Relatório: Determinação da aceleração da Gravidade através do Pêndulo Simples

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Larissa Andrade de Luna – Turma 3
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto Armando Dias Tavares
Departamento de Física Nuclear e Altas Energias
Rio de Janeiro
22-07-2014
Relatório de Física Geral
Professora Márcia Begalli
Pêndulo Simples
Rio de Janeiro
22-07-2014
Sumário
Introdução Teórica
O pêndulo simples é um sistema constituído de um fio inextensível e de massa desprezível que contém comprimento l, tendo em sua extremidade inferior um corpo de massa m e sua extremidade superior fixa em um ponto, tal que ele possa oscilar livremente. 
A forma mais simples de oscilação, o movimento harmônico simples (MHS), é o movimento que ocorre quando numa trajetória retilínea, uma partícula oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força resultante. 
Neste caso, quando o corpo de massa m é deslocado de sua posição de repouso e solto, o pêndulo realiza oscilações e ao considerarmos desprezível a resistência do ar, as únicas forças atuantes sobre o pêndulo serão a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma: 
A componente da força Peso que é dada por P.cosθ se anulará com a forca Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório será a P.senθ. Então:
Px = P.senθ = m.g.senθ (1)
Note que esta força não é proporcional ao deslocamento angular θ, e sim a senθ; o movimento resultante, portanto, não será harmônico simples.
 No entanto, se o ângulo θ for muito pequeno (até 15°), o senθ será aproximadamente igual a θ (medido em radianos), por exemplo: 
θ = 5° = 0,0873 radiano, logo senθ = 0,0873
θ = 10° = 0,1745 radiano, logo senθ = 0,1736
θ = 15° = 0,2618 radiano, logo senθ = 0,2588
O deslocamento ao longo do arco é 𝑥 = L.θ, e para pequenos ângulos, o movimento será praticamente retilíneo. Portanto, supondo senθ θ = , podemos reescrever a equação da seguinte forma:
F = m.g.senθ (2)
m.a = m.g. (3)
a = . 𝑥 (4)
Sendo f a frequência, T o período e 𝜔 a grandeza denominada pulsação, temos: 
f = e 𝜔 = 2𝜋f = (5)
Sendo aceleração no MHS definida como: 
|𝑎| = 𝜔². 𝑥 (6)
Podemos substituir a equação (5) na (6), obtendo-se: 
𝑎 = . 𝑥 (7)
Comparando a equação (7) com a equação (4), podemos escrever:
= → 𝑇 = 2𝜋 (8)
Logo, observa-se que o período do pêndulo simples independe de sua massa e a aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação:
 = 4𝜋² (9)
Objetivo do Experimento
O procedimento experimental tem como objetivo a determinação do valor da aceleração da gravidade local e o estudo das características do movimento de um pêndulo simples.
Esquema Experimental
O material necessário para a realização do experimento foi:
Kit fornecido pelo laboratório de Física Geral
Fio de comprimento variável dentro do intervalo de 60cm a 100cm
Trena para medida do fio
Transferidor para medida do ângulo inicial do pêndulo
Cronômetro para medida do tempo de oscilação do pêndulo
Procedimentos
Para atender ao objetivo deste experimento, foram feitos os seguintes procedimentos:
Ajusta-se o comprimento do fio do pêndulo, de modo que tenha uma medida determinada da ponta do fio ao centro de massa do corpo. Meça o comprimento, em centímetros, do pêndulo;
Para a realização do experimento, desloca-se o corpo da posição de equilíbrio, até um ângulo , obedecendo à relação de que este ângulo não deve ser maior do que 15° (a angulação deve ser pequena para considerarmos um pêndulo simples);
Após ter deslocado a massa e determinado uma posição inicial de lançamento, solta-se a massa e marca-se o tempo de 20 oscilações completas*, repetindo esta operação 10 vezes para cada comprimento L do fio.
*Quando a leitura da medida de uma grandeza depende da reação do observador e a resolução do instrumento for muito menor do que essa reação, o melhor é realizar várias leituras, em que o tempo de observação é muito maior que o de reação, para diminuir a incerteza. (Estimativas e erros em experimentos de física – 3ª ed. pág. 50)
Neste caso, na medição do período de um pêndulo por um cronômetro de resolução da ordem de centésimo de segundo, precisam-se medir várias vezes o intervalo de tempo correspondente aos períodos e estimá-lo pela sua média, uma vez que o tempo de reação humano é da ordem das dezenas de segundos.
Valores de referência/Dados:
	
Aceleração da gravidade:
	
g = 4𝜋² 
Onde L é o comprimento do fio medido em metros (m) e T² é o período ao quadrado medido em segundos ao quadrado (s²).
Utilizando-se do 1º método, temos que:
	Média da gravidade:
	9,88 m/s²
	Desvio padrão da gravidade:
	0,1755 m/s²
	Erro da média:
	0,0785 m/s²
 
A partir dos dados obtidos acima, apresentamos o valor da aceleração da gravidade como: 
g = (9,88 ± 0,08) m/s²
Para sabermos se o valor encontrado é compatível com o valor de referência adotado como 9,8 m/s², empregamos a seguinte equação:
| – x ref| < 2
|9,88 – 9,80| < 2 x 0,0785
0,08 < 0,157
Podemos então concluir, que a estimativa encontrada é compatível com o valor de referência.
Valores de referência/Dados: 
	
Aceleração da gravidade:
	
