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Apostila - Calculo I - Frederico

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Solução: Neste caso, temos uma indeterminação ∞−∞ . Para determinar o limite usamos o seguinte 
artifício de cálculo. Escrevemos, 
)143( 35lim +−
+∞→
xx
x
 = 





+−
+∞→
52
5 143lim
xx
x
x
 = ∞+ ( )003 +− = ∞+ 
Observação: 
A tabela abaixo nos dá um resumo dos fatos principais 
válidos para os limites infinitos, onde podemos ter 0xx → , 
+→ 0xx , 
−→ 0xx , +∞→x ou −∞→x . 
 179 
3.1.9 Limites Fundamentais 
 
Teorema 3.6. 
 (a) 1
0
lim =
→ x
senx
x
 
 (b) ( ) ex
x
x
=+
→
11
0
lim , onde e é o número irracional neperiano cujo valor é ...597182818284,2 , 
 (c) a
x
a
x
x
ln1
0
lim =−
→
 ( 0>a , 1≠a ) 
 
Exemplo: Calcule 
xsen
xsen
x
3
2
 
0
lim
→
 
 
Solução: 
xsen
xsen
x
3
2
 
0
lim
→
 = 





⋅⋅
→ xsen
x
x
x
x
xsen
x
3
3
3
2
2
2
 
0
lim = 
xsen
x
x
x
x
x
x
xsen
x
3
3
 
03
2
 
02
2
0
limlimlim
→
⋅
→
⋅
→
 = 
x
xsen
x
x
x
x
x
xsen
x
3
3
0
1
3
2
 
02
2
0 lim
limlim
→
⋅
→
⋅
→
 = 
1
1
3
21 ⋅⋅ = 
3
2
. 
Neste exemplo, 
x
xsen
x 2
2
0
lim
→
 
=
 
u
senu
u
lim
0→
 
=
 1 , onde xu 2= e 0→u quando 0→x . 
Analogamente, 
 
x
xsen
x
3
3
0
lim
→
 = 1 e 
3
2
3
2
 
0
lim =
→
x
x
x
 
4. Avaliando o que foi construído 
 
 Nesta unidade você travou o primeiro contato com o estudo de limites de funções, foi 
apresentado ao conteúdo programático, bem como aprendeu a calcular, através dos exemplos, 
usando as propriedades, alguns limites de funções. Porém, fique certo, ainda há muito que aprender 
dentro de tema. 
 No Moodle... 
 180 
 
 
 
 
5. Referências 
 
1. Flemming, Diva M., Gonçalves, Mirian B., CÁLCULO A – FUNÇÕES, LIMITE, DERIVAÇÃO E 
INTEGRAÇÃO. Editora da UFSC, 5a Edição, 1987. 
 
2. Ávila, G.,CÁLCULO I: FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL, Editora LTC, 6a Edição 1994. 
 
3. Thomas, George B., CÁLCULO, Vol. 1, Editora Pearson Education do Brasil, 10a 
Edição, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pois é. Você precisa visitar o espaço reservado à disciplina Cálculo 
Diferencial I na plataforma MOODLE, onde terá a oportunidade de revisar, 
testar e enriquecer seus conhecimentos. Lembre-se de que somos 
parceiros nos estudos e, portanto, eu não pretendo seguir adiante sem que 
você me acompanhe. Aguardo você no MOODLE! 
 181 
Unidade II Continuidade 
1. Situando a Temática 
 Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma 
função cujos valores foram gerados em laboratórios ou coletados no campo, geralmente unimos 
esses pontos por uma curva não interrompida para mostrar quais seriam os valores prováveis da 
função em todos os instantes em que não medimos (Figura 5). Fazendo isso, supomos que estamos 
trabalhando com uma função contínua, uma função cujos valores variam continuamente e não 
saltam de um valor para outro sem assumir todos os valores entre eles. 
 Qualquer função cujo gráfico possa ser esboçado sobre o domínio em um único movimento 
contínuo, sem levantar o lápis, é um exemplo de função contínua. Mas uma função pode ser contínua 
e seu gráfico se compor de dois “pedaços” distintos. Verifique esta afirmação. Estudaremos, nesta 
unidade, a idéia de continuidade. 
 
