trigonometria e numeros complexos 1

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UNIDADE 1
TRIGONOMETRIA: PARTE I
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
•	 identificar,	calcular	e	aplicar	razões	trigonométricas	em	um	triângulo	re-
tângulo	e	em	um	triângulo	qualquer;
•	 identificar	as	medidas	de	arcos,	a	relação	entre	as	unidades	de	medidas	
(graus	e	radianos)	e	o	comprimento	do	arco;
•	 reconhecer	a	ampliação	dos	conceitos	da	trigonometria	aplicada	no	triân-
gulo	retângulo	para		trigonometria	aplicada	no	círculo.
Nesta	 unidade	 de	 ensino,	 a	 abordagem	 da	 trigonometria	 está	 dividida	
em	 quatro	 tópicos,	 nos	 quais	 se	 apresentam	 a	 trigonometria	 no	 triângulo	
retângulo,	 sua	 extensão	para	um	 triângulo	qualquer	 e	 a	 ampliação	desses	
conceitos	à	circunferência.	Cada	tópico	oferecerá	subsídios	que	o(a)	auxiliarão	
na	interiorização	dos	conteúdos	e	na	resolução	das	autoavaliações	solicitadas.
TÓPICO	1	–	RELAÇÕES	MÉTRICAS	NO	TRIÂNGULO	RETÂNGULO
TÓPICO	2	–	RAZÕES	TRIGONOMÉTRICAS	NO	TRIÂNGULO	
																						RETÂNGULO	
TÓPICO	3	–	TRIGONOMETRIA	EM	UM	TRIÂNGULO	QUALQUER
 
TÓPICO	4	–	TRIGONOMETRIA	NA	CIRCUNFERÊNCIA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
1 INTRODUÇÃO
A	 trigonometria	 se	 originou	 antes	 da	 era	 cristã,	 quando	 os	 astrônomos	
queriam	 calcular	 distâncias	 que	 não	 se	 podiam	 medir,	 como,	 por	 exemplo,	 a	
medida	do	raio	da	Terra,	a	distância	da	Terra	à	Lua	e	da	Terra	ao	Sol.
 
Inicialmente	 usou-se	 valer	 das	 propriedades	 de	 triângulos	 semelhantes	
para	 o	 cálculo	dessas	distâncias.	 Por	 isso,	 a	 trigonometria	 foi	 considerada	uma	
extensão	natural	da	geometria.	Daí	vem	o	seu	significado:	medida	dos	triângulos,	
sendo	trigonometria	uma	palavra	de	origem	grega	formada	por	três	radicais:	tri	=	
três,	gonos	=	ângulos	e	metron	=	medir.
	Apesar	de	 os	 egípcios	 e	de	 os	 babilônios	 terem	 já	utilizado,	de	 forma	
rudimentar,	 as	 relações	 existentes	 entre	 lados	 e	 ângulos	 dos	 triângulos	 para	
resolver	 problemas	 relacionados	 com	 agrimensura,	 navegação	 e	 astronomia,	
muitos	historiadores	presumem	que	o	astrônomo	grego	Hiparco	 (190	a.C.–125	
a.C.)	tenha	sido	o	iniciador	da	trigonometria,	por	ter	empregado	pela	primeira	
vez	 relações	 entre	 os	 lados	 e	 os	 ângulos	 de	 um	 triângulo	 retângulo	 e	 por	 ter	
construído	a	primeira	Tabela	Trigonométrica.	Por	seus	feitos,	ele	é	considerado	
o	“Pai	da	Trigonometria”.	
Durante	muito	tempo,	Ptolomeu	(125	a.C.)	influenciou	o	desenvolvimento	
da	trigonometria.	Sua	mais	 importante	contribuição	foi	o	documento	Almagesto,	
baseado	 nos	 trabalhos	 de	 Hiparco	 e	 que	 contém	 uma	 tabela	 de	 cordas	
correspondentes	a	diversos	ângulos,	por	ordem	crescente	e	em	função	da	metade	
do	 ângulo,	 que	 é	 equivalente	 a	 uma	 tabela	 de	 senos,	 bem	 como	 uma	 série	 de	
proposições	da	atual	disciplina.
 
Posteriormente,	com	o	acesso	ao	manuscrito	de	Ptolomeu	e	aos	trabalhos	
dos	 hindus,	 que	 eram	 um	 povo	 bastante	 familiarizado	 com	 esse	 ramo	 da	
Matemática,	os	árabes	fizeram	notáveis	avanços	e	disseminaram	os	conhecimentos	
da	trigonometria	pela	Europa.
Atualmente,	a	Matemática	Moderna	ampliou	o	uso	da	 trigonometria	e	a	
tornou	 indispensável	 em	 outras	 áreas	 do	 conhecimento,	 como	 na	 eletricidade,	
mecânica,	 acústica,	 música,	 engenharia,	 arquitetura,	 medicina,	 eletrônica,	
navegação	marítima	e	aérea,	cartografia,	entre	outros	campos.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
4
Neste	 tópico	 vamos	 iniciar	 o	 estudo	 da	 trigonometria	 lembrando	 o	
essencial	 sobre	as	 relações	no	 triângulo	 retângulo	para,	nos	 tópicos	 seguintes,	
explanarmos	 sobre	 as	 razões	 trigonométricas,	 bem	 como	 a	 ampliação	 destes	
conceitos	para	a	circunferência.
2 TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
A	trigonometria,	desde	o	início	dos	seus	estudos,	é	embasada	no	triângulo	
retângulo.	Por	isso	é	importante	estudar	tanto	as	suas	características,	como	os	seus	
elementos	e	as	suas	relações.
O	triângulo	retângulo	é	uma	figura	geométrica	plana,	composta	por	 três	
lados	 e	 três	 ângulos	 internos	 (é	 formado	por	 dois	 lados	 do	 triângulo).	 É	 assim	
definido	por	possuir	um	ângulo	interno	de	90°	(ângulo	reto).
Os	 lados	 de	 um	 triângulo	 retângulo	 recebem	 nomes	 específicos:	 o	 lado	
que	for	oposto	ao	ângulo	reto	é	denominado	hipotenusa,	e	os	demais	lados,	que	
formam	o	ângulo	reto,	serão	chamados	de	catetos.
Hipotenusa é uma palavra de origem grega que significa “se estende debaixo” (dos 
ângulos agudos) e designa o lado mais longo de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo 
reto. A palavra cateto, também de origem grega, indica perpendicularidade ou ângulo reto, ou 
seja, designa os dois lados menores de um triângulo retângulo.
NOTA
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
5
Se	 analisarmos	 os	 catetos	 em	 relação	 ao	 ângulo,	 eles	 recebem	 um	
complemento	em	sua	denominação.	Por	exemplo,	na	figura	a	seguir.
O	 cateto	 que	 forma	 o	 ângulo	 de	 30°,	 juntamente	 com	 a	 hipotenusa,	 é	
denominado	 cateto	 adjacente,	 e	 o	outro,	 que	 é	o	 segmento	oposto	 ao	ângulo,	 é	
chamado	de	cateto	oposto.	
No	triângulo	retângulo	destacamos:
• BC é	a	hipotenusa	e	a,	a	sua	medida;
• AB e AC	são	catetos	e c e b,	respectivamente,	suas	medidas.
Se	nesse	mesmo	triângulo	retângulo	traçarmos	uma	reta	 (h),	conforme	a	
figura	a	 seguir,	que	parte	do	vértice	A	 e	que	seja	perpendicular	ao	 lado BC	no	
ponto H, teremos	a	altura	AH	do triângulo	retângulo,	que	divide	o	lado	BC	em	
dois	segmentos,	HB e HC,	medindo,	respectivamente,	m e n.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
6
• AH	é	a	altura	relativa	à	hipotenusa	e	h,	a	sua	medida;
• HB	é	a	projeção	do	cateto	AB	sobre	a	hipotenusa	e	m,	sua	medida;
• HC	é	a	projeção	do	cateto	AC sobre	a	hipotenusa	e	n,	sua	medida;
• ^A,	 ^B e ^C	 são	 os	 ângulos	 internos	 e	 med(B ^AC),	 med(A ^BC)	 e	 med(A ^CB),	
respectivamente,	suas	medidas.
Recordando tópicos da geometria.
Vértice é um ponto comum a dois lados de um ângulo. No caso acima, o vértice A é o ponto 
onde os segmentos AB e AC se encontram.
Duas retas são perpendiculares quando se interceptam formando um ângulo de 90°.
• Segundo o Microdicionário de Matemática Imenes & Lellis, num triângulo retângulo os 
segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa são chamados de projeções (sob ângulo 
de 90°) dos catetos sobre a hipotenusa.
IMPORTANT
E
Exemplo:		
Examinando	o	triângulo	ABC,	determine	qual	é	a	medida:
a)	de	cada	cateto;	
Resposta:	No	triângulo	retângulo	ABC	podemos	perceber	que	o	ângulo	reto	
é	o	ângulo	 ^C.	Portanto,	os	catetos	são	AC e BC	e	medem,	respectivamente,	5	cm	e	
5,8	cm.	
b)	da	hipotenusa;
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
7
Resposta:	A	hipotenusa	é	o	lado	do	triângulo	oposto	ao	ângulo	reto	 ^C,	e,	
portanto,	mede	9	cm	(4	cm	+	5	cm).
 
c)	da	altura	relativa	à	hipotenusa;	
Resposta:	A	altura	desse	triângulo	é	dada	pelo	segmento	HC	que	mede	3	cm.
d)	da	projeção	do	cateto	maior	sobre	a	hipotenusa;
Resposta:	O	 cateto	maior	 é	 o	 lado	BC,	 portanto	 sua	projeção	 é	HB	 que	
mede	5	cm.
e)	da	projeção	do		cateto	menor	sobre	a	hipotenusa;	
Resposta:	O	cateto	menor	é	o	 lado	AC,	portanto	sua	projeção	é	HA	que	
mede	4	cm.
Uma leitura interessante é a do livro “A Geometria na sua vida”, com consultoria 
de Nílson José Machado. Não perca o capítulo “A medição da doçura”, que discorre sobre 
Hipotenusa, filha do rei de Euclideia, Metrônio. Obcecado pela geometria, o soberano só aceita 
entregar a mão da filha a alguém mais inteligente do que ela.
DICAS
3 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
A	partir	dos	elementos	de	um	triângulo	 retângulo,	podemos	estabelecer	
relações	entre	essas	medidas	e	demonstrá-las	a	partir	da	semelhança	de	triângulos.
Semelhança de triângulos:
Em qualquer triânguloretângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois outros 
triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semelhantes entre si.
UNI
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
8
∆ABH ~ ∆ABC	
(lê-se:	o	triângulo	com	vértices	em	A,	B	e	H	é	semelhante	ao	triângulo	com	vértices	em	
A,	B	e	C).
∆ACH ~ ∆ABC	
(lê-se:	o	triângulo	com	vértices	em	A,	C	e	H	é	semelhante	ao	triângulo	com	vértices	em	
A,	B	e	C).
∆ABH ~ ∆ACH
(lê-se:	o	triângulo	com	vértices	em	A,	B	e	H	é	semelhante	ao	triângulo	com	vértices	em	
A,	C	e	H).
Vamos	explorar	algumas	relações	juntos:
1ª Relação:	Considere	os	triângulos	ABH	e	ABC.
^A^H ≡ ,	pois	ambos	são	ângulos	retos.
≡
^B ^B,	pois	são	os	mesmos	ângulos.
Pela	propriedade	da	semelhança	de	triângulos,	temos:	∆ABH ~ ∆ABC.
Daí,	 c m
a c
= .	Dessa	proporção	podemos	escrever:
c	•	c	=	a	•	m	→	c²	=	a	•	m
O	mesmo	ocorre	com	os	triângulos	ACH	e	ABC:
m
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
9
Exemplo:
Neste	 triângulo	 retângulo,	 vamos	 calcular	 a	 medida	 da	 hipotenusa.	As	
medidas	estão	indicadas	em	centímetros.
^A^H ≡ ,	pois	ambos	são	ângulos	retos.
^C ≡ ^C,	pois	são	os	mesmos	ângulos.
Pela	propriedade	da	semelhança	de	triângulos,	temos:	∆ACH ~ ∆ABC.
Daí,	b n
a b=
.	Dessa	proporção	podemos	escrever:	
b	•	b	=	a	• n →	b²	=	a	• n
Em	 qualquer	 triângulo	 retângulo,	 o	 quadrado	 da	 medida	 de	 um	 cateto	 é	 igual	 ao	
produto	da	medida	da	hipotenusa	pela	medida	da	projeção	do	cateto	considerado	sobre	
a	hipotenusa,	ou	seja,	b²	=	a	•	n	ou	c²	=	a	•	m.
FONTE: A autora
QUADRO 1- RELAÇÃO MÉTRICA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Cn
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
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Portanto,	a	hipotenusa	desse	triângulo	mede	25	cm.	
2ª Relação:	Considere	os	triângulos	ABH	e	ACH.
Resolução:
Sabemos	que:
^H^H ≡ ,	pois	ambos	são	ângulos	retos	e	o	mesmo	ângulo.
^C
^
A₁ ≡
Pela	propriedade	da	semelhança	de	triângulos,	temos:	∆ABH	~	∆ACH.
Daí,	h n
m h=
.	Dessa	proporção	podemos	escrever:
h	•	h	=	m	• n →	h²		=	mn
Exemplo	1:
Vamos	calcular	o	valor	de	x	nessa	figura.
Em	qualquer	triângulo	retângulo,	o	quadrado	da	medida	da	altura	relativa	à	hipotenusa	
é	igual	ao	produto	das	medidas	dos	segmentos	que	ela	determina	sobre	a	hipotenusa,	
ou	seja,	h²		=	mn.
nm
		c²	=	am
15²	=	a	.	9
225	=	9a
		9a	=	225
				a	=	25
225a
9
=
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
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Resolução:
Em	qualquer	triângulo	retângulo,	tem-se:	h²		=	mn.
Neste	caso,	h	=	12,	n	=	8	e	m	=	x.	Portanto:
Assim,	a	medida	de	x	é	18.
Exemplo	2:
Vamos	determinar	as	medidas	a,	c,	h	e	m	indicadas	na	figura	a	seguir.
Resoluções:
CB
c
12²	=	8	.	x
144	=	8x
			8x	=	144
 
