1 VETORES 2008 progressao

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1 - CONCEITO DE GRANDEZAS.
As propriedades de um sistema que podem ser caracterizadas numericamente são denominadas grandezas.
São exemplos de grandezas: o comprimento de uma haste, a massa de um corpo, a extensão de um intervalo de tempo, a velocidade de um móvel, a sua aceleração etc.
As grandezas classificam-se quanto ao tipo em: grandezas dimensionais e adimensionais. As primeiras requerem, para a sua perfeita caracterização, a citação do número de medida ou valor numérico e de uma unidade.
As segundas, ou seja, as adimensionais, requerem apenas o número de medida e não possuem unidades. Como exemplos temos a constante dielétrica relativa, o coeficiente de atrito etc.
Sob o aspecto prático e de grande aplicação em Física, as grandezas podem ainda, apresentar aspectos escalares e vetoriais.
As grandezas escalares são determinadas perfeitamente com a citação de um número real acompanhado de uma unidade de medida.
As grandezas vetoriais são aquelas que para a sua perfeita determinação, contém, além do número real (módulo), também uma orientação, ou seja, citação expressa de uma direção e sentido.
Denominaremos vetor ao ente matemático representativo das grandezas vetoriais.
Do conceito de grandezas vetoriais, vê-se que as características fundamentais de um vetor são:
1º. Intensidade ou módulo (nº real + unidade);
2º. Direção (reta suporte);
3º. Sentido (orientação).
2 - NOTAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE VETORES
Adota-se para a notação de vetores uma letra do alfabeto latino sob uma seta ou a letra em negrito.
Como a visualização de um vetor, como ente matemático, é bastante difícil, procurou-se um ente geométrico que o represente em todas as suas características.
O segmento orientado, por apresentar as idéias de intensidade (seu comprimento), direção (sua reta suporte) e sentido (o da seta), é sem dúvida o elemento geométrico indicado para representar o vetor.
O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais. |A| (Lê-se: módulo de A)
Dois vetores são considerados iguais quando apresentarem o mesmo módulo, a mesma direção, e a mesmo sentido. Assim podemos transladar vetores (movê-los em linha reta).
3 - VETOR x NÚMERO REAL
O produto de um número real n por um vetor A, resulta em um vetor R com sentido igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo. O módulo do vetor R é igual a n x |A|.
4 - VETOR OPOSTO
Chama-se vetor oposto de um vetor V o vetor –V que possui o mesmo módulo, a mesma direção e sentido oposto ao de V.
5- OPERAÇÕES COM VETORES
A soma vetorial não pode ser confundida com a soma de dois números inteiros. Quando realizamos a soma vetorial de dois ou mais vetores devemos levar em consideração suas direções e seus sentidos. O resultado da soma vetorial é comumente chamado de vetor resultado ou vetor resultante.
Podemos somar dois ou mais vetores para obter um vetor soma VS.
O vetor soma é o que tem origem na origem do 1º vetor e extremidade na extremidade do último vetor.
Uma maneira de se encontrar graficamente o vetor soma (VS) entre dois vetores que formam um ângulo ( entre suas direções é conhecida como regra do paralelogramo. Ligam-se a origem de um vetor (V2) na extremidade do outro vetor (V1). 
Considerando os vetores V1 e V2, tracemos do início de V1 uma linha pontilhada até a extremidade final do vetor V2. Esse segmento representa a diagonal do paralelogramo formado pela translação dos vetores.
O módulo do vetor resultante é calculado pela Lei do cossenos:
R2 = V12 + V22 + 2 V1 V2.cos(
Onde ( representa o ângulo formado pelas extremidades iniciais dos dois vetores
6- CÁLCULO DO MÓDULO DO VETOR RESULTANTE
Para o cálculo do módulo da resultante de dois vetores devemos usar a Lei dos cossenos como visto anteriormente. Entretanto as provas costumam focar sua atenção em alguns casos especiais.
1º. Caso: Vetores com a mesma direção e mesmo sentido. (( = 0°)
 
R2 = V12 + V22 + 2 V1 V2.cos 0°
R2 = V12 + 2 V1 V2 + V22.
