Equações Diferenciais Ordinárias

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Equações Diferenciais Ordinárias
Aplicações
Decaimento radioativo 
Resultados experimentais mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa
proporcional à quantidade presente do elemento. Se Q = Q(t) é a quantidade presente de certo
elemento radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t,
denotada por dQ/dt, é dada por: 
dQ/dt = - k Q(t) 
onde k é uma constante que depende do elemento. 
Crescimento Populacional: Malthus
Para aplicação de equações diferenciais relacionadas ao problema do crescimento populacional,
consideraremos o modelo matemático mais simples para tratar sobre o crescimento populacional
de algumas espécies. Ele é chamado o Modelo de Crescimento Exponencial, isto é, a taxa de
variação da população em relação ao tempo, aqui denotada por dP/dt, é proporcional à população
presente. Em outras palavras, se P=P(t) mede a população, nós temos:
dP/dt = k P
onde a taxa k é uma constante. É simples verificar que se k>0, nós teremos crescimento e se k<0,
nós teremos decaimento. Esta é uma EDO linear que quando resolvida nos dá:
P(t) = Po ek.t
onde Po é a população inicial, isto é P(0)=Po.
Lei do resfriamento de Newton 
Um modelo real simples da troca de calor entre um corpo e o meio ambiente onde está situado,
admite três hipóteses básicas: 
1. A temperatura T = T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.
2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência.
3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de
temperatura entre o corpo e o maio ambiente.
Dessa forma, a EDO que descreve o problema é: 
dT/dt = -k (T-Tm) 
onde T = T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio
ambiente, T-Tm é a diferença de temperatura e k é uma constante positiva que depende do
material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está
diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente. 
Escoamento de líquido de um tanque
Considere o problema do líquido se escoando de um tanque através de uma pequena abertura na
base. 
Verifica-se por observação que, quando o líquido escorre livremente, sob ação da parte superior
do líquido a velocidade de escoamento é proporcional a √(gy) , sendo y a altura do liquido acima
do orifício. Assim, o volume de liquido que se escoa pelo orifício de área A , por unidade de
tempo, será kA√(gy) . A constante de proporcionalidade k depende dos detalhes da configuração
do orifício e do tanque, como um todo, mas é, em geral, da ordem da unidade. 
Exercícios:
1. Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo no
final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo.
2. Um tanque contém 10 litros de água salgada na qual está dissolvido 5 gr de sal. Salmoura
contendo 3gr. de sal por litro entra no tanque a velocidade de 2l por minuto e é misturado
completamente saindo então com a mesma velocidade. Encontre a quantidade de sal em
cada instante de tempo t. Qanto sal está presente depois de 10min?
3. Um corpo a 100° é posto numa sala onde a temperatura ambiente se mantém
constantemente 25°. Após 5 minutos, a temperatura do corpo caiu para 90°. Depois de
quanto tempo o corpo estará a 50°?
4. A altura h da água que está fluindo de um orifício no fundo de um tanque é dada por
gh
A
A
dt
dh
w
20 onde 232 s
mg  , wA é a área da seção transversal da água e 0A é a
área da seção transversal do orifício. Resolva a equação diferencial se a altura inicial da
água era 20m, 250mAw  e 
2
0 4
1 mA  . Qando o tanque estará vazio?
5. A meia-vida do elemento rádio 226 é de 1620 anos. Determine o tempo necessário para
que uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a 3/4 do original.
6. A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização da água que
os habitantes usam. No reservatório local, que possui 300 mil metros cúbicos de água, há
2000 kg de flúor. O consumo médio de água na cidade é de 3 mil metros cúbicos por dia e
a água utilizada é reposta com fluorização de 100 gramas de flúor por m3. Determine a
quantidade de flúor no reservatório em um tempo t qualquer.
7. Qal deve ser a temperatura da água para que um objeto de ferro de 0, 5kg a 100° imerso
em 4kg de água venha a uma temperatura de 30° em meia-hora? (O calor específico do
ferro é 0, 113 (cal g °-¹).
8. O café está a 90° logo depois de coado e, um minuto depois, passa para 85°. A
temperatura da cozinha é constante igual a 25°. Determine quanto tempo levará para
que o café chegue a 60°.
9. A população de uma grande cidade é descrita pelo problema de valor inicial
500)0(),
1010
1( 7  P
PP
dt
dP
, em que t é medido em meses. Qal é o valor limite da 
população? Qando a população será igual a metade desse valor limite?
10. Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao
número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 anos,
quando ela triplicará?
11. Suponha que a população de peixes P em um lago seja atacada por uma doença no
instante t=0, de tal forma que a variação da população a partir desse instante seja dada
por 
dP
dt
=−k √ P onde k é uma constante positiva. Se havia inicialmente 900 peixes no
lago, e só restaram 441 após 6 semanas, quanto tempo levará até que toda a população de
peixes tenha morrido?