lista 1 física 3

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Lista de exercı´cios 3 – Capı´tulo 23 Tipler & Mosca
1. Um campo ele´trico uniforme de 2kN/m atua na direc¸a˜o x. Uma carga puntiforme positiva Q = 3µC
e´ abandonada do repouso na origem. (a) qual e´ a direc¸a˜o de potencial V (4m)−V (0)? (b) Qual e´ a
variac¸a˜o na energia potencial da carga desde x = 0 ate´ x = 4m? (c) Qual e´ a energia cine´tica da carga
quando ela e´ posicionada em x= 4m? (d) Determine a func¸a˜o potencialV (x) considerando que seja nula
em x= 0, (e) considerando que seja igual a 4kV em x= 0, e (f) considerando que seja nula em x= 1m.
2. Quatro cargas puntiformes de 2µC sa˜o posicionadas nos ve´rtices de um quadrado de 4m de lado. Deter-
mine o potencial no centro do quadrado (relativamente a um potencial nulo no infinito) se (a) todas as
cargas forem positivas, (b) treˆs das cargas forem positivas e uma negativa e (c) duas forem positivas e
duas forem negativas.
3. Uma esfera com 60cm de raio tem seu centro na origem. Cargas ideˆnticas de 3µC sa˜o colocadas a
intervalos de 60◦ ao longo do plano equatorial da esfera. (a) Qual e´ o valor do potencial ele´trico na
origem? (b) Qual e´ o valor do potencial ele´trico no po´lo norte?
4. A figura ao lado mostra um conjunto de partı´culas carregadas,
com distaˆncia a = 39cm e as cargas mostradas sa˜o mu´ltiplos
de q1 = 3,4pC e q2 = 6,0pC. Considerando V = 0 no infinito,
qual e´ o valor do potencial no centro do retaˆngulo?
5. Para a configurac¸a˜o de carga mostrado abaixo, mostre que
V (r) para pontos sobre o eixo vertical, supondo r� d, e´ dado
por
V =
kq
r
(
1+
2d
r
)
1
6. Qual e´ o potencial resultante no ponto P devido a`s quatro car-
gas puntiformes, tomando-se V = 0 no infinito, q = 5 fC e
d = 4cm?
7. Duas cargas positivas +q sa˜o posicionadas sobre o eixo x em x=+a e x=−a. (a) Determine a func¸a˜o
potencial V (x) em func¸a˜o de x para os pontos sobre o eixo x. (b) Fac¸a um esquema da curva representa-
tiva da func¸a˜o V (x) versus x. (c) Qual e´ o significado do ponto de mı´nimo nessa curva?
8. Uma carga puntiforme de +3e e´ posicionada na origem e uma segunda carga puntiforme de −2e e´
posicionada sobre o eixo x em x= a. (a) Fac¸a um esquema da func¸a˜o potencial V (x) versus x para todo
x. (b) Em que ponto ou pontos o potencial V (x) e´ nulo? (c) Qual e´ o valor do trabalho necessa´rio para
trazer uma terceira carga de +e para o ponto x= a/2 sobre o eixo x?
9. Um campo ele´trico uniforme atua no sentido positivo da direc¸a˜o y. Os pontos a e b esta˜o sobre o eixo
y, a em y = 2m e b em y = 6m. (a) A diferenc¸a de potencial Vb−Va e´ positiva ou negativa? (b) Se o
mo´dulo de Vb−Va for de 2×104V , qual sera´ o mo´dulo E do campo ele´trico?
10. Uma carga q e´ posicionada em x = 0 e uma carga −3q e´ posicionada em x = 1m. (a) Determine V (x)
para um ponto gene´rico sobre o eixo x. (b) Determine os pontos sobre o eixo x onde o potencial e´ nulo.
(c) Qual e´ o valor do campo ele´trico nesses pontos? (d) Fac¸a um esquema mostrando a curvaV (x) versus
x.
11. Treˆs cargas ideˆnticas sa˜o colocadas sobre o plano xy. Duas esta˜o sobre o eixo y em y=−a e y=+a, e
a terceira esta´ sobre o eixo x em x = a. (a) Qual e´ o potencialV (x) devido a essas cargas em um ponto
qualquer sobre o eixo x? (b) Determine Ex ao longo do eixo x a partir da func¸a˜o potencial V (x). Analise
suas respostas para os itens (a) e (b) na origem e em x= ∞ para verificar se elas fornecem os resultados
esperados.
12. Uma barra de comprimento L possui carga Q uniformemente distribuı´da ao longo de seu comprimento.
A Barra apo´ia-se no eixo y com seu centro na origem. (a) Determine o potencial ele´trico em func¸a˜o da
posic¸a˜o ao longo do eixo x. (b) Mostre que o resultado obtido no item (a) reduz-se a V = kQ/x para
x� L.