R2 = (V1 + V2 )2.
R = V1 + V2 .
(valor máximo da resultante de dois vetores).
2º. Caso: Vetores com a mesma direção e sentido contrários. (( = 180°)
 
R2 = V12 + V22 + 2 V1 V2.cos 180°
R2 = V12 - 2 V1 V2 + V22.
R2 = (V1 - V2 )2.
R = V1 - V2 .
(valor mínimo da resultante de dois vetores).
3º. Caso: Vetores com direções perpendiculares. (( = 90°)
 
R2 = V12 + V22 + 2 V1 V2.cos 90°
R2 = V12 + V22.
(teorema de Pitágoras)
4º. Caso: 2 vetores de mesmo módulo (V) e com suas direções formando ângulo de 120°.
 
R2 = V2 + V2 + 2 V V.cos 120°
R2 = V2 + V2- V2.
R2 = V2.
R = V
(teorema das mulas).
7- COMPOSIÇÃO E DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Um vetor que forma com uma reta de referência um certo ângulo ( pode ser decomposto em dois componentes. Um componente paralelo à linha de referência e outro perpendicular.
Da mesma forma, dois vetores ortogonais podem dar origem a um vetor resultante.
EXERCÍCIOS ANTERIORES DA EEAR
1) (EEAR 1/07 “A e B”) Um garoto lança uma pedra utilizando um estilingue (atiradeira) de maneira que o alcance horizontal seja o maior possível. Sendo V o módulo da velocidade de lançamento da pedra, Vx o módulo de sua componente horizontal e Vy o módulo de sua componente vertical, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de V.
a) V = VX + VY	c) V = (VX + VY)2
b) V = VX / (2	d) V = VX (2
2) (EEAR 2/07 “A e B”) Considere um sistema em equilíbrio que está submetido a duas forças de intensidades iguais a 10N cada uma formando entre si um ângulo de 120°. Sem alterarmos as condições de equilíbrio do sistema, podemos substituir essas duas forças por uma única de intensidade, em N, igual a:
a) 10√3.	b) 10√2.	c) 10.	d) 5.
3) (EEAR 2/07 “A e B”) Considere dois vetores A e B, formando entre si um ângulo ( , que pode variar da seguinte maneira 0°≤ ( ≤ 1800. À medida que o ângulo ( aumenta, a partir de 0° (zero graus), a intensidade do vetor resultante 
a) aumenta.	c) aumenta e depois diminui.
b) diminui.	d) diminui e depois aumenta.
4) (EEAR 2/06 “B”) Dados os vetores A e B, o vetor soma S = A – 2B pode ser representado pela seguinte expressão:
a) 12i + 7j.	b) 10i – 4j.	c) 20i – 3j.	d) -16i + 9j.
5) (EEAR 2/04 A e B) Na figura abaixo, estão representados cinco vetores paralelos e de mesmo módulo; logo, é falso dizer que:
� e são opostos.
 e 
 têm a mesma direção. 
 e 
 têm a mesma direção. 
 e 
 são opostos.
6) (EEAR 1/99 "B") Assinalar a expressão vetorial correta existente entre os vetores apresentados
a) 
 = 
 - 
b) 
 = 
 - 
c) 
 = 
+ 
d) 
 = 
 + 
7) (EEAR 2/01 “A”) Que ângulo devem formar duas forças de módulos iguais, para que a resultante tenha módulo igual ao dobro do módulo das componentes?
a) 0°.	b) 90°.	c) 120°.	d) 180°.
8) (EEAR 1/01“A”) A soma de dois vetores ortogonais, um de módulo 9 e outro de módulo 12, terá módulo igual a:
a) 3.	b) 15.	c) 17.	d) 21.
