende do triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante ao ∆AVB. TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 29 Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ..., retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes. Novamente, podemos escrever: OD₁ OC₁ OD₂ OC₂ OD₃ OC₃ OD₄ OC₄= = = = ... = K₂ Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e k2, encontramos k1≠ k2. A diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. Portanto, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa de cada triângulo retângulo – depende da medida do ângulo considerado. A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de cosseno do ângulo a (cos a). Assim: FONTE: A autora QUADRO 5 - COSSENO DO ÂNGULO a (COS a) cos a = AB BC = c a ou cos a = medida do cateto adjacente a a medida da hipotenusa UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 30 Exemplo 1: Determine cos Ĉ no triângulo retângulo a seguir: Resolução: Temos que Resposta: O cosseno do ângulo C é igual a 0,5. Exemplo 2: No triângulo retângulo ABC abaixo, calcule os valores de a e c, sabendo que b = 5 cm e cos 60°= 0,5. cos a = medida do cateto adjacente a a medida da hipotenusa = 5 10 = 0,5 cos Cˆ cos Cˆ TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 31 Resolução: Aplicando o teorema de Pitágoras ao ∆ABC, temos: a² = b² + c² 10² = 5² + c² 100 = 25 + c² 100 – 25 = c² c² = 75 c = √75 c = 5√3 Resposta: A medida de a é 10 cm e de c é 5√3 cm. cos a = medida do cateto adjacente a a medida da hipotenusa = b a cos 60° = 0,5 5 a 0,5 ∙ a = 5 a = 5 0,5 a = 10 2.3 TANGENTE Num triângulo retângulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo (menor do que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida do cateto adjacente. Considere, novamente, um ângulo de medida a1, de vértice V e lados VA e VB. UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 32 No lado VB consideremos pontos quaisquer B1, B2, B3, B4, ... e os segmentos A₁B₁, A₂B₂, A₃B₃, A₄B₄,... ,perpendiculares a VB. Os triângulos VA1B1, VA2B2, VA3B3, VA4B4, ... são todos semelhantes. Logo: A₁B₁ VB₁ A₂B₂ VB₂ A₃B₃ VB₃ A₄B₄ VB₄= = = = ... = K₁ Dessas igualdades podemos deduzir que o valor k1 não depende do triângulo retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante ao ∆AVB. Consideremos, agora, o ângulo de medida a2 (a2 ≠ a1) da figura seguinte, de vértice O e lados OC e OD, e os triângulos OC1D1, OC2D2, OC3D3, OC4D4, ... retângulos em D1, D2, D3, D4, ... todos semelhantes. Novamente, podemos escrever: Embora tenhamos usado o mesmo processo para calcular os valores de k1 e k2, encontramos k1 ≠ k2. A diferença entre as duas figuras está em que a1 ≠ a2. Logo, podemos concluir que o valor da constante k – razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente de cada triângulo retângulo – depende da medida do ângulo considerado. A razão k é uma característica de cada ângulo a e seu valor é chamado de tangente do ângulo a (tg a). Assim: C₂D₂ OD₂= = = = ... = K₂ C₁D₁ OD₁ C₃D₃ OD₃ C₃D₃ OD₃ TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 33 FONTE: A autora QUADRO 6 – FÓRMULA TANGENTE DO ÂNGULO a (TG a) tg a = AC AB = b c ou tg a = medida do cateto oposto ao ângulo α medida do cateto adjacente ao ângulo α Exemplo 1: No triângulo retângulo ABC, a tangente de Ĉ pode ser calculada da seguinte maneira: tg a = medida do cateto oposto ao ângulo a medida do cateto adjacente ao ângulo a = 4 6 = tg Cˆ tg Cˆ 2 3 Logo, a tangente do ângulo C é . 2 3 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 34 Exemplo 2: Num triângulo retângulo, as medidas dos lados são expressas por (x - 5), x e (x + 5). Vamos determinar a tangente do ângulo agudo a, oposto ao menor cateto do triângulo. Resolução: Primeiramente, vamos fazer um esboço da figura. Agora, utilizando o teorema de Pitágoras, com a = x + 5, b = x e c = x – 5, temos Substituindo o valor de x, temos que o cateto adjacente ao ângulo a é b = 20 e o cateto oposto ao ângulo a é c = 20 – 5 = 15. Então, utilizando a razão da tangente: a² = b² + c² (x + 5)² = x² + (x - 5)² x² + 10x + 25 = x² + x² - 10x + 25 -x² + 20x = 0 -x(x - 20) = 0 x' = 0 x" = 20 tg a = medida do cateto oposto ao ângulo a medida do cateto adjacente ao ângulo a = = 15 20 tg a tg a 3 4 Assim, a tangente de a é . 3 4 TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 35 É comum confundirmos o nome de um ângulo com a sua medida. Quando estamos falando num ângulo a, estamosnos referindo ao próprio ângulo, mas usando sua medida em lugar de seu nome. É um “abuso” frequente e aceitável, que busca simplificar a linguagem. UNI 3 ÂNGULOS NOTÁVEIS Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência nos cálculos e, por isso, são chamados notáveis. Veja como calcular o seno, o cosseno e a tangente desses ângulos. Seno, cosseno e tangente do ângulo de 45° Para calcular as razões trigonométricas para o ângulo de 45°, vamos considerar o quadrado ABCD da figura seguinte. ● Como o ∆ABC é retângulo em ^B, temos: Assim, d² = ℓ² + ℓ² d² = 2ℓ² d = √2ℓ² d = √2 ∙ √ℓ² d = ℓ√2 sen45°= d lsen45°= 2 2sen45°= 2 2 2sen45°= 2 ⋅ cos45°= d cos45°= 2 2cos45°= 2 2 2cos45°= 2 ⋅ tg45°= tg45°= UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 36 Seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60° Consideremos o triângulo equilátero ABC da figura seguinte. Nesse triângulo observamos que: • cada ângulo interno mede 60°; • AH é bissetriz de BÂC; • AH é mediana relativa ao lado BC; portanto, H é o ponto médio de BC; • a medida da altura é = ℓ√3 2 h . Então, para o ângulo de 30°, podemos escrever: 2tg30°= h 2 3tg30° 2 2tg30° 2 3 1 3tg30° 3 3 3tg30° 3 = = ⋅ = ⋅ = hcos30°= 3 2cos30° 3 1cos30° 2 3cos30° 2 = = ⋅ = 2sen30°= 1sen30° 2 1sen30°= 2 = ⋅ TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 37 E, para o ângulo de 60°, temos: Colocando os valores calculados no Quadro 7, temos: FONTE: A autora Exemplo 1: Determine a medida x do triângulo