13. Um disco de raio R possui distribuic¸a˜o superficial de carga expressa por σ = σ0R/r. (a) Determine a
carga total no disco. (b) Determine o potencial ele´trico sobre o eixo do disco a uma distaˆncia x de seu
centro.
2
14. Um disco de raio R possui tem densidade de carga +σ0para r < a e densidade de carga igual e oposta
−σ0para a< r< R. A carga total do disco e´ igual a 0. (a) Determine o potencial ele´trico a uma distaˆncia
x ao longo do eixo x do disco. (b) Obtenha uma expressa˜o aproximada para V (x) quando x� R.
15. Um disco pla´stico de raio R= 64cm e´ carregado sobre um lado com uma densidade superficial de carga
σ = 7,73 fC/m2, e a seguir, treˆs quadrantes do disco sa˜o retirados. O quadrante que resta, e´ mostrado na
figura. Com V = 0 no infinito, qual e´ o potencial criado por esse quadrante no ponto P, que esta´ sobre o
dentral do disco original a uma distaˆncia D= 25,9cm?
16. A figura abaixo msotra treˆs arcos circulares na˜o-condutores de raio R = 8,50cm. As cargas dos arcos
sa˜o q1 = 4,52pC, q2 =−2q1, q3 = +3q1. Com V = 0 no infinito, qual e´ o potencial ele´trico resultante
devido aos arcos no centro comum?
17. Um ele´tron e´ solto do repouso no eixo de um dipolo ele´trico que tem carga e e separac¸a˜o d = 20pm e
que e´ fixo. O ponto de liberac¸a˜o e´ do lado positivo do dipolo, a uma distaˆncia 7d do centro do dipolo.
Qual e´ a velocidade do ele´tron quando ele alcanc¸a um ponto 5d do centro do dipolo?
3
18. A figura abaixo mostra um anel de raio externo R= 13cm, e raio interno r = 0,2R, e densidade de carga
superficial uniforme σ = 6,2pC/m2. Com V = 0 no infinito, determine o potencial ele´trico no ponto P
no eixo central do anel, a uma distaˆncia z= 2R do centro do anel.
19. Uma casca esfe´rica condutora de raio interno b e raio externo c e´ conceˆntrica com uma pequena esfera
meta´lica de raio a < b. A esfera meta´lica apresenta carga positiva Q. A carga total na casca esfe´rica
condutora e´ −Q. Qual e´ o potencial ele´trico devido a este sistema nas regio˜es (a) r < a, (b) a < r < b,
(c) b< r < c, e (d) r > c?
20. Duas cascas cilı´ndricas coaxiais condutoras muito longas teˆm cargas iguais e opostas. A casca interna
apresenta raio a e carga +q; a outra casca tem raio b e carga−q. O comprimento de cada casca cilı´ndrica
e´ L. Obtenha a diferenc¸a de potencial ele´trico entre as cascas.
21. Uma esfera uniformemente carregada tem um potencial ele´trico de 450V em sua superfı´cie. A uma
distaˆncia radial de 20cm de sua superfı´cie o potencial e´ de 150V . Qual e´ o raio da esfera e qual a carga
da esfera?
22. Considere dois planos paralelos infinitos carregados, um no plano yz e outro a uma distaˆncia x = a. (a)
Obtenha o potencial ele´trico para uma posic¸a˜o qualquer do espac¸o, considerando V = 0 em x = 0 se os
planos apresentam densidades de carga positiva iguais a +σ . (b) Repita o problema com densidades de
carga iguais e opostas, e a carga no plano yz positiva.
23. Um plano infinito carregado mostra uma densidade superficial de carga de 3,5µC/m2. Qual e´ a distaˆncia
existente entre duas superfı´cies equ¨ipotenciais cujos potenciais diferem de 100V?
24. (a) Determine a carga ma´xima resultante que pode ser colocada em um condutor esfe´rico com 16cm de
raio antes de ocorrer a ruptura diele´trica do ar. (b) Qual e´ o potencial da esfera quando ela tem essa carga
ma´xima?
25. Uma determinada carga e´ colocada em duas esferas condutoras bem afastadas uma da outra e conectadas
atrave´s de um longo fio fino. Os raios das esferas sa˜o 5cm e 12cm. O campo ele´trico na superfı´cie da
esfera maior e´ de 200kV/m. Determine a densidade superficial de carga em cada esfera.
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26. Duas cascas esfe´ricas conceˆntricas teˆm cargas iguais e opostas. A casca interna possui um raio a e uma
carga +q; a casca externa tem raio b e carga −q. Determine a diferenc¸a de potencial entre as cascas.
27. Duas cargas positivas +q sa˜o posicionadas sobre o eixo y em y=+a e y=−a. (a) Determine a func¸a˜o
potencial V (x) em func¸a˜o de x para os pontos sobre o eixo x. (b) Utilize o resultado do item (a) para
obter o campo ele´trico em um ponto qualquer sobre o eixo x.
28.