					x	=	18
144x
8
=
b²	=	an		 	m	+	n	=	a	 			h²	=	mn	 			c²	=	am
6²	=	a	.	4	 	m	+	4	=	9	 			h²	=	5	.	4	 			c²	=	9	.	5
36	=	4a		 	m	=	9	-	4	 			h²	=	20	 			c²	=	45
	 	 	m	=	5										 			h	=	√20	 			c	=	√45
						 	 	 	 			h	=	2√5	 				c	=	3√5
a	=	9
36a
4
=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
12
3ª Relação:	Partindo	das	relações,	onde	b²	=	an	e	c²	=	am.	Vamos	multiplicar	membro	
a	membro	as	igualdades	e	obteremos:
b²	•	c²	=	an	•	am
b²	•	c²	=	a	•	a	• n •	m
b²	•	c²	=	a²	•	nm
E	usando	a	relação	h²	=	mn,	temos:
b²	•	c²	=	a²	•	h²
(bc)²	=	(ah)²
Ou,	extraindo	a	raiz	quadrada	de	ambos	os	membros	(já	que	as	medidas	
são	sempre	números	positivos),	temos:
bc	=	ah
Em	qualquer	triângulo	retângulo,	o	produto	das	medidas	dos	catetos	é	igual	ao	produto	
da	medida	da	hipotenusa	pela	medida	da	altura	relativa	à	hipotenusa,	ou	seja,	bc	=	ah.
QUADRO 2 – O PRODUTO DAS MEDIDAS DOS CATETOS
FONTE: A autora
Exemplo:
Vamos	determinar	a	altura	do	triângulo	a	seguir.
Resolução:
bc	=	ah
4 . 3	=	5	.	h
5h	=	12										A	altura	h	é						de	unidade	de	medida.
 
12
512h
5
=
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
13
A quarta propriedade das relações métricas é um dos mais importantes 
teoremas da matemática, conhecido como Teorema de Pitágoras, no qual daremos maior 
enfoque a seguir.
NOTA
4 O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS
O	Egito	recebeu	a	dádiva	de	ter	todo	o	seu	território	cortado	pelo	segundo	
maior	 rio	 do	 mundo	 em	 extensão,	 o	 rio	 Nilo	 (o	 primeiro	 é	 o	 rio	 Amazonas).	
Aproveitando	com	sabedoria	o	rico	húmus	que	as	águas	formavam	ao	longo	das	
margens,	os	egípcios	desenvolveram	toda	a	sua	agricultura.	Porém,	a	dificuldade	
era	que	as	cheias	anuais	destruíam	toda	a	demarcação	das	propriedades	agrícolas.	
O	 apagamento	 das	 demarcações	 do	 Nilo	 tornou	 necessária	 a	 existência	 dos	
mensuradores,	conhecidos	pelos	egípcios	por	“esticadores	de	cordas”.
 
Para	obter	 ângulos	 retos,	 os	 “esticadores	de	 cordas”	usavam	uma	corda	
com	12	nós,	a	igual	distância	um	do	outro,	e	com	ela	construíam	um	triângulo	com	
vértices	em	três	desses	nós.	O	triângulo	assim	obtido	possui	lados	que	medem	três,	
quatro	e	cinco	unidades	de	comprimento	e	é	um	triângulo	retângulo.
 
Esse	método	é	baseado	na	relação	enunciada	por:
FONTE: A autora
QUADRO 3 - O TRIÂNGULO RETÂNGULO E O TEOREMA DE PITÁGORAS
Apesar	de	 terem	sido	os	 egípcios	os	primeiros	 a	utilizarem	essa	 relação	
para	resolver	problemas	de	medições	de	terras,	foi	Pitágoras	de	Samos	(por	volta	
de	570	a.C.),	filósofo	e	matemático	grego,	quem	provou	que	ela	é	válida	para	todo	
triângulo	retângulo.
O quadrado da medida da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
2 2 2a b c= +
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
14
Demonstração do Teorema de Pitágoras
Na	 história	 da	matemática	muitas	 foram	 as	 demonstrações	 do	 Teorema	
de	Pitágoras.	Vejamos	uma	delas	a	partir	de	duas	relações	métricas	do	triângulo	
retângulo,	demonstradas	anteriormente.
b² = a • n 
c² = a • m 
Somando	essas	igualdades	membro	a	membro,	obtemos:
b²	+	c²	=	am	+	an	
b²	+	c²	=	a(m	+	n)	
Observando	que	m	+	n	=	a,	temos:
b²	+	c²	=	a	•	a	
E	assim
b2	+	c2	=	a2
Vejamos	outra	maneira	de	exemplificar	a	validade	do	Teorema	de	Pitágoras,	
através	da	geometria:
=	1	unidade	de	
comprimento
=	1	unidade	de	
área
3x3=32
4x4=42
5x5=52
5
43
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
15
Considerando	que	cada	quadradinho	corresponde	a	uma	unidade	de	área,	
verificamos	que	nos	três	quadrados	existem	25,	16	e	9	unidades	de	área;	notando	
que	25	=	16	+	9	ou	5²	=	4²	+	3²,	confirma-se	a	relação:	a	área	do	quadrado	construído	
sobre	o	maior	lado	do	triângulo	retângulo	é	igual	à	soma	das	áreas	dos	quadrados	
construídos	sobre	os	dois	menores	lados.
Exemplo	1:
Vamos	calcular	a	medida	da	hipotenusa	do	triângulo	a	seguir,.
Resolução:
Considerando	a	=	x,	b	=	4	e	c	=	7,	temos:
b²	+	c²		=	a²		
4²	+	7²	=	x²		
49	+	16	=	x²			
65	=	x²			
x	=	√65 
x	≅	8,06
Assim,	a	hipotenusa	mede,	aproximadamente,	8,06	unidades	de	comprimento.
Sempre que conhecemos dois dos seis valores a, b, c, h, m, e n indicados na figura, 
podemos descobrir os outros quatro empregando as relações métricas do triângulo retângulo. 
NOTA
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
16
Exemplo	2:
Vamos	encontrar	as	medidas	desconhecidas	da	figura	seguinte.
nm
Resolução:
Observe	 que	 os	 valores	 desconhecidos	 desta	 figura	 ocupam	 lugares	
diferentes	da	demonstração.	Portanto,	é	necessário	substituí-los.
Comparando	com	a	figura	utilizada	na	demonstração,	temos:
c =	13
b	=	b
m	=	m
n	=	n
a	=	a
altura	(h)	=	12.
Do	triângulo	menor,	temos:
m²	 +	12²	=	13² (4ª	propriedade)
	m²	=	169	–	144
m²	=	25	
m	=	√25 
m = 5
Pela	1ª	propriedade:
c2	=	am
13²	=	a • 5
169	=	5a
169a
5
=
a = 33,8 
TÓPICO 1 | RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
17
Pela	2ª	propriedade,	temos:
h²	=	mn
12²	=	5	• n
144=	5n	
144n
5
=
n = 28,8
Pela	3ª	propriedade,podemos	escrever:
bc	=	ah
b	•	13	=	33,8	•	12
13b	=	405,6
405,6b
13
=
b = 31,2
18
Neste tópico você fez o estudo do triângulo retângulo, partindo dos seus 
elementos até as suas relações. 
RESUMO DO TÓPICO 1
●	 O	quadrado	da	medida	de	cada	cateto	(b e c)	é	igual	ao	produto	
da	 medida	 de	 sua	 projeção	 (n e m,	 respectivamente)	 sobre	 a	
hipotenusa	pela	medida	da	hipotenusa	(a).
●	 O	 quadrado	 da	 medida	 da	 altura	 (h)	 relativa	 à	 hipotenusa	 é	
igual	ao	produto	das	medidas	das	projeções	dos	catetos	sobre	a	
hipotenusa	(m e n).			
●	 O	 produto	 das	medidas	 dos	 catetos	 (b e c)	 é	 igual	 ao	 produto	
da	 medida	 da	 hipotenusa	 (a)	 pela	 medida	 da	 altura	 relativa	 à	
hipotenusa	(h).
●	 A	 medida	 da	 hipotenusa	 (a)	 é	 igual	 à	 soma	 das	 medidas	 das	
projeções	dos	catetos	(m e n)	sobre	ela.
●	 O	 quadrado	 da	 medida	 da	 hipotenusa	 (a)	 é	 igual	 à	 soma	 dos	
quadrados	das	medidas	dos	catetos	(b e c).	
}
}
}
}
}
b² = an
c² = am
h² = mn
bc = ah
a = m + n
a² = b² + c²
19
AUTOATIVIDADE
2	Calcule	a	medida	da	hipotenusa	de	um	triângulo	retângulo	isósceles	(possui	
dois	lados	de	mesma	medida),	com	catetos	de	1	cm.
3	A	área	de	um	terreno	quadrangular	é	igual	a	128	m².	Quanto	mede	a	diagonal	
desse	terreno?	(Lembre	que	a	área	de	uma	região	quadrangular	é	dada	por:	
Área	do	Quadrado	=	(medida	do	lado)²).
4	As	raízes	da	equação	x²	 -	10x	+	24	=	0	expressam,	em	cm,	as	medidas	dos	
catetos	de	um	triângulo	retângulo.	Determine	a	medida	da	hipotenusa	desse	
triângulo.	
5	Um	triângulo	STU,	retângulo	em	
^S ,	tem	catetos	com	medidas	iguais	a	5	cm	
e	12	cm.	Calcule:	
a)	a	medida	da	hipotenusa;
b)	a	medida	da	altura	relativa	à	hipotenusa;
c)	as	medidas	das	projeções	dos	catetos	sobre	a	hipotenusa.
6	Determine	num	triângulo	retângulo	ABC,	de	catetos	com	medidas	iguais	a	3	
e	4,	a	medida	da	hipotenusa	e	a	altura	relativa	à	hipotenusa.
7	Calcule,	em	cada	figura,	a	medida	de	y.
Lembra	do	seu	manual,	“Não	basta	saber,	é	preciso	saber	fazer”?	Agora	chegou	
a	sua	vez	de	colocar	em	prática	as	relações	métricas	do	triângulo	retângulo	que	
você	acabou	de	estudar.
1	Escreva	o	que	representam	as	 letras	a,	b,	c,	h,	s e t no	triângulo	retângulo	
abaixo.	
20
a) b)
c) d)
8	Dois	navios	partem	de	um	mesmo	ponto,	no	mesmo	instante,	e	viajam	em	
direções	 que	 formam	um	 ângulo	 reto.	Depois	 de	 uma	 hora	 de	 viagem,	 a	
distância	entre	os	dois	navios	é	de	13	milhas.	Se	um	deles	é	7	milhas	mais	
rápido	que	o	outro,	determine	a	velocidade	de	cada	navio.
 
9	No	triângulo	retângulo	da	figura	a	seguir	temos	que	m	=	x	+	5,6,	n	=	x	e	a	=	20.	
Sabendo	que	as	medidas	são	dadas	em	centímetros,	determine	as	medidas	b,	
c e h	indicadas.
10	Em	um	triângulo	retângulo,	a	hipotenusa	mede	15	cm	e	a	área	é	de	54	cm².	
Calcule	a	medida	da	altura	relativa	à	hipotenusa.
21
TÓPICO 2
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No	estudo	anterior	estabelecemos	as	bases	necessárias	para	a	compreensão	
da	Trigonometria,	visto	que	esta	é	considerada	uma	extensão	da	Geometria.
 
Neste	 tópico	 daremos	 início	 ao	 estudo	 da	 Trigonometria,	 focando	 as	
relações	 trigonométricas	 no	 triângulo	 retângulo,	 que	 relaciona	 as	medidas	 dos	
lados	de	um	triângulo	com	as	medidas	de	seus	ângulos	e	é	de	grande	utilidade	na	
medição	de	distâncias	inacessíveis	ao	ser	humano,	como,	por	exemplo,	a	altura	de	
torres	e	árvores,	de	montanhas	ou	a	largura	de	rios	e	lagos.
2 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considere	estes	dois	triângulos	retângulos:
Sabemos	 que	 se	 dois	 triângulos	 têm	 dois	 ângulos	 correspondentes	
congruentes,	então	os	triângulos	são	semelhantes.	Logo,	podemos	escrever:
a					b		
x					y		=
Dessa	proporção	deduzimos	outra:
b					y		
a					x=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
22
Ou	seja,	nos	dois	triângulos,	a	razão	entre	o	cateto	oposto	ao	ângulo	de	30°	
e	a	hipotenusa	é	o	mesmo	número.
Vamos	fazer	o	cálculo	para	descobrir	que	valor	é	esse.
 
●	No	triângulo	menor:
cateto	oposto	a	30°
								hipotenusa
=	
x						2,3
y						4,6=	 =	
0,5
●	No	triângulo	maior:
cateto	oposto	a	30°
								hipotenusa
=	
x						3,7
y						7,4=	 =	
0,5
NOTA
Em qualquer triângulo retângulo com ângulo de 30°, a razão 
tem o mesmo valor, pois todos os triângulos nessas condições são semelhantes. 
cateto oposto a 30°
 hipotenusa
Vejamos	outros	exemplos:
1)
•	No	triângulo	menor:
cateto	oposto	a	45°
								hipotenusa
=	
x							1
y						√2
=	
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
23
Como	o	denominador	desta	 fração	 é	 um	número	 irracional,	 precisamos	
fazer	o	processo	de	racionalização	do	denominador.
A	racionalização	de	denominadores	consiste	na	obtenção	de	uma	 fração	
com	denominador	racional,	equivalente	a	anterior,	que	possua	um	ou	mais	radicais	
em	seu	denominador.
 
