material Fisica I IMT 1°bi

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

A06 Momento da Força.pdf
Momento da Força
TEORIA - AULA A-06
Física I - EFB205
A1-Forças.pdf
Forças nos sistemas mecânicos
TEORIA - AULA A1
Física I - EFB205
1
Forças nos sistemas mecânicos
2
Determinar as forças nos sistemas mecânicos é 
fundamental para o estudo da Estática e da Dinâmica 
dos corpos.
Podemos definir força como o agente físico capaz de 
mudar o estado de movimento de um corpo
Forças nos sistemas mecânicos
3
Sistema e Vizinhança
1) Identificar o corpo ou 
sistema de corpos que 
interessa estudar.
2) Reconhecer a vizinhança 
e as interações com ela.
3) Vínculo é a conexão 
entre dois corpos.
Corpo 
estudado
Vizinhança
Corpo na 
vizinhança
Corpo na 
vizinhança
Forças nos sistemas mecânicos
4
Roda dianteira da bicicleta
1) Sistema – Roda dianteira.
2) Vizinhança:
Chão,
Suporte do eixo,
Sapatas do freio,
Planeta (Campo gravitacional).
Forças nos sistemas mecânicos
5
Corpo sendo içado
1) Sistema – Corpo sendo 
içado.
2) Vizinhança:
Cabos,
Planeta (Campo gravitacional).
Forças nos sistemas mecânicos
6
Haste de uma plataforma 
elevatória
1) Sistema – Haste.
2) Vizinhança:
Pinos,
Planeta (Campo gravitacional)
Suporte eixo girante.
3ª lei de Newton
7
Ação e reação
Corpos e vizinhança interagem 
segundo a 3ª lei de Newton
• Têm mesma direção, sobre a 
mesma reta suporte
• Têm sentidos opostos
• Têm o mesmo módulo
• Agem, sempre, em corpos distintos
3ª lei de Newton
8
Ação e reação
Corpos e vizinhança interagem 
segundo a 3ª lei de Newton
•Têm mesma direção, sobre a 
mesma reta suporte
•Têm sentidos opostos
•Têm o mesmo módulo
•Agem, sempre, em corpos 
distintos
3ª lei de Newton
9
A toda ação, uma força, 
corresponde uma reação, 
também uma força, de igual 
intensidade, mesma direção e 
sentido contrário, na mesma 
reta suporte, agindo no corpo 
responsável pela ação e 
provocada por aquele que sofre 
a ação.
Diagrama do corpo livre - DCL
10
Todas as forças que agem 
no corpo devem ser 
representadas, 
relativamente, no ponto de 
aplicação
É o esquema de 
representação das forças, 
num diagrama 
simplificado, do corpo 
estudado.
No DCL, faz-se uma representação do corpo, livre dos 
vínculos, mas com a representação das forças que 
esses vínculos são capazes de executar.
Diagrama do corpo livre - DCL
11
1) Sistema – Roda dianteira.
2) Vizinhança:
Chão,
Suporte do eixo,
Sapatas do freio,
Planeta (Campo gravitacional).
3) DCL
É a representação das forças 
num diagrama simplificado 
do corpo estudado.
P
N
R
Fs
Fat
Principais vínculos
Física I
EFB205
12
Força Peso
gmP


mgP 
13
Ação no corpo que circunda a Terra e reação 
está na própria Terra.
Força de campo.
P
P Representação 
da força P no 
DCL homem
DCL corpo
EXERCÍCIO 1 - Força Peso
14
Representação da força peso num 
paraquedista em queda
Representação da 
força Peso no 
DCL do 
cabritinho 
saltitante
EXERCÍCIO 1 - Força Peso
15
Representação da força peso num 
paraquedista em queda
P
DCL do cabrito 
saltitante
Força Normal
16
Força normal
• Força de contato
• Age no ponto de apoio entre o 
corpo e a superfície
• Tem origem no plano de apoio
• Pode ter valor igual à força peso 
mas não necessariamente
• Pode estar na vertical mas não 
necessariamente
Força Normal
17
N1
N2
N1
N2
N1
N3 N4
Representação 
da força normal 
no DCL de três 
casos
N2
Força Normal
Representação da 
força normal no DCL 
de um corpo que gira 
vinculado à parede 
do tambor de uma 
máquina de lavar 
roupas
18
N
Apoio sobre superfície lisa
Vínculo Representação no DCL
N
Suportes deslizantes
Vínculo Representação no DCL
N N
Exemplos Práticos de 
Suportes Deslizantes
21
Esteira Transportadora Escorredor de Garrafas
Ponte Móvel 
Roletes no 
apoio
Apoio
Deslizante
Roletes
EXERCÍCIO 2 - Força Peso e Normal
22
DCL de pessoa 
apoiado na 
superfície do 
planeta
EXERCÍCIO 2 - Força Peso e Normal
23
P
N1
N2
DCL homem 
com força peso
EXERCÍCIO 3 – Roda subindo degrau
24
EXERCÍCIO 3 – Roda subindo degrau
25
P
F
NS
q DCL da roda
NQ
Forças de tração em cabos, corda, fios, 
correntes
26
A intensidade da força é a 
mesma em dois pontos do 
cabo.
Os sentidos são opostos.
Forças de tração em cabos, corda, fios, 
correntes
27
T
T2
T3
T1
DCL do nó
DCL do corpo
P
Forças de tração em cabos, corda, fios, 
correntes
Vínculo Representação no DCL
T
T
Tangente à corda no 
ponto de aplicação 
da força no corpo
Forças de tração em cabos, corda, fios, 
correntes
29
T2
T
Representação da força T 
no DCL da Torre
Forças de tração em cabos, corda, fios, 
correntes
30
P
T
N
f
q
DCL da esfera
Esfera sustentada por cabo e 
apoiada em superfície lisa
Linha do plano 
inclinado
EXERCÍCIO 4 - Forças de tração em 
cabos, corda, fios, correntes
31
EXERCÍCIO 4 - Forças de tração em 
cabos, corda, fios, correntes
32
P
T
N
DCL da esfera
Linha da parede
Força de atrito
Sentido oposto ao 
movimento, ou 
tentativa de 
movimento do corpo, 
relativo à superfície 
em que está em 
contato.
at
F
33
NF
at

Força de atrito
34
Justificativa
Superfície Lisa e Rugosa
35
Superfície Lisa
(atrito desprezível)
Superfície
Rugosa
www.auladearte.com.br
Força de atrito
Vínculo Representação no DCL
FAT
N
Força de atrito
37
EXERCÍCIO 5 - Força de atrito
38
Espelho 
encostado em 
parede lisa
EXERCÍCIO 5 - Força de atrito
39
Espelho 
encostado em 
parede lisa
DCL de espelho 
encostado em parede 
lisa
N2
N1
P
Fat
Vertical da 
parede
Comentário - EXERCÍCIO 5 –
Força de atrito
40
Espelho 
encostado em 
parede lisa
E se a parede 
fosse rugosa??
DCL de espelho 
encostado em parede 
lisa
N2
N1
P
Fat
Vertical da 
parede
Fat
Reação em articulação
41
Duas situações
• Pino fixo - Com 
torque na articulação
• Pino livre - Sem 
torque na articulação
Reação em articulação
Vínculo Representação no DCL
Ay
Ax
Ay
Ax
Articulação sem torque ou 
momento de força
Articulação
com torque ou 
momento de força

Suporte fixo, pino fixo e engaste
Vínculo Representação no DCL
Ay
Ax

Ay
Ax

Exemplo Prático de 
Engaste e Suporte fixo
44
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&p
id=S0370-44672007000200014 www.habitissimo.com.br
Reação em articulação
45
Haste articulada em A, com pino 
livre
DCL da haste sem torque 
na articulação
Representação da 
reação na articulação
Q
T
Rx
Ry
P
Exemplo de articulação de pino livre
46
Reação em articulação
47
Haste articulada em A, com pino 
fixo
DCL da haste sem torque 
na articulação
Q
T
Rx
Ry
P
+
Representação da 
reação na articulação
OBSERVAÇÃO – O 
CÁLCULO DE TORQUE 
SERÁ ABORDADO NO 
FINAL DO BIMESTRE


Reação em articulação
48
A
DCL do ante-braço da 
menina
P
Q
RX
RY

EXERCÍCIO 6 – Haste articulada a) pino 
livre e, b) com pino fixo
49
Haste articulada 
em A
EXERCÍCIO 6 – Haste articulada a) pino 
livre e, b) com pino fixo
50
Haste articulada 
em A
RX
RY P
Q
RX
RY P
Q
a) DCL da haste sem torque na articulação
b) DCL da haste com torque na articulação

Referências
MERIAN, J. L.; KRAIGE, L. G. ESTÁTICA. 4. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 1999. 368 p. 
WICKERT, J. Introdução à Engenharia 
Mecânica. São Paulo: Thompson Learning, 2007. 
357 p.
YOUNG, H. D. e FREEDMAN, R. A. FÍSICA I. 12ª 
ed., v.1, São Paulo: Adison Wesley, 2003.
51
A2 - Vetores.pdf
Vetores
TEORIA - AULA A2
Física I - EFB205
1
Estrutura de Aula
2
Grandezas escalares x vetoriais
3
Grandezas vetoriais e escalares
GRANDEZAS VETORIAIS
Além da intensidade e 
grandeza, necessita de 
direção e sentido.
Representada 
geometricamente por um 
segmento de reta orientado 
denominado vetor.
GRANDEZA ESCALAR
Determinada apenas pela 
intensidade, valor numérico, 
e uma unidade de medida 
previamente estabelecida, 
interpretada como a escala 
de medida desta grandeza.
)().( GUGNG 
)().;;( GUzyxG 

