Formulário completo análise de circuitos elétricos

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Senoides e Fasores 
Relações trigonométricas 
 cos α = sen (α + 90°) 
 sen α = cos (α – 90°) 
 sen (-α) = -sen α 
 cos (-α) = cos α 
 -sen α = sen (α ± 180°) 
 -cos α = cos (α ± 180°) 
Senoides 
 𝑣(𝑡) = �̂�𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) 
 𝜔 = 2𝜋𝑓 
 𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
1
𝑓
 
 �̂�, 𝑉𝑚 ou 𝑉𝑝: Valor de pico, valor máximo da forma de onda. 
 𝑣(𝑡): Valor instantâneo, amplitude da forma de onda em um instante qualquer. 
 𝑉𝑝𝑝: Valor pico a pico, diferença entre os valores de pico positivo e negativo. 
 𝑇: Período, intervalo de tempo entre repetições sucessivas. 
 ω: Frequência angular em radianos/segundos. 
 f: Frequência em Hz. 
Números complexos 
 𝑗 = √−1, 𝑗2 = −1, −𝑗 =
1
𝑗
, em engenharia o número imaginário i é chamado de j para não 
confundir com a corrente i. 
 𝑗 = 1∠90𝑜, −𝑗 = 1∠−90𝑜 
 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 
 𝑧 = 𝑟∠𝜑 = 𝑟𝑒𝑗𝜑 
 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 e 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑦
𝑥
 
 𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜑 e 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜑 
 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 = 𝑟∠𝜑 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑟𝑠𝑒𝑛𝜑 
Fasores 
 𝑽 = �̂�. 𝑒𝑗𝜑 = �̂�∠𝜑 
 𝑰 = 𝐼∠𝜑 
Como reduzir um ângulo maior que 360o ao seu equivalente menor ou igual a 360o 
𝛼 > 360𝑜 
𝛼
360
= 𝑁, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 
𝑁, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑁 = 0, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 
 
 
1 
𝛼 = 0, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛. 360 
𝛼 ≤ 360𝑜 
Exemplo: 
𝛼 = 1285𝑜 
1285
360
= 3,56944 
3,56944 − 3 = 0,56944 
𝛼 = 0,56944.360 = 205𝑜 
𝛼 = 1285𝑜 ≡ 205𝑜 
 
 
 
 
2 
Transformadores 
𝑉𝑃
𝑉𝑆
=
𝑁𝑃
𝑁𝑆
 
Indutores 
Reatância indutiva 
𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 
Corrente no indutor 
𝑖(𝑡) =
1
𝐿
∫ 𝑣(𝑡)
𝑡
𝑡0
𝑑𝑡 + 𝑖(𝑡0) 
Tensão no indutor 
𝑣(𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
Energia no indutor 
𝑤𝐿 =
𝐿. 𝐼2
2
 
Capacitores 
Reatância capacitiva 
𝑋𝐶 =
1
𝜔𝐶
=
1
2𝜋𝑓𝐶
 
Corrente no capacitor 
𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
 
Tensão no indutor 
𝑣(𝑡) =
1
𝐶
∫ 𝑖(𝑡)
𝑡
𝑡0
𝑑𝑡 + 𝑣(𝑡0) 
Energia no capacitor 
𝑤𝐶 =
𝐶. 𝐼2
2
 
 
 