Para	 racionalizar	 o	 denominador	 de	 uma	 fração	 devemos	multiplicar	 os	
termos	desta	fração	por	uma	expressão	com	radical,	denominado	fator	racionalizante,	
de	modo	a	obter	uma	nova	fração	equivalente	com	denominador	sem	radical.
Neste	caso,	vamos	multiplicar	o	numerador	e	o	denominador	desta	fração	
por	√2.	Observe:
Assim,
cateto	oposto	a	45°
								hipotenusa
=	
x							1
y						√2
=	
●	No	triângulo	maior:
cateto	oposto	a	45°
								hipotenusa
=	
x					2√2					√2
y							4									2
=	 =	
Igualmente	ao	exemplo	anterior,	podemos	observar	que	em	qualquer	triângulo	
retângulo	com	ângulo	de	45°,	a	razão	
cateto	oposto	a	45°
								hipotenusa
	tem	o	mesmo	valor	√2
	2
,	pois 
todos	os	triângulos	nessas	condições	são	semelhantes.
1 2 2 2
22 2 2 2
⋅ = =
⋅
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
24
•	No	triângulo	menor:
●	No	triângulo	maior:
Mais	uma	vez,	podemos	observar	que	 em	qualquer	 triângulo	 retângulo	
com	ângulo	de	60°,	a	razão	
cateto	oposto	a	60°
								hipotenusa
	tem	o	mesmo	valor,	pois	todos	os	
triângulos	nessas	condições	são	semelhantes.
cateto	oposto	a	60°
								hipotenusa
=	b							3				a						 =	 =	2√3
3√3
2√9
=	√3
2						
cateto	oposto	a	60°
								hipotenusa
=	
b			
a						 =	
6√3
12
=	√3
2						
Teste você mesmo(a)! Construa outros triângulos retângulos, de mesmo ângulo, 
mas com medidas variadas, veja se a razão 
cateto oposto ao ângulo
 hipotenusa
 é a mesma para todos 
eles. Depois, faça o mesmo com outros ângulos. Experimente estabelecer outras razões.
ATENCAO
Se	você	realizou	a	atividade	acima,	deve	ter	percebido	que	a	razão	entre	
cateto	 oposto	 e	 cateto	 adjacente	 e	 a	 razão	 entre	 cateto	 adjacente	 e	 hipotenusa	
também	é	a	mesma	para	triângulos	retângulos	semelhantes.
Veja,	a	seguir,	como	isto	é	possível.
2.1 SENO
Uma	 das	 constantes	 obtidas	 ao	 relacionar	 as	 medidas	 dos	 lados	 em	
triângulos	retângulos	é	conhecida	por	seno.
 
Num	triângulo	retângulo	qualquer,	o	seno	de	um	ângulo	agudo	 (menor	
que	90°)		é	a	razão	entre	a	medida	do	cateto	oposto	a	ele	e	a	medida	da	hipotenusa,	
conforme	observamos	nos	exemplos	anteriores.	
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
25
Considerando,	inicialmente,	o	ângulo	de	medida	a₁	da	figura	a	seguir,	de	
vértice	V e	lados	VA e VB.
No	lado	VB consideremos	pontos	quaisquer	B1,	B2,	B3,	B4,	...	e	os	segmentos	
A₁B₁,	A₂B₂,	A₃B₃,	A₄B₄,...		,perpendiculares	a	VB.
Os	triângulos	VA1B1,	VA2B2,	VA3B3,	VA4B4,...	são	todos	semelhantes.	Logo:	
A₁B₁
	VA₁
A₂B₂
	VA₂
A₃B₃
	VA₃
A₄B₄
	VA₄=	 =	 =	
=	...	=	K₁
Dessas	 igualdades	podemos	deduzir	 que	 o	 valor	de	 k1	 não	depende	do	
triângulo	retângulo	escolhido.	Ele	é	o	mesmo	para	qualquer	triângulo	semelhante	
ao	∆AVB.
Consideremos,	agora,	o	ângulo	de	medida	a2	(a2	≠a1) da	figura	seguinte,	
de	vértice	O e	lados	OC e OD,	e	os	triângulos	OC1D1,	OC2D2,	OC3D3,	OC4D4,	 ...	
retângulos		em	D1,	D2,		D3,	D4,	...	todos	semelhantes.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
26
Novamente,	podemos	escrever:
C₁D₁
	OC₁
C₂D₂
	OC₂
C₃D₃
	OC₃
C₄D₄
	OC₄=	 =	 =	
=	...	=	K₂
Embora	tenhamos	usado	o	mesmo	processo	para	calcular	os	valores	de	k1 e
 k2,	encontramos	k1	≠		k2.	Isso	ocorre,	pois	a	diferença	entre	as	duas	figuras	está	em	
que	a1 ≠ a2.	Portanto,	podemos	concluir	que	o	valor	da	constante	k	–	razão	entre	a	
medida	do	cateto	oposto	e	a	medida	da	hipotenusa	de	cada	triângulo	retângulo	–	
depende	da	medida	do	ângulo	considerado.
 
A	razão	k	é	uma	característica	de	cada	ângulo a	e	seu	valor	é	chamado	de	
seno do ângulo a (sen a).	Assim:
FONTE: A autora
QUADRO 4 - SENO DO ÂNGULO a (SEN a)
sen	a =	 AC
BC
=	
b
a
ou
sen	a =	
medida do cateto oposto a a
				medida	da	hipotenusa
Exemplo	1:
Na	figura	dada,	calculemos	o	valor	de	sen	a:
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
27
Resolução:
Inicialmente	precisamos	calcular	a	hipotenusa	do	triângulo.
a²	=	8²	+	15²
a²	=	289
a	=	√289
a	=	17
Então,	temos:
Resposta:	sen	a ≅	0,47.
 
Exemplo	2:
Vamos	calcular	o	valor	de	x,	sabendo	que	sen	a	=	0,8.
Resolução:
Aplicando	a	razão	seno,	temos:
sen	a =	 cateto oposto ao ângulo a
											hipotenusa
sen	a =	 	8
17
sen	a ≅ 0,47
sen	a =	 cateto oposto ao ângulo a
											hipotenusa
0,8 =	 	x
20
0,8	.	20 =	 x
x =	 16
Resposta:	O	valor	de	x	é	16	unidades	de	medida.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
28
A palavra seno é derivada do latim sinus, que significa “baía” ou “dobra”. O termo 
originalmente utilizado foi ardha-jiva (“meia-corda”), que foi abreviado para jiva e então 
transliterada pelos árabes como jiba. Tradutores europeus do século XII confundiram jiba com 
jaib, que significa “baía”, provavelmente porque jiba e jaib são escritas da mesma forma na 
escrita arábica.
UNI
2.2 COSSENO
Com	um	procedimento	semelhante	ao	apresentado	anteriormente,	podemos	
definir	outras	razões	entre	as	medidas	de	lados	de	um	triângulo	retângulo	cujos	
valores	 dependam	 apenas	 da	 medida	 do	 ângulo	 considerado.	 Portanto,	 outra	
constante	obtida	ao	relacionar	essas	medidas	é	conhecida	por	cosseno.	
Considere	um	ângulo	de	medida	a1
 
conforme	a	figura	a	seguir,	de	vértice	
V e	lados	VA e .
No	lado	 ,	consideremos	pontos	quaisquer	B1,	B2,	B3,	B4,	...	e	os	segmentos	
VB₁,	VB₂,	VB₃,	VB₄,...		
Os	triângulos	VA1B1,	VA2B2,	VA3B3,	VA4B4,..	são	todos	semelhantes.	Logo:	
	VB₁
	VA₁
	VB₂
	VA₂
	VB₃
	VA₃
	VB₄
	VA₄=	 =	 =	
=	...	=	K₁
Dessas	 igualdades	 podemos	 deduzir	 que	 o	 valor	 k1	 não	 depende	 do	
triângulo	retângulo	escolhido.	Ele	é	o	mesmo	para	qualquer	triângulo	semelhante	
ao	∆AVB.
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
29
Consideremos,	agora,	o	ângulo	de	medida	a2	(a2	≠ a1) da	figura	seguinte,	
de	vértice	O e	lados	OC e OD,	e	os	triângulos	OC1D1,	OC2D2,	OC3D3,	OC4D4,	...,	
retângulos		em	D1,	D2,		D3,	D4,	...	todos	semelhantes.
Novamente,	podemos	escrever:
 	OD₁
	OC₁
	OD₂
	OC₂
	OD₃
	OC₃
	OD₄
	OC₄=	 =	 =	
=	...	=	K₂
Embora	 tenhamos	 usado	 o	mesmo	processo	 para	 calcular	 os	 valores	 de	
k1	e	k2,	encontramos	k1≠ k2.	A	diferença	entre	as	duas	figuras	está	em	que	a1	≠	 a2. 
Portanto,	podemos	concluir	que	o	valor	da	constante	k	–	razão	entre	a	medida	do	
cateto	adjacente	e	a	medida	da	hipotenusa	de	cada	triângulo	retângulo	–	depende	
da	medida	do	ângulo	considerado.
 
A	razão	k	é	uma	característica	de	cada	ângulo	a	e	seu	valor	é	chamado	de	
cosseno do ângulo a (cos	a).	Assim:
FONTE: A autora
QUADRO 5 - COSSENO DO ÂNGULO a (COS a)
cos	a =	 AB
BC
=	
c
a
ou
cos	a =	
medida do cateto adjacente a a
						medida	da	hipotenusa
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
30
Exemplo	1:			
Determine	cos	Ĉ	no	triângulo	retângulo	a	seguir:
Resolução:
Temos	que
Resposta:	O	cosseno	do	ângulo	C	é	igual	a	0,5.
Exemplo	2:
No	triângulo	retângulo	ABC	abaixo,	calcule	os	valores	de	a e c,	sabendo	
que	b	=	5	cm	e	cos	60°=	0,5.
cos	a =	 medida do cateto adjacente a a
						medida	da	hipotenusa
=	 	5
10
=	 0,5
cos	Cˆ
cos	Cˆ
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
31
Resolução:
Aplicando	o	teorema	de	Pitágoras	ao	∆ABC,	temos:
a²	=	b²	+	c²
10²	=	5²	+	c²
100	=	25	+	c²
100	–	25	=	c²
c²	=	75
c	=	√75 
c	=	5√3 
Resposta:	A	medida	de	a	é	10	cm	e	de	c	é	5√3	cm.
cos	a =	 medida do cateto adjacente a a
						medida	da	hipotenusa
=	
	b
	a
cos	60°
=	0,5 	5
	a
0,5	∙	a =	5
a =	
	5
0,5
a =	10
2.3 TANGENTE
Num	 triângulo	 retângulo	 qualquer,	 a	 tangente	 de	 um	 ângulo	 agudo	
(menor	do	que	90°)	é	a	razão	entre	a	medida	do	cateto	oposto	a	ele	e	a	medida	
do	cateto	adjacente.
Considere,	novamente,	um	ângulo	de	medida	a1,	de	vértice	V e	 lados	
VA e VB.
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
32
No	lado	VB consideremos	pontos	quaisquer	B1,	B2,	B3,	B4,	...	e	os	segmentos	
A₁B₁,	A₂B₂,	A₃B₃,	A₄B₄,...		,perpendiculares	a	VB.
Os	triângulos	VA1B1,	VA2B2,	VA3B3,	VA4B4,	...	são	todos	semelhantes.	Logo:	
	A₁B₁
	VB₁
	A₂B₂
	VB₂
	A₃B₃
	VB₃
	A₄B₄
	VB₄=	 =	 =	
=	...	=	K₁
Dessas	 igualdades	 podemos	 deduzir	 que	 o	 valor	 k1	 não	 depende	 do	
triângulo	retângulo	escolhido.	Ele	é	o	mesmo	para	qualquer	triângulo	semelhante	
ao	∆AVB.
Consideremos,	agora,	o	ângulo	de	medida	a2	(a2	≠ a1) da	figura	seguinte,	
de	vértice	O e	lados		OC e OD,	e	os	triângulos	OC1D1,	OC2D2,	OC3D3,	OC4D4,	...	
retângulos	em	D1,	D2,		D3,	D4,	...	todos	semelhantes.
Novamente,	podemos	escrever:
Embora	tenhamos	usado	o	mesmo	processo	para	calcular	os	valores	de	k1 e 
k2,	encontramos	k1	≠	k2.	A	diferença	entre	as	duas	figuras	está	em	que	a1	≠ a2. Logo,	
podemos	concluir	que	o	valor	da	constante	k	 –	 razão	entre	a	medida	do	cateto	
oposto	e	a	medida	do	cateto	adjacente	de	cada	triângulo	retângulo	–	depende	da	
medida	do	ângulo	considerado.
 
