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Prof. Otto H. M. Silva
Aula 1
Cálculo Diferencial e 
Integral a uma 
Variável
Conversa Inicial
Nessa aula iremos 
revisar conceito e 
tipos de funções, 
analisar seus gráficos 
e encontrar os 
conjuntos domínio e 
imagem de funções
Funções de uma variável real a 
uma variável real
Conceitos gerais
Sejam ࡭	ࢋ	࡮	 ⊂ 	Թ
Uma função f : A → B 
é uma lei ou regra 
que a cada elemento 
de A faz 
corresponder um 
único elemento de B
Definição de função
ࢌ: ࡭ → ࡮	 ࡭	 ࢌ→࡮
ou
• ࢞ ⟼ ࢌሺ࢞ሻ ࢞ ⟼ ࢟ ൌ ࢌሺ࢞ሻ
Linguagem simbólica
Domínio de uma 
função: conjunto A
Contradomínio de 
uma função: conjunto 
B
Imagem da função: 
conjunto dos valores 
f(x)
Domínio, imagens e 
contradomínio
A função dada por 
ࢌ: ሾ૙, ૚૙ሿ → Թ tal que, 
࢟ ൌ ࢌ ࢞ ൌ ૛࢞ ൅ ૜
ࡰ࢕࢓ ࢌ ൌ ሾ૙, ૚૙ሿ
ࡵ࢓ ࢌ ൌ ሾ૜, ૛૜ሿ
࡯ࡰ࢕࢓ ࢌ ൌ Թ
Exemplo 1
O gráfico da função y=x+4 é:
Exemplo 2
-4 -3 -2 -1 1 2
2
4
6
y
x
Revisando algumas 
funções importantes
Função módulo
A função módulo é 
definida por: 
݂ ݔ ൌ ݔ ൌ ቊ ