Cálculo I - maximos e minimos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Ca´lculo 1 - 5 a Lista de Exerc´ıcios
1 - Calcule os limites usando a regra de L’Hoˆpital :
a) lim
x→1
ln(x)
x− 1 . e) limθ→0
tan(θ)
θ
i) lim
x→0
x− arctan(x)
x3
b) lim
x→0
sin(2x)
sin(5x)
f) lim
t→0
t et
1− et j) limx→+∞x sin(pi/x)
c) lim
x→0
ex − 1
sin(x)
g) lim
x→0+
sin(x)
x2
k) lim
x→∞(1− 3/x)
x
d) lim
x→3
x− 3
3x2 − 13x+ 12 h) limx→+∞
x100
ex
. l) lim
x→0
(
1
x
− 1
ex − 2
)
2- Calcule y′ (obs: simplifique a expressa˜o obtida !):
1) y = arctan(a x2) 6) y = x2 arccos(x)
2) y = arcsin(3 x− 4 x3) 7) y = arctan
(
a+ x
1− a x
)
3) y = arcsec
(
x2 + 1
x2 − 1
)
8) y = x
√
a2 − x2 + a2 arcsin(x/a)
4) y = arccos(x/a) 9) y =
√
a2 − x2 + a arcsin(x/a)
5) y = x arcsin(2 x) 10) y = a2 arcsin(x/a)− x
√
a2 − x2
11) y = arctan(x2)
12) y =
x√
a2 − x2 − arcsin(x/a)
13) y = arcsin(x/a) +
√
a2 − x2
x
.
14) y = a arccos(1− x/a) +
√
2 a x− x2
15) y =
x3
3
arctan(x) +
1
6
ln(x2 + 1)− x
2
6
.
3- Ache os pontos de ma´ximo, de mı´nimo e de inflexa˜o sobre as curvas abaixo e trace o
gra´fico de cada uma delas:
a) y = x ln(x).
b) y = x
ln(x)
c) y = ln(8 x− x2)
d) y = x ex
e) y = x2 e−x
f) y = x
2
− sin(x) para x ∈ [0, 2pi] .
g) y = 2 x− tan(x) para x ∈ [0, pi] .
h) y = tan(x)− 4x para x ∈ [0, pi] .
i) y = 3 sin(x)− 4 cos(x) para x ∈ [0, 2pi] .