A	razão	k	é	uma	característica	de	cada	ângulo	a	e	seu	valor	é	chamado	de	
tangente do ângulo a	(tg	a).	Assim:
	C₂D₂
		OD₂=	 =	 =	 =	...	=	K₂
	C₁D₁
		OD₁
	C₃D₃
		OD₃
	C₃D₃
		OD₃
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
33
FONTE: A autora
QUADRO 6 – FÓRMULA TANGENTE DO ÂNGULO a (TG a)
tg	a =	 AC
AB
=	
b
c
ou
tg	a =	
		medida	do	cateto	oposto	ao	ângulo	α
medida	do	cateto	adjacente	ao	ângulo	α
Exemplo	1:
No	 triângulo	 retângulo	 ABC,	 a	 tangente	 de	 Ĉ	 pode	 ser	 calculada	 da	
seguinte	maneira:
tg	a =	 medida do cateto oposto ao ângulo a
medida	do	cateto	adjacente	ao	ângulo	a
=	 	4 6
=	
tg	Cˆ
tg	Cˆ
	2
	3
Logo,	a	tangente	do	ângulo	C	é						.	2
	3
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
34
Exemplo	2:
Num	triângulo	retângulo,	as	medidas	dos	lados	são	expressas	por	(x	-	
5),	x	e	(x	+	5).	
Vamos	determinar	a	tangente	do	ângulo	agudo	a,	oposto	ao	menor	cateto	
do	triângulo.
Resolução:
Primeiramente,	vamos	fazer	um	esboço	da	figura.
Agora,	utilizando	o	teorema	de	Pitágoras,	com	a	=	x	+	5,	b	=	x	e	c	=	x	–	5,	temos
Substituindo	o	valor	de	x,	temos	que	o	cateto	adjacente	ao	ângulo	a	é	b	=	20	
e	o	cateto	oposto	ao	ângulo	a	é	c	=	20	–	5	=	15.	Então,	utilizando	a	razão	da	tangente:
a²	=	b²	+	c²
(x	+	5)²	=	x²	+	(x	-	5)²
x²	+	10x	+	25	=	x²	+	x²	-	10x	+	25
-x²	+	20x	=	0
-x(x	-	20)	=	0
x'	=	0
x"	=	20
tg	a =	 medida do cateto oposto ao ângulo a
medida	do	cateto	adjacente	ao	ângulo	a
=	
=	 	15
	20
tg	a
tg	a
	3
	4
Assim,	a	tangente	de	a é							.	3
	4
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
35
É comum confundirmos o nome de um ângulo com a sua medida. Quando estamos 
falando num ângulo a, estamosnos referindo ao próprio ângulo, mas usando sua medida em 
lugar de seu nome. É um “abuso” frequente e aceitável, que busca simplificar a linguagem.
UNI
3 ÂNGULOS NOTÁVEIS
Os	ângulos	de	30°,	45°	e	60°	aparecem	com	frequência	nos	cálculos	e,	por	
isso,	 são	chamados	notáveis.	Veja	como	calcular	o	seno,	o	cosseno	e	a	 tangente	
desses	ângulos.
Seno,	cosseno	e	tangente	do	ângulo	de	45°
Para	 calcular	 as	 razões	 trigonométricas	 para	 o	 ângulo	 de	 45°,	 vamos	
considerar	o	quadrado	ABCD	da	figura	seguinte.
●	Como	o	∆ABC	é	retângulo	em	
^B,	temos:
Assim,
d²	=	ℓ²	+	ℓ²
d²	=	2ℓ²
d	=	√2ℓ²
d	=	√2	∙ √ℓ²
d = ℓ√2
sen45°=
d
lsen45°=
2
2sen45°=
2 2
2sen45°=
2
⋅




cos45°=
d
cos45°=
2
2cos45°=
2 2
2cos45°=
2
⋅





tg45°=
tg45°=



UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
36
Seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60°
Consideremos	o	triângulo	equilátero	ABC	da	figura	seguinte.
Nesse	triângulo	observamos	que:
•	 cada	ângulo	interno	mede	60°;
• AH	é	bissetriz	de	BÂC;
• AH	é	mediana	relativa	ao	lado	BC;	portanto,	H	é	o	ponto	médio	de	BC;
•	 a	medida	da	altura	é	 =	 ℓ√3
		2
h .
Então,	para	o	ângulo	de	30°,	podemos	escrever:
2tg30°=
h
2
3tg30°
2
2tg30°
2 3
1 3tg30°
3 3
3tg30°
3
=
= ⋅
= ⋅
=





hcos30°=
3
2cos30°
3 1cos30°
2
3cos30°
2
=
= ⋅
=





2sen30°=
1sen30°
2
1sen30°=
2
= ⋅




TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
37
E,	para	o	ângulo	de	60°,	temos:
Colocando	os	valores	calculados	no	Quadro	7,	temos:
FONTE: A autora
Exemplo	1:
Determine	a	medida	x	do	triângulo	a	seguir:
QUADRO 7- TABELA TRIGONOMÉTRICA DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS
Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis
X 30° 45° 60°
sen	x
1
2
2
2
3
2
cos	x 3
2
2
2
1
2
tg	x 3
3
1 3
hsen60°=
3
2sen60°= 
3 1sen60°
2
3sen60°
2
= ⋅
=





2cos60°=
1cos60°
2
1cos60°
2
= ⋅
=




h
tg60°=
2
3
2
tg60°
2
3 2tg60°
2
tg60°= 3
=
= ⋅





UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
38
Assim,	a	medida	x	do	triângulo	é	10√2.
Exemplo	2:
A	partir	de	um	ponto,	observa-se	o	topo	de	uma	construção	sob	o	ângulo	de	
30°.	Caminhando	12	metros	em	direção	a	essa	construção,	atingimos	outro	ponto,	
de	onde	se	vê	o	topo	da	construção	sob	o	ângulo	de	60°.	Desprezando	a	altura	do	
observador,	calcule,	em	metros,	a	altura	da	construção.
Resolução:
Ao	observarmos	a	imagem,	temos:	
A	medida	do	cateto	adjacente	ao	ângulo	de	45°	é	10.
A	medida	da	hipotenusa	do	ângulo	de	45°	é	x.
Deste	modo:
cos	a = 
medida do cateto adjacente a 
medida da hipotenusa
a
10cos45
x
2 10
2 x
x 2 10 . 2
20 2x= .
2 2
20 2x
2
x 10 2
° =
=
=
=
=
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
39
Resolução:
Se	considerarmos	o	triângulo	retângulo	ABC,	temos:	
x	=	medida	do	cateto	adjacente	ao	ângulo	de	60°.
y	=	medida	do	cateto	oposto	do	ângulo	60°.
E	ao	considerarmos	o	triângulo	ABD,	temos:	
y	=	medida	do	cateto	oposto	ao	ângulo	de	30°.
x	+	12	=	medida	do	cateto	adjacente	ao	ângulo	de	30°.
Comparando	as	igualdade:
( )
x 3 12 3x 3 
3
3x 3 x 3 12 3
3x 3 x 3 12 3
3x x 3 12 3
2x 3 12 3
12 32x 
2 3
x 6
+
=
= +
− =
− =
=
=
=
medida do cateto oposto ao ângulo tg = 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
ytg60
x
y3
x
y x 3
a
a
a
° =
=
=
( )
medida do cateto oposto ao ângulo tg = 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
ytg30
x 12
y3
3 x 12
x 12 3
y
3
x 3 12 3y
3
a
a
a
° =
+
=
+
+
=
+
=
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
40
Portanto,	a	altura	da	construção	é	de	6 3 ,	aproximadamente	10,39	metros.
4 TABELA TRIGONOMÉTRICA
Como	já	descrito	no	Tópico	1,	Hiparco	de	Niceia	ganhou	o	direito	de	ser	
chamado	“o	pai	da	trigonometria”,	pois,	no	século	II	a.C.,	fez	um	tratado	em	12	
livros,	 onde	 se	 ocupa	 da	 construção	 de	 uma	 tábua	 de	 cordas,	 que	 utilizou	 na	
Astronomia.	Mas	 foi	 Ptolomeu	 que	 construiu	 a	 primeira	 tabela	 de	 cordas	 que	
fornece	o	seno	dos	ângulos	de	0°	a	90°,	que	se	assemelha	à	tabela	trigonométrica	
(no	quadro	7)	que	conhecemos	hoje.
	Visto	que	para	cada	ângulo	agudo	está	associado	um	único	valor	para	o	
seno,	para	o	cosseno	e	para	a	tangente,	em	situações	que	envolvem	ângulos	não	
notáveis,	não	precisamos	calculá-los	sempre,	para	isso	foi	construída	uma	tabela	
trigonométrica	(no	quadro	8),	que	nos	fornece	esses	valores.
QUADRO 8 – TABELA TRIGONOMÉTRICA
Ângulo Seno cosseno tangente Ângulo Seno cosseno tangente
1° 0,017 1,000 0,017 46° 0,719 0,695 1,036
2° 0,035 0,999 0,035 47° 0,731 0,682 1,072
3° 0,052 0,999 0,052 48° 0,743 0,669 1,111
4° 0,070 0,998 0,070 49° 0,755 0,656 1,150
5° 0,087 0,996 0,087 50° 0,766 0,643 1,192
6° 0,105 0,995 0,105 51° 0,777 0,629 1,235
7° 0,122 0,993 0,123 52° 0,788 0,616 1,280
8° 0,139 0,990 0,141 53° 0,799 0,602 1,327
9° 0,156 0,988 0,158 54° 0,809 0,588 1,376
10° 0,174 0,985 0,176 55° 0,819 0,574 1,428
11° 0,191 0,982 0,194 56° 0,829 0,559 1,483
12° 0,208 0,978 0,213 57° 0,839 0,545 1,540
13° 0,225 0,974 0,231 58° 0,848 0,530 1,600
14° 0,242 0,970 0,249 59° 0,857 0,515 1,664
15° 0,259 0,966 0,268 60° 0,866 0,500 1,732
16° 0,276 0,961 0,287 61° 0,875 0,485 1,804
17° 0,292 0,956 0,306 62° 0,883 0,469 1,881
18° 0,309 0,951 0,325 63° 0,891 0,454 1,963
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
41
19° 0,326 0,946 0,344 64° 0,899 0,438 2,050
20° 0,342 0,940 0,364 65° 0,906 0,423 2,145
21° 0,358 0,934 0,384 66° 0,914 0,407 2,246
22° 0,375 0,927 0,404 67° 0,921 0,391 2,356
23° 0,391 0,921 0,424 68° 0,927 0,375 2,475
24° 0,407 0,914 0,445 69° 0,934 0,358 2,605
25° 0,423 0,906 0,466 70° 0,940 0,342 2,747
26 0,438 0,899 0,488 71° 0,946 0,326 2,904
27° 0,454 0,891 0,510 72° 0,951 0,309 3,078
28° 0,469 0,883 0,532 73° 0,956 0,292 3,271
29° 0,485 0,875 0,554 74° 0,961 0,276 3,487
30° 0,500 0,866 0,577 75° 0,966 0,259 3,732
31° 0,515 0,857 0,601 76° 0,970 0,242 4,011
32° 0,530 0,848 0,625 77° 0,974 0,225 4,332
33° 0,545 0,839 0,649 78° 0,978 0,208 4,705
34° 0,559 0,829 0,675 79° 0,982 0,191 5,145
35° 0,574 0,819 0,700 80° 0,985 0,174 5,671
36° 0,588 0,809 0,727 81° 0,988 0,156 6,314
37° 0,602 0,799 0,754 82° 0,990 0,139 7,115
38° 0,616 0,788 0,781 83° 0,993 0,122 8,144
39° 0,629 0,777 0,810 84° 0,995 0,105 9,514
40° 0,643 0,766 0,839 85° 0,996 0,087 11,430
41° 0,656 0,755 0,869 86° 0,998 0,070 14,301
42° 0,669 0,743 0,900 87° 0,999 0,052 19,081
43° 0,682 0,731 0,933 88° 0,999 0,035 28,636
44° 0,695 0,719 0,966 89° 1,000 0,017 57,290
45° 0,707 0,707 1,000
FONTE: A autora
Outra	opção	para	encontrar	os	valores	trigonométricos	é	através	do	uso	
de	uma	calculadora	científica,	que	dispõe	das	teclas	sin	(seno),	cos	(cosseno)	e	
tan	(tangente).	
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
42
medida do cateto oposto ao ângulo tg 
medida do cateto adjacente ao ângulo 
htg72
25
h3,078
25
 h 25 . 3,078
 h= 76,95
a
a =
a
° =
=
=
Exemplo	1:
Considere	o	triângulo	ABC	isósceles.	Sabendo	que	a	base	mede	50	cm	e	que	
cada	ângulo	da	base	mede	72°,	determine	a	medida	h	da	altura	relativa	à	base.
Resolução:
Se	considerarmos	o	triângulo	retângulo	AHC,	temos:	
h	=	cateto	oposto	ao	ângulo	de	72°.
25	=	cateto	adjacente	ao	ângulo	de	72°.
Dessa	maneira,	temos:
Logo,	a	altura	do	triângulo	é	de	76,95	cm.
Exemplo	2:
Observando	a	figura	e	utilizando	a	Tabela	Trigonométrica	calcule	os	valores	
solicitados	a	seguir:
TÓPICO 2 | RAZÕES TRIGONOMÉTRICASNO TRIÂNGULO RETÂNGULO
43
medida do cateto oposto ao ângulo sen 
hipotenusa
4,1sen
5,6
sen 0,732
a
a =
a =
a =
a)	a	medida	do	ângulo	a
b)	cos	a
c)	tg	a 
Resolução:
a)
Considerando	o	triângulo	retângulo,	temos:	
4,1	=	cateto	oposto	ao	ângulo	a.
5,6	=	hipotenusa.
A	 relação	 trigonométrica	 que	 utiliza	 as	 medidas	 do	 cateto	 oposto	 e	 da	
hipotenusa	é	o	seno,	assim:
Consultando	a	Tabela	Trigonométrica	 (no	Quadro	8),	podemos	observar	
que	o	valor	0,732	na	coluna	dos	senos	corresponde,	aproximadamente,	ao	seno	do	
ângulo	de	47°.	Assim,	a	=	47°.
b)	Portanto,	o	cosseno	do	ângulo	de	47°	é	0,682.
c)	E	a	tangente	do	ângulo	de	47°	é	1,072.
44
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
medida do cateto adjacente ao ângulo cos = 
hipotenusa
medida do cateto oposto ao ângulo tg
medida do cateto adjacente ao ângulo 
a
a =
a
a
a
a =
a
Neste tópico você fez o estudo das razões trigonométricas (seno, cosseno 
e tangente) no triângulo retângulo, bem como aprendeu a utilizar a tabela 
trigonométrica na resolução de problemas.
É	importante	saber	as	razões	até	aqui	estabelecidas:
RESUMO DO TÓPICO 2
O	uso	da	tabela	de	ângulos	notáveis	é	bastante	requerida	em	vestibulares	e	
também	são	os	ângulos	que	mais	aparecem	em	questões	do	cotidiano.
Tabela Trigonométrica dos Ângulos Notáveis
X 30° 45° 60°
sen	x
1
2
2
2
3
2
cos	x 3
2
2
2
1
2
tg	x 3
3
1 3
45
AUTOATIVIDADE
Caro(a)	acadêmico(a),	chegou	a	hora	de	você	testar	seus	conhecimentos	sobre	
razões	trigonométricas	em	um	triângulo	retângulo.	Boa	atividade!
1	Um	barco	encontra-se	a	200	m	de	um	farol.	Sabendo	que	o	farol	é	visto	do	
barco	sob	um	ângulo	de	10°,	calcule	sua	altura.
2	Uma	tábua	está	apoiada	numa	árvore,	formando	um	ângulo	de	60°.	Determine	
o	comprimento	da	tábua,	sabendo	que	ela	se	apoia	na	árvore	a	uma	distância	
de	1,5	m	do	chão.
3	 Para	alcançarmos	o	primeiro	pavimento	de	um	prédio,	subimos	uma	rampa	
de	5	m	que	forma	com	o	solo	um	ângulo	de	25°.	Qual	é	a	distância	do	solo	ao	
primeiro	pavimento?
4	Uma	 pipa	 se	 encontra	 empinada	 a	 18	m	 de	 altura	 do	 solo.	 Sabendo	 que	
o	ângulo	 formado	pela	 linha	esticada	com	a	horizontal	 é	de	60°,	 calcule	o	
comprimento	da	linha.
5	Determine	a	sombra	projetada	por	um	poste	de	3,75	m	quando	os	raios	de	sol	
que	incidem	sobre	ele	formam,	com	a	rua,	um	ângulo	de	77°.	
6	 (CASTRUCCI,	GIOVANNI	JR.,	2009,	p.	279)	Deseja-se	construir	uma	estrada	
ligando	as	cidades	A	e	B,	separadas	por	um	rio	de	margens	paralelas,	como	
nos	mostra	o	esquema	abaixo.
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 279)
FIGURA 1 – ESTRADA LIGANDO AS CIDADES A E B, SEPARADAS 
POR UM RIO DE MARGENS PARALELAS
Sabe-se	que	a	cidade	A	está	distante	30	km	da	margem	do	rio,	a	cidade	B	está	a	
18	km	da	margem	o	rio,	e	a	ponte	tem	3	km	de	extensão.	Qual	a	distância	de	A	
até	B,	pela	estrada,	em	quilômetros?	(Desconsidere	a	largura	da	estrada.)
46
7	 Uma	escada	rolante	de	11.000	cm	de	comprimento	liga	dois	andares	de	um	
shopping	 e	 tem	 inclinação	de	 45°.	Qual	 é,	 em	metros,	 a	 altura	 h	 entre	 um	
andar	e	outro	desse	shopping?
8	 Calcule	o	valor	de	x	em	cada	triângulo	retângulo:
					a)																																														b)																																						c)
9	 (FACCHINI.	1996,	p.	285)	Quando	o	Sol	se	encontra	a	54°	acima	da	linha	do	
horizonte,	a	sombra	de	uma	árvore,	projetada	no	chão,	mede	12	m.	Qual	é	a	
altura	dessa	árvore?
10	 (CASTRUCCI,	 GIOVANNI	 Jr.,	 2009	 p.	 280)	 A	 escada	 de	 um	 carro	 de	
bombeiros	pode	estender-se	a	um	comprimento	de	30	m,	quando	levantada	
a	um	ângulo	de	70°.	Sabe-se	que	a	base	da	escada	está	sobre	um	caminhão,	
a	uma	altura	de	2	m	do	solo.	Qual	é	a	maior	altura	que	essa	escada	poderá	
alcançar	em	relação	ao	solo?
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 280)
FIGURA 2 - A ESCADA DE UM CARRO DE BOMBEIROS
47
TÓPICO 3
TRIGONOMETRIA EM UM 
TRIÂNGULO QUALQUER
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Nos	tópicos	anteriores	vimos	que	os	problemas	envolvendo	trigonometria	
são	resolvidos	através	da	comparação	com	triângulos	retângulos.	Mas	no	cotidiano,	
nem	sempre	encontramos	tamanha	facilidade.	Algumas	situações	podem	envolver	
outros	tipos	de	triângulo,	como	o	triângulo	acutângulo	ou	o	triângulo	obtusângulo.
Para	 esses	 casos	 recorremos	 à	 lei	 dos	 senos	 e	 à	 lei	 dos	 cossenos,	 que	
veremos	a	seguir.
Para lembrar:
• Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos, ou seja, menores do que 90°. 
• Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos, ou seja, um 
ângulo maior do que 90° e dois ângulos menores do que 90°.
NOTA
2 LEI DOS SENOS
Vamos	considerar	o	triângulo	acutângulo	ABC,	conforme	figura	a	seguir:
48
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Onde:
• a,	b e c são	as	medidas	dos	lados;
• h1 é	a	medida	da	altura	AH₁;
• h2 é	a	medida	da	altura	CH₂.
Agora,	consideremos	os	triângulos	retângulos	ABH1	e	ACH1.
No	triângulo	retângulo	ABH1,	temos:
A	mesma	relação	podemos	estabelecer	no	triângulo	retângulo	ACH1:
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen
^
B = 1h
c
 