9) (EEAR 1/04 A) Uma mina terrestre, em repouso em relação a um referencial inercial, foi acionada pela passagem de um carro. Dentre as alternativas abaixo, assinale aquela que MELHOR representa os vetores velocidade dos 3 fragmentos resultantes da mina logo após a detonação. Suponha que os fragmentos tenham a mesma massa e a mesma geometria e que se movimentam no mesmo plano.
a) 
	b)
	c)
	d) 
10) (EEAR 1/04 A) Duas crianças querem puxar um carrinho através de cordas, conforme mostra o desenho abaixo. Admitindo que a força F exercida pelas crianças seja mantida constante, em módulo, a resultante dessas forças será maior quando:
a) ( for reduzido.	c) ( for mantido constante.
b) ( for aumentado.	d) houver redução de massa.
11) (EEAR 1/06 B) Um lançador de projéteis dispara estes com uma velocidade inicial de 750Km/h, verticalmente para cima, atingindo uma altura máxima H. Se inclinarmos o lançador 30° em relação à vertical,qual deverá ser a velocidade inicial dos projéteis, em Km/h, para atingir a mesma altura H?
a) 750(3.	b) 500(3.	c) 325(3.	d) 375(3.
12) (EEAR 2/2000 "B") Qual o módulo da componente vertical BY do vetor B, sabendo que o módulo de B é igual a 20? 
Dado: cos 45º = √2/2
a) 20 √2.	c) 10 √2.
b) 5 √2.	d) √2.
13) (EEAR 1/2000 "B") No sistema de forças da figura F1 F2 e F3 possuem módulos iguais, F1 = F2 = F3 = F . O módulo da resultante será igual: 
a) 0.	c) F.
b) F(√2 – 1).	d) F√2.
14) (EEAR 2/01 “A”) Um corpo está em equilíbrio sob a ação de três forças coplanares, duas das quais são perpendiculares entre si e têm módulos, respectivamente, iguais a 7,8 N e 10,4 N. Pode-se afirmar que o módulo da terceira força, em Newton, é:
a) 11.	b) 12.	c) 13.	d) 14.
15) (EEAR 2/97 “B”) Um automóvel está sendo testado em uma pista circular de 300 m de raio. Após ter completado exatamente dez voltas, à velocidade constante de 80 Km/h, qual o módulo do vetor deslocamento em relação ao ponto de partida?
a) 0m.	b) 3000m.	c) 3Km.	d) 24km.
16) (EEAR 1/02 “A”) A soma de dois vetores de módulos 15 N e 9 N tem, certamente, o módulo do vetor resultante compreendido entre:
a) 6 N e 15 N.	b) 6 N e 24 N.	c) 9 N e 15 N.	d) 9 N e 24 N.
17) (2/02A) Dois vetores de módulos 3 e 4 são somados. Se a soma vetorial destes dois vetores é (37, então eles formam entre si um ângulo, em graus, de:
0.	b)	30.	c)	60.	d) 90.
18) (EEAR 2/02 B) Qual alternativa só contém grandezas vetoriais?
a) massa, velocidade e deslocamento.	c) tempo, deslocamento e altura.
b) força, deslocamento e velocidade.	d) comprimento, massa e força.
19) (EEAR 2/02 A) No esquema abaixo, os módulos dos vetores valem 
 
O valor do vetor resultante, de acordo com o esquema citado, é:
a) 8.	c) 7.
b) 3.	d) Zero.
20) (EEAR 2/96 “B”) Decompondo uma força de 8 N que forma um ângulo de 60o com o eixo horizontal, encontram-se duas componentes ortogonais, em N, que são:
a) 6 e 2.	b) 8 e zero.	c) 4 e 4 (2.	d) 4 e 4(3.
21) (EEAR 1/03A) A velocidade é:
a) uma grandeza vetorial.	c) uma grandeza tanto escalar como vetorial.
b) uma grandeza escalar.	d) não é grandeza.
22) (EEAR 2/02 B) Uma força de intensidade igual a 9(10N foi decomposta em duas componentes ortogonais, de modo que a intensidade de uma é o triplo da outra. Qual é, em newtons, a intensidade de cada componente?
a) 3 e 9.	b) 10 e 30.	c) 9 e 27.	d) 81 e 243.