G

4
Grandezas vetoriais e escalares
GRANDEZAS VETORIAIS
Exemplo
Deslocamento de 5,0 m.
Falta a informação:
Para onde acontece o 
deslocamento?
GRANDEZAS ESCALARES
Exemplo
Corpo de massa 5,0 kg.
Informação sobre a grandeza 
fica completamente definida
Massa Pressão
Tempo Densidade
Deslocamento Força
Velocidade Aceleração
Definição de vetores
5
Vetor, segmento orientado de origem no ponto P e 
extremidade no ponto Q.
P
Q
q
x
y
reta 
suporte
NOTAÇÃO
VETOR MÓDULO
A
A

P)-(Q P-Q










z
y
x
222 zyx 
kcjbia


222 cba 
Notação de 
Grassmann
MÓDULO DO VETOR
Obtido calculando-se a distância 
entre a origem do vetor (ponto P) 
e a extremidade (ponto Q)
DIREÇÃO DO VETOR
Definida pelo valor da inclinação 
da reta suporte (ângulo θ).
6







xΔ
yΔ
tgarcθ
x
P
Q
q
y
∆y
∆x
A

2
PQ
2
PQ
)y(y)x(xPQPQA 

Definição de vetores
22 yxPQPQA 

Vetor livre, vetor deslizante e vetor fixo
7
VETOR LIVRE – Origem pode ser arbitrariamente deslocada a 
qualquer ponto do espaço.
•Exemplo: vetor deslocamento de um corpo que se move 
sem rotação 
VETOR DESLIZANTE - Ponto de aplicação do vetor pode ser 
deslocado sobre a reta que o suporta.
•Exemplo: vetor força atuando sobre um corpo. Nestas 
condições, os efeitos permanecem inalterados ao longo da 
linha de ação da força.
VETOR FIXO - Ponto de aplicação ou origem é um ponto 
específico do espaço.
•Exemplo: ação de uma força aplicada sobre um corpo 
deformável. 
F

P

G

G

G

G

8
Sentido de vetores
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008 – p. 11.
Sentido!
Soma vetorial – Método geométrico 
Vetores paralelos
9
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 12
10
1. Método dos polígonos
Consiste em desenharmos os vetores sequencialmente. O 
vetor soma é obtido fechando-se o polígono, ligando o 
ponto de origem do primeiro vetor com a extremidade do 
último vetor da soma
o
A

B

C

S

CBAS


Soma vetorial – Método geométrico
Soma vetorial – Método geométrico
Método do paralelogramo
11
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p.12
12
2. Método do paralelogramo
A partir de dois vetores com origem no mesmo ponto, traça-
se duas retas paralelas e a diagonal do paralelogramo, a 
partir da origem dos dois vetores. A diagonal determina o 
vetor soma dos dois vetores.
o
A

B

o
B

A

o
A

B

o
BA


B

A

Soma vetorial – Método geométrico
13
2. Método do paralelogramo
Trata-se de um método útil quando estamos trabalhando com a soma de duas 
forças, pois o vetor desempenha o papel da diagonal do paralelogramo 
formado pelos vetores. O módulo da resultante é obtido utilizando-se a lei dos 
cossenos
  cosFF2.FFR 21
2
2
2
1
2 
1
F

2
F

R

Φ
Soma vetorial – Método geométrico
Soma vetorial – Método geométrico
14
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p . 13
Soma vetorial – Método geométrico
15
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p . 13
Propriedade 
comutativaPropriedade associativa
Soma vetorial – Método geométrico 
Subtração
16
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 13
Soma vetorial – Método geométrico 
Subtração
17
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 13
Estrutura de Aula
18
Grandezas escalares 
x vetoriais
Vetores: livres, 
deslizantes e fixos Algumas 
Propriedades 
19
)
y
F;
x
(FF 

y
Fx
Fy
x
F

1. Fx e Fy são grandezas escalares, interpretadas como componentes 
cartesianos do vetor 
2. Geometricamente, os componentes Fx e Fy são, respectivamente, 
as projeções do vetor força nas direções dos eixos x e y.
Representação Cartesiana
Projeção de Vetores
20
)
y
F;
x
(FF 

y
Fx
Fy
x
F

q
q
FsenF
FF
y
x

 cos
Os Componentes do Vetor F
Os vetores 
componentes de F
q
Projeção de vetores
21
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p.15
q
q
AsenA
cosAA
y
x


22
Projeção de vetores
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 15.
q
q
BsenB
cosBB
y
x


q
q
CsenC
cosCC
y
x


23
Projeção de vetores
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p.16.


DsenD
cosDD
y
x


cosEE
EsenE
y
x
Sinais dos componentes das forças em sistemas 
bidimensionais: representação cartesiana
24
Quadrante
Componente x Componente y
I + +
II - +
III - -
IV + -
Exercício 1.35:
25
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒙 𝒆 𝒚 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔
𝑨, 𝑩, 𝑪 𝒆 𝑫 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂.
26
Exercício 1.35
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p.29.
B
27
Exercício 1.35
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p.29.
B
28
Exercício 1.35 – Componentes do Vetor A
mA
mA
y
x
0,8
0


 m,;A 080

Exemplo 1.35 – Componentes do Vetor B
29
mBB
msenBsenB
oo
y
oo
x
13)30cos()0,15()30cos(
5,7)30()0,15()30(


Método dos Componentes
Compare com os resultados a partir 
do gráfico:
Cada divisão = 1 m
Número de divisões na direção x ≈ 7,5 
divisões =7,5m => Dx=-7,5m
Número de divisões na direção y≈ 13,5 
divisões = 13,5m => Dy=13,5m
Obs: Ângulo com 2 A.S
Exemplo 1.35 – Componentes do vetor D
30
mDD
msenDsenD
oo
y
oo
x
0,6)53cos()0,10()53cos(
0,8)53()0,10()53(


msensenD
mD
ooo
y
ooo
x
02,6)143()0,10()5390()0,10(
99,7)143cos()0,10()5390cos()0,10(


Método dos Componentes
Ângulo dado:
Ângulo a partir do eixo Ox positivo:
Obs: Ângulo com 2 A.S
Obs: Ângulo com 3 A.S
Exemplo 1.35 – Componentes do vetor D
31
Cada divisão = 1,0 m
Número de divisões na direção x ≈ 8 
divisões = 8,0m => Dx=-8,0m
Número de divisões na direção y≈ 6 
divisões = 6,0m =>Dy=6,0m
Compare com os resultados a partir 
do gráfico:
Exemplo: Determine os componentes das forças 
indicadas nas figuras
32
x
y
Fx
Fy
F

θ
N50F 
θ=700
d)
x
y
Fx
Fy
F

N470F 
θ=2000
c)
θ
33
34
Exemplo: Determine os componentes das forças 
indicadas nas figuras
35
x
y
Fx
Fy
F

θ
N50F θ=700
d)
x
y
Fx
Fy
F

N470F 
θ=2000
c)
θ
N 442xF N 161yF N 17xF N47yF
Estrutura de Aula
36
Grandezas 
escalares x 
vetoriais
Vetores: livres, 
deslizantes e 
fixos
Propriedades 
Representação
cartesiana
37
Soma vetorial – Método dos 
componentes
Base de versores i, j e k
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p .20.
)1;0;0(
)0;1;0(
)0;0;1(



k
j
i



Soma vetorial – Método dos componentes 
Base Cartesiana no plano R2
38
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p.19.
(0;1)
(1;0)


j
i


θsenAA
θcosAA
y
x




ji

yx
AA A 
Soma vetorial: Método Algébrico
Sejam os vetores
e o vetor soma é dado 
por
O módulo e a direção 
do vetor soma são:
39
jBiBB
jAiAA
yx
yx




BAR


yyy
xxx
BAR
BAR


2
y
2
x RRR 

)
R
R
(arctgθ
x
y

Observando as 
componentes
40
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p.15
Soma vetorial – Comparação Método dos 
Componentes x Método geométrico
41
Exercício 1.47:
𝑬𝒔𝒄𝒓𝒆𝒗𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒏𝒂 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂
𝒆𝒎 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒊𝒕á𝒓𝒊𝒐𝒔 𝒊 𝒆 𝒋.
42
43
44
45
Estrutura de Aula
46
Grandezas 
escalares x 
vetoriais
Vetores: 
livres, 
deslizantes e 
fixos
Propriedades 
Representação
cartesiana
Representação 
em função dos 
vetores unitários
Exercício 1.45:
47
𝑼𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒐𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒆 𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝒅𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓
𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒂𝒓 𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒊𝒔 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒎𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂.
𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒐 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝟔𝟐𝟓𝑵 𝒂𝒐 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒐 𝒆𝒊𝒙𝒐 − 𝑶𝒚 𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒐 𝒆𝒊𝒙𝒐 + 𝑶𝒙
𝒐𝒓𝒕𝒐𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝒂 𝒆𝒍𝒆, 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒂.
48
49
Exercício 1.68:
50
𝑻𝒓ê𝒔 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂𝒔 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒊𝒔 𝒑𝒖𝒙𝒂𝒎 𝒖𝒎𝒂 𝒑𝒆𝒅𝒓𝒂 𝒆𝒏𝒐𝒓𝒎𝒆 𝒆𝒏𝒄𝒓𝒂𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒍𝒐,
𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒏𝒅𝒐 𝒂𝒔 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔 𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒊𝒔 𝑨,𝑩 𝒆 𝑪, 𝒅𝒆𝒎𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒏𝒂 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂.
𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒐 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒆 𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒓𝒕𝒂 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓á 𝒂 𝒔𝒐𝒎𝒂
𝒗𝒆𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 𝒛𝒆𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒂𝒕𝒓𝒐 𝒇𝒐𝒓ç𝒂𝒔.
51
52
Exercício: Determine os componentes das forças 
indicadas nas figuras
53
x
y
Fx
Fy
F

θ
N200F 
θ=300
a)
x
y
Fx
Fy
F

N320F 
θ=1350
b)
54
55
Exemplo: Determine os componentes das forças 
indicadas nas figuras
56
x
y
Fx
Fy
F