						h₁	=	c ∙ sen ^B
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen
^
C = 1h
b 
						h₁	=	b ∙ sen ^C
Comparando,	podemos	escrever:
c ∙ sen ^B = b ∙ sen ^C
ou,
1) 
 c b
sen ^C sen ^B
=
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
49
A	seguir,	consideremos	os	triângulos	retângulos	BCH2	e	ACH2:
No	triângulo	retângulo	BCH2,	temos:
A	mesma	relação	podemos	estabelecer	no	triângulo	retângulo	ACH2:
Comparando,	podemos	escrever:
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen ^B = 2h
a 
 h₂ = a ∙ sen ^B
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
sen ^A = 2h
b 
 h₂ = b ∙ sen ^A
a․sen ^B = b․sen ^A
ou,
2) 
 a b
sen ^A sen ^B
=
Comparando	1	e	2,	temos	a	seguinte	igualdade:
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
50
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Essa	igualdade	é	denominada	Lei dos Senos.
FONTE: A autora 
Exemplo	1
Determine	a	medida	x	indicada	no	triângulo	acutângulo	a	seguir:
QUADRO 9 – LEI DOS SENOS
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
Resolução:
No	triângulo,	identificamos
a	=	x
Â	=	45°
c	=	11	cm
Ĉ	=	30°
Usando	a	lei	dos	senos,	temos:
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
51
Portanto,	a	medida	x	encontrada	é	11√2	cm.
Exemplo	2:
Em	um	 triângulo	 isósceles,	 a	 base	mede	 9	 cm	e	 o	 ângulo	oposto	 à	 base	
mede	120°.	Determine	a	medida	dos	lados	congruentes	do	triângulo.
Resolução:
No	triângulo,	identificamos
a	=	9	cm
Â	=	120°	(O	seno	do	ângulo	de	120°	pode	ser	encontrado	através	de	calculadoras.)
b	=	c	=	x
^
B = ^C =	30°
=			a																c
senÂ								senĈ
				x																11
sen45°							sen30°
	x							11
√2							1
	2								2		 
 
									11	.	√2
																		2
															1
															2
2 2x 11 . .
2 1
=
 
	x	₌		11√2
 
x =
=
=
52
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Usando	a	lei	dos	senos,	temos:
Cada	um	dos	lados	congruentes	mede	3√3cm.
			a																c
senÂ								senĈ
				9																	x
sen120°							sen30°
9 . sen30x
sen120
19 . 
2x
3
2
1 2x 9 . . 
2 3
9 3x .
3 3
9 3x
3
x 3 3
°
=
°
=
=
=
=
=
=
=
3 LEI DOS COSSENOS
Consideremos	o	triângulo	acutângulo	ABC:
Temos:
•	 a,b	e	c	são	as	medidas	dos	lados	do	triângulo;
•	 h	é	a	medida	da	alturarelativa	ao	lado	BC	do	triângulo;
• BH	é	a	projeção	do	cateto	AB	sobre	a	hipotenusa	e	m,	sua	medida;
• HC	é	a	projeção	do	cateto	AC	sobre	a	hipotenusa	e	n,	sua	medida;
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
53
No	triângulo	retângulo	ABH,	aplicando	o	Teorema	de	Pitágoras,	obtemos:
c²	=	h²	+	m²
h²	=	c²	–	m²
Aplicando	o	Teorema	de	Pitágoras	no	triângulo	retângulo	ACH,	obtemos:
b²	=	h²	+	n²
h²	=	b²	–	n²
Comparando	as	igualdades,	temos:
b²	-	n²	=	c²	-	m²
b²	=	c²	–	m²	+	n²
Sabendo	que	a	=	m	+	n,	podemos	substituir	n	por	a	-	m:
b²	=	c²	–	m²	+	(a	–	m)²
b²	=	c²	–	m²	+	a²	-	2am	+	m²
b²	=	a²	+	c²	–	2am
Do	triângulo	retângulo	ABH,	temos:
Então
b²	=	a²	+	c²	–	2a(c	∙	cos ^B)
E	assim:
A	 demonstração	 é	 análoga	 para	 a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ	 e	 para	
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ.
Obtemos,	então,	a	lei	dos	cossenos:
medida do cateto oposto ao ângulo cos = 
hipotenusa
a
a
cos ^B = m
c 
 m = c ∙ cos ^B
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
54
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
FONTE: A autora
Exemplo	1:
Calcule	a	medida	y	indicada	no	triângulo	a	seguir:
QUADRO 10 – LEI DOS COSSENOS
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das 
medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ
Resolução:
Aplicando	a	lei	dos	cossenos,	usando	a	=	12,	b	=	y,	c	=	8	e	
^
B	=	60°,	temos:
Logo,	a	medida	y	encontrada	é	4√7 cm.
b²	=	a²	+	c²	–	2	∙	a	∙	c	∙	cos
^
B
y²	=	12²	+	8²	–	2	∙	12	∙	8	∙	cos60°
y²	=	144	+	64	–	192	∙	1
																																			2
y²	=	208	–	96
y²	=	112
y	=	√112
y	=	4√7
TÓPICO 3 | TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER
55
Resolução:
Aplicando	a	 lei	dos	cossenos,	usando	a	=	12,	b	=	x,	c	=	16	e	
^
B	=	120°,	no	
triângulo	obtusângulo	ABC	da	figura,	temos:
Exemplo	2:
Determine	a	medida	x	da	diagonal	maior	do	paralelogramo	a	seguir:
Resposta:	A	medida	x	da	diagonal	maior	é	4√37cm.
b²	=	a²	+	c²	–	2	∙	a	∙	c	∙	cos
^
B
y²	=	12²	+	16²	–	2	∙	12	∙	16	∙	cos120°
y²	=	144	+	256	–	384	∙ 1
2
 
− 
 
2
2
y 400 192
y 592
y 592
y 4 37
= +
=
=
=
56
Neste tópico ampliamos os conceitos utilizados inicialmente no triângulo 
retângulo para os demais triângulos: acutângulo e obtusângulo.
É	importante	lembrar-se	das	relações	aqui	estabelecidas:
●	 Lei	dos	Senos
 a b c
sen ^A sen ^B sen ^C
= =
●	 Lei	dos	Cossenos
a² = b² + c² – 2 ∙ b ∙ c ∙ cosÂ
b² = a² + c² – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos ^B
c² = a² + b² – 2 ∙ a ∙ b ∙ cosĈ
RESUMO DO TÓPICO 3
57
AUTOATIVIDADE
Prezado(a)	 acadêmico(a),	 seguem	 algumas	 autoatividades	 que	 se	 destinam	 à	
averiguação	da	aprendizagem	deste	tópico	de	estudos.	Bom	trabalho!
1	(CASTRUCCI,	GIOVANNI	JR.,	2009,	p.	286)	São	cada	vez	mais	 frequentes	
construções	de	praças	cujos	brinquedos	são	montados	com	materiais	rústicos.	
A	figura	abaixo	mostra	um	brinquedo	simples	que	proporciona	à	criançada	
excelente	atividade	física.
FIGURA 3 - BRINQUEDO SIMPLES QUE PROPORCIONA À 
CRIANÇADA EXCELENTE ATIVIDADE FÍSICA
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr. (2009, p. 286)
Sabendo	que	as	distâncias	AB e AC	são	iguais	a	2	m	e	o	ângulo	BÂC	corresponde	
a	120°,	calcule	a	distância	BC.
2	Use	os	dados	da	Tabela	Trigonométrica	(no	Quadro	8)	e	calcule	os	valores	
aproximados	de	x.
a) b)
c)
58
3	 (GIOVANNI,	 BONJORNO,	 GIOVANNI	 JR.,	 2002,	 p.	 55)	 Um	 barco	 de	
pescadores	A	emite	um	sinal	de	socorro	que	é	recebido	por	dois	radioamadores,	
B	e	C,	distantes	entre	si	70	km.	Sabendo	que	os	ângulos	A
^
BC	e	AĈB	medem,	
respectivamente,	 64°	 e	 50°,	determine	qual	 radioamador	 se	 encontra	mais	
próximo	do	barco.	A	que	distância	ele	está	do	barco?	
4	O	ângulo	agudo	de	um	losango	mede	20°	e	seus	lados	medem	6	cm.	Calcule	
as	medidas	das	diagonais	(maior	e	menor)	do	losango.	
5	Num	triângulo	ABC,	são	dados	A	=	45°,	B	=	30°	e	a	+	b	=	√2	+	1.	Determine	o	
valor	de	a.
6	 (CASTRUCCI,	GIOVANNI	JR.,	2009,	p.	286)	Numa	fazenda	o	galpão	fica	50	m	
distante	da	casa.	Considerando	que	x	e	y	são,	respectivamente,	as	distâncias	
da	casa	e	do	galpão	ao	transformador	de	energia,	conforme	mostra	a	figura	a	
seguir,	calcule	as	medidas	x	e	y	indicadas.
FIGURA 4 – CALCULANDO AS MEDIDAS X E Y DA FIGURA
7	No	triângulo	ABC	abaixo,	sabe-se	que	cos	Â	=	1_
5
.	Nessas	condições,	calcule	o	
valor	de	x.
FONTE: Castrucci; Giovanni Jr., (2009, p. 286)
59
TÓPICO 4
TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
2 CONCEITOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA
2.1 ARCOS E ÂNGULOS
Nos	 tópicos	 anteriores	 estudamos	 algumas	 razões	 trigonométricas	
definidas	 para	 ângulo	 agudo	 no	 triângulo	 retângulo,	 tal	 qual	 ela	 surgiu	 há	
milhares	de	anos,	com	o	objetivo	de	resolver	triângulos.	Agora,	vamos	fazer	um	
estudo	mais	 abrangente	 de	 seno,	 cosseno	 e	 tangente,	 que	 é	 uma	 necessidade	
mais	recente	da	matemática.
 