a seguir: QUADRO 7- TABELA TRIGONOMÉTRICA DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis X 30° 45° 60° sen x 1 2 2 2 3 2 cos x 3 2 2 2 1 2 tg x 3 3 1 3 hsen60°= 3 2sen60°= 3 1sen60° 2 3sen60° 2 = ⋅ = 2cos60°= 1cos60° 2 1cos60° 2 = ⋅ = h tg60°= 2 3 2 tg60° 2 3 2tg60° 2 tg60°= 3 = = ⋅ UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 38 Assim, a medida x do triângulo é 10√2. Exemplo 2: A partir de um ponto, observa-se o topo de uma construção sob o ângulo de 30°. Caminhando 12 metros em direção a essa construção, atingimos outro ponto, de onde se vê o topo da construção sob o ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador, calcule, em metros, a altura da construção. Resolução: Ao observarmos a imagem, temos: A medida do cateto adjacente ao ângulo de 45° é 10. A medida da hipotenusa do ângulo de 45° é x. Deste modo: cos a = medida do cateto adjacente a medida da hipotenusa a 10cos45 x 2 10 2 x x 2 10 . 2 20 2x= . 2 2 20 2x 2 x 10 2 ° = = = = = TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 39 Resolução: Se considerarmos o triângulo retângulo ABC, temos: x = medida do cateto adjacente ao ângulo de 60°. y = medida do cateto oposto do ângulo 60°. E ao considerarmos o triângulo ABD, temos: y = medida do cateto oposto ao ângulo de 30°. x + 12 = medida do cateto adjacente ao ângulo de 30°. Comparando as igualdade: ( ) x 3 12 3x 3 3 3x 3 x 3 12 3 3x 3 x 3 12 3 3x x 3 12 3 2x 3 12 3 12 32x 2 3 x 6 + = = + − = − = = = = medida do cateto oposto ao ângulo tg = medida do cateto adjacente ao ângulo ytg60 x y3 x y x 3 a a a ° = = = ( ) medida do cateto oposto ao ângulo tg = medida do cateto adjacente ao ângulo ytg30 x 12 y3 3 x 12 x 12 3 y 3 x 3 12 3y 3 a a a ° = + = + + = + = UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 40 Portanto, a altura da construção é de 6 3 , aproximadamente 10,39 metros. 4 TABELA TRIGONOMÉTRICA Como já descrito no Tópico 1, Hiparco de Niceia ganhou o direito de ser chamado “o pai da trigonometria”, pois, no século II a.C., fez um tratado em 12 livros, onde se ocupa da construção de uma tábua de cordas, que utilizou na Astronomia. Mas foi Ptolomeu que construiu a primeira tabela de cordas que fornece o seno dos ângulos de 0° a 90°, que se assemelha à tabela trigonométrica (no quadro 7) que conhecemos hoje. Visto que para cada ângulo agudo está associado um único valor para o seno, para o cosseno e para a tangente, em situações que envolvem ângulos não notáveis, não precisamos calculá-los sempre, para isso foi construída uma tabela trigonométrica (no quadro 8), que nos fornece esses valores. QUADRO 8 – TABELA TRIGONOMÉTRICA Ângulo Seno cosseno tangente Ângulo Seno cosseno tangente 1° 0,017 1,000 0,017 46° 0,719 0,695 1,036 2° 0,035 0,999 0,035 47° 0,731 0,682 1,072 3° 0,052 0,999 0,052 48° 0,743 0,669 1,111 4° 0,070 0,998 0,070 49° 0,755 0,656 1,150 5° 0,087 0,996 0,087 50° 0,766 0,643 1,192 6° 0,105 0,995 0,105 51° 0,777 0,629 1,235 7° 0,122 0,993 0,123 52° 0,788 0,616 1,280 8° 0,139 0,990 0,141 53° 0,799 0,602 1,327 9° 0,156 0,988 0,158 54° 0,809 0,588 1,376 10° 0,174 0,985 0,176 55° 0,819 0,574 1,428 11° 0,191 0,982 0,194 56° 0,829 0,559 1,483 12° 0,208 0,978 0,213 57° 0,839 0,545 1,540 13° 0,225 0,974 0,231 58° 0,848 0,530 1,600 14° 0,242 0,970 0,249 59° 0,857 0,515 1,664 15° 0,259 0,966 0,268 60° 0,866 0,500 1,732 16° 0,276 0,961 0,287 61° 0,875 0,485 1,804 17° 0,292 0,956 0,306 62° 0,883 0,469 1,881 18° 0,309 0,951 0,325 63° 0,891 0,454 1,963 TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 41 19° 0,326 0,946 0,344 64° 0,899 0,438 2,050 20° 0,342 0,940 0,364 65° 0,906 0,423 2,145 21° 0,358 0,934 0,384 66° 0,914 0,407 2,246 22° 0,375 0,927 0,404 67° 0,921 0,391 2,356 23° 0,391 0,921 0,424 68° 0,927 0,375 2,475 24° 0,407 0,914 0,445 69° 0,934 0,358 2,605 25° 0,423 0,906 0,466 70° 0,940 0,342 2,747 26 0,438 0,899 0,488 71° 0,946 0,326 2,904 27° 0,454 0,891 0,510 72° 0,951 0,309 3,078 28° 0,469 0,883 0,532 73° 0,956 0,292 3,271 29° 0,485 0,875 0,554 74° 0,961 0,276 3,487 30° 0,500 0,866 0,577 75° 0,966 0,259 3,732 31° 0,515 0,857 0,601 76° 0,970 0,242 4,011 32° 0,530 0,848 0,625 77° 0,974 0,225 4,332 33° 0,545 0,839 0,649 78° 0,978 0,208 4,705 34° 0,559 0,829 0,675 79° 0,982 0,191 5,145 35° 0,574 0,819 0,700 80° 0,985 0,174 5,671 36° 0,588 0,809 0,727 81° 0,988 0,156 6,314 37° 0,602 0,799 0,754 82° 0,990 0,139 7,115 38° 0,616 0,788 0,781 83° 0,993 0,122 8,144 39° 0,629 0,777 0,810 84° 0,995 0,105 9,514 40° 0,643 0,766 0,839 85° 0,996 0,087 11,430 41° 0,656 0,755 0,869 86° 0,998 0,070 14,301 42° 0,669 0,743 0,900 87° 0,999 0,052 19,081 43° 0,682 0,731 0,933 88° 0,999 0,035 28,636 44° 0,695 0,719 0,966 89° 1,000 0,017 57,290 45° 0,707 0,707 1,000 FONTE: A autora Outra opção para encontrar os valores trigonométricos é através do uso de uma calculadora científica, que dispõe das teclas sin (seno), cos (cosseno) e tan (tangente). UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I 42 medida do cateto oposto ao ângulo tg medida do cateto adjacente ao ângulo htg72 25 h3,078 25 h 25 . 3,078 h= 76,95 a a = a ° = = = Exemplo 1: Considere o triângulo ABC isósceles. Sabendo que a base mede 50 cm e que cada ângulo da base mede 72°, determine a medida h da altura relativa à base. Resolução: Se considerarmos o triângulo retângulo AHC, temos: h = cateto oposto ao ângulo de 72°. 25 = cateto adjacente ao ângulo de 72°. Dessa maneira, temos: Logo, a altura do triângulo é de 76,95 cm. Exemplo 2: Observando a figura e utilizando a Tabela Trigonométrica calcule os valores solicitados a seguir: TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICASNO TRIÂNGULO RETÂNGULO 43 medida do cateto oposto ao ângulo sen hipotenusa 4,1sen 5,6 sen 0,732 a a = a = a = a) a medida do ângulo a b) cos a c) tg a Resolução: a) Considerando o triângulo retângulo, temos: 4,1 = cateto oposto ao ângulo a. 5,6 = hipotenusa. A relação trigonométrica que utiliza as medidas do cateto oposto e da hipotenusa é o seno, assim: Consultando a Tabela Trigonométrica (no Quadro 8), podemos observar que o valor 0,732 na coluna dos senos corresponde, aproximadamente, ao seno do ângulo de 47°. Assim, a = 47°. b) Portanto, o cosseno do ângulo de 47° é 0,682. c) E a tangente do ângulo de 47° é 1,072. 