Uma carga puntiforme Q e´ posicionada na origem. Uma partı´cula de massa m = 0,002kg tem carga de
4µC. A partı´cula e´ abandonada a partir do repouso em x= 1,5m. Sua energia cine´tica quando passa por
x= 1m e´ de 0,24J. Determine a carga Q.
29. Uma carga puntiforme positiva +Q e´ posicionada em x = −a. (a) Qual e´ o trabalho necessa´rio para
trazer uma segunda carga puntiforme positiva ideˆntica +Q do infinito ate´ x = +a? (b) Com as cargas
puntiformes positivas iguais em x =−a e x = +a, qual e´ o trabalho necessa´rio para trazer uma terceira
carga −Q do infinito ate´ a origem?
30. Uma carga de 2nC e´ uniformemente distribuı´da ao longo de um anel com 10cm de raio com centro
na origem e eixo apoiado sobre o eixo x. Uma carga puntiforme de 1nC e´ localizada em x = 50cm.
Determine o trabalho necessa´rio para mover a carga puntiforme ate´ a origem. Fornec¸a a resposta em
joules e em ele´trons-volt.
31. Um condutor esfe´rico de raio R1 e´ carregado ate´ 20kV . Quando ele e´ conectado por um longo fio fino
a uma segunda esfera condutora bem afastada, seu potencial cai para 12kV . Qual e´ o raio da segunda
esfera?
32. Uma esfera meta´lica centrada na origem apresenta uma carga em sua superfı´cie cuja densidade e´ σ =
24,6nC/m2. Em r = 2m, o potencial e´ de 500V e a intensidade do campo ele´trico e´ de 250V/m. Deter-
mine o raio da esfera meta´lica.
Respostas
1. (a) −8,00kV , (b)−24,0mJ, (c) 24,0mJ, (d) −(2kV/m)x, (e) 4kV − (2kV/m)x, e (f) 2kV − (2kV/m)x.
2. (a) 25,4kV , (b) 12,7kV , (c) 0.
3. (a) 270kV , (b) 191kV .
4. V = 16kq2a = 2,21V .
6. V = kq2d = 5,62×10−4V .
7. (a) V (x) = kq
[
1
|x−a| +
1
|x−a|
]
, (c) Ex = 0.
8. (b) x=±∞, x= 0,6a e x= 3a, (c) W = 2ke2a .
9. (a) Vb−Va < 0, (b) Ey = 5kV/m.
10. (a) V (x) = kq
[
1
|x| − 3|x−1|
]
, (b) x = −0,5m e x = 0,25m, (c)
E =
kq
[
− 1x2 + 3(x−1)2
]
, x< 0
kq
[
1
x2 +
3
(x−1)2
]
, 0 < x< 1
5
11. (a) V (x) = kq
[
2√
x2+a2
+ 1|x−a|
]
, (b) E =

kq
[
2x
(x2+a2)
3
2
− 1
(x−a)2
]
, x< a
kq
[
2x
(x2+a2)
3
2
+ 1
(x−a)2
]
, x> a
12. (a) V (x) = kQL ln
[√
1+ 4x
2
L2
+1√
1+ 4x
2
L2
−1
]
.
13. (a) Q= 2piσ0R2, (b) V (x) = σ0R2ε0 ln
[
R+
√
x2+R2
x
]
.
14. (a) V (x) = σ02ε0 x
(
2
√
1+ R
2
2x2 −
√
1+ R
2
x2 −1
)
, (b) V (x) = σ032ε0
R4
x3 .
15. Vquad = σ8ε0
[√
R2 +D2−D
]
= 4,71×10−5V
16. V = 2kq1R = 0,956V .
17. v=
√
2ke2
md
( 1
25 − 149
)
= 7×105m/s.
18. V = σ2ε0
(√
z2 +R2− z
)
− σ2ε0
(√
z2 + r2− z
)
= 1,03×10−2V .
19. (a) V = kq
(1
a − 1b
)
, (b) V = kq
(1
r − 1b
)
, (c) V = 0, e (d) V = 0.
20. Vb−Va =−2kqL ln
(b
a
)
.
21. R= 0,1m e Q= 5,01nC.
22. (a) V =

σ
ε0 x, x< 0
0, 0 < x< a
σ
ε0 (a− x) , x> a
, (b) V =

0, x< 0
− σε0 x, 0 < x< a
− σε0a, x> a
.
23. 0,506mm.
24. (a) 8,54µC, (b) Vmax =±480kV .
25.
σ5 = 4,25µC/m2σ12 = 1,77µC/m2 .
26. Va−Vb = kq
(1
a − 1b
)
.
27. (a) V = 2kq√
x2+a2
, (b) ~E = 2kqx
(x2+a2)
3
2
iˆ.
28. Q=− K f
kq
(
1
x f
− 1xi
) =−20µC.
29. (a) W = kQ
2
2a , (b) W =−2kQ
2
a .
30. W = 1,45×10−7J = 9,06×1011eV .
31. R2 = 23R1.
32. 0,60m.
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