Nesse	novo	contexto,	o	triângulo	retângulo	é	insuficiente	para	as	definições	
necessárias	e	temos	a	necessidade	de	ampliar	os	conceitos	da	Trigonometria	para	
um	 novo	 “ambiente”,	 denominado	 de	 circunferência	 trigonométrica	 ou	 ciclo	
trigonométrico.
Portanto,	neste	tópico	veremos	conceitos	necessários	para	este	novo	estudo,	
que,	por	sua	vez,	servirá	de	base	para	a	nossa	próxima	unidade.
Primeiramente,	 vamos	 elucidar	 alguns	 conceitos	 básicos	 da	 geometria	
necessários	para	a	compreensão	da	Circunferência	Trigonométrica.
2.1.1 Arcos
Consideremos	 uma	 circunferência	 qualquer	 de	 centro	O	 e	 raio	 r	 e	 dois	
pontos	distintos	sobre	ela,	A e B.	Note	que	os	pontos	A e B,	que	são	extremidades	
dos	arcos,	dividem	a	circunferência	em	duas	partes,	 sendo	que	cada	uma	delas	
chama-se	arco	da	circunferência.
Para	diferenciar	esses	arcos,	convencionamos	percorrer	a	circunferência	no	
sentido	anti-horário.
60
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Quando	as	extremidades	A e B	coincidem,	temos	um	arco de uma volta	ou	
um	arco nulo.
Se	A e B	 são	 extremidades	 de	 um	mesmo	diâmetro,	 temos	 um	 arco	 de	
meia-volta.
Portanto,	definimos:
FONTE: A autora
Arco	de	uma	circunferência	é	cada	uma	das	partes	em	que	uma	circunferência	
fica	dividida	por	dois	de	seus	pontos.
QUADRO 11 – DEFINIÇÃO DE ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
61
2.1.2 Ângulo central
Consideremos,	novamente,	uma	circunferência	de	centro	O	e	os	pontos	A	
e	B	pertencentes	a	ela.	Traçando	as	semirretas	OA
→
 e OB
→
,	determinamos	o	ângulo	
central	AÔB	e	o	arco	
(
AB.
A	medida	do	arco	
(
AB	corresponde	à	medida	do	ângulo	 central	AÔB	e	
vice-versa.
2.2 GRAU E RADIANO
2.2.1 Grau
Grau	e	radiano	são	unidades	de	medida	de	arcos	e	ângulos.
Se	dividirmos	uma	circunferência	em	360	partes	iguais,	teremos	360	arcos	
congruentes	e	cada	um	desses	arcos	é	chamado	de	arco de um grau (1°).
Portanto,	a	circunferência	é	um	arco	de	360°.
Os	submúltiplos	do	Grau
Quando	dividimos	um	arco	de	1°	em	60	arcos	congruentes,	cada	um	desses	
novos	arcos	é	denominado	de	arco de um minuto	(1´).
62
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Da	 mesma	 maneira,	 quando	 dividimos	 um	 arco	 de	 1´	 em	 60	 arcos	
congruentes,	cada	um	desses	novos	arcos	é	denominado	de	arco de um segundo 
(1´´).
Portanto,	1°	=	60´	e	1´=	60´´.
Se um arco tiver x graus, y minutos e z segundos, escrevemos:
x° y´z´´
NOTA
2.2.2 Radiano
Tomamos,	 inicialmente,	uma	circunferência	de	centro	O	e	raio	r	e;	nessa	
circunferência,	um	arco	de	comprimento	p,	sendo	a	a	medida	do	ângulo	central	
correspondente	a	esse	arco.
Dizemos	queo	arco	mede	1	radiano	(1	rad)	se	seu	comprimento	p	foi	igual	
ao	 comprimento	 r	 do	 raio.	O	 ângulo	 central	 correspondente	 será,	 também,	um	
ângulo	de	1	radiano.
p	=	r	<=>{p	=	1	rada	=	1	rad
Então,	para	 sabermos	 a	medida	de	um	arco	 em	 radianos,	 basta	 calcular	
quantas	vezes	o	raio	de	medida	r	“cabe”	nesse	arco	de	comprimento	p.	Isso	pode	
ser	obtido	quando	dividimos	p	por	r.
Simbolicamente,
p
ra	₌
Quando	o	arco	p	é	um	arco	de	uma	volta,	então	p	é	o	comprimento	C	da	
circunferência.	Como	C	=	2πr,	temos:
a	₌		p		₌		2πr	₌		2π
						r									r
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
63
Portanto,	a	circunferência	é	um	arco	de	2π	rad.	E,	como	o	ângulo	de	uma	
volta	tem	360°,	então:
2π	rad	=	360°	⇔	π	rad	=	180°
Exemplo	1:
Expressar	22°	30’	em	radianos.
Resolução:
Vamos	transformar	22°	30’	em	minutos:
22°	30’	=	22	•	60’	+	30	=	1320’	+	30’	=	1350’
Vamos	transformar	180°	em	minutos:
180°	=	180	•	60	=	10800’
Estabeleçamos,	portanto,	a	seguinte	proporção:
Logo,	22°	30’	correspondem	a	π
8
	radianos.
Exemplo	2:
Um	ciclista	fez	6	voltas	em	torno	de	uma	pista	circular,	com	o	raio	medindo	
18	m.	Determine	a	distância	percorrida	pela	bicicleta.	(Use	π	=	3,14).
Resolução:
O	comprimento	da	circunferência	é	dado	por:	
C	=	2πr
C	=	2	•	3,14	•	18	
C	=	113,04	m	
Em	6	voltas,	temos:
d	=	6C	
d	=	6	•	113,	04
d	=	678,24	m	
Logo,	a	distância	percorrida	pela	bicicleta	foi	de	678,24	m.
10800'									π	rad
1350'									x
10800
1350 x
8x
x
8
π
=
= π
π
=
64
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Exemplo	3:
Determine	 a	medida	 do	menor	 ângulo	 formado	 pelos	 ponteiros	 de	 um	
relógio	às	8h20min.	(GIOVANNI;	BONJORNO;	GIOVANNI	JR.,	2002,	p.	249).
Resolução:
Vamos	considerar:	
a	=	medida	do	ângulo	solicitado.
x	=	medida	do	ângulo	descrito	pelo	ponteiro	das	horas	em	20	minutos,	a	
partir	das	8h.
E	assim,
a	=	x	+	120°
a	=	10°	+	120°
a	=	130°
Que	a	medida	do	menor	ângulo	formado	pelos	ponteiros.
O	mostrador	do	 relógio	 é	dividido	 em	12	partes	 iguais.	Por	 isso,	 o	 arco	
compreendido	entre	dois	números	consecutivos	mede	 360 30
12
°
= ° .
Assim,	a	=	x	+	120°.
Como	a	cada	60	minutos	de	tempo	o	ponteiro	das	horas	percorre	30°:
60	min	→	30°
20	min	→	x
60 30
20 x
30 . 20x
60
x 10
°
=
°
=
= °
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
65
Existe outra unidade de medida de ângulos além das que abordamos. O Grado 
é uma unidade de medida de ângulos equivalente a 
 π
200
 
radianos ou 0,9 grau. O símbolo 
internacional para esta unidade é “gon”, mas outros símbolos já foram usados no passado: “gr”, 
“grd” e “g”. O termo “grado” tem origem no francês, grade, e embora utilizado por alguns países, 
ele não faz parte do sistema internacional de unidades.
ATENCAO
Acerca	de	elementos	geométricos	relacionados	com	a	Astronomia	pouco	
se	conhece.	Sabe-se	que	Aristarco	propôs	um	sistema	que	tinha	o	Sol	como	centro	
pelo	menos	1500	antes	de	Copérnico,	no	entanto	este	material	histórico	se	perdeu	
na	noite	do	tempo.	O	que	ficou,	do	ponto	de	vista	histórico,	foi	um	tratado	escrito	
por	volta	de	260	a.C.	envolvendo	tamanhos	e	distância	do	Sol	e	da	Lua.
A	divisão	do	círculo	em	360	partes	iguais	aparece	mais	tarde	e	não	existe	
qualquer	 razão	 científica.	 Talvez	 exista	 uma	 razão	 histórica	 que	 justifique	 a	
existência	de	tal	número	no	contexto	de	estudos	do	povo	babilônio,	que	viveu	
entre	 4000	 a.C.	 e	 3000	 a.C.	 Este	 povo	 realizava	 muitos	 estudos	 no	 trato	 de	
terrenos	pantanosos	e	construções	de	cidades	e	tinha	interesse	pela	Astronomia,	
assim	como	pela	sua	relação	com	conceitos	religiosos	(eram	politeístas)	e,	para	
viabilizar	 tais	procedimentos,	 criaram	um	sistema	de	numeração	 com	base	 60	
(sistema	sexagesimal).
Não	se	sabe	ao	certo	quais	as	razões	pelas	quais	foi	escolhido	o	número	
360	para	se	dividir	a	circunferência,	sabe-se	apenas	que	o	número	60	é	um	dos	
números	menores	do	que	100	que	possui	uma	grande	quantidade	de	divisores	
distintos,	a	saber:	1,	2,	3,	4,	5,	6,	10,	12,	15,	20,	30,	60,	razão	forte	pela	qual	este	
número	tenha	sido	adotado.
O	primeiro	astrônomo	grego	a	dividir	o	círculo	em	360	partes	foi	Hipsicles	
(180	 a.	 C.),	 seguido	 pelos	 caldeus.	 Por	 volta	 de	 150	 a.	 C.	 encontramos	 uma	
generalização	de	Hiparco	para	este	procedimento.
Dividir	 um	 círculo	 em	 6	 partes	 iguais	 era	 algo	 muito	 simples	 para	 os	
especialistas	 daquela	 época	 e	 é	 possível	 que	 se	 tenha	 usado	 o	 número	 60	 para	
representar	1/6	do	total,	que	passou	a	ser	360.
Outro	 fato	que	pode	 ter	 influenciado	na	escolha	do	número	360	é	que	o	
movimento	de	 translação	da	Terra	em	volta	do	Sol	se	realizava	em	um	período	
de	aproximadamente	360	dias,	o	que	era	uma	estimativa	razoável	para	a	época.	
2.2.3 Notas históricas sobre o grau e o radiano
66
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Hiparco	mediu	 a	 duração	do	 ano	 com	grande	 exatidão	 ao	 obter	 365,2467	 dias,	
sendo	que	atualmente	esta	medida	corresponde	a	365,2222	dias.
Nosso	 entendimento	 é	 que	 o	 sistema	 sexagesimal	 (base	 60)	 tenha	
influenciado	a	escolha	da	divisão	do	círculo	em	360	partes	iguais,	assim	como	a	
divisão	de	 cada	uma	dessas	partes	 em	60	partes	menores	e	 também	na	divisão	
de	cada	uma	dessas	 subpartes	em	60	partes	menores.	Uma	garantia	para	 isto	é	
que	 os	 babilônios	 usavam	 frações	 com	 potências	 de	 60	 no	 denominador.	 As	
frações	sexagesimais	babilônicas,	usadas	em	traduções	árabes	de	Ptolomeu,	eram	
traduzidas	como:
“primeiras	menores	partes”	=	sexagésimos
“segundas	menores	partes”	=	sexagésimos	de	sexagésimos
Quando	 tais	 palavras	 foram	 traduzidas	 para	 o	 Latim,	 que	 foi	 a	 língua	
internacional	dos	intelectuais	por	muito	tempo,	passamos	a	ter:
“primeiras	menores	partes”	=	partes	minutae primae.
“segundas	menores	partes”	=	partes	minutae secundae.
De	onde	apareceram	as	palavras	minuto	e	segundo.	De	um	modo	popular,	
usamos	a	unidade	de	medida	de	ângulo	com	graus,	minutos	e	segundos.	
Na	verdade,	a	unidade	de	medida	de	ângulo	do	Sistema	Internacional	é	o	
radiano,	que	foi	uma	unidade	alternativa	criada	pelo	matemático	Thomas	Muir	e	o	
físico	James	T.	Thomson,	de	uma	forma	independente.	Na	verdade,	o	termo	radian 
apareceu	pela	primeira	vez	num	trabalho	de	Thomson	em	1873.	
Em	1884,	muitos	cientistas	ainda	não	usavam	este	 termo.	Outros	 termos	
para	o	radiano	eram:	Pi-medida,	circular	ou	medida	arcual,	o	que	mostra	a	forma	
lenta	como	uma	unidade	é	implementada	ao	longo	do	tempo.(	VIANA;	TOFFOLI;	
SODRE,	2010).
3 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Denomina-se	circunferência	 trigonométrica	 (ou	circunferência	unitária)	a	
circunferência	orientada	cujo	raio	é	1	unidade	de	comprimento	e	na	qual	o	sentido	
positivo	é	o	anti-horário.
Vamos	 associar	 à	 circunferência	 unitária	 de	 centro	 na	 origem	 O(0,0)	
um	 sistema	 de	 coordenadas	 cartesianas	 ortogonais,	 fixando	 o	 ponto A,	 com	
coordenadas	em	(0,1),	como	origem	dos	arcos,	conforme	a	figura	a	seguir.
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
67
Os	 eixos	 do	 sistema	 cartesiano	 dividem	 o	 ciclo	 em	 quatro	 partes	
(quadrantes),	numerados	de	1	a	4	a	partir	de	OA,	no	sentido	positivo.
Dizemos	que	um	ponto	do	ciclo	pertence	ao	primeiro	quadrante	se	estiver	
entre	A e B;	ao	segundo	se	estiver	entre	B e A’;	ao	terceiro	se	estiver	entre	A’ e B’;	
e	ao	quarto	se	estiver	entre	B’ e A.
Portanto,	um	arco	AP	do	ciclo	trigonométrico,	de	medida	x,	com	0°	≤	x	≤	
360°	ou	0	rad	≤	x	≤	2π	rad,	tem	a	extremidade	P	pertencente	a	um	dos	quadrantes	
segundo	as	desigualdades:
68
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Como	no	ciclo	trigonométrico	o	raio	é	unitário,	então	a	=	p,	ou	seja,	a	medida	
a	do	arco	ou	do	ângulo	central	corresponde,	em	radianos,	ao	comprimento	p	do	arco.
Assim,	 podemos	 associar	 a	 cada	 númeroreal	a	 um	 único	 arco	
(
AP,	 de	
origem	A	e	extremidade	P,	e	vice-versa.
P	є	1º	Quadrante	se	0°	<	x	<	90°	ou	0	rad	<	x	<	π	rad
																																																																																	2
P	є	2º	Quadrante	se	90°	<	x	<	180°	ou	π	rad	<	x	<	π	rad
																																																																		2
P	є	3º	Quadrante	se	180°	<	x	<	270°	ou	π	rad	<	x	<	3π	rad
																																																																																									2
P	є	4º	Quadrante	se	270°	<	x	<	360°	ou	3π	rad	<	x	<	2π	rad
																																																																					2
• Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados 
pontos dos quadrantes.
• Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência unitária, temos:
-1 ≤ x ≤ 1 e -1 ≤ y ≤ 1.
NOTA
3.1 ARCOS CONGRUENTES
Dois	 arcos	 são	 congruentes	 ou	 côngruos	 quando	 possuem	 a	 mesma	
extremidade	 e	 se	 diferem	 apenas	 pelo	 número	 de	 voltas	 inteiras,	 ou	 seja,	 em	
múltiplos	de	2π,	que	corresponde	ao	comprimento	de	cada	volta.
Como	exemplo,	vamos	representar	os	arcos	de	45°,	405°,	765°,	-315°	e	-675°	
no	ciclo	trigonométrico:
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
69
Note,	pelas	figuras,	que	todos	têm	a	mesma	origem	e	a	mesma	extremidade,	
ou	seja,	são	côngruos.	Perceba,	também,	que	eles	se	diferem	apenas	pelo	número	
de	voltas	completas,	pois	
•	 45°	+	360°	=	405°;
•	 45°	+	2	•	360°	=	765°;
•	 45°	-	360°	=	-315°;
•	 45°	-	2	•	360°	=	-675°.
 