44 medida do cateto oposto ao ângulo sen hipotenusa medida do cateto adjacente ao ângulo cos = hipotenusa medida do cateto oposto ao ângulo tg medida do cateto adjacente ao ângulo a a = a a a a = a Neste tópico você fez o estudo das razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) no triângulo retângulo, bem como aprendeu a utilizar a tabela trigonométrica na resolução de problemas. É importante saber as razões até aqui estabelecidas: RESUMO DO TÓPICO 2 O uso da tabela de ângulos notáveis é bastante requerida em vestibulares e também são os ângulos que mais aparecem em questões do cotidiano. Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis X 30° 45° 60° sen x 1 2 2 2 3 2 cos x 3 2 2 2 1 2 tg x 3 3 1 3 45 AUTOATIVIDADE Caro(a) acadêmico(a), chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Boa atividade! 1 Um barco encontra-se a 200 m de um farol. Sabendo que o farol é visto do barco sob um ângulo de 10°, calcule sua altura. 2 Uma tábua está apoiada numa árvore, formando um ângulo de 60°. Determine o comprimento da tábua, sabendo que ela se apoia na árvore a uma distância de 1,5 m do chão. 3 Para alcançarmos o primeiro pavimento de um prédio, subimos uma rampa de 5 m que forma com o solo um ângulo de 25°. Qual é a distância do solo ao primeiro pavimento? 4 Uma pipa se encontra empinada a 18 m de altura do solo. Sabendo que o ângulo formado pela linha esticada com a horizontal é de 60°, calcule o comprimento da linha. 5 Determine a sombra projetada por um poste de 3,75 m quando os raios de sol que incidem sobre ele formam, com a rua, um ângulo de 77°. 6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 279) Deseja-se construir uma estrada ligando as cidades A e B, separadas por um rio de margens paralelas, como nos mostra o esquema abaixo. FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 279) FIGURA 1 – ESTRADA LIGANDO AS CIDADES A E B, SEPARADAS POR UM RIO DE MARGENS PARALELAS Sabe-se que a cidade A está distante 30 km da margem do rio, a cidade B está a 18 km da margem o rio, e a ponte tem 3 km de extensão. Qual a distância de A até B, pela estrada, em quilômetros? (Desconsidere a largura da estrada.) 46 7 Uma escada rolante de 11.000 cm de comprimento liga dois andares de um shopping e tem inclinação de 45°. Qual é, em metros, a altura h entre um andar e outro desse shopping? 8 Calcule o valor de x em cada triângulo retângulo: a) b) c) 9 (FACCHINI. 1996, p. 285) Quando o Sol se encontra a 54° acima da linha do horizonte, a sombra de uma árvore, projetada no chão, mede 12 m. Qual é a altura dessa árvore? 10 (CASTRUCCI, GIOVANNI Jr., 2009 p. 280) A escada de um carro de bombeiros pode estender-se a um comprimento de 30 m, quando levantada a um ângulo de 70°. Sabe-se que a base da escada está sobre um caminhão, a uma altura de 2 m do solo. Qual é a maior altura que essa escada poderá alcançar em relação ao solo? FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 280) FIGURA 2 - A ESCADA DE UM CARRO DE BOMBEIROS 47 TÓPICO 3 TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Nos tópicos anteriores vimos que os problemas envolvendo trigonometria são resolvidos através da comparação com triângulos retângulos. Mas no cotidiano, nem sempre encontramos tamanha facilidade. Algumas situações podem envolver outros tipos de triângulo, como o triângulo acutângulo ou o triângulo obtusângulo. Para esses casos recorremos à lei dos senos e à lei dos cossenos, que veremos a seguir. Para lembrar: • Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos, ou seja, menores do que 90°. • Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos, ou seja, um ângulo maior do que 90° e dois ângulos menores do que 90°. NOTA 2 LEI DOS SENOS Vamos considerar o triângulo acutângulo ABC, conforme figura a seguir: 48 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Onde: • a, b e c são as medidas dos lados; • h1 é a medida da altura AH₁; • h2 é a medida da altura CH₂. Agora, consideremos os triângulos retângulos ABH1 e ACH1. No triângulo retângulo ABH1, temos: A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH1: medida do cateto oposto ao ângulo sen hipotenusa a a = sen ^ B = 1h c h₁ = c ∙ sen ^B medida do cateto oposto ao ângulo sen hipotenusa a a = sen ^ C = 1h b h₁ = b ∙ sen ^C Comparando, podemos escrever: c ∙ sen ^B = b ∙ sen ^C ou, 1) c b sen ^C sen ^B = TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 49 A seguir, consideremos os triângulos retângulos BCH2 e ACH2: No triângulo retângulo BCH2, temos: A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH2: Comparando, podemos escrever: medida do cateto oposto ao ângulo sen hipotenusa a a = sen ^B = 2h a h₂ = a ∙ sen ^B medida do cateto oposto ao ângulo sen hipotenusa a a = sen ^A = 2h b h₂ = b ∙ sen ^A a․sen ^B = b․sen ^A ou, 2) a b sen ^A sen ^B = Comparando 1 e 2, temos a seguinte igualdade: a b c sen ^A sen ^B sen ^C = = 50 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Essa igualdade é denominada Lei dos Senos. FONTE: A autora Exemplo 1 Determine a medida x indicada no triângulo acutângulo a seguir: QUADRO 9 – LEI DOS SENOS a b c sen ^A sen ^B sen ^C = = Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Resolução: No triângulo, identificamos a = x  = 45° c = 11 cm Ĉ = 30° Usando a lei dos senos, temos: TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 51 Portanto, a medida x encontrada é 11√2 cm. Exemplo 2: Em um triângulo isósceles, a base mede 9 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. Determine a medida dos lados congruentes do triângulo. Resolução: No triângulo, identificamos a = 9 cm  = 120° (O seno do ângulo de 120° pode ser encontrado através de calculadoras.) b = c = x ^ B = ^C = 30° = a c sen senĈ x 11 sen45° sen30° x 11 √2 1 2 2 11 . √2 2 1 2 2 2x 11 . . 