θ
N200F 
θ=300
a)
x
y
Fx
Fy
F

N320F 
θ=1350
b)
NFx 173 NFy 100 N 226xF N 226yF
57
Referência
YOUNG & FREEDMAN. Física I. 12ª ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008.
MERIAM & KRAIGE. Mecânica: Estática. LTC.
A3-Equilíbrio.pdf
Equilíbrio de forças convergentes
TEORIA - AULA A3
Física I - EFB205
1
Sequência de Aula
2
1
• Objetivos
2
• Tipos de Forças:
• a) Convergentes; b) Paralelas
• c) Não convergentes e não paralelas
4 • Aspectos históricos e Força Resultante
5
• Condições de Equilíbrio (forças convergentes)
6
• Exemplos/ Exercícios
7
• Applets: Equilíbrio de Forças
Objetivos da 
aula
1. Apresentar tipos de 
configuração de forças 
aplicadas num corpo
2. Enunciar as condições de 
equilíbrio em corpos nos quais 
atuam forças convergentes
3. Modelar matematicamente 
corpos no quais atuam forças 
convergentes
4. Determinar parâmetros de 
sistemas em equilíbrio 
3
Três diferentes tipos de 
configuração de forças 
agentes nos corpos, em 
sistemas coplanares.
1. Forças convergentes
2. Forças paralelas
3. Forças não 
convergentes e não 
paralelas
• 1
• 2
• 3
4
Equilíbrio da partícula
Análise do DCL
T
Fat P
F
N
T
F
P
N
T
Fat
P
F
N
5
Os princípios fundamentais da Mecânica 
foram firmados nas premissas de 
Aristóteles, colecionadas no texto 
“Quaestiones Mechanichae”, que entre 
outras concepções, admitia apenas o 
equilíbrio estático, ou seja, situações em 
que o corpo se encontra em repouso.
O conhecimento empírico tornou-se a 
base de diversos tratados da Estática 
desde Aristóteles (384 – 322 aC) e 
Arquimedes (287 – 212 aC) passando por 
Leonardo da Vinci (1431-1510) e Simon 
Stevin (1548 – 1620), chegando a Galileu 
Galilei (1564-1642). 
Aspectos históricos
Aspectos históricos
Galileu estendeu o conceito de equilíbrio 
além dos limites da Estática, fornecendo a 
base para as leis fundamentais da 
dinâmica:
"… qualquer velocidade, uma vez 
estabelecida num corpo, se manterá 
constante, desde que não existam 
causas de aceleração
ou retardamento, 
fenômeno que só será observado em 
planos aproximadamente horizontais 
onde a força de atrito se tenha reduzido 
a um mínimo”.
Um corpo sujeito a ação
de diversas forças pode
ter todas essas forças
representadas por uma
única força, que é a
resultante.
7
T
Fat
P
F
N
Resultante de forças
Um corpo sujeito a ação
de diversas forças pode
ter todas essas forças
representadas por uma
única força, que é a
resultante.
8
Resultante de forças
RFFFF
n
n
i
i





21
1
RFTFNPF
at
n
i
i


1
T
Fat
P
F
N
Um corpo sujeito a ação
de diversas forças pode
ter todas essas forças
representadas por uma
única força, que é a
resultante.
9
Resultante de forças
RFFFF
n
n
i
i





21
1
RFTFNPF
at
n
i
i


1
R
T
Fat
P
F
N
Um corpo sujeito a ação
de diversas forças pode
ter todas essas forças
representadas por uma
única força, que é a
resultante.
10
Resultante de forças
RFFFF
n
n
i
i





21
1
RFTFNPF
at
n
i
i


1
R
Condições de equilíbrio
Forças convergentes
Corpo sujeito a um 
conjunto de forças 
convergentes
A soma das forças 
que atuam no corpo é 
nula.
11
T
F
P
N 0
1



RF
n
i
i
0
1



RFTNPF
n
i
i
Condições de equilíbrio
Forças convergentes
12
0
1



n
i
i
F
Corpo em repouso ou em 
MRU
Quando se considera somente a 1ª CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO – 1ª 
CE, está-se tratando somente do estudo relativo ao movimento de 
TRASNSLAÇÃO DO CORPO.
1ª condição de equilíbrio – 1ª CE
Condições de equilíbrio
Forças convergentes
Equação vetorial Equações dos componentes
13








0...
0...
0...
21
21
21
nzzz
nyyy
nxxx
FFF
FFF
FFF
0
1



n
i
i
F
Condições de equilíbrio
Forças convergentes
14
0
1



n
i
i
F
ROTEIRO DE RESOLUÇÃO
1. Identificar o sistema, separando-o da vizinhança que o circunda.
2. Identificar as forças que agem sobre o sistema.
3. Fazer o Diagrama do Corpo Livre - DCL, de todos os elementos 
significativos do problema - corpos e nós.
4. Escolher um sistema de eixos conveniente para a representação das 
forças.
5. Aplicar a condição de equilíbrio para cada elemento do sistema
6. Equacionar o equilíbrio para cada eixo do sistema escolhido.
Condições de equilíbrio
Forças convergentes
15
A hipótese da partícula
0
1



n
i
i
F
Corpo em repouso ou em MRU
Corpo cujas dimensões podem ser desprezadas.
Neste modelo, considera-se que toda a massa 
do corpo está concentrada num único ponto, 
denominado CENTRO DE MASSA.
T
F
P
N
T
F
P
N
16
Exemplo 1
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. P. 137.
 0y 
GC
PT
Ginasta
 0y 
GT
TT
Corda







0
0
y
x
F
F
0
1



n
i
F
17
Exemplo 1
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. P. 137.
 0y 
GC
PT
Ginasta
 0y 
GT
TT
Corda







0
0
y
x
F
F
0
1



n
i
F
18
Exemplo 2
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 164. 





0cos
0


PN
TPsen







0
0
y
x
F
F
0
1



n
i
i
F
19
Exemplo 3
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 138.
 0
1
 PT
Motor





060
060cos
13
23
TsenT
TT
Anel
0
1



n
i
i
F
20
Exemplo 4
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 140.
 0
2
 PT
Balde





015cos
015
1
1
PN
senPT
Carrinho
0
1



n
i
i
F
Exercícios
21
5.9
5.14 a
5.4
Exercício 5.9:
22
𝑨𝒄𝒉𝒆 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒆𝒎 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒏𝒂 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂, 𝒔𝒂𝒃𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒐 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒔𝒖𝒔𝒑𝒆𝒏𝒔𝒐 é 𝒑.
23
24
25
26
Exercício 5.14:
27
𝑫𝒐𝒊𝒔 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐𝒔, 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒖𝒎 𝒄𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝒑, 𝒔ã𝒐 𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐𝒔 𝒆𝒎 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍í𝒃𝒓𝒊𝒐 𝒆𝒎 𝒖𝒎 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐
𝒊𝒏𝒄𝒍𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒎 𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐. 𝑬𝒎 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒑 𝒆 𝒅𝒐 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝜶 𝒅𝒐 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒄𝒍𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐:
𝒂)𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒊𝒔 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐𝒔;
𝒃)𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑨 𝒏𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒅𝒆.
𝒄) 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒐 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒂 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒐 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒊𝒏𝒄𝒍𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒆𝒙𝒆𝒓𝒄𝒆 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐.
𝒅) 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒑𝒓𝒆𝒕𝒆 𝒔𝒖𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒐𝒔
𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝜶 = 𝟎° 𝒆 𝜶 = 𝟗𝟎°.
28
29
30
Exercício 5.4:
31
𝑼𝒎 𝒂𝒓𝒒𝒖𝒆ó𝒍𝒐𝒈𝒐 𝒂𝒗𝒆𝒏𝒕𝒖𝒓𝒆𝒊𝒓𝒐 𝒑𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒎 𝒓𝒐𝒄𝒉𝒆𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐
𝒅𝒆𝒔𝒍𝒐𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 − 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒄𝒐𝒎 𝒂𝒔𝒎ã𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓𝒎𝒆𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂
𝒆𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒐𝒔 𝒓𝒐𝒄𝒉𝒆𝒅𝒐𝒔. 𝑬𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆 𝒇𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒑𝒐𝒖𝒔𝒐 𝒏𝒐𝒎𝒆𝒊𝒐 𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂.
𝑨 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒔𝒆 𝒓𝒐𝒎𝒑𝒆𝒓á 𝒔𝒆 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝟐, 𝟓𝟎 . 𝟏𝟎𝟒𝑵 𝒆 𝒂𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂
𝒅𝒐 𝒏𝒐𝒔𝒔𝒐 𝒉𝒆𝒓ó𝒊 é 𝒅𝒆 𝟗𝟎, 𝟎𝑲𝒈.
𝒂) 𝑺𝒆 𝜽 = 𝟏𝟎, 𝟎°, 𝒒𝒖𝒂𝒍 é 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂?
𝒃) 𝑸𝒖𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒗𝒆 𝒔𝒆𝒓 𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝜽 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒏ã𝒐 𝒓𝒐𝒎𝒑𝒆𝒓?
32
33
34
Referência
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. Física I. 12ª ed. São Paulo: Addison 
Wesley, 2008.
A4_Força de Atrito.pdf
Força de atrito
TEORIA - AULA A4
Física I - EFB205
1
Força de Atrito
Estrutura da aula
2
Força de Atrito
Tipos de Força 
de Atrito (atrito 
seco, atrito em 
fluídos e atrito 
interno)
Força de Atrito 
Seco
Causas 
Microscópicas
Força de Atrito: 
estático e 
cinético
Tipos de Força de Atrito
3
Tipos de Força de 
Atrito
Atrito Seco
(superfícies sólidas –
não lubrificadas)
Atrito em Fluidos 
(gases ou líquidos)
Atrito Interno
(quanto maior a deformação 
plástica, maior o atrito devido às 
forças internas)
Óleo na pista 
de bolichePneu e o asfalto
Quando duas superfícies não 
lubrificadas estão em condições 
de deslizamento ou de tendência 
de deslizamento, existe uma força 
tangente às superfícies de contato.
4
FAT
N
Força de atrito seco
Tendência de 
movimento para 
a esquerda
O atrito seco é também conhecido
como atrito de Coulomb. 
Num corpo apoiado sobre uma 
superfície não lubrificada, além da 
reação normal, existe a força de 
atrito somente se houver 
deslizamento ou tentativa de 
deslizamento do corpo.
5
FAT
N
Força de atrito seco
Note que, a resultante sobre um 
corpo devida a força de contato 
com uma superfície, é a soma da 
força normal com a força de atrito.
6
FAT
N
Resultante no apoio em superfície com 
atrito
R
7
Força de atrito seco
at
F
A Força de Atrito que impede que o pé
escorregue enquanto andamos.
Para nos deslocarmos, os sapatos
exercem no solo uma força para trás.
A força de atrito que se opõe a esta
força para trás, e garante que o
sapato não escorregue e, a
sustentação para o movimento.
8
Força de atrito seco
Força Normal e Força de Atrito
9
http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/weight_and_friction.htm
10
1. A força de atrito estático é 
PROPORCIONAL à força Normal. 
2. A força de atrito cinético é 
PROPORCIONAL à força Normal.
NF
C