23) (EEAR 1/03 A) Sabendo-se que o valor numérico máximo da soma de dois vetores é 20 e o mínimo é 4, os módulos dos vetores que conduzem a estes resultados são:
a) 9 e 11.	b) 8 e 12.	c) 20 e 4.	d) 16 e 4.
24) (EEAR 1/95) Três forças de mesmo módulo F formam um sistema, conforme a figura. O módulo da resultante será:
a) 2F.
b) 3F.
c) F(2.
d) F(1 + (2).
25) (EEAR 1/03 B) Para se determinar graficamente a resultante de três forças coplanares, que não possuem a mesma direção, o processo mais indicado é o:
a) do paralelogramo.	b) do triângulo.	c) do polígono.	d) analítico.
26) Dadas três forças ortogonais entre si, que medem 8N, 11N e 16N, determinar a intensidade da resultante:
a) 6N.	b) 21N.	c) 35N.	d) 441N.
27) (EEAR 2/03 B) Um corpo, em repouso, está apoiado em um plano inclinado. O peso deste corpo e sua componente paralela ao citado plano estão na razão (2:1. O valor do ângulo, em graus, entre o plano inclinado e a direção horizontal vale:
a)	30º.	b)	45º.	c)	60º.	d)	90º.
28) (EEAR 2/03 A) A aceleração da gravidade, normalmente representada pela letra g, SEMPRE é:
a)	uma grandeza vetorial.
b)	uma grandeza constante.
c)	a força gravitacional dos corpos em queda, no vácuo.
d)	a constante da gravitação universal de Newton.
29) (Controlador civil 1/07) Sobre um ponto material de massa desprezível, aplicam-se duas forças de mesma intensidade F = 10N que formam, entre si, um ângulo de 120°. Para que o ponto fique em equilíbrio, pode-se aplicar uma terceira força cujo módulo, em newtons, deverá ser de:
a) 20.	b) 15.	c) 10.	d) 5.
30) (Controlador jan/07) Na tela de um computador, um ponto que representa uma aeronave, conforme a figura, que saí de uma posição A, desloca-se até B e depois até C. O vetor resultante desse deslocamento é representado mais corretamente pela alternativa: 
31) (EEAR 2/97 “A”) A relação correta entre os vetores representados na figura é:
a) M + N + R + S = 0 (vetor nulo)
b) M + N + S = R 
c) M + N = R + S
d) M = R; e N = S 
32) (EEAR 2/98 “A”) A figura representa uma adição vetorial cuja relação correta é:
a) E = A + D 
b) C = A + E 
c) E = A + B + D 
d) B = A + C + D + E 
33) (EEAR 2/98 “B”) Indique a expressão vetorial que relaciona os vetores da figura:
a) X - R + Z = T
b) Z + T = X - R
c) T - R + Z = X 
d) T + R - X = Z 
34) (EEAR 1/99 "A" ) No esquema abaixo, tem-se os vetores W, X, Y, Z e de módulos X=20 cm, Y -= 15 cm, Z = 20 cm e W = 15 cm. O módulo da soma vetorial de X + Y +Z vale:
a) 0 cm.	c) 55 cm.
b)15 cm.	d) 70 cm.
35) Qual das somas vetoriais abaixo tem a possibilidade de ser nula?
a) 3 + 5 + 15.	b) 3 + 5 + 1.	c) 3 + 5 + 40.	d) 3 + 5 + 4.
36) (EEAR 1/2000 "A") A razão entre os módulos das componentes perpendiculares de um vetor V é 2√2. A razão entre os módulos de V e o de sua componente menor é:
a) 3.	b) √5.	c) √7.	d) 9.
37) As forças de 6N, 4N e 2√19N estão atuando em um Ponto. O sistema encontra-se em equilíbrio. Calcular o ângulo formado pelas forças de 6N e 4N.
a) 30º		b) 45º		c) 60º		d) 90º
38) (EEAR 2/87) Duas forças de mesma intensidade formam entre si um ângulo de 60o. O módulo da resultante dessas forças é ............. (de/que) qualquer uma delas.
a) maior.	c) menor.
b) de mesma intensidade.	d) igual ao dobro do módulo.