2 1 = x ₌ 11√2 x = = = 52 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Usando a lei dos senos, temos: Cada um dos lados congruentes mede 3√3cm. a c sen senĈ 9 x sen120° sen30° 9 . sen30x sen120 19 . 2x 3 2 1 2x 9 . . 2 3 9 3x . 3 3 9 3x 3 x 3 3 ° = ° = = = = = = = 3 LEI DOS COSSENOS Consideremos o triângulo acutângulo ABC: Temos: • a,b e c são as medidas dos lados do triângulo; • h é a medida da alturarelativa ao lado BC do triângulo; • BH é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m, sua medida; • HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n, sua medida; TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 53 No triângulo retângulo ABH, aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos: c² = h² + m² h² = c² – m² Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACH, obtemos: b² = h² + n² h² = b² – n² Comparando as igualdades, temos: b² - n² = c² - m² b² = c² – m² + n² Sabendo que a = m + n, podemos substituir n por a - m: b² = c² – m² + (a – m)² b² = c² – m² + a² - 2am + m² b² = a² + c² – 2am Do triângulo retângulo ABH, temos: Então b² = a² + c² – 2a(c ∙ cos ^B) E assim: A demonstração é análoga para a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos e para c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ. Obtemos, então, a lei dos cossenos: medida do cateto oposto ao ângulo cos = hipotenusa a a cos ^B = m c m = c ∙ cos ^B b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B 54 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I FONTE: A autora Exemplo 1: Calcule a medida y indicada no triângulo a seguir: QUADRO 10 – LEI DOS COSSENOS Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado. a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ Resolução: Aplicando a lei dos cossenos, usando a = 12, b = y, c = 8 e ^ B = 60°, temos: Logo, a medida y encontrada é 4√7 cm. b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^ B y² = 12² + 8² – 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ cos60° y² = 144 + 64 – 192 ∙ 1 2 y² = 208 – 96 y² = 112 y = √112 y = 4√7 TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 55 Resolução: Aplicando a lei dos cossenos, usando a = 12, b = x, c = 16 e ^ B = 120°, no triângulo obtusângulo ABC da figura, temos: Exemplo 2: Determine a medida x da diagonal maior do paralelogramo a seguir: Resposta: A medida x da diagonal maior é 4√37cm. b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^ B y² = 12² + 16² – 2 ∙ 12 ∙ 16 ∙ cos120° y² = 144 + 256 – 384 ∙ 1 2 − 2 2 y 400 192 y 592 y 592 y 4 37 = + = = = 56 Neste tópico ampliamos os conceitos utilizados inicialmente no triângulo retângulo para os demais triângulos: acutângulo e obtusângulo. É importante lembrar-se das relações aqui estabelecidas: ● Lei dos Senos a b c sen ^A sen ^B sen ^C = = ● Lei dos Cossenos a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ RESUMO DO TÓPICO 3 57 AUTOATIVIDADE Prezado(a) acadêmico(a), seguem algumas autoatividades que se destinam à averiguação da aprendizagem deste tópico de estudos. Bom trabalho! 1 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) São cada vez mais frequentes construções de praças cujos brinquedos são montados com materiais rústicos. A figura abaixo mostra um brinquedo simples que proporciona à criançada excelente atividade física. FIGURA 3 - BRINQUEDO SIMPLES QUE PROPORCIONA À CRIANÇADA EXCELENTE ATIVIDADE FÍSICA FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 286) Sabendo que as distâncias AB e AC são iguais a 2 m e o ângulo BÂC corresponde a 120°, calcule a distância BC. 2 Use os dados da Tabela Trigonométrica (no Quadro 8) e calcule os valores aproximados de x. a) b) c) 58 3 (GIOVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 2002, p. 55) Um barco de pescadores A emite um sinal de socorro que é recebido por dois radioamadores, B e C, distantes entre si 70 km. Sabendo que os ângulos A ^ BC e AĈB medem, respectivamente, 64° e 50°, determine qual radioamador se encontra mais próximo do barco. A que distância ele está do barco? 4 O ângulo agudo de um losango mede 20° e seus lados medem 6 cm. Calcule as medidas das diagonais (maior e menor) do losango. 5 Num triângulo ABC, são dados A = 45°, B = 30° e a + b = √2 + 1. Determine o valor de a. 6 (CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 2009, p. 286) Numa fazenda o galpão fica 50 m distante da casa. Considerando que x e y são, respectivamente, as distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme mostra a figura a seguir, calcule as medidas x e y indicadas. FIGURA 4 – CALCULANDO AS MEDIDAS X E Y DA FIGURA 7 No triângulo ABC abaixo, sabe-se que cos  = 1_ 5 . Nessas condições, calcule o valor de x. FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 286) 59 TÓPICO 4 TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO 2 CONCEITOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA 2.1 ARCOS E ÂNGULOS Nos tópicos anteriores estudamos algumas razões trigonométricas definidas para ângulo agudo no triângulo retângulo, tal qual ela surgiu há milhares de anos, com o objetivo de resolver triângulos. Agora, vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, que é uma necessidade mais recente da matemática. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições necessárias e temos a necessidade de ampliar os conceitos da Trigonometria para um novo “ambiente”, denominado de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico. Portanto, neste tópico veremos conceitos necessários para este novo estudo, que, por sua vez, servirá de base para a nossa próxima unidade. Primeiramente, vamos elucidar alguns conceitos básicos da geometria necessários para a compreensão da Circunferência Trigonométrica. 