NF
E

Força Normal e Força de Atrito
11
EXPERIMENTO
Determinação dos Coeficientes de Atrito Estático e Cinético Utilizando-se a 
Aquisição Automática de Dados. (RBF. 24 (2002) 146)
Principais características da força de 
atrito
12
Gráfico da força de atrito em função do tempo entre duas superfícies 
de madeira, sendo uma revestida de carpete.
Principais características da força de 
atrito
13
COMENTÁRIOS
1. A força de atrito estático não é 
constante. 
2. O valor máximo da força de atrito 
estático é proporcional ao valor da 
força normal (figura). A inclinação da 
reta fornece o valor do coeficiente de 
atrito estático.
3. O comportamento da força de atrito 
cinético é, em média, constante.
4. A força de atrito é não conservativa, 
ou seja, não conserva energia 
mecânica.
Principais características da força de 
atrito
14
Gráfico da força de atrito em função do tempo entre duas superfícies 
de madeira, sendo uma revestida de borracha. m = 1,118Kg, fe = 9,30N 
e fc = 7,28N;
Principais características da força de 
atrito
Força de atrito em função da força que 
solicita o movimento
15Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 150, 12ª ed.
Força de atrito em função da força que 
solicita o movimento
16Fonte: YOUNG & FREEDMAN. 2008. p. 150, 12ª ed.
MáxEE
FatFat0 
N.Fat
EEMáx

N.Fat
CC

1. Opõe-se à tendência de deslizamento, ou ao deslizamento da 
superfície.
2. Força de atrito estático se manifesta quando houver tendência de 
deslizamento relativo entre as superfícies em contato.
3. Força de atrito cinético se manifesta quando houver deslizamento 
entre as superfícies em contato.
4. A intensidade da força de atrito cinética é proporcional ao valor da 
força normal:
17
NμF
CC

Principais características da força de 
atrito
5. Para o caso da força de atrito estático, a intensidade dessa força 
poderá assumir qualquer valor, até o limite crítico:
6. Os coeficientes de atrito μE e μC são constantes adimensionais, 
cujos valores dependem da natureza das superfícies em contato. 
7. Experimentalmente, observa-se que μE > μC 
18
MáxEE
FF0 
Principais características da força de 
atrito
NμF
EEMáx