 
3 
Potência CA e Fator de Potência 
 𝑉𝑅𝑀𝑆 =
𝑉
√2
 e 𝐼𝑅𝑀𝑆 =
𝐼
√2
 
Potência média 
 𝑃 =
1
2
�̂�. 𝐼. cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) = 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) [𝑊] 
Potência reativa 
 𝑄 =
1
2
�̂�. 𝐼. sen(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) = 𝑉𝑅𝑀𝑆 𝐼𝑅𝑀𝑆 sen (𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) [𝑉𝐴𝑅] 
 𝑄 = 𝑃. tg(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) 
Potência aparente: 
 𝑆 =
1
2
�̂�. 𝐼 = 𝑉𝑅𝑀𝑆𝐼𝑅𝑀𝑆 [𝑉𝐴] 
Fator de potência: 
 FP = cos(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) 
 𝑃 = 𝑆. 𝐹𝑃 
Potência complexa: 
 𝑺𝑇 = 𝑺1 + 𝑺2 + ⋯ + 𝑺𝑛 = ∑ 𝑺𝑖
𝑛
𝑖=1 
 𝑺𝑇 = 𝑃𝑇 + 𝑗𝑄𝑇 
 𝑃𝑇 = ∑ 𝑃𝑖
𝑛
𝑖=1 
 𝑄𝑇 = ∑ 𝑄𝑖
𝑛
𝑖=1 
 𝑺 =
1
2
𝑽𝑰∗ = 𝑽𝑹𝑴𝑺𝑰
∗
𝑹𝑴𝑺 = 𝑆∠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) 
 𝑺 = 𝑆𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) + 𝑗𝑆𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) 
 𝑺 = 𝑃 + 𝑗𝑄 
 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 
 𝑃 = 𝑅𝑒(𝑺) = 𝑰𝟐𝑹𝑴𝑺. 𝑅 =
𝑽𝟐𝑹𝑴𝑺
𝑅
 
 𝑃 = 𝑆𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) 
 𝑄 = 𝐼𝑚(𝑺) = 𝑰𝟐𝑹𝑴𝑺. 𝑋 =
𝑽𝟐𝑹𝑴𝑺
𝑋
 
 𝑄 = 𝑆𝑠𝑒𝑛(𝜑𝑣 − 𝜑𝑖) 
Correção do fator de potência cargas indutivas: 
 𝐶 =
𝑄𝐶
𝜔𝑉𝑅𝑀𝑆
2 
Correção do fator de potência cargas capacitivas: 
 𝐿 =
𝑉𝑅𝑀𝑆
2
𝜔𝑄𝐿
 
Formulário 
Tabela Transformada de Laplace 
 𝐹(𝑠) = ℒ{𝑓(𝑡)} f(t), t>0 
1 1 𝛿(𝑡) 
2 1
𝑠
 
1 ou u(t) 
3 1
𝑠2
 
t 
4 1
𝑠𝑛
, 𝑛 = 1,2, … 
𝑡𝑛−1
(𝑛 − 1)!
 
5 1
√𝑠
 
1
√𝜋𝑡
 
6 1
𝑠
3
2
 
2√
𝑡
𝜋
 
7 1
𝑠𝑘
, 𝑘 > 0 
𝑡𝑘−1
Γ(𝑘)
 
8 1
𝑠 − 𝑎
 
𝑒𝑎𝑡 
9 1
(𝑠 − 𝑎)2
 
𝑡𝑒𝑎𝑡 
10 1
(𝑠 − 𝑎)𝑛
, 𝑛 = 1,2, … 
1
(𝑛 − 1)!
𝑡𝑛−1𝑒𝑎𝑡 
11 1
(𝑠 − 𝑎)𝑘
, 𝑘 > 0 
1
Γ(𝑘)
𝑡𝑘−1𝑒𝑎𝑡 
12 1
(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)
, 𝑎 ≠ 𝑏 
1
(𝑎 − 𝑏)
(𝑒𝑎𝑡 − 𝑒𝑏𝑡) 
13 𝑠
(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)
, 𝑎 ≠ 𝑏 
1
(𝑎 − 𝑏)
(𝑎𝑒𝑎𝑡 − 𝑏𝑒𝑏𝑡) 
14 1
𝑠2 + 𝜔2
 
1
𝜔
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 
15 𝑠
𝑠2 + 𝜔2
 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 
16 1
𝑠2 + 𝑎2
 
1
𝑎
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎𝑡 
17 𝑠
𝑠2 + 𝑎2
 cosh 𝑎𝑡 
18 1
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝜔2
 
1
𝜔
𝑒𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 
19 𝑠 − 𝑎
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝜔2
 𝑒
𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 
20 1
𝑠(𝑠2 + 𝜔2)
 