2.1.1 Arcos Consideremos uma circunferência qualquer de centro O e raio r e dois pontos distintos sobre ela, A e B. Note que os pontos A e B, que são extremidades dos arcos, dividem a circunferência em duas partes, sendo que cada uma delas chama-se arco da circunferência. Para diferenciar esses arcos, convencionamos percorrer a circunferência no sentido anti-horário. 60 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Quando as extremidades A e B coincidem, temos um arco de uma volta ou um arco nulo. Se A e B são extremidades de um mesmo diâmetro, temos um arco de meia-volta. Portanto, definimos: FONTE: A autora Arco de uma circunferência é cada uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. QUADRO 11 – DEFINIÇÃO DE ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 61 2.1.2 Ângulo central Consideremos, novamente, uma circunferência de centro O e os pontos A e B pertencentes a ela. Traçando as semirretas OA → e OB → , determinamos o ângulo central AÔB e o arco ( AB. A medida do arco ( AB corresponde à medida do ângulo central AÔB e vice-versa. 2.2 GRAU E RADIANO 2.2.1 Grau Grau e radiano são unidades de medida de arcos e ângulos. Se dividirmos uma circunferência em 360 partes iguais, teremos 360 arcos congruentes e cada um desses arcos é chamado de arco de um grau (1°). Portanto, a circunferência é um arco de 360°. Os submúltiplos do Grau Quando dividimos um arco de 1° em 60 arcos congruentes, cada um desses novos arcos é denominado de arco de um minuto (1´). 62 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Da mesma maneira, quando dividimos um arco de 1´ em 60 arcos congruentes, cada um desses novos arcos é denominado de arco de um segundo (1´´). Portanto, 1° = 60´ e 1´= 60´´. Se um arco tiver x graus, y minutos e z segundos, escrevemos: x° y´z´´ NOTA 2.2.2 Radiano Tomamos, inicialmente, uma circunferência de centro O e raio r e; nessa circunferência, um arco de comprimento p, sendo a a medida do ângulo central correspondente a esse arco. Dizemos queo arco mede 1 radiano (1 rad) se seu comprimento p foi igual ao comprimento r do raio. O ângulo central correspondente será, também, um ângulo de 1 radiano. p = r <=>{p = 1 rada = 1 rad Então, para sabermos a medida de um arco em radianos, basta calcular quantas vezes o raio de medida r “cabe” nesse arco de comprimento p. Isso pode ser obtido quando dividimos p por r. Simbolicamente, p ra ₌ Quando o arco p é um arco de uma volta, então p é o comprimento C da circunferência. Como C = 2πr, temos: a ₌ p ₌ 2πr ₌ 2π r r TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 63 Portanto, a circunferência é um arco de 2π rad. E, como o ângulo de uma volta tem 360°, então: 2π rad = 360° ⇔ π rad = 180° Exemplo 1: Expressar 22° 30’ em radianos. Resolução: Vamos transformar 22° 30’ em minutos: 22° 30’ = 22 • 60’ + 30 = 1320’ + 30’ = 1350’ Vamos transformar 180° em minutos: 180° = 180 • 60 = 10800’ Estabeleçamos, portanto, a seguinte proporção: Logo, 22° 30’ correspondem a π 8 radianos. Exemplo 2: Um ciclista fez 6 voltas em torno de uma pista circular, com o raio medindo 18 m. Determine a distância percorrida pela bicicleta. (Use π = 3,14). Resolução: O comprimento da circunferência é dado por: C = 2πr C = 2 • 3,14 • 18 C = 113,04 m Em 6 voltas, temos: d = 6C d = 6 • 113, 04 d = 678,24 m Logo, a distância percorrida pela bicicleta foi de 678,24 m. 10800' π rad 1350' x 10800 1350 x 8x x 8 π = = π π = 64 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Exemplo 3: Determine a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 8h20min. (GIOVANNI; BONJORNO; GIOVANNI JR., 2002, p. 249). Resolução: Vamos considerar: a = medida do ângulo solicitado. x = medida do ângulo descrito pelo ponteiro das horas em 20 minutos, a partir das 8h. E assim, a = x + 120° a = 10° + 120° a = 130° Que a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros. O mostrador do relógio é dividido em 12 partes iguais. Por isso, o arco compreendido entre dois números consecutivos mede 360 30 12 ° = ° . Assim, a = x + 120°. Como a cada 60 minutos de tempo o ponteiro das horas percorre 30°: 60 min → 30° 20 min → x 60 30 20 x 30 . 20x 60 x 10 ° = ° = = ° TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 65 Existe outra unidade de medida de ângulos além das que abordamos. O Grado é uma unidade de medida de ângulos equivalente a π 200 radianos ou 0,9 grau. O símbolo internacional para esta unidade é “gon”, mas outros símbolos já foram usados no passado: “gr”, “grd” e “g”. O termo “grado” tem origem no francês, grade, e embora utilizado por alguns países, ele não faz parte do sistema internacional de unidades. ATENCAO Acerca de elementos geométricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco propôs um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Copérnico, no entanto este material histórico se perdeu na noite do tempo. O que ficou, do ponto de vista histórico, foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distância do Sol e da Lua. A divisão do círculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e não existe qualquer razão científica. Talvez exista uma razão histórica que justifique a existência de tal número no contexto de estudos do povo babilônio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e construções de cidades e tinha interesse pela Astronomia, assim como pela sua relação com conceitos religiosos (eram politeístas) e, para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numeração com base 60 (sistema sexagesimal). Não se sabe ao certo quais as razões pelas quais foi escolhido o número 360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 é um dos números menores do que 100 que possui uma grande quantidade de divisores distintos, a saber: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, razão forte pela qual este número tenha sido adotado. O primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em 360 partes foi Hipsicles (180 a. C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a. C. encontramos uma generalização de Hiparco para este procedimento. Dividir um círculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas daquela época e é possível que se tenha usado o número 60 para representar 1/6 do total, que passou a ser 360. Outro fato que pode ter influenciado na escolha do número 360 é que o movimento de translação da Terra em volta do Sol se realizava em um período de aproximadamente 360 dias, o que era uma estimativa razoável para a época. 