Tabelas de coeficiente de atrito
(Superfícies secas)
19
Material e c
Aço sobre aço 
(duro)
0,78 0,42
Chumbo sobre 
aço
0,74 0,57
Cobre sobre aço 0,53 0,36
Níquel sobre
níquel
1,10 0,53
Teflon sobre 
teflon
0,04 0,04
Fonte Alonso & Finn – v. 1 – 2ª edição
Outros exemplos de Força de Atrito
20
Faça o DCL do corpo de massa m
Outros exemplos de Força de Atrito
21
Observe que a força de atrito é 
designada por F.
Faça o DCL do corpo de massa m
Outros Exemplos 2
22
O bloco superior está preso por um fio. Nenhum dos blocos deve escorregar.
Meriam and Kraige, 5ª edição
Faça o DCL dos corpos
Outros Exemplos 2
23
O bloco superior está preso por um fio. Nenhum dos blocos deve escorregar. 
F1, F2 e F3 são forças de atrito.
Meriam and Kraige, 5ª edição
Faça o DCL do corpo de massa m
EXEMPLOS
• 5.36a
• 5.37
• 5.67
24
Exercício 5.36:
25
𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒐 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒏𝒂 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂.𝑶 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑨 𝒑𝒆𝒔𝒂 𝟒𝟓𝑵 𝒆 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑩, 𝟐𝟓𝑵.
𝑺𝒖𝒑𝒐𝒏𝒉𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑩 𝒅𝒆𝒔ç𝒂 𝒄𝒐𝒎 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆.
𝒂) 𝑨𝒄𝒉𝒆 𝒐 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐 𝒄𝒊𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑨 𝒆 𝒐 𝒕𝒐𝒑𝒐 𝒅𝒂𝒎𝒆𝒔𝒂.
𝒃) 𝑺𝒖𝒑𝒐𝒏𝒉𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒎 𝒈𝒂𝒕𝒐, 𝒕𝒂𝒎𝒃é𝒎 𝒄𝒐𝒎 𝒑𝒆𝒔𝒐 𝟒𝟓𝑵, 𝒄𝒂𝒊𝒂 𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒏𝒐 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒐
𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑨. 𝑺𝒆 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑩 𝒂𝒈𝒐𝒓𝒂 𝒔𝒆𝒎𝒐𝒗𝒆 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆, 𝒒𝒖𝒂𝒍 é 𝒔𝒖𝒂 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂çã𝒐
𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐, 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝒆 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 ?
26
27
28
Exercício 5.37:
29
𝑫𝒖𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝒍𝒊𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇í𝒄𝒊𝒆 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍.
𝑨 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂 𝑨 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂𝒎𝑨 𝒆 𝒂 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂 𝑩 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂𝒎𝑩. 𝑶 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆
𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐 𝒄𝒊𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂 𝒆 𝒂 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇í𝒄𝒊𝒆 é 𝝁𝒄. 𝑨𝒔 𝒄𝒂𝒊𝒙𝒂𝒔 𝒔ã𝒐
𝒆𝒎𝒑𝒖𝒓𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒂 𝒄𝒐𝒎 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒎𝒂 𝒇𝒐𝒓ç𝒂
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝑭. 𝑬𝒎 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒎𝑨,𝒎𝑩 𝒆 𝒅𝒆 𝝁𝒄, 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆
𝒂) 𝒐 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒂 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝑭;
𝒃) 𝒂 𝒕𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒓𝒅𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒐𝒔 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐𝒔.
𝑰𝒏𝒄𝒍𝒖𝒂 𝒖𝒎 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐 𝒍𝒊𝒗𝒓𝒆 𝒐𝒖 𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔
𝒒𝒖𝒆 𝒗𝒐𝒄ê 𝒖𝒔𝒐𝒖 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒄𝒉𝒂𝒓 𝒔𝒖𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂𝒔.
30
31
32
Exercício 5.67:
33
𝑶 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑨 𝒅𝒂 𝒇𝒊𝒈𝒖𝒓𝒂 𝒑𝒆𝒔𝒂 𝟏, 𝟐𝟎𝑵 𝒆 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑩 𝒑𝒆𝒔𝒂 𝟑, 𝟔𝟎𝑵. 𝑶 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆
𝒄𝒊𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒂𝒔 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇í𝒄𝒊𝒆𝒔 é 𝟎, 𝟑𝟎𝟎. 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒐𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒂 𝒇𝒐𝒓ç𝒂
𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝑭 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒔á𝒓𝒊𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔𝒕𝒂𝒓 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑩 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒆𝒔𝒒𝒖𝒆𝒓𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒎
𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂) 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑨 𝒆𝒔𝒕á 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑩 𝒆 𝒔𝒆
𝒎𝒐𝒗𝒆 𝒄𝒐𝒎 𝒆𝒍𝒆; 𝒃) 𝒐 𝒃𝒍𝒐𝒄𝒐 𝑨 é𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒆𝒎 𝒓𝒆𝒑𝒐𝒖𝒔𝒐.
34
35
Apêndice
36
Curiosidades: Estudo de Rugosidade de 
Superfícies na Indústria
37
4 diferentes tipos de superfície de folhas de aço galvanizadas.
A imagem a possui orifícios menores, prova-se que tem menor coeficiente de 
atrito. 
http://www.gruppofrattura.it/pdf/ext/AIM/Anno%202012/6/008.pdf
Quando as superfícies são lubrificadas, ou quando um corpo se
movimenta num meio fluído, o atrito é dito viscoso. As forças de
atrito para tais casos dependem do valor da viscosidade do fluído,
bem como da velocidade de deslocamento do corpo.
38
Atrito Viscoso
Curiosidade: Pouco tempo antes de um campeonato profissional de boliche, um
óleo é aplicado na pista.
Diferentes modalidades usam diferentes tipos de óleos,
que interferem na velocidade, aderência e capacidade com que a bola faz a curva.
A5_Momento de Força.pdf
1
Momento de força
1
TEORIA - AULA A-05
Física I - EFB205
Corpo no qual um vetor posição, que determina dois 
pontos neste corpo, tem mantida suas características 
relativas a um ponto do corpo - módulo, direção e 
sentido - mesmo quando o corpo sofre algum tipo de 
movimento.
2
Corpo rígido
A
B
Posição 1
t1
Posição 3 Posição 4Posição 2
Instante t2
2
No corpo rígido pode-
se distinguir dois tipos 
de movimento
Translação – relativo ao 
movimento do seu 
centro de massa
3
Movimentos do corpo rígido -
Translação
A
B A
B
A
B
A
B
A
B
Rotação em torno de eixo 
fixo
Movimento relativo ao 
movimento ao seu centro de 
massa
4
Movimentos do corpo rígido –
Rotação
A
B
3
5
A
B
Eixo de rotação
Movimentos do corpo rígido –
Rotação
Rotação em torno de eixo 
fixo
Movimento relativo ao 
movimento ao seu centro de 
massa
6
A
B
Eixo de rotação
Movimentos do corpo rígido –
Rotação
Rotação em torno de eixo 
fixo
Movimento relativo ao 
movimento ao seu centro de 
massa
4
7
A
B
Eixo de rotação
Rotação em torno de eixo 
fixo
Movimento relativo ao 
movimento ao seu centro de 
massa
Movimentos do corpo rígido –
Rotação
8
A
B
Eixo de rotação
Rotação em torno de eixo 
fixo
Movimento relativo ao 
movimento ao seu centro de 
massa
Movimentos do corpo rígido –
Rotação
5
9
A
B
Eixo de rotação
Rotação em torno de eixo 
fixo
Movimento relativo ao 
movimento ao seu centro de 
massa
Movimentos do corpo rígido –
Rotação
Roto-translação
Conjugação do 
movimento de 
translação com o 
de rotação
10
A
B
Movimentos do corpo rígido –
Roto-translação
6
Movimentos de um corpo rígido
11
Tipos de 
Movimento:
Translação; 
Rotação; 
Rototranslação
Equilíbrio do corpo rígido
Condições de equilíbrio
• Corpo está em 
equilíbrio de translação
12
0
1
rrr
==∑
=
RF
n
i
i
• Corpo está em 
equilíbrio de rotação
0
1
rrr
==∑
=
R
n
i
i ττ
Somatória do momento de 
força é nula!!!!
7
13
Fr
rrr
×=τ
FrMF
rrr
×=
ou
Momento de força
Unidade de 
momento de força 
no SI
Momento de força
14
Direção - Perpendicular a r e F
Sentido - Regra da mão direitaPolo
Eixo de 
rotação
Frτ
rrr
×=
φsen F.r.τ =
8
Momento de força
Vista do plano Oxy
15
Direção - Perpendicular a r e F
Sentido - Regra da mão direita
Polo
r
r
F
r
φ
Frτ
rrr
×=
φsen F.r.τ =
Momento de força 
Força perpendicular ao vetor posição
Caso particular
16
Fr
rr ⊥
)2/( .. piτ
τ
senFr
Fr
=
×=
rrr
Fr.=τ
Polo
r
r
2/pi
9
Momento de força 
Força perpendicular ao vetor posição
Caso particular
17
Fr
rr ⊥
l
F
r
r
Linha de ação da força
Braço da força
Fl.=τ
)2/( .. piτ
τ
senFr
Fr
=
×=
rrr
Fr.=τ
2/pi
Momento de força 
Força paralela ao vetor posição
Caso particular
18
Fr
rr //
( ) 0180 .. =°=
×=
senFr
Fr
τ
τ
rrr
0=τ
O F
r
r
r
O F
r
r
r
( ) 00 .. =°=
×=
senFr
Fr
τ
τ
rrr
0=τ
Polo
Polo
10
Momento de força
Pela definição do módulo de momento
e com ângulo 
qualquer
19
Fr
rrr
×=τO
r
r
F
r φτ senFr ..−=φφφφ
r
rF
r
Polo
Momento de força
Pelos componentes de F 
e com ângulo 
qualquer
20
( )
tr
tr
FrFr
FFr
Fr
rr
321
rrr
rrrr
rrr
×+×=
+×=
×=
=0
τ
τ
τ
O
F
r
rF
r
tF
r
tFr
rrr
×=∴τ 
O
r
r
F
rφφφφ
r
r
F
r
r
rPolo
Polo
tFr.=τ
º90.. senFr−=τ
Fr.−=τ
11
Movimentos de um corpo rígido
21
Tipos de 
Movimento:
Translação; 
Rotação; 
Rototranslação
Momento de 
Força
Exercício 1 - Cálculo de momento de 
força
Qual o torque gerado 
pela força F em relação 
ao ponto O?
22
12
Exercício 1 - Cálculo de momento de 
força - pela definição de módulo do 
momento
Qual o torque gerado 
pela força F em relação 
ao ponto O?
23
m.N,
70ens ,
70ens .F .r
Fr
6385
601000
−=
°××−=
°−=
×=
τ
τ
τ
τ
rrr
m.N,65−=τ
Resposta com 2 A. S.
Exemplo 1 - Cálculo de momento de 
força – pelos componentes de F
Qual o torque gerado 
pela força F em relação 
ao ponto O?
( ) ( )
( ) ( )
43421
44 844 76
444 3444 21
rrr
1
F
RT
sen cos ,
sen F rsen F r
Fr
T
=
=
°×°××−=
°××+°××−=
×=
9020601000
18090
0
τ
τ
τ
Resposta com 2 A. S.
m.N,65−=τ
13
Momento de força
e com ângulo 
qualquer
Se o ângulo entre F e r 
não é conhecido, o 
cálculo pode ser mais 
complicado.
25
βτ
τ
 sen.F.r
Fr
=
×=
rrr
F
r
r
r
F
r
r
r
ββββ d
l
Polo
Momento de força
e coplanares
Alternativa para 
determinação do 
momento:
26
F
r
l
d
F
r
r
rvF
r
hF
r
Polo
φφφφ
Braço do 
componente Fv
Braço do 
componente Fh
Linha de ação 
da força Fv
Linha de ação 
da força Fh
14
Momento de força - pelos 
componentes de F
e coplanares
Alternativa para 
determinação do 
momento:
27
( )
hv
hv
FrFr
FFr
Fr
rrrrr
rrrr
rrr
×+×=
+×=
×=
τ
τ
τ
F
r
l
d
F
r
r
rvF
r
hF
r
lFdF hv .. +=τ
Polo
φφφφ
l. cos.Fd. sen.F φφτ +=
Exercício 2- Cálculo de momento de 
força
28
Qual o torque gerado pela força 
de 600 N em relação ao ponto O?
2,0 m
4,0 m
15
Exercício 2 - Cálculo de momento de 
força – definição de módulo do 
momento
Qual o torque gerado pela força 
de 600 N em relação ao ponto O?
29
2609,77
º76,56sen 600 ,472
ens .F .r
Fr
−=
××−=
=
×=
τ
τ
θτ
τ
4
rrr
m.Nk ,62−=τ
Resposta com 2 A. S.
Exercício 2 - Cálculo de momento de 
força - pelos componentes de F
Qual o torque gerado pela força 
de 600 N em relação ao ponto O?
30
1F
r
2F
r 2609,8τ
771,34 1838,5τ
40sen ..240cos . .4
−=
−−=
°−°−=
×=
FF
Fr
τ
τ
rrr
m.Nk ,62−=τ
Resposta com 2 A.S.
16
Movimentos de um corpo rígido
31
Tipos de 
Movimento:
Translação; 
Rotação; 
Rototranslação
Momento de 
Força 
Cálculo
1. Método do 
módulo do 
momento
2. Método dos 
componentes 
de F
Equilíbrio do corpo rígido
• Corpo está em 
equilíbrio de translação
32
0
1
rrr
==∑
=
RF
n
i
i
• Corpo está em 
equilíbrio de rotação
0
1
rrr
==∑
=
R
n
i
i ττ
Somatória do momento de 
força é nula!!!!
17
Exemplo: o Nivelador
33
Varie as massas
e a posição das mesmas, e mantenha o equilíbrio!!!!
Note que cada peso pendurado vale 1N e cada retângulo (verde ou azul) é 
igual a 0,1m.
http://www.walter-fendt.de/ph14e/lever.html
http://phet.colorado.edu/en/simulation/balancing-act
Momento de força 
saindo da folha 
(nivelador gira no 
sentido anti-
horário)
=> ττττ>0
τ
Momento de força 
entrando na folha 
(nivelador gira no 
sentido horário)
=> τ<τ<τ<τ<0
Exemplo com o Nivelador
• Pela 2ª condição de 
equilíbrio:
34
02,12,1
021
0
=−=∑
=+
=∑
τ
τ
MM
O sistema não rotaciona!!!!!!!!!!! 
18
Movimentos de um corpo rígido
35
Tipos de 
Movimento:
Translação; 
Rotação; 
Rototranslação
Momento de 
Força
Equilíbrio
(2ª condição 
de equilíbrio –
O corpo não 
rotaciona)
Cálculo
1. Método do 
módulo do 
momento
2. Método dos 
componentes 
de F
Momento de força - Binário
Binário ⇒
36
0
0
rr
rr
≠
=
∑
∑
τ
F
O1F
2F
21
0
FFT ττττ
τ
rrrr
rr
+==
≠
∑
∑
lFlFlFT =+= )2/()2/(τ
l
l/2
l/2
FlT =τ
Polo
D
lFlFlFT =+= )2/()2/( 21τ
19
Exercícios de cálculo de momento de 
força
• Qual o torque gerado 
pela força em relação ao 
ponto O, para θ igual a 
25º?
• Qual o torque que cada 
uma das forças gera em 
relação ao ponto O?
37
38
20
39
Exercícios de cálculo de momento de 
força
• Qual o torque gerado 
pela força em relação ao 
ponto O, para θ igual a 
25º?
• Qual o torque que cada 
uma das forças gera em 
relação ao ponto O?
40mNF .19=τ mN
mN
mN
F
F
F
.0,5
.12
.0,4
3
2
1
=
=
−=
τ
τ
τ
21
Movimentos de um corpo rígido
41
Tipos de 
Movimento:
Translação; 
Rotação; 
Rototranslação
Momento de 
Força
Equilíbrio
(2ª condição 
de equilíbrio –
O corpo não 
rotaciona)
Momento de 
Força –
Binário
42
Referências
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. Física I. 12ª ed. São Paulo: 
Addison Wesley, 2008.
Fonte das figuras: Meriam, J. L. e Kraige, L. G. Dinâmica. 
4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
AULA B1.pdf
 
 
AULA B-01 
 
 
 
1 
 
Estática 
 
ATENÇÃO 
ACOMPANHAR O CURSO, TAMBÉM PELO LIVRO DIDÁTICO, É 
FUNDAMENTAL PARA A APRENDIZAGEM DOS CONTEÚDOS DA 
DISCIPLINA 
 
LISTA DE EXERCÍCOS DE AULA 
 
Tema 
 
Construção de Diagrama de Corpo Livre - DCL 
Fonte 
 
Capítulo 04 e 05 - 12a edição – Young & Freedman. 
Capítulo 03 e 06 – 5ª edição – Meriam. 
 