1
𝜔2
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) 
21 1
𝑠2(𝑠2 + 𝜔2)
 
1
𝜔3
(𝜔𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡) 
22 1
(𝑠2 + 𝜔2)2
 
1
2𝜔3
(𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 − 𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) 
23 𝑠
(𝑠2 + 𝜔2)2
 
𝑡
2𝜔
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 
24 𝑠2
(𝑠2 + 𝜔2)2
 
1
2𝜔3
(𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 + 𝜔𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) 
25 𝑠
(𝑠2 + 𝑎2)(𝑠2 + 𝑏2)
, 𝑎2 ≠ 𝑏2 
1
𝑏2 − 𝑎2
(cos 𝑎𝑡 − cos 𝑏𝑡) 
26 1
𝑠4 + 4𝑎4
 
1
4𝑎3
(𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 cosh 𝑎𝑡 − cos 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎𝑡) 
27 𝑠
𝑠4 + 4𝑎4
 
1
2𝑎2
(𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎𝑡) 
28 1
𝑠4 − 𝑎4
 
1
2𝑎3
(𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑎𝑡) 
29 𝑠
𝑠4 − 𝑎4
 
1
2𝑎2
(cosh 𝑎𝑡 − cos 𝑎𝑡) 
30 √𝑠 − 𝑎 − √𝑠 − 𝑏 1
2√𝜋𝑡3
(𝑒𝑏𝑡 − 𝑒𝑎𝑡) 
31 1
√𝑠 + 𝑎√𝑠 + 𝑏
 𝑒−
(𝑎+𝑏)𝑡
2 𝐼𝑜(
𝑎 − 𝑏
2
𝑡) 
32 1
√𝑠2 + 𝑎2
 
𝐽0(𝑎𝑡) 
33 𝑠
(𝑠 − 𝑎)
3
2
 
1
√𝜋𝑡
𝑒𝑎𝑡(1 + 2𝑎𝑡) 
34 1
(𝑠2 − 𝑎2)𝑘
, 𝑘 > 0 √𝜋
Γ(k)
(
𝑡
2𝑎
)
𝑘−
1
2
𝐼
𝑘−
1
2
(𝑎𝑡) 
35 1
𝑠
𝑒−
𝑘
𝑠 𝐽0(2√𝑘𝑡) 
36 1
√𝑠
𝑒−
𝑘
𝑠 
1
√𝜋𝑡
cos(2𝑘𝑡) 
37 1
𝑠3/2
𝑒
𝑘
𝑠 
1
√𝜋𝑡
senh(2𝑘𝑡) 
38 𝑒−𝑘√𝑠, 𝑘 > 0 𝑘
2√𝜋𝑡3
𝑒−
𝑘2
4𝑡 
39 1
𝑠
𝑙𝑛𝑠 
− ln 𝑡 − 𝛾, 𝛾 ≈ 0,5772 
40 𝑙𝑛
𝑠 − 𝑎
𝑠 − 𝑏
 
1
𝑡
(𝑒𝑏𝑡 − 𝑒𝑎𝑡) 
41 
𝑙𝑛
𝑠2 + 𝜔2
𝑠2
 
2
𝑡
(1 − cos 𝜔𝑡) 
42 
𝑙𝑛
𝑠2 + 𝑎2
𝑠2
 
2
𝑡
(1 − cosh 𝜔𝑡) 
43 arctan(
𝜔
𝑠
) 
1
𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 
44 1
𝑠
arccot 𝑠 
𝑆𝑖(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da Transformada de Laplace 
 
1 Linearidade ℒ{𝑎𝑓(𝑡) + 𝑏𝑓(𝑡)} = 𝑎ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝑏ℒ{𝑓(𝑡)} 
2 Transformada 
da derivada 
ℒ{𝑓´(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝑓(𝑡)} − 𝑓(0) 
ℒ{𝑓´´(𝑡)} = 𝑠2ℒ{𝑓(𝑡)} − 𝑠𝑓(0) − 𝑓´(0) 
ℒ{𝑓(𝑛)(𝑡)} = 𝑠𝑛ℒ{𝑓(𝑡)} − 𝑠𝑛−1𝑓(0) − 𝑠𝑛−2𝑓´(0) − ⋯ − 𝑓(𝑛−1)(0) 
 