9,80 m/s²
	 
Erro de L (incerteza do comprimento):
	
1 mm = m
	 
Erro de T (incerteza do período):
	
0,16 s
Onde a incerteza do comprimento é igual a menor divisão da escala da trena e a incerteza do período relacionada com o intervalo de tempo entre um estímulo sensorial e o acionamento do aparelho, ou seja, com o tempo de reação humano.
Utilizando-se do 2º método, temos que:
Propagação de erros:
 Para 100 cm(1m):
	g = x g
g = x 10,02
g 1,6 m/s²
O erro obtido acima equivale ao erro sistemático esperado a partir do erro dos equipamentos utilizados (trena e cronômetro), que não estão correlacionados uma vez que a incerteza no comprimento do fio não interfere na incerteza do período de oscilação do pêndulo.
A partir dos resultados alcançados, temos a seguinte aceleração da gravidade a partir do comprimento de 100 cm (1m) de fio:
g = (10,02 ± 1,6) m/s²
Para verificarmos a compatibilidade, façamos:
| – x ref| < 2
|10,02 – 9,80| < 2 x 1,6
0,22 < 3,2
Logo, a estimativa da aceleração da gravidade para o comprimento de fio de 1m é dita compatível com o valor esperado.
Utilizando-se do 3º método, temos que:
Sabe-se que o período de um pêndulo pode ser dado pela relação T=2, onde g é a aceleração da gravidade. Realizando uma manipulação podemos enfim obter L = T², mas a partir da figura pode-se ver que l + d, então fazemos a associação da equação do pêndulo a uma equação de reta:
 = T² - d
A equação da reta é y = ax + b então para esse problema, temos: y = l, a = , b = -d e x=T². 
Por fim, a partir dessas relações, foram obtidos os valores a seguir:
	
	Fórmula:
	Valor encontrado:
	Estimativa-padrão:
	
Coeficiente angular da reta formada pelo gráfico L x T² (a):
	
a = 
	
a 0,27 
	
a = (0,27 ± 0,02)
	
Coeficiente linear da reta formada pelo gráfico L x T² (b):
	
b = - a.
	
b - 0,06
	
b = (-0,06 ± 0,04)
	
Coeficiente de correlação linear de Pearson entre L e T² (r):
	
r = 
	
r = 0,99
	
	
Gravidade (g):
	
a = 
	
g = 10,65 m/s²
	
g = (10,65 ± 0,79) m/s²
Substituímos na equação a = o valor encontrado deste coeficiente angular da reta (a) para que calculemos o valor da gravidade, adotando = 3,14.
0,27 = 
g = 39,4384 x 0,27
g 10,65 m/s²
Derivando a mesma equação, obtemos o erro da gravidade:
a = → = 
 = 4(3,14)² x 0,02
 0,79 m/s²
Logo, como estimativa-padrão para a aceleração da gravidade, encontramos:
g = (10,65 ± 0,79) m/s²Verificando a compatibilidade, façamos:
| – x ref| < 2
|10,65 – 9,80| < 2 x 0,79
0,85 < 1,58
Portanto, a estimativa da aceleração da gravidade neste método foi compatível com o valor esperado.
Quadro comparativo: 
	
Método:
	
Gravidade – g (m/s²):
	
Erro da gravidade – (m/s²):
	1º
	9,88
	0,08
	2º
	10,02
	1,6
	3º
	10,65
	0,79
Tabela 2 – Valores da gravidade e do erro da gravidade obtidos em cada método utilizado.
Conclusão 
Através da análise dos resultados, conclui-se que os valores usados no comprimento do fio (L) e os valores encontrados do período de oscilação do pêndulo (T²) possuem de fato uma forte correlação, que se comprova pelo fato do valor do coeficiente de correlação linear encontrado ter sido 0,99 - estando muito próximo de 1,00 (que representa uma correlação perfeita).
Além disso, a partir da realização deste experimento, foram obtidos valores da aceleração da gravidade local de três distintos métodos, sendo o resultado do método 1 o mais exato e o mais preciso, ou seja, o que obteve o valor da aceleração da gravidade local (9,88 m/s²) mais próximo do valor de referência (9,80 m/s²) e o que conseguiu menor erro possível (0,08 m/s²).
Já o método 2 teve um erro considerado grande, por causa dos erros na medição do fio, devido a incerteza causada pela trena que possui como menor divisão da escala: 1mm e na contagem do período, devido a incerteza causada pelo tempo de reação de cada pessoa ao acionar o botão do cronômetro. Para contornar este problema, seria necessário utilizar equipamentos mais precisos, pois as medidas foram feitas com instrumentos analógicos e a olho nu, o que ocasiona erros em relação à leitura direta.
No método 3, observamos uma estimativa da aceleração da gravidade local compatível com o valor esperado, porém com menos precisão do que o método 1, uma vez que seu erro foi maior do que o encontrado anteriormente no primeiro método.
Por fim, podemos dizer que o experimento alcançou resultados satisfatórios, estando sujeito somente a erros sistemáticos que podem ser corrigidos utilizando equipamentos digitais que oferecem maior garantia na precisão. 
Referências
SANTORO, A. et al. Estimativas e erros em experimentos de física. 3. ed. [S.l.]: EdUerj, 2013. 140 p. ISBN 978-85-7511-284-7. 
WIKIPEDIA. Pêndulo. 2013. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Pndulo
SÓ FISICA. Pêndulo Simples. Disponível em: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php