2.2.3 Notas históricas sobre o grau e o radiano 66 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Hiparco mediu a duração do ano com grande exatidão ao obter 365,2467 dias, sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias. Nosso entendimento é que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da divisão do círculo em 360 partes iguais, assim como a divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As frações sexagesimais babilônicas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram traduzidas como: “primeiras menores partes” = sexagésimos “segundas menores partes” = sexagésimos de sexagésimos Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a língua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter: “primeiras menores partes” = partes minutae primae. “segundas menores partes” = partes minutae secundae. De onde apareceram as palavras minuto e segundo. De um modo popular, usamos a unidade de medida de ângulo com graus, minutos e segundos. Na verdade, a unidade de medida de ângulo do Sistema Internacional é o radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matemático Thomas Muir e o físico James T. Thomson, de uma forma independente. Na verdade, o termo radian apareceu pela primeira vez num trabalho de Thomson em 1873. Em 1884, muitos cientistas ainda não usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circular ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade é implementada ao longo do tempo.( VIANA; TOFFOLI; SODRE, 2010). 3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Denomina-se circunferência trigonométrica (ou circunferência unitária) a circunferência orientada cujo raio é 1 unidade de comprimento e na qual o sentido positivo é o anti-horário. Vamos associar à circunferência unitária de centro na origem O(0,0) um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, fixando o ponto A, com coordenadas em (0,1), como origem dos arcos, conforme a figura a seguir. TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 67 Os eixos do sistema cartesiano dividem o ciclo em quatro partes (quadrantes), numerados de 1 a 4 a partir de OA, no sentido positivo. Dizemos que um ponto do ciclo pertence ao primeiro quadrante se estiver entre A e B; ao segundo se estiver entre B e A’; ao terceiro se estiver entre A’ e B’; e ao quarto se estiver entre B’ e A. Portanto, um arco AP do ciclo trigonométrico, de medida x, com 0° ≤ x ≤ 360° ou 0 rad ≤ x ≤ 2π rad, tem a extremidade P pertencente a um dos quadrantes segundo as desigualdades: 68 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Como no ciclo trigonométrico o raio é unitário, então a = p, ou seja, a medida a do arco ou do ângulo central corresponde, em radianos, ao comprimento p do arco. Assim, podemos associar a cada númeroreal a um único arco ( AP, de origem A e extremidade P, e vice-versa. P є 1º Quadrante se 0° < x < 90° ou 0 rad < x < π rad 2 P є 2º Quadrante se 90° < x < 180° ou π rad < x < π rad 2 P є 3º Quadrante se 180° < x < 270° ou π rad < x < 3π rad 2 P є 4º Quadrante se 270° < x < 360° ou 3π rad < x < 2π rad 2 • Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes. • Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência unitária, temos: -1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1. NOTA 3.1 ARCOS CONGRUENTES Dois arcos são congruentes ou côngruos quando possuem a mesma extremidade e se diferem apenas pelo número de voltas inteiras, ou seja, em múltiplos de 2π, que corresponde ao comprimento de cada volta. Como exemplo, vamos representar os arcos de 45°, 405°, 765°, -315° e -675° no ciclo trigonométrico: TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 69 Note, pelas figuras, que todos têm a mesma origem e a mesma extremidade, ou seja, são côngruos. Perceba, também, que eles se diferem apenas pelo número de voltas completas, pois • 45° + 360° = 405°; • 45° + 2 • 360° = 765°; • 45° - 360° = -315°; • 45° - 2 • 360° = -675°. Podemos representar o arco de 45°, bem como todos seus arcos côngruos, pela expressão 45° + k • 360°, com k є Z, sendo k o número de voltas completas. Pelo exposto, podemos definir: FONTE: A autora QUADRO 12 - DEFINIÇÃO DE ARCOS CÔNGRUOS OU CONGRUENTES Dois arcos são côngruos ou congruentes quando têm a mesma extremidade e diferem apenas pelo número de voltas inteiras. Assim: • Se um arco mede a graus, podemos expressar todos os arcos côngruos a ele pela expressão a + k • 360°, onde k є Z. • Se um arco mede a radianos, podemos escrever todos os arcos côngruos a ele pela expressão a + k • 2πrad, onde k є Z. 70 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Exemplo 1: Determine em qual quadrante situam-se as extremidades dos seguintes arcos: a) 72° Resposta: 1º quadrante, pois 0° < 72° < 90°. b) 1280° Resolução: 1280° = 200° + 3 • 360° Resposta: 3º quadrante, pois 180° < 200° < 270°. c) - 300° Resolução: Como este arco está na primeira volta negativa, basta fazer - 300° + 360° = 60°. Resposta: 1º quadrante, pois 0° < 60° < 90°. 