3 Transformada 
da Integral ℒ {∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑜
} =
𝐹(𝑠)
𝑠
 
4 Deslocamento 
no eixo s 
ℒ{𝑒𝑎𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎) 
5 Deslocamento 
no eixo t 
ℒ{𝑓(𝑡 − 𝑎)𝑢(𝑡 − 𝑎)} = 𝑒−𝑎𝑠𝐹(𝑠) 
6 Mudança de 
escala 
ℒ{𝑓(𝑎𝑡)} =
1
𝑎
𝐹 (
𝑠
𝑎
) , 𝑎 > 0 
7 Derivada da 
transformada 
ℒ{𝑡𝑓(𝑡)} = −
𝑑
𝑑𝑠
𝐹(𝑠) 
ℒ{𝑡𝑛𝑓(𝑡)} = (−1)𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝑠𝑛
𝐹(𝑠), 𝑛 = 1,2, … 
8 Integral da 
Transformada ℒ {
𝑓(𝑡)
𝑡
} = ∫ 𝐹(𝑠)𝑑𝑠
∞
0
 
9 Transformada 
de Funções 
Periódicas 
ℒ{𝑓(𝑡)} =
1
1 − 𝑒𝑠𝑇
∫ 𝑒−𝑠𝜏𝑓(𝜏)𝑑𝜏
𝑇
0
 
10 Teorema da 
Convolução 
ℒ{𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡)} = 𝐹(𝑠)𝐺(𝑠) Onde 
𝑓(𝑡) ∗ 𝑔(𝑡) = ∫ 𝑓(𝜏)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 = 𝑔(𝑡) ∗ 𝑓(𝑡)
𝑡
0
 
 
 
 
Formulário Análise de Circuitos elétricos 
Frequência 
𝑓 =
1
𝑇
 
Tensão de Pico e eficaz 
𝑉𝑝 = 𝑉𝑚 = 𝑉𝑒𝑓 ∗ √2 
Potência 
𝑃 = 𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠∅ 
 
Transformadores 
Onde U igual a V nesse caso 
𝑈𝑝
𝑈𝑠
=
𝑁𝑝
𝑁𝑠
 
𝑃𝑝 = 𝑃𝑠 
Lei de OHM 
𝑉 = 𝑅. 𝐼 
Indutores 
𝑖(𝑡) =
1
𝐿
∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑖(𝑡0)
𝑡
𝑡0
 
RL em paralelo 
𝑍 =
𝑅. 𝑋𝐿
√𝑅2 + 𝑋𝐿2
 
Reatância Indutiva 
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 
Capacitores 
𝑞 = 𝐶𝑉 
Energia armazenada 
𝑤 =
1
2
𝐶𝑣2 
Reatância Capacitiva 
𝑋𝐶 =
1
2𝜋. 𝑓. 𝐶
 
Corrente em capacitores 
𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
Tensão em capacitores 
𝑣 =
1
𝐶
 ∫ 𝑖𝑑𝑡 + 𝑣(0)
𝑡
0
 
RC em série 
𝑍 = √𝑅2 + 𝑋𝐶2 
 
RLC série 
𝑉𝐺 = √𝑉𝑅2 + (𝑉𝐿 − 𝑉𝐶)2 
RLC em paralelo𝐼 = √𝐼𝑅2 + (𝐼𝐿 − 𝐼𝐶)2 
𝑐𝑜𝑠∅ =
𝐼𝑅
𝐼
 
 
Potência aparente 
 
𝑉𝑟𝑚𝑠
2 =
1
𝑇
∫ 𝑣2(𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
 
 
Fator de potência 
𝐹𝑃 = cos(𝜃𝑣−𝜃𝑖)