Podemos	representar	o	arco	de	45°,	bem	como	todos	seus	arcos	côngruos,	
pela	expressão	45°	+	k	•	360°,	com	k	є	Z, sendo	k	o	número	de	voltas	completas.
Pelo	exposto,	podemos	definir:
FONTE: A autora
QUADRO 12 - DEFINIÇÃO DE ARCOS CÔNGRUOS OU CONGRUENTES 
Dois	arcos	são	côngruos	ou	congruentes	quando	têm	a	mesma	extremidade	e	
diferem	apenas	pelo	número	de	voltas	inteiras.	
Assim:
•	 Se	um	arco	mede	a	graus,	podemos	expressar	todos	os	arcos	côngruos	a	ele	pela	
expressão	a	+	k	•	360°,	onde	k	є	Z.
•	 Se	um	arco	mede	a	radianos,	podemos	escrever	todos	os	arcos	côngruos	a	ele	
pela	expressão	a	+	k	•	2πrad,	onde	k	є	Z.
70
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Exemplo	1:
Determine	 em	 qual	 quadrante	 situam-se	 as	 extremidades	 dos	 seguintes	
arcos:
a)	72°
Resposta:	1º	quadrante,	pois	0°	<	72°	<	90°.
b)	1280°
Resolução:	1280°	=	200°	+	3	•	360°
Resposta:	3º	quadrante,	pois	180°	<	200°	<	270°.	
c)	-	300°
Resolução:	Como	este	arco	está	na	primeira	volta	negativa,	basta	fazer	-	300°	+	360°	=	60°.
Resposta:	1º	quadrante,	pois	0°	<	60°	<	90°.
3.2 DETERMINAÇÃO PRINCIPAL DE UM ARCO
Se	um	arco	mede	a	graus,	então	um	arco	β	é	chamado	de	determinação	
principal	de	a	ou	de	1ª	determinação	positiva	de	a	se:
•	 0°	≤	β	<	360°	ou	0	rad	≤	β	<	2π
•	 β	é	côngruo	a	a.
Exemplo	1:
Calcule	a	1ª	determinação	positiva	e	escreva	a	expressão	geral	dos	arcos	côngruos	
ao	arco	de	1690°.
Resolução:
1690°	=	250°	+	4	•	360°	
Onde:	
250°	=	1ª	determinação	positiva	
4	=	número	de	voltas	completas	
Portanto,	a	1ª	determinação	positiva	é	250°	e	a	expressão	geral	é	a	=	250°	+	k	•	360°,	k	є	Z.
 
Exemplo	2:
Calcular	a	determinação	principal	e	escrever	a	expressão	geral	dos	arcos	côngruos	
a	25π
			4
	rad.
Resolução:
Basta	dividirmos	25π
			4
	rad	por	2π	rad.	Assim:
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
71
Onde:
π
4
	rad	=	1ª	determinação	positiva	
3	=	número	de	voltas	completas	
Portanto,	a	1ª	determinação	positiva	é	π
4
	rad	e	a	expressão	geral	é	a	=	π
4
	rad	+	
k	•	2π,	k	є	Z.
25π
		4			₌	25π	.		1		₌			25π		₌	25	₌	3	+	1
	2π						4					2π						8π						8											8	
											Portanto,
 
25 13 . 2
4 8
25 13 2 2
4 8
25 3 2
4 4
π
π
π
π π
π π
π
 
= + 
 
= ⋅ + ⋅
= ⋅ +
3.3 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA 
TRIGONOMÉTRICA
Até	 agora,	 operamos	 com	os	valores	de	 sen	 x,	 cos	 x	 e	 tg	 x	no	 triângulo	
retângulo,	onde	x	representa	a	medida	de	um	ângulo	agudo.	Mas	o	que	acontece	
se	x	for	a	medida	de	um	ângulo	superior	a	90°?
Para	responder	a	esta	questão,	é	preciso	ampliar	os	conceitos	estudados	no	
triângulo	retângulo,	levando-os	à	circunferência	trigonométrica.
3.3.1 Seno
Vamos	considerar	na	circunferência	trigonométrica,	o	arco	
(
AP	cuja	medida	
corresponde	ao	ângulo	central	x	e	o	segmento	OP',	que	é	a	projeção	do	raio	OP
sobre	o	eixo	das	ordenadas	(eixo	vertical),	conforme	a	figura	a	seguir:
72
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
O	eixo	vertical,	suporte	de	OP',	é	denominado	eixo dos senos.
Definimos	como	seno	do	arco	
(
AP	ou	sen x	a	medida	de	OP'	e	indicamos:
senx	=	OP'
Note	que	esta	definição	coincide	com	a	que	demonstramos	anteriormente	
para	o	triângulo	retângulo.
OP'	₌	sen	x
De	 fato,	 se	 considerarmos	 o	 triângulo	 OPP'	 da	 figura	 acima,	 veremos	
que	med(OPP') ₌ x
^
,	pois	OPP'^ 	e	AÔP	são	ângulos	alternos	internos,	e	 PP' // OA
→← →←
.	
Aplicando	a	definição	anterior,	temos:
medida do cateto oposto ao ângulo sen
hipotenusa
a
a =
OP'senx
OP
OP'sen
1
senx OP'
=
=
=
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
73
Esta	definição	 é	 importante,	pois	nos	permite	 encontrar	valores	de	 seno	
em	ângulos	maiores	que	90°	ou	que	360°	e	até	de	ângulos	com	medidas	negativas.
Valores	importante	de	sen	x
Marcando	os	pontos	P,	imagens	dos	números	reais	0	rad,		π
 2
	rad,	π	rad,		3π
 2
 
rad	e	2π	rad,	temos:
QUADRO 13 - VALORES IMPORTANTES DE SEN X
FONTE: A autora
Vimos,	anteriormente,	que
1 2 3sen30 , sen45 = e sen60 =
2 2 2
° = ° ° ,	e	que	esses	
valores	são	chamados	de	notáveis,	devido	à	sua	frequente	utilização	nos	cálculos.
Utilizando	esses	valores	e	traçando	a	simetria	das	extremidades	dos	arcos	
em	 relação	 aos	 eixos	 e	 ao	 centro	 da	 circunferência	 trigonométrica,	 obtemos	 os	
valores	de	outros	ângulos,	também	muito	utilizados.
74
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Desta	forma,	podemos	relacionar	o	seno	de	um	arco	de	qualquer	quadrante	
com	valores	do	primeiro	quadrante,	isto	é,	estaremos	fazendo	uma	Redução	ao	1º	
Quadrante.
Do	exposto,	podemos	dizer	que:
•	 redução	 do	 segundo	 quadrante	 para	 o	 primeiro	 quadrante:	 dois	 arcos	
suplementares	x	e	180°	-	x	têm	senos	iguais,	ou	seja,	
sen (180° – x) = sen x				ou				sen (π– x) = sen x;
•	 redução	do	terceiro	quadrante	para	o	primeiro	quadrante:	os	arcos	x	e	180°	+	x	
têm	senos	simétricos,	ou	seja,	
sen (180° + x) = -sen x		ou		sen (π + x) = -sen x;
•	 redução	do	quarto	quadrante	para	o	primeiro	quadrante:	os	arcos	x	e	360°	-	x	têm	
senos	simétricos,	ou	seja,	
sen (360° – x) = -sen x 	ou	sen (2π – x) = -sen x.
0
3
2
−
3
2
2-
2
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
75
Vale	observar	que	360°	–	x	e	-x	são	côngruos,	portanto,	podemos	escrever:
sen (360° – x) = sen (-x) = -sen x.
Exemplo	1:
Calcule	sen	1830°.
Resolução:	
Calculando	a	1ª	determinação	positiva,	temos:	
1830°	=	30°	+	5	•	360°
Onde:
30°	corresponde	ao	valor	que	falta	para	atingir	a	meia-volta;
5	é	o	número	de	voltas	completas;
Então,	sen	1830°	=	sen	30°	e	portanto,	sen	1830°	=	
1_
2
.
Exemplo	2:
Calcule	sen	5π.
5π	=	π	+	2	•	2π
Onde:
π	corresponde	ao	valor	que	falta	para	atingir	a	meia-volta;
2	é	o	número	de	voltas	completas;
Assim,	sen	5π	=	sen	π	e,	portanto,	sen	5π	=	0.
3.3.2 Cosseno
Vamos	considerar	na	circunferência	trigonométrica,	o	arco	
(
AP	cuja	medida	
corresponde	ao	ângulo	central	x	e	o	segmento	OP",	que	é	a	projeção	do	raio	OP 
sobre	o	eixo	das	abscissas	(eixo	horizontal).
76
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
medida do cateto adjacente ao ângulo cos =
hipotenusa
OP''cosx
OP
OP''cosx
1
cosx OP''
a
a
=
=
=
O	eixo	horizontal,	suporte	de	OP",	é	denominado	eixo dos cossenos.Definimos	como	cosseno	do	arco	
(
AP	ou	cos x	a	medida	de	OP	e	indicamos:
cos	x	=	OP"
Note	que	esta	definição	coincide	com	a	que	demonstramos	anteriormente	
para	o	triângulo	retângulo.
De	 fato,	 se	 considerarmos	 o	 triângulo	OPP"	 da	 figura	 acima,	 veremos	 que	
med(OPP")	=	x	e,	aplicando	a	definição	anterior,	temos:
OP" ₌ cos x
Esta	definição	é	importante,	pois	nos	permite	encontrar	valores	de	cosseno	
em	ângulos	maiores	que	90°	ou	que	360°	e	até	de	ângulos	com	medidas	negativas.
Valores	importantes	de	cos	x
Marcando	os	pontos	P,	imagens	dos	números	reais	0	rad,		π
 2
	rad,	π	rad,	
	3π
 2
	rad	e	2π	rad,	temos:
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
77
QUADRO 14 - VALORES IMPORTANTES DE COS X
FONTE: A autora
Vimos,	anteriormente,	que
3 2 1cos30 , cos45 = e cos60 =
2 2 2
° = ° ° ,	e	que	esses	
valores	são	chamados	de	notáveis,	devido	à	sua	frequente	utilização	nos	cálculos.
Utilizando	esses	valores	e	traçando	a	simetria	das	extremidades	dos	arcos	
em	 relação	 aos	 eixos	 e	 ao	 centro	 da	 circunferência	 trigonométrica,	 obtemos	 os	
valores	de	outros	ângulos,	também	muito	utilizados.
3-
2
3
2
2-
2
2
2
78
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Desta	 forma,	 podemos	 relacionar	 o	 cosseno	 de	 um	 arco	 de	 qualquer	
quadrante	 com	 valores	 do	 primeiro	 quadrante,	 isto	 é,	 estaremos	 fazendo	 uma	
Redução	ao	1º	Quadrante.
Do	exposto,	podemos	dizer	que:
•	 redução	 do	 segundo	 quadrante	 para	 o	 primeiro	 quadrante:	 dois	 arcos	
suplementares	x	e	180°	-	x	têm	cossenos	simétricos,	ou	seja,	
cos (180° – x) = -cos x		ou	 	cos (π – x) = -cos x;
•	 redução	do	terceiro	quadrante	para	o	primeiro	quadrante:	os	arcos	x	e	180°	+	x	
têm	cossenos	simétricos,	ou	seja,	
cos (180° + x) = -cos x		ou		 cos (π + x) = -cos x;
•	 redução	do	quarto	quadrante	para	o	primeiro	quadrante:	os	arcos	x	e	360°	-	x	têm	
cossenos	iguais,	ou	seja,	
cos (360° – x) = cos x		ou		 cos (2π – x) = cos x.
Vale	observar	que	360°	– x	e	-x	são	côngruos,	portanto,	podemos	escrever:
cos (360° – x) = cos (-x) = cos x.
Exemplo	1:	
Calcule	cos	13π.
Resolução:
13π	=	π	+	6	•	2π
A	1ª	determinação	do	ângulo	é	π.	Portanto,	cos	13π	=	cos	π	e	cos	13π	=	-1.
Exemplo	2:
Calcule	cos	120°.
1
2
1-
2
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
79
Resolução:	
Como	a	extremidade	de	um	arco	de	120°	pertence	ao	segundo	quadrante,	
usamos	a	redução	do	segundo	quadrante	para	o	primeiro:
cos	x	=	-cos	(180°	–	x)
cos	120°	=	-cos	(180°	-	120°)
cos	120°	=	-cos	60°
cos	120°	=	_		1
				2
Exemplo	3:	
Simplifique	a	expressão	B	=	sen	(900°	–	a)	+	cos	(1980°	+	a)	+	sen	(1440°	–	a).
Resolução:
Sabemos	que:	
900°	=	180°	+	2	•	360°
1980°	=	180°	+	5	•	360°
1440°	=	4	•	360°	=	0°	+	4	•	360°
Logo:
sen	(900°	–	a)	=	sen	(180°	–	a)	=	sen	a
cos	(1980°	+	a)	=	cos	(180°	+	a)	=	-cos	a
sen	(1440°	–	a)	=	sen	(360°	–	a)	=	-sen	a
 