39) (EEAR 1/88) Quando duas forças atuam num mesmo ponto na mesma direção e sentido, a sua resultante tem intensidade 64kgf, e quando atuam na mesma direção e sentidos contrários, a resultante tem intensidade 32kgf. A intensidade, em kgf, de cada uma das forças é:
a) 48 e 16.	b) 48 e 32.	c) 50 e 14.	d) 50 e 16.
40) (EEAR 1/88) O módulo da resultante das três forças concorrentes, em newtons, é:
a) 3.	c) 7.
b) 5.	d) 17.
41) (EEAR 2/88) Duas forças ortogonais cujas intensidades estão entre si na relação 4/3, atuam no mesmo ponto. A resultante do sistema tem intensidade 10N. O dobro da intensidade da menor força, em N, é:
a) 6..	b) 8.	c) 12.	d) 16.
42) A figura mostra um sistema de três forças em equilíbrio. As intensidades, em N, de F2 e F3 valem respectivamente:
a) 3 e 2√3.	c) 3 e 3√2.
b) 2√3 e 3.	d) 2√3 e 3√2. 
43) (EEAR 2/89) Duas forças concorrentes de módulos 10N e 6 N, respectivamente, têm resultante 14N. O ângulo formado pelas forças é de ......... graus.
a) 0.	b) 30.	c) 60.	d) 90.
44) (EEAR 2/91) Decompondo uma força de 12 N em duas componentes paralelas de sentidos contrários, sendo que elas estão na razão de 2/5, então o triplo da componente maior, em N, é:
a) 8.	b) 20.	c) 24.	d) 60.
45) (EEAR 2/89) Um corpo está sujeito a um sistema de três forças concorrentes coplanares. As intensidades de duas delas são 6 N e 16 N. Quanto à intensidade da terceira força F, para que haja equilíbrio, ela deve satisfazer à desigualdade:
a) F ( 6 N.	b) F ( 22 N.	c) 6N ( F ( 16 N.	d) 10 N ( F ( 22 N
46) Um ponto material está sob a ação de duas forças de mesmo módulo 50N. formando entre si ângulo de 120º. Para equilibrar o ponto, é necessário aplicar uma força de módulo:
a) 100 N.	b) 75 N.	c) 50√2 N.	d) 50 N.
47) (EEAR 2/91) Na figura, a, b e c representam deslocamentos sucessivos de um móvel. O módulo do deslocamento resultante, em cm, é igual a:
a) (13.	c) 3(5.
b) 3(3.	d) 3(2.
48) (EEAR 1/96) Indicar a relaçãocorreta entre os vetores da figura.
a) D = A - ( B + C)
b) A = D - ( B + C)
c) B + C = D - A
d) C + D = A + B
49) (EEAR 1/97 “A”) Para que uma força fique perfeitamente determinada é bastante que saibamos seu:
a) módulo e sentido.	c) sentido, módulo e ponto de aplicação.
b) sentido e direção.	d) módulo, direção, sentido e ponto de aplicação.
50) (EEAR 1/97 “A”) O módulo do vetor soma de dois vetores X e Y de módulos x e y, respectivamente, é:
a) igual a (x + y)	c) maior que (x + y).
b) igual a (y - x).	d) menor ou igual a (x + y).
Gabarito
Letra a) 5, 6, 7, 10, 15, 21, 28, 36, 38, 39, 42, 47, 48.
Letra b) 3, 8, 11, 13, 16, 18, 23, 26, 27, 33, 34, 40.
Letra c) 2, 12, 14, 17, 22, 25, 29, 30, 31, 32, 37, 41, 43.
Letra d) 1, 4, 9, 19, 20, 24, 35, 44, 45, 46, 49, 50.
QUESTÕES BÔNUS
1) (EEAR 1/09) Uma força, de módulo F, foi decomposta em duas componentes perpendiculares entre si. Verificou-se que a razão entre os módulos das componentes é √3. O ângulo entre essa força e sua componente de maior módulo é:
a) 30°.	b) 45°.	c) 60°. 	d) 75°.