 
Figura 5: Mostra como os batimentos cardíacos retornam ao normal depois de uma corrida. 
 O conteúdo desta unidade está distribuído nos tópicos seguintes: 
• Continuidade em um ponto 
• Teste de Continuidade 
• Propriedades de Funções Contínuas 
• Composta de Funções Contínuas 
• Teorema do Valor Intermediário 
 
 
 182 
2. Problematizando a Temática 
 As funções contínuas são usadas para achar o ponto em que um planeta mais se 
aproxima do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sangüíneo. Elas também são as 
funções que usamos para descrever como um corpo se move através do espaço ou como a 
velocidade de uma reação química varia com o tempo. Na verdade, tantos processos físicos ocorrem 
de modo contínuo que nos séculos XVIII e XIX raramente se pensou em pesquisar qualquer outro tipo 
de comportamento. Foi uma surpresa quando os físicos descobriram, em 1920, que a luz vem em 
partículas e que os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas (Figura 6). Como 
conseqüência dessas e de outras descobertas e em função do grande uso de funções descontínuas 
na ciência da computação, na estatística e em modelos matemáticos, o tema da continuidade se 
tornou importante tanto prática quanto teoricamente. 
 
Figura 6 
3. Conhecendo a Temática 
 
3.1. Continuidade em um Ponto 
 
 Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua em um ponto Ia ∈ quando 
)()(lim afxf
ax
=
→
 
 
 
 
 
 
 183 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo: Uma função com Descontinuidade de Salto 
 A função Salto Unitário definida por 



≥
<
=
0 ,1
0 ,0)(
x
x
xU é contínua à direita em 0=x , mas não 
é contínua à esquerda nem contínua aí (Veja Figura 2(a)). Ela apresenta descontinuidade de salto 
em 0=x 
 
3.2 Continuidade 
 
Definição. Seja ⊆I ℝ um intervalo. Uma função →If : ℝ é contínua quando f é contínua em 
todo ponto Ia ∈ 
 
Exemplo: Identificando Funções Contínuas 
 
A função 
x
xf 1)( = ( Figura 3) é contínua em todo 0≠x . 
3.3 Propriedades de Funções Contínuas. 
Teorema 3.3: Se f e g são funções contínuas em ax = , então as seguintes combinações são 
contínuas em ax = . 
 1. Soma: gf + 
 2. Diferença: gf − 
 3. Produto: gf ⋅ 
 4. Constantes Múltiplas: fk ⋅ , para qualquer número k 
 5. Quociente: gf , desde que 0)( ≠ag 
 
Considerações sobre a Definição 
(a) Quando f não é contínua em um ponto a , dizemos que f é descontínua em a e que a 
é um ponto de descontinuidade de f ; 
 (b) f contínua à esquerda no ponto ax = quando )()(lim afxf
ax
=
→ −
; 
 (c) f contínua à direita no ponto ax = quando )()(lim afxf
ax
=
→ +
. 
 184 
3.4. Composta de Funções Contínuas. 
 
Teorema 3.4. Se f é contínua em a e g em )(afb = , então a composta fg o é contínua em a , 
isto é, ))(())(())(( limlim afgxf
ax
gxfg
ax
=
→
=
→
 
 
Exemplo: Usando as propriedades de funções contínuas, conclua que a função 
 
1
1)( 2 +
+
=
x
x
xh é contínua em 1=x 
Solução: Sejam 
1
1)( 2 +
+
=
x
x
xf e xxg =)( . Daí, ))(())(()( xfgxfgxh == o . Sendo 
1
11
11)1( 2 =+
+
=f e 11)1())1(( === gfg , tem-se que 
 
))1((1
11
11
1
1)())(( 22limlimlim
111
fg
x
x
xhxfg
xxx
==
+
+
=
+
+
==
→→→
 
 
3.5. Teorema do Valor Intermediário 
 
Teorema 3.5. .Seja [ ] →baf ,: ℝ uma função contínua em um intervalo fechado [ ]ba, tal que 
)()( 0 bfyaf ≤≤ , então )(0 cfy = para algum c em [ ]ba, . 
 
 
 
 
 
 
 
 185 
Exemplo: Aplicando o Teorema 3.5 
 
Existe algum número real que somado a 1 seja exatamente igual ao seu cubo? 
 
Solução: A resposta para esta pergunta está no Teorema do Valor Intermediário. 
Com efeito, seja x este tal número que deve satisfazer

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