Ex. 4.43 – Sears. Cap.4. 
Faça o DCL dos blocos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 5.66 – Sears. Cap.5. 
Faça o DCL dos blocos A e W e do nó. 
Há atrito entre o bloco A e a superfície 
que o apóia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA B-01 
 
 
 
2 
 
Estática 
 
Ex. 5.67 (b) – Sears. Cap.5 (b). 
Faça o DCL dos blocos A e B. Há 
atrito entre todas as superfícies 
em contato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 3/4 – Meriam. Cap.3. 
Faça o DCL da viga em I uniforme e da 
carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 3/21 – Mariam – Cap. 3. 
Faça o DCL do cilindro uniforme de 
massa m. Não há atrito entre as 
superfícies em contato. 
 
 
 
 
AULA B-01 
 
 
 
3 
 
Estática 
 
Ex. 6/6. Meriam – Cap. 6. 
Faça o DCL para a caixa homogênea 
de massa m. Há atrito entre os pontos 
B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 6/31. Meriam – Cap.6. 
Faça o DCL da pintora e da escada. 
Há atrito no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA B-01 
 
 
 
4 
 
Estática 
 
Ex. 6/12. Meriam – Cap. 6. 
Faça o DCL para o poste. Há atrito 
entre os pontos de contato A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 6/5. Meriam – Cap. 6. 
O bloco de madeira é usado para 
nivelar a lata de tinta. Há atrito entre 
o bloco de madeira e a superfície do 
plano inclinado. 
Faça o DCL para a lata de tinta e para 
o bloco de madeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA B-01 
 
 
 
5 
 
Estática 
 
LISTA EXERCÍCOS RECOMENDADOS 
 
Tema 
 
Construção de DCL (Diagrama de Corpo Livre) 
Fonte 
 
Livro do Sears: 12a e 10a edição – Cap. 4 e cap. 5. 
Livro do Merian 5a edição – Cap. 3 e cap. 6. 
 
FAZER O DIAGRAMA DE CORPO LIVRE (DCL) NOS EXERCÍCIOS 
RECOMENDADOS, SEM A RESOLUÇÃO COMPLETA. 
 
Exercícios 
do Sears 
 
Cap. 4 e 
cap.5. 
 
 
12ª ed. 10ª ed. Faça o DCL para: ATD ou 
MON 
4.54 4.47 Os blocos e a corda. 
5.9 a) e 
b) 
5.8 a) e b) Os nós e os pesos suspensos 
5.13 5.12 Para a bola amarrada no fio. MON 
5.19 5.15 Para o contrapeso e a carga. 
5.83 5.77 Os blocos A e B. 
5.93 5.87 O bloco A e a prancha B. ATD 
 
 
Exercícios 
do Merian 
 
Cap. 3. 
 
Exercícios 
do Merian 
 
Cap. 6. 
 
5a ed. 4a ed. ATD ou 
MON 
3/5 3/8 Da esfera. 
3/14 Do nó e da carga. MON 
3/20 Do mastro. 
3/25 3/18 Da caminhonete. 
3/42 3/37 Chave de boca e do parafuso. 
 
6/16 Os blocos. 
6/17 Os blocos. ATD 
6/22 6/18 A porta de correr. 
6/37 6/33 Cada uma das esferas. 
6/38 O mastro. 
OBSERVAÇÕES: 
1) ATD = Atendimento e MON = Monitoria 
2) Os exercícios indicados como ATENDIMENTO, serão resolvidos pelo 
professor no horário de Atendimento. 
3) Os exercícios indicados como MONITORIA, serão resolvidos pelos alunos 
monitores nos horários de Monitoria. 
4) Consulte os horários desses serviços, Atendimento e Monitoria, no 
MAUANET e no Moodle. 
 
 
 
AULA B-01 
 
 
 
6 
 
Estática 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
Ex. 3/17. Meriam – Cap. 3. 
Para acomodar as situações de marés 
altas e baixas, a passarela de um píer 
é apoiada entre dois roletes. Faça o 
DCL da passarela. 
 
 
Passos para construção do DCL: 
 
1) Identificar e isolar o corpo (sistema) 
a ser estudado de sua vizinhança; 
2) Fazer um diagrama que representa 
seu contorno externo; 
3) Identificar todos os vínculos que faz 
a conexão com a vizinhança; 
4) Representar as forças identificadas. 
 
DCL: passarela 
 
 
B 
 
 
Ex. 6/99. Meriam – Cap. 6. 
Para o sistema ao lado, faça o DCL do 
bloco e do cilindro. Há atrito entre o 
bloco e a superfície em que está 
apoiado. 
 
 
Passos para construção do DCL: 
 
1) Identificar e isolar o corpo (sistema) 
a ser estudado de sua vizinhança; 
2) Fazer um diagrama que representa 
seu contorno externo; 
3) Identificar todos os vínculos que faz 
a conexão com a vizinhança; 
4) Representar as forças identificadas. 
DCL: Bloco 
Tendência de 
movimento para cima 
 
 
 
DCL: Cilindro 
 
 
 
 
A 
P 
T 
 
T 
P 
Pc 
T Nb 
Pb FAT 
AULA B2.pdf
 
 
AULA B-02 
 
 
 
1 
 
Vetores 
 
ATENÇÃO 
ACOMPANHAR O CURSO, TAMBÉM PELO LIVRO DIDÁTICO, É 
FUNDAMENTAL PARA A APRENDIZAGEM DOS CONTEÚDOS DA 
DISCIPLINA. 
 
É IMPORTANTE TRAZER O MATERIAL DA AULA DE TEORIA, EM 
ESPECIAL CÓPIA DA APRESENTAÇÃO REALIZADA PELO 
PROFESSOR, PARA A AULA DE EXERCÍCIOS. 
 
LISTA DE EXERCÍCOS DE AULA 
 
Tema 
 
Vetores 
Fonte 
 
Capítulo 01- 12a edição – Young & Freedman. 
(Na coluna da direita está o número dos exercícios 
correspondente à 10ª ed.) 
 
Cap. 1: 
Vetores 
 
12ª ed. 10ª ed. 
1.40 1.36 Módulo,
direção e sentido dos 
vetores 
1.42 1.38 Soma vetorial 
1.45 Módulo, direção e sentido dos 
vetores 
1.47 Vetores unitários 
1.49 1.42 Soma vetorial 
1.68 Soma vetorial 
 
LISTA DE QUESTÕES E EXERCÍCOS RECOMENDADOS 
Tema 
 
Vetores 
Fonte 
 
Capítulo 01 - 12a edição – Young & Freedman. 
 (Na coluna da direita está o número dos exercícios 
correspondente à 10ª ed.) 
 
Cap. 1: 
Vetores 
 
Questões 
12ª ed. 10ª ed. 
1.13 1.13 Soma vetorial 
1.14 1.14 “Um sentido para o tempo” 
1.15 1.15 Controladores de tráfego aéreo 
1.16 1.16 Grandeza vetorial 
1.17 Faz sentido vetor negativo? 
 
Cap. 1: 
Vetores 
 
12ª ed. 10ª ed. Faça o DCL para: ATD ou 
MON 
1.34 1.32 Soma vetorial 
 
 
AULA B-02 
 
 
 
2 
 
Vetores 
 
Exercícios 1.36 Determinar a direção do vetor MON 
1.43 1.39 Soma vetorial por 
componentes 
ATD 
1.72 1.58 Módulo e direção do vetor 
R
 
1.74 1.60 Velejadora MON 
1.75 Equilíbrio ATD 
1.76 1.62 Vôo de treinamento 
 
RESPOSTAS DAS LISTAS DOS EXERCÍCIOS RECOMENDADOS 
 
Numeração dos exercícios referentes à 12ª ed. 
Exercício 
1.34 a) 4,7 m; 8,1 m; b) -15,6 km; 
15,6 km 
c) 3,82 cm; 
-5,07 cm 
 
1.36 a) 3300 b) 26,60 c) 1530 d) 2070 
1.43 a) 2,48 cm e 18,4º b) 4,09 cm e 
83,7º 
c) 4,09 cm e 
264º 
 
1.72 a) Rx = -3,4 m; 
Ry = - 0,070m 
 R = 3,4 m; β = 1810 
b) Sx = -18,4 m; 
 Sy = - 10,1 m 
S = 21,0 m; 
θ = 3090 
 
1.74 Fx = - 34,2 N; Fy = 30,0 N 
F = 45,5 N; β = 2210 
 
1.75 a) 45,5 N e 1390 
1.76 Dx = - 34,3 km; Dy = 186 
km; 
D = 189 km; β = 1700 
 
 
 
 
 
AULA B-02 
 
 
 
3 
 
Vetores 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO. 
 
Ex. 1.49. Sears – Cap. 1. 
 
a) Escreva cada vetor indicado na 
figura 1.37 em termos dos vetores 
unitários 
jei
 . 
 
b) Use vetores unitários para escrever 
o vetor 
C
 , onde 
BAC

0,40,3 
. 
 
c) Encontre o módulo e a direção do 
vetor 
C
 . 
 
 
 
Figura 1.37 
 
a) 
Componente 
xA
do vetor 
A
 : 
 miA
mA
mA
AA
y
y
y
x

23,1
23,1
0,70cos60,3
0,70cos
0
0




 
Componente 
yA
 do vetor 
A
 : 
 mjA
mA
senmA
senAA
y
y
y
y

38,3
38,3
0,7060,3
0,70
0
0




 
 
 
Componente do vetor 
B
 
 miB
mB
mB
BB
x
x
x
x

1,2
1,2
0,30cos4,2
0,30cos
0
0




 
 
Componente 
yB
 do vetor 
B
 : 
 miB
mB
mB
senBB
x
x
x
y

2,1
2,1
0,30cos4,2
0,30
0
0




 
 
 mjiB

2,11,2 
 
  mjiA

38,323,1 
xB
 
 
AULA B-02 
 
 
 
4 
 
Vetores 
 
b) 
BAC

0,40,3 
 
    jijiC

2,11,20,438,323,10,3 
 
 mjiC

1512 
 
 
 
c) 
Módulo do vetor 
C
 
   22 yx CCC  
   22 1512 C 
mC 19 
 
Direção do vetor 
C
 
x
y
C
C
arctg
 
12
15
arctg
 
052
com a horizontal no sentido 
anti-horário. 
 
 
PROTOCOLO DE AULA - AULA B02 
PARTE 
1 Professor resolve na lousa os exercícios: 1.40; 
1.47; 1.68. 
 
 
2 EXERCÍCIO DE ESCOLHA DO 
PROFESSOR 
 
Um dos exercícios indicados na coluna ao lado, já 
listado como exercícios de aula. 
Ex.: 1.42 
Ex.: 1.45 
 
AULA B3.pdf
 
 
AULA B-03 
 
 
 
1 
 
Dinâmica: Equilíbrio 
 
ATENÇÃO 
ACOMPANHAR O CURSO, TAMBÉM PELO LIVRO DIDÁTICO, É 
FUNDAMENTAL PARA A APRENDIZAGEM DOS CONTEÚDOS DA 
DISCIPLINA. 
 
É IMPORTANTE TRAZER O MATERIAL DA AULA DE TEORIA, EM 
ESPECIAL CÓPIA DA APRESENTAÇÃO REALIZADA PELO 
PROFESSOR, PARA A AULA DE EXERCÍCIOS. 
 
LISTA DE EXERCÍCOS DE AULA 
 
Tema 
 
Equilíbrio da partícula – Leis de Newton 
Fonte 
 
Capítulo 04 e 05 - 12a edição – Young & Freedman. 
(Na coluna da direita está o número dos exercícios 
correspondente à 10ª ed.) 
 
Cap. 4: 
Leis de 
Newton 
 
Cap.5: 
Aplicações 
das Leis de 
Newton 
12ª ed. 10ª ed. 
4.5 4.5 Dois cachorros puxam cordas 
4.6 4.6 Resultante de duas forças 
4.35 4.33 Dois cavalos puxam cordas 
5.9 (b) 5.8 (b) Tensão em cordas 
5.10 Carro sobe rampa 
5.12 5.11 Peso suspenso por cordas 
 
LISTA DE EXERCÍCOS RECOMENDADOS 
 
Tema 
 
Equilíbrio da partícula – Leis de Newton 
Fonte 
 
Capítulo 04 e 05 - 12a edição – Young & Freedman. 
(Na coluna da direita está o número dos exercícios 
correspondente à 10ª ed.) 
 
Cap. 4: 
Leis de 
Newton 
Questões 
12ª ed. 10ª ed. 
4.1 4.1 Corpo em equilíbrio 
4.5 4.5 Extremidades de uma corda 
4.7 4.7 Carro pára repentinamente 
4.30 4.30 Colisão: caminhão e automóvel 
4.33 4.33 Cabo de guerra 
 
 
 
 
 
 
 
AULA B-03 
 
 
 
2 
 
Dinâmica: Equilíbrio 
 
 
Cap. 5: 
Aplicações 
Das Leis de 
Newton 
Questões 
12ª ed. 10ª ed. 
5.2 5.2 Força normal e Força Peso 
5.3 5.3 Corda amarrada entre postes 
5.4 5.4 Carro subindo montanha 
5.6 5.6 Caixa empurrada para cima 
5.11 5.8 Caixa de livros 
 
Cap. 4: 
Leis de 
Newton 
Exercícios 
12ª ed. 10ª ed. Faça o DCL para: ATD ou 
MON 
4.22 4.20 Livro sobre a palma da mão 
4.27 Dois engradados 
4.31 Cadeira sobre um piso liso MON 
4.32 Esquiador puxado para cima ATD 
4.35 4.33 Dois cavalos puxam cordas 
 
Cap. 5: 
Aplicações 
Das Leis 
de Newton 
Exercícios 
12ª ed. 10ª ed. Faça o DCL para: ATD ou 
MON 
5.4 5.3 Arqueólogo aventureiro 
5.5 5.4 Quadro na parede 
5.8 5.7 Bola grande de um guindaste 
5.11 5.10 Homem empurra um piano MON 
5.61 Cordas conectadas a um cabo ATD 
 
RESPOSTAS DAS LISTAS DOS EXERCÍCIOS RECOMENDADOS 
 
Numeração dos exercícios referentes à 12ª ed. 
Exercício 
4.22 a) gravidade 
b) 4 N, o livro 
c) não 
 
d) 4 N, pela Terra 
sobre o livro e 
sentido para 
cima 
e) 4 N, sobre a 
mão pelo livro 
f) e g) 3ª lei de 
Newton 
h) não l) uma 
i) não m) não 
j) sim 
k) sim 
4.27 a) DCL b) sim 
4.31 a) DCL b) N = 142 N 
4.32 a) DCL b) T = 279 N 
4.35 F2 =1,84 kN, 
1350 
 
 
5.4 a) T = 2,54 kN b) θ = 1,010 
5.5 θ = 480 
5.8 a) TB = 5,23 104 
N 
a) TB = 3,36 104 
N 
 
5.11 a) F = 337 N b) F = 343 N 
5.61 a) a corda 
formando ângulo 
de 600. 
b) 6,4 kN 
 
 
 
 
AULA B-03 
 
 
 
3 
 
Dinâmica: Equilíbrio 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO. 
 
5.15) (12ª edição) 
 
Um fio horizontal segura uma bola 
sólida e uniforme de massa m sobre 
uma rampa inclinada, que forma um 
ângulo de 35,00 acima do plano 
horizontal. A superfície dessa rampa é 
perfeitamente lisa, e o fio está 
direcionado para o sentido oposto ao 
centro da bola (figura 5.49). 
 
a) Desenhe o diagrama do corpo livre 
para a bola. 
 
b) Qual é a força que a superfície da 
rampa exerce sobre a bola? 
 
c) Qual é a tensão no fio? 
 
 
 
 
Figura 5.49 
 
 
a) DCL: bola
P
 
 
SR (Sistema de Referência) 
 
 
 
 N 
 
 35,00 
 
 
 T 
 
 
 
 P 
 
 b) 1ª condição de equilíbrio: 
0=∑ yF 
0=− yy PN 
00,35cos 0 =− PN 
PN =00,35cos 
00,35cos
mgN = 
mgN 22,1= : Força que a superfície da 
rampa exerce sobre a bola. 
 
c) 
0=∑ xF 
0=− xx NT 
 
mgT 700,0= : Tensão no fio 
 
 
 
 
 
 
 
0
rr
=∑ F
00,3522,1 0 =− senmgT
T 
N 
 
 x 
 y 
 
 
AULA B-03 
 
 
 
4 
 
Dinâmica: Equilíbrio 
 
 
PROTOCOLO DE AULA - AULA B03 
PARTE 
1 Professor resolve DEMONSTRAÇÃO 
EXPERIMENTAL com os ALUNOS e resolve na 
lousa os exercícios: 4.6; 5.10; 5.12. (verificar 
disponibilidade de tempo, caso contrário indicar 
para o lar). 
 
 
 
 
AULA B4.pdf
 
 
AULA B-04 
 
 
 
1 
 
Dinâmica: Atrito 
 
ATENÇÃO 
ACOMPANHAR O CURSO, TAMBÉM PELO LIVRO DIDÁTICO, É 
FUNDAMENTAL PARA A APRENDIZAGEM DOS CONTEÚDOS DA 
DISCIPLINA. 
 
É IMPORTANTE TRAZER O MATERIAL DA AULA DE TEORIA, EM 
ESPECIAL CÓPIA DA APRESENTAÇÃO REALIZADA PELO 
PROFESSOR, PARA A AULA DE EXERCÍCIOS. 
 
LISTA DE EXERCÍCOS DE AULA 
 
Tema 
 
Equilíbrio da partícula – Leis de Newton 
Força de Atrito 
Fonte 
 
Capítulo 04 e 05 - 12a edição – Young & Freedman. 
(Na coluna da direita está o número dos exercícios 
correspondente à 10ª ed.) 
 
Cap.5: 
Aplicações 
das Leis de 
Newton 
Atrito 
12ª ed. 10ª ed. 
5.30 5.26 Caixa de bananas 
5.43 5.37 Engradado grande 
5.65 5.64 Blocos m1 e m2 
5.66 5.65 Bloco apoiado em superfície com 
atrito 
 
LISTA DE EXERCÍCOS RECOMENDADOS 
 
Tema 
 
Equilíbrio da partícula – Leis de Newton 
Força de Atrito 
Fonte 
 
Capítulo 04 e 05 - 12a edição – Young & Freedman. 
(Na coluna da direita está o número dos exercícios 
correspondente à 10ª ed.) 
 
Cap. 4: 
Leis de Newton 
Questões 
12ª ed. 10ª ed. 
4.8 4.8 Princípio da Inércia 
4.10 4.10 Unidades SI 
4.12 4.12 Sistema Inercial 
4.27 4.27 Unidades de massa e força 
4.28 4.28 Cavalo puxa uma carroça 
 
Cap. 5: 
Aplicações 
Das Leis de 
Newton 
Questões 
12ª ed. 10ª ed. 
5.10 5.7 Bloco em plano inclinado 
5.11 5.8 Caixa de livros em repouso 
5.13 Caminhar sobre o gelo 
5.14 5.11 Descalço em uma banheira 
 
 
AULA B-04 
 
 
 
2 
 
Dinâmica: Atrito 
 
 
Cap. 5: 
Aplicações 
Das Leis de 
Newton 
Exercícios 
12ª ed. 10ª ed. Faça o DCL para: ATD ou 
MON 
5.44 5.38 Caixa sendo arrastada ATD 
5.67 5.66 Bloco A sobre o bloco B MON 
5.83 5.77 Bloco A sobre o bloco B ATD 
5.93 5.87 Bloco A e prancha B MON 
 
RESPOSTAS DAS LISTAS DOS EXERCÍCIOS RECOMENDADOS 
 
Numeração dos exercícios referentes à 12ª ed. 
Exercício 
5.44 a) k
kcos sin
mgF
θ θ
µ
µ
=
+
 b) 290 N 
 
5.67 a) 1,44 N b) 1,80 N 
5.83 2,52 
5.93 0,450 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO. 
 
5.28 (12ª edição) 
Em um laboratório que conduz experiências 
sobre atrito, um bloco de 135 N repousa 
sobre uma mesa de superfície horizontal 
rugosa, que é puxada por um fio horizontal. 
A força de puxar cresce lentamente até o 
bloco começar a se mover e contínua a 
aumentar depois disso. A figura 5.52 
mostra o gráfico da força de atrito que atua 
sobre o bloco em função da força de puxar. 
a) Identifique as regiões do gráfico em que 
ocorrem o atrito estático e o atrito cinético. 
b) Determine os coeficientes de atrito 
estático e cinético entre o bloco e a mesa. 
c) Por que o gráfico se inclina de baixo para 
cima na primeira parte, mas depois se 
nivela? 
d) Como seria o gráfico, se um tijolo de 135 
N fosse colocado sobre o bloco e quais 
seriam os coeficientes de atrito nesse caso? 
 
Gráfico 
 
 
Figura 5.52 Exercício 5.28 
 
 
 
AULA B-04 
 
 
 
3 
 
Dinâmica: Atrito 
 
Dados: 
 
W = 135 N 
 
DCL: bloco y 
 N N 
 
 
 Pfe 0 P x 
 fe 
 W W 
 
 
a) De 0 N até 75,0 N. 
Observe que a medida que a força P 
aumenta em módulo a força de atrito 
estáticofstambém possui o mesmo módulo 
que a força P. 
 
b) Aplicando a 1ª condição de equilíbrio: 
0
rr
=ΣF 
0=ΣFy 
0=− PN 
PN = 
NN 130= 
Pelo gráfico temos: 
	0	 ≤ �� ≤ 75,0		 
Nf ee µ≤ 
máximoestáticoatritodeforçaNf ee ,µ= . 
 
135
0,75
=eµ
 
 
., cinéticoatritodeforçaNf cc µ= 
N
f c
c =µ 
135
0,50
=cµ 
 
 
 
 
c) Força de atrito estático: 
0	 ≤ �� ≤ 75,0		o gráfico é uma reta 
crescente. 
 
Força de atrito cinético: 
�
 > 50,0		, o gráfico é uma reta 
constante. 
 
d) A força peso irá dobrar, sendo 
assim a normal nesse caso também, 
portanto a força de atrito estático e a 
força de atrito cinético dobram, e o 
gráfico tem a mesma configuração 
com os valores da força de atrito 
estático e cinético alterados e a força 
p. 
 
Os coeficientes de atrito estático e 
cinético não dependem do peso do 
corpo e sim das superfícies em 
contato, portanto são os mesmos. 
 
 
 
 
 
N
f e
e =µ
370,0=cµ
 
556,0=eµ
 
 
AULA B-04 
 
 
 
4 
 
Dinâmica: Atrito 
 
 
PROTOCOLO DE AULA 
PARTE 
1 Professor corrige a atividade. 
Professor resolve na lousa os exercícios: 5.65 e 
5.66. 
 
2 EXERCÍCIO DE ESCOLHA DO 
PROFESSOR 
 
Um dos exercícios indicados na coluna ao lado, já 
listado como exercícios de aula. 
Ex.: 5.30 
Ex.: 5.43 
 
 
AULA B5.pdf
1
Equilíbrio do corpo
TEORIA - AULA B-05
Física I - EFB205
1
Aula Equilíbrio de 
rígidos 
Objetivos da aula
1. Estudar situações de equilíbrio 
do corpo rígido.
2. Enunciar as condições de 
equilíbrio em corpos.
3. Modelar matematicamente o 
equilíbrio de corpos.
4. Determinar parâmetros de 
sistemas em equilíbrio.
Texto base
Youg e Freedman, Capítulo 
11. 12ª ed.
Meriam e Kraige, Estática. 
Volume 1. 5ª ed.
2
2
Três diferentes tipos de 
configuração de forças 
agentes nos corpos, em 
sistemas coplanares.
1. Forças convergentes
2. Forças paralelas
3. Forças não 
convergentes e não 
paralelas
• 1
• 2
• 3
3
Equilíbrio do corpo
Revisão - Análise do DCL
T
Fat P
F
N
T
F
P
N
T
Fat
P
F
N
Três diferentes tipos de 
configuração de forças 
agentes nos corpos, em 
sistemas coplanares.
1. Forças convergentes
2. Forças paralelas
3. Forças não 
convergentes e não 
paralelas
• 1
• 2
• 3
4
Equilíbrio do corpo
Análise do DCL
T
F
P
N
Já estudado
3
Três diferentes tipos de 
configuração de forças 
agentes nos corpos, em 
sistemas coplanares.
1. Forças convergentes
2. Forças paralelas
3. Forças não 
convergentes e não 
paralelas
• 1
• 2
• 3
5
Equilíbrio do corpo
Análise do DCL
T
Fat P
F
N
1ª PARTE DA 
AULA
Exemplo 1: DCL das Forças Paralelas 
que atuam na caminhonete 
6Fonte: Meriam, J. L. e Kraige, L. G. Dinâmica. 5. ed. Wiley, 
2002.
4
Exemplo 1: DCL das Forças
Paralelas 
que atuam na caminhonete 
7Fonte: Meriam, J. L. e Kraige, L. G. Dinâmica. 5. ed. Wiley, 
2002.
Exemplo 3: DCL das forças numa viga 
homogênea, carregada por um 
carpinteiro
8Fonte: Meriam, J. L. e Kraige, L. G. Dinâmica. 5. ed. Wiley, 
2002.
5
Exemplo 3: DCL das forças numa viga 
homogênea, carregada por um 
carpinteiro
9Fonte: Meriam, J. L. e Kraige, L. G. Dinâmica. 5. ed. Wiley, 
2002.
Condições de equilíbrio 
do corpo rígido
Equilíbrio de translação
1ª Condição de equilíbrio
10
0
1
rrr
==∑
=
RF
n
i
Equilíbrio de rotação
2ª Condição de equilíbrio:
Somatória dos momentos 
de força é nula!
0
1
rrr
==∑
=
R
n
i
ττ
6
Condições de equilíbrio
11
1. Identificar o sistema, separando-o da vizinhança que o circunda.
2. Identificar as forças que agem sobre o sistema.
3. Fazer o Diagrama do Corpo Livre - DCL - de todos os elementos 
significativos do problema, corpos e nós.
4. Escolher um sistema de eixos convenientes para a representação das 
forças (REPRESENTAR SEPARADAMENTE OS VETORES NO PLANO 
CARTESIANO).
5. Escolher o sentido de positivo para os torques (momentos de força).
6. Aplicar a condição de equilíbrio para cada elemento do sistema
7. Equacionar o equilíbrio para cada eixo do sistema escolhido e para o 
momento.
0
1
rr
=∑
=
n
i
iF 0
1
rr
=∑
=
n
i
τ
Exemplos de equilíbrio do corpo
Forças paralelas
• Determine as forças nos 
pontos de apoio da viga 
homogênea AB. A massa 
da viga é de 50 kg.
12
Fonte: Meriam, J. L. e Kraige, L. G. Dinâmica. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999.
7
Exemplos de equilíbrio do corpo
Forças paralelas
• Determine as forças nos 
pontos de apoio da viga 
homogênea AB. A massa 
da viga é de 50 kg.
13
Fonte: Meriam, J. L. e Kraige, L. G. Dinâmica. 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1999.
• RESOLUÇÃO
NA
PV NCAIXA
BY
BX
Exemplos de equilíbrio do corpo
Forças paralelas
14
• RESOLUÇÃO
0
1
rr
=∑
=
n
i
iF
0
1
rr
=∑
=
n
i
τ
NA+BY -NCAIXA –PV=0
NA
PV NCAIXA
BY
BX
BX=0Adotando o eixo em B temos:
0=++++
XYCAIXAVA BBNPN
τττττ
-NA*3,6+NCAIXA*1,2+PV*1,8=0
NCAIXA=300*9,81= 2943 N
PV=50*9,81= 490,5 N
Logo NA= 1226,25=1,2*103N
e BY=2207=2,2*103N
8
Três diferentes tipos de 
configuração de forças 
agentes nos corpos, em 
sistemas coplanares.
1. Forças convergentes
2. Forças paralelas
3. Forças não 
convergentes e não 
paralelas
• 1
• 2
• 3
15
Equilíbrio do corpo
Análise do DCL
T
Fat
P
F
N
2ª PARTE DA 
AULA
Exemplo 4: DCL das forças em uma 
viga
16
25o BA
9
DCL
17
25o BA
Pbarra
Pbloco
Modelagem
18
25o BA
0 0
1
=−−⇒=∑
=
QPT
n
i
A ττττ
rr



=−−+°
=°−
⇒==∑
= 025
025
0
1 QPATsen
cosTA
 RF
y
x
n
i
rrr
2ª Condição de equilíbrio
1ª Condição de equilíbrio
0.
2
.º25.. 0
1
=−−⇒=∑
=
Q
n
i
A lQ
LPsenLT
rr
τ
Pbarra
Pbloco
10
Exemplos de equilíbrio do corpo
Exercícios Sears e Zemansky
– 11.13 a
– 11.13 b
19
20
Referências
Fonte: YOUNG & FREEDMAN. Física I. 12ª ed. São Paulo: Addison 
Wesley, 2008.