3.2 DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM ARCO Se um arco mede a graus, então um arco β é chamado de determinação principal de a ou de 1ª determinação positiva de a se: • 0° ≤ β < 360° ou 0 rad ≤ β < 2π • β é côngruo a a. Exemplo 1: Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos ao arco de 1690°. Resolução: 1690° = 250° + 4 • 360° Onde: 250° = 1ª determinação positiva 4 = número de voltas completas Portanto, a 1ª determinação positiva é 250° e a expressão geral é a = 250° + k • 360°, k є Z. Exemplo 2: Calcular a determinação principal e escrever a expressão geral dos arcos côngruos a 25π 4 rad. Resolução: Basta dividirmos 25π 4 rad por 2π rad. Assim: TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 71 Onde: π 4 rad = 1ª determinação positiva 3 = número de voltas completas Portanto, a 1ª determinação positiva é π 4 rad e a expressão geral é a = π 4 rad + k • 2π, k є Z. 25π 4 ₌ 25π . 1 ₌ 25π ₌ 25 ₌ 3 + 1 2π 4 2π 8π 8 8 Portanto, 25 13 . 2 4 8 25 13 2 2 4 8 25 3 2 4 4 π π π π π π π π = + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + 3.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Até agora, operamos com os valores de sen x, cos x e tg x no triângulo retângulo, onde x representa a medida de um ângulo agudo. Mas o que acontece se x for a medida de um ângulo superior a 90°? Para responder a esta questão, é preciso ampliar os conceitos estudados no triângulo retângulo, levando-os à circunferência trigonométrica. 3.3.1 Seno Vamos considerar na circunferência trigonométrica, o arco ( AP cuja medida corresponde ao ângulo central x e o segmento OP', que é a projeção do raio OP sobre o eixo das ordenadas (eixo vertical), conforme a figura a seguir: 72 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I O eixo vertical, suporte de OP', é denominado eixo dos senos. Definimos como seno do arco ( AP ou sen x a medida de OP' e indicamos: senx = OP' Note que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente para o triângulo retângulo. OP' ₌ sen x De fato, se considerarmos o triângulo OPP' da figura acima, veremos que med(OPP') ₌ x ^ , pois OPP'^ e AÔP são ângulos alternos internos, e PP' // OA →← →← . Aplicando a definição anterior, temos: medida do cateto oposto ao ângulo sen hipotenusa a a = OP'senx OP OP'sen 1 senx OP' = = = TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 73 Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores de seno em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas. Valores importante de sen x Marcando os pontos P, imagens dos números reais 0 rad, π 2 rad, π rad, 3π 2 rad e 2π rad, temos: QUADRO 13 - VALORES IMPORTANTES DE SEN X FONTE: A autora Vimos, anteriormente, que 1 2 3sen30 , sen45 = e sen60 = 2 2 2 ° = ° ° , e que esses valores são chamados de notáveis, devido à sua frequente utilização nos cálculos. Utilizando esses valores e traçando a simetria das extremidades dos arcos em relação aos eixos e ao centro da circunferência trigonométrica, obtemos os valores de outros ângulos, também muito utilizados. 74 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Desta forma, podemos relacionar o seno de um arco de qualquer quadrante com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos fazendo uma Redução ao 1º Quadrante. Do exposto, podemos dizer que: • redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: dois arcos suplementares x e 180° - x têm senos iguais, ou seja, sen (180° – x) = sen x ou sen (π– x) = sen x; • redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 180° + x têm senos simétricos, ou seja, sen (180° + x) = -sen x ou sen (π + x) = -sen x; • redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 360° - x têm senos simétricos, ou seja, sen (360° – x) = -sen x ou sen (2π – x) = -sen x. 0 3 2 − 3 2 2- 2 TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 75 Vale observar que 360° – x e -x são côngruos, portanto, podemos escrever: sen (360° – x) = sen (-x) = -sen x. Exemplo 1: Calcule sen 1830°. Resolução: Calculando a 1ª determinação positiva, temos: 1830° = 30° + 5 • 360° Onde: 30° corresponde ao valor que falta para atingir a meia-volta; 5 é o número de voltas completas; Então, sen 1830° = sen 30° e portanto, sen 1830° = 1_ 2 . Exemplo 2: Calcule sen 5π. 5π = π + 2 • 2π Onde: π corresponde ao valor que falta para atingir a meia-volta; 2 é o número de voltas completas; Assim, sen 5π = sen π e, portanto, sen 5π = 0. 3.3.2 Cosseno Vamos considerar na circunferência trigonométrica, o arco ( AP cuja medida corresponde ao ângulo central x e o segmento OP", que é a projeção do raio OP sobre o eixo das abscissas (eixo horizontal). 76 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I medida do cateto adjacente ao ângulo cos = hipotenusa OP''cosx OP OP''cosx 1 cosx OP'' a a = = = O eixo horizontal, suporte de OP", é denominado eixo dos cossenos.Definimos como cosseno do arco ( AP ou cos x a medida de OP e indicamos: cos x = OP" Note que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente para o triângulo retângulo. De fato, se considerarmos o triângulo OPP" da figura acima, veremos que med(OPP") = x e, aplicando a definição anterior, temos: OP" ₌ cos x Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores de cosseno em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas. Valores importantes de cos x Marcando os pontos P, imagens dos números reais 0 rad, π 2 rad, π rad, 3π 2 rad e 2π rad, temos: TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 77 QUADRO 14 - VALORES IMPORTANTES DE COS X FONTE: A autora Vimos, anteriormente, que 3 2 1cos30 , cos45 = e cos60 = 2 2 2 ° = ° ° , e que esses valores são chamados de notáveis, devido à sua frequente utilização nos cálculos. Utilizando esses valores e traçando a simetria das extremidades dos arcos em relação aos eixos e ao centro da circunferência trigonométrica, obtemos os valores de outros ângulos, também muito utilizados. 3- 2 3 2 2- 2 2 2 78 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Desta forma, podemos relacionar o cosseno de um arco de qualquer quadrante com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos fazendo uma Redução ao 1º Quadrante. Do exposto, podemos dizer que: • redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: dois arcos suplementares x e 180° - x têm cossenos simétricos, ou seja, cos (180° – x) = -cos x ou cos (π – x) = -cos x; • redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 180° + x têm cossenos simétricos, ou seja, cos (180° + x) = -cos x ou cos (π + x) = -cos x; • redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: os arcos x e 360° - x têm cossenos iguais, ou seja, cos (360° – x) = cos x ou cos (2π – x) = cos x. Vale observar que 360° – x e -x são côngruos, portanto, podemos escrever: cos (360° – x) = cos (-x) = cos x. Exemplo 1: Calcule cos 13π. Resolução: 13π = π + 6 • 2π A 1ª determinação do ângulo é π. Portanto, cos 13π = cos π e cos 13π = -1. Exemplo 2: Calcule cos 120°. 1 2 1- 2 TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 79 Resolução: Como a extremidade de um arco de 120° pertence ao segundo quadrante, usamos a redução do segundo quadrante para o primeiro: cos x = -cos (180° – x) cos 120° = -cos (180° - 120°) cos 120° = -cos 60° cos 120° = _ 1 2 Exemplo 3: Simplifique a expressão B = sen (900° – a) + cos (1980° + a) + sen (1440° – a). Resolução: Sabemos que: 900° = 180° + 2 • 360° 1980° = 180° + 5 • 360° 1440° = 4 • 360° = 0° + 4 • 360° Logo: sen (900° – a) = sen (180° – a) = sen a cos (1980° + a) = cos (180° + a) = -cos a sen (1440° – a) = sen (360° – a) = -sen a Substituindo na expressão, temos: B = sen a – cos a - sen a B = -cos a Assim, pode-se simplificar a expressão escrevendo B = -cos a. 3.3.3 Tangente Consideremos, na circunferência trigonométrica, o arco ( AP cuja medida é x, sendo o eixo com origem no ponto A, vertical e orientado para cima, e o ponto T, que é a intersecção deste eixo com a reta suporte do raio OP. 80 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I O eixo vertical, suporte de AT, é denominado eixo das tangentes. Definimos como tangente do arco ( AP ou tg x a medida de AT e indicamos: tgx = AT Perceba que o ponto T só existe se P ≡ B e P ≡ B'. Como B e B’ são extremidades de arcos da forma π + k . π 2 , k є Z, então a tangente de x só é definida se x є R e x ≠ π + k . π 2 , k є Z. Veja que esta definição coincide com a que demonstramos anteriormente para o triângulo retângulo. De fato, se considerarmos o triângulo OAT da figura acima, veremos que med (AÔT) = x e, aplicando a definição anterior, temos: Esta definição é importante, pois nos permite encontrar valores da tangente em ângulos maiores que 90° ou que 360° e até de ângulos com medidas negativas. Valores importantes de tg x medida do cateto oposto ao ângulo tg medida do cateto adjacente ao ângulo ATtgx OA ATtgx 1 tgx AT a a = a = = = TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 81 Marcando os pontos P, imagens dos números reais 0 rad, π 2 rad, π rad, 3π 2rad e 2π rad, temos: QUADRO 15 - VALORES IMPORTANTES DE TG X FONTE: A autora Vimos, anteriormente, que 3tg30 , tg45 =1 e tg60 = 3 2 ° = ° ° , e que esses valores são chamados de notáveis, devido à sua frequente utilização nos cálculos. Utilizando esses valores e traçando a simetria das extremidades dos arcos em relação aos eixos e ao centro da circunferência trigonométrica, obtemos os valores de outros ângulos, também muito utilizados. 82 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Desta forma, podemos relacionar a tangente de um arco de qualquer quadrante com valores do primeiro quadrante, isto é, estaremos efetuando uma Redução ao 1º Quadrante. Do exposto, podemos dizer que: • redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: tg (180° – x) = -tg x ou tg (π – x) = -tg x; • redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: tg (180° + x) = tg x ou tg (π + x) = tg x; • redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: tg (360° – x) = -tg x ou tg (2π – x) = -tg x. Exemplo 1: Determine o valor da tangente de um arco de 120°. Resolução: Fazendo a redução ao 1º Quadrante: tg x = -tg (180° – x) tg 120° = -tg (180° – 120°) tg 120° = -tg 60° tg 120° = – √3 TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA 83 25 25 1 25 1 24 13 . 4 2 3 2 6 6 6 π π + = = = = + π π Assim, 25 1 4 . 2 3 6 25 1 2 4 2 3 6 25 4 2 3 3 25Logo, tg tg 3. 3 3 π π π π π π π π π π = + = ⋅ + ⋅ = + ⋅ = = LEITURA COMPLEMENTAR COMO MEDIR DISTÂNCIAS NO ESPAÇO José Roberto V. Costa Hiparco e a distância da Lua Para medir a distância da Terra à Lua, Hiparco (190-120 a.C.) não precisou nem mesmo do diâmetro da Terra. Ele imaginou uma geometria com a qual, durante um eclipse lunar, isto é, quando a Terra fica exatamente entre o Sol e a Lua, seria possível calcular a distância da Terra à Lua. Hiparco foi um dos maiores astrônomos gregos e entre suas muitas contribuições estão os fundamentos da trigonometria. Aliás, sua construção geométrica baseia-se justamente na medida de ângulos. Acompanhe o diagrama a seguir. Hiparco imaginou dois triângulos retângulos, cujas hipotenusas ligariam o centro da Terra às bordas do disco solar e lunares, por ocasião de um eclipse da Lua. Exemplo 2: Determine o valor da tangente de um arco de 25π 3 rad. Resolução: Calculando a 1ª determinação, 84 UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I Podemos notar que a duração de um eclipse lunar é equivalente a duas vezes o ângulo d. Vamos escrever nossa primeira equação: 2 • d = T1. O período orbital da Lua, ou seja, o tempo que ela gasta para completar uma volta (360°) em torno da Terra já era conhecido. Vamos representá-lo como T2 e escrever a segunda equação: 360 = T2. Como podemos medir o tempo T1, a única variável é d, obtida com as duas equações numa regra de três simples e direta. O ângulo c é chamado semidiâmetro do Sol, ou seja, a metade do ângulo pelo qual vemos o disco solar. O ângulo a é tão pequeno que pode ser desprezado, ele representa a metade do ângulo pelo qual um observador no Sol veria a Terra. Dos estudos de trigonometria básica extraímos a propriedade pela qual a + b = c + d. Como a é muito pequeno, basta-nos escrever b = c + d. A engenhosa geometria que Hiparco utilizou
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