Substituindo	na	expressão,	temos:
B	=	sen	a	–	cos	a	-	sen	a
B	=	-cos	a
Assim,	pode-se	simplificar	a	expressão	escrevendo	B	=	-cos	a.
3.3.3 Tangente
Consideremos,	na	circunferência	trigonométrica,	o	arco	
(
AP	cuja	medida	é	
x,	sendo	o	eixo	com	origem	no	ponto	A,	vertical	e	orientado	para	cima,	e	o	ponto	
T,	que	é	a	intersecção	deste	eixo	com	a	reta	suporte	do	raio	OP.
80
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
O	eixo	vertical,	suporte	de	AT,	é	denominado	eixo das tangentes.
Definimos	como	tangente	do	arco	
(
AP	ou	tg x	a	medida	de	AT	e	indicamos:
tgx = AT
Perceba	 que	 o	 ponto	 T	 só	 existe	 se	 P	≡	B e P	≡	B'.	 Como	 B	 e	 B’	 são	
extremidades	de	arcos	da	forma	π + k . π
2
,	k	є	Z,	então	a	tangente	de	x	só	é	definida	
se	x	є	R	e	x	≠ π + k . π
2
,	k	є	Z.
Veja	que	esta	definição	coincide	com	a	que	demonstramos	anteriormente	
para	o	triângulo	retângulo.
De	fato,	se	considerarmos	o	triângulo	OAT	da	figura	acima,	veremos	que	
med	(AÔT)	=	x e,	aplicando	a	definição	anterior,	temos:
Esta	definição	é	importante,	pois	nos	permite	encontrar	valores	da	tangente	
em	ângulos	maiores	que	90°	ou	que	360°	e	até	de	ângulos	com	medidas	negativas.
Valores importantes de tg x
medida do cateto oposto ao ângulo tg
medida do cateto adjacente ao ângulo 
ATtgx
OA
ATtgx
1
tgx AT
a
a =
a
=
=
=
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
81
Marcando	os	pontos	P,	imagens	dos	números	reais	0	rad,		π
 2 
rad,	π	rad,		3π
 2rad	e	2π	rad,	temos:
QUADRO 15 - VALORES IMPORTANTES DE TG X
FONTE: A autora
Vimos,	 anteriormente,	 que	
3tg30 , tg45 =1 e tg60 = 3
2
° = ° ° ,	 e	 que	 esses	
valores	são	chamados	de	notáveis,	devido	à	sua	frequente	utilização	nos	cálculos.
Utilizando	esses	valores	e	traçando	a	simetria	das	extremidades	dos	arcos	
em	 relação	 aos	 eixos	 e	 ao	 centro	 da	 circunferência	 trigonométrica,	 obtemos	 os	
valores	de	outros	ângulos,	também	muito	utilizados.
82
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Desta	 forma,	 podemos	 relacionar	 a	 tangente	 de	 um	 arco	 de	 qualquer	
quadrante	com	valores	do	primeiro	quadrante,	 isto	é,	estaremos	efetuando	uma	
Redução	ao	1º	Quadrante.
Do	exposto,	podemos	dizer	que:
•	 redução	do	segundo	quadrante	para	o	primeiro	quadrante:	
tg (180° – x) = -tg x		 ou	 	tg (π – x) = -tg x;
•	 redução	do	terceiro	quadrante	para	o	primeiro	quadrante:	
tg (180° + x) = tg x ou tg (π + x) = tg x;
•	 redução	do	quarto	quadrante	para	o	primeiro	quadrante:	
tg (360° – x) = -tg x		 ou		 tg (2π – x) = -tg x.
Exemplo	1:
Determine	o	valor	da	tangente	de	um	arco	de	120°.
Resolução:
Fazendo	a	redução	ao	1º	Quadrante:
tg	x	=	-tg	(180°	–	x)
tg	120°	=	-tg	(180°	–	120°)
tg	120°	=	-tg	60°
tg	120°	=	– √3 
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
83
25
25 1 25 1 24 13 . 4
2 3 2 6 6 6
π
π +
= = = = +
π π
Assim,
25 1 4 . 2
3 6
25 1 2 4 2
3 6
25 4 2
3 3
25Logo, tg tg 3.
3 3
π
π
π
π π
π π
π
π π
 
= + 
 
= ⋅ + ⋅
= + ⋅
= =
LEITURA COMPLEMENTAR
COMO MEDIR DISTÂNCIAS NO ESPAÇO
José	Roberto	V.	Costa
Hiparco	e	a	distância	da	Lua
Para	medir	a	distância	da	Terra	à	Lua,	Hiparco	(190-120	a.C.)	não	precisou	
nem	mesmo	 do	 diâmetro	 da	 Terra.	 Ele	 imaginou	 uma	 geometria	 com	 a	 qual,	
durante	um	eclipse	lunar,	 isto	é,	quando	a	Terra	fica	exatamente	entre	o	Sol	e	a	
Lua,	seria	possível	calcular	a	distância	da	Terra	à	Lua.
Hiparco	 foi	 um	 dos	 maiores	 astrônomos	 gregos	 e	 entre	 suas	 muitas	
contribuições	 estão	 os	 fundamentos	 da	 trigonometria.	 Aliás,	 sua	 construção	
geométrica	baseia-se	justamente	na	medida	de	ângulos.
Acompanhe	 o	 diagrama	 a	 seguir.	 Hiparco	 imaginou	 dois	 triângulos	
retângulos,	cujas	hipotenusas	ligariam	o	centro	da	Terra	às	bordas	do	disco	solar	e	
lunares,	por	ocasião	de	um	eclipse	da	Lua.
Exemplo	2:
Determine	o	valor	da	tangente	de	um	arco	de	25π
 3
	rad.
Resolução:
Calculando	a	1ª	determinação,
84
UNIDADE 1 | TRIGONOMETRIA: PARTE I
Podemos	notar	que	a	duração	de	um	eclipse	 lunar	é	equivalente	a	duas	
vezes	o	ângulo	d.	Vamos	escrever	nossa	primeira	equação:	2 • d = T1.	O	período	
orbital	da	Lua,	ou	seja,	o	tempo	que	ela	gasta	para	completar	uma	volta	(360°)	em	
torno	da	Terra	já	era	conhecido.
Vamos	representá-lo	como	T2	e	escrever	a	segunda	equação:	360 = T2.	Como	
podemos	medir	o	 tempo	T1,	 a	única	variável	 é	d,	 obtida	 com	as	duas	 equações	
numa	regra	de	três	simples	e	direta.
O	ângulo	c	é	chamado	semidiâmetro	do	Sol,	ou	seja,	a	metade	do	ângulo	
pelo	qual	vemos	o	disco	solar.	O	ângulo	a	é	tão	pequeno	que	pode	ser	desprezado,	
ele	representa	a	metade	do	ângulo	pelo	qual	um	observador	no	Sol	veria	a	Terra.
Dos	estudos	de	trigonometria	básica	extraímos	a	propriedade	pela	qual	a + 
b = c + d.	Como	a	é	muito	pequeno,	basta-nos	escrever	b = c + d.
A engenhosa geometria que Hiparco utilizoupara medir a distância
Terra-Lua é trivial para qualquer bom aluno do Ensino Médio.
Mas	o	que	Hiparco	queria	mesmo	era	X,	você	concorda?	Note	que	o	seno	
de b	 será	R
X
.	 Se	ele	 calculasse	b	 obteria	o	 seu	seno,	 consultando	as	velhas	 tábuas	
trigonométricas.
Sol, Terra e Lua não estão em escala
TÓPICO 4 | TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA
85
Sobraria	R,	o	raio	da	Terra.	Hiparco	também	poderia	expressar	o	resultado	
como	uma	função	de	R,	isto	é,	quantos	raios	da	Terra	existem	até	a	Lua	–	o	que	já	
seria	um	excelente	resultado.
O	resultado	de	Hiparco	foi	um	valor	de	X	entre	62	e	74	vezes	R.	O	valor	real	
fica	entre	57	e	64,	mas	seu	erro	é	justificável	face	à	precisão	requerida	nas	medidas	
angulares.	Acima	de	tudo,	que	método	elegante,	que	conclusão	arrebatadora!
COSTA, J. R. V. Hiparco e a distância da Lua. Disponível em: <http://www.zenite.nu/>. Acesso em: 
26 maio 2010.
86
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico revemos alguns conceitos da geometria na circunferência, 
que auxiliaram na compreensão dos conceitos de seno, cosseno e tangente, 
quando ampliados à circunferência unitária.
1	O	grau	e	seus	submúltiplos	(minutos	e	segundos):
	 1°	=	60’	
	 1´=	60’’
	 1°	=	3600’’	
2	Grau	e	radiano:
	 2π	rad	=	360°	⇔		π	rad	=	180°
3	Ciclo	trigonométrico	(raio	=	1):
4	Dois	arcos	são	côngruos	ou	congruentes	quando	têm	a	mesma	extremidade	e	se	
diferem	apenas	pelo	número	de	voltas	inteiras.	Podemos	expressar	por:	a	+	k	• 
360°,	onde	k	є	Z,	ou	por	a	+	k	• 	2π,	onde	k	є	Z.
5	Valores	notáveis	de	seno,	cosseno	e	tangente:
87
FONTE: A autora
QUADRO 16 – VALORES NOTÁVEIS DE SENO, COSSENO E TANGENTE
x sen x cos x tg x x sen x cos x tg x
0 0 1 0
π
2 = 90° 1 0
Não	é	
definida
π
6 = 30°
1
2
√3
	2
√3
	3
π = 180° 0 -1 0
π
4 = 45°
√2
	2
√2
	2
1
3π
 2 -1 0
Não	é	
definida
π
3 = 60°
√3
	2
1
2 √3 2π = 360° 0 1 0
88
a) rad
2
11b) rad
6
5c) rad
4
8d) rad
3
π
π
π
π
Prezado(a)	 acadêmico(a),	 seguem	 algumas	 autoatividades	 que	 se	 destinam	 à	
averiguação	da	aprendizagem	deste	tópico	de	estudos.	Bom	trabalho!
1	Converta	em	radianos:	
a)	1040°
b)	156°	
c)	210°
d)	15°	52’	
2	Determine	a	medida,	em	graus,	equivalente	a:
AUTOATIVIDADE
3	Calcule,	em	graus,	o	menor	ângulo	formado	pelos	ponteiros	de	um	relógio,	
nos	seguintes	casos:
 
a)	2h	15min
b)	9h	10min
4	Determine,	 em	 radianos,	 a	 medida	 de	 um	 arco	 de	 circunferência	 cujo	
comprimento	mede	60	m	e	o	diâmetro	dessa	circunferência,	40	m.
5	Determine	os	quadrantes	a	que	pertencem	as	extremidades	dos	seguintes	arcos:
a)	20°
b)	1430°
c)	–	550°
d)	 25 rad
4
π
e)	
11 rad
4
π
−
89
6	Identifique	se	os	seguintes	arcos	são	congruentes:
a)	19π	e	55π
b)	3645°	e	5445°
7	Calcule	a	determinação	principal	dos	arcos	de	medida:	
a)	4120°
b)	–	4550°
c)	
47 rad
6
π
d)	
67 rad
6
π
8	Dê	os	valores	de	seno	e	cosseno	dos	seguintes	arcos:
a)	390°
b)	10305°
c)	3π	rad
d)	 15 rad
2
π
9	Simplifique	a	expressão	,	 sen(180 x) cos(180 x)E
sen(360 x)
° − + ° +
=
° −
com	sen(360°	-	x)	≠	
0.
10	Determine	o	valor	da	tangente	dos	seguintes	arcos:
a)	tg	135°
b)	tg	210°
c)	
5tg rad
6
π
d)	
4tg rad
3
π