2) (EEAR 1/09) Considere os vetores coplanares A , B, C, D , todos de mesmo módulo.
Sabe-se que:
- A e B possuem a mesma direção e sentidos contrários.
- B e D são vetores opostos.
- C e D possuem direções perpendiculares entre si.
Assinale a alternativa em que aparecem apenas vetores diferentes.
a) A , B, C e D.	b) B, C e D.	c) A , B e D.	d) A e D.
3) (EEAR 2/08) Ao filósofo grego Arquimedes é atribuída a descoberta do conceito de empuxo; assim, todo corpo parcial ou totalmente imerso num líquido está submetido à ação de duas forças: o peso P e o empuxo E.
Portanto, é correto afirmar, no caso de um corpo imerso totalmente em um líquido, e que ali permaneça em repouso, que as forças que atuam sobre ele podem ser, corretamente, expressas da seguinte maneira:
a) P < E.	b) P > E.	c) P − E = 0. 	d) P + E = 0.
4) (EEAR 2/08) A figura ao lado representa um corpo de massa 80 kg, em repouso, sobre um plano inclinado 30° em relação à horizontal. Considere g = 10 m/s2 , ausência de atritos e a corda inextensível e de massa desprezível.
O módulo da tração sobre a corda, para que o corpo continue em equilíbrio é ____ N.
a) 200.	b) 400.	c) 600. 	d) 800.
5) (AFA 07/08) Considere um pequeno avião voando em trajetória retilínea com velocidade constante nas situações a seguir.
(1) A favor do vento.
(2) Perpendicularmente ao vento.
Sabe-se que a velocidade do vento é 75% da velocidade do avião. Para uma mesma distância percorrida, a razão ∆t1/ ∆t2 ,
entre os intervalos de tempo nas situações (1) e (2), vale:
a) 1/3.	b) 3/5.	c) 5/7. 	d) 7/9.
6) (AFA 06/07) Uma partícula descreve movimento circular passando pelos pontos A e B com velocidades VA e VB , conforme a figura abaixo.
A opção que representa o vetor aceleração média entre A e B é:
7) (AFA 05/06) Analise as afirmativas abaixo sobre movimento circular uniforme:
I - A velocidade vetorial tem direção variável.
II - A resultante das forças que atuam num corpo que descreve esse tipo de movimento não é nula.
III - O módulo da aceleração tangencial é nulo.
Está(ão) correta(s)
a) I apenas. 		c) II e III apenas.
b) I e III apenas. 		d) I, II e III.
8) (AFA 04/05) Uma partícula descreve trajetória circular com movimento uniforme, no sentido horário, como mostra a figura.
O conjunto de vetores que melhor representa a força resultante 
, a velocidade 
 e a aceleração 
 da partícula, no ponto P indicado na figura é
 	c)	
 	d)	
9) (AFA 04/05) Durante uma decolagem, ao perder o contato com a pista, um avião mantém velocidade constante em direção que forma um ângulo de 30° com a pista horizontal. A razão entre a velocidade do avião e a velocidade de sua sombra sobre a pista é: 
a) 1/2.	b) 2.	c) √3 /2.	d) 2√3 /3.
10) (AFA 02/03 FEM) Uma criança desliza com velocidade constante sobre um escorregador, conforme indica a figura. 
A força total que o escorregador exerce sobre a criança é MELHOR representada por
11) (AFA 02/03 FEM) Uma mola impulsiona uma esfera, projetando-a horizontalmente para fora de uma mesa. Desprezando-se a resistência do ar, o esquema que representa corretamente a(s) força(s) atuante(s) sobre a esfera fora do plano da mesa é:
	c)
b)	d)
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED PBrush ���
45º
y
x
� EMBED Equation.3 ���
0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
y
x
45º
45º
�
45o
45o
F
F
F
O
S
R
M
N
E
B
C
A
D
Z
R
X
T
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
5N
4N
8N
F3
120º
150º
F2
F1 = √3N
c
b
a
1 cm
1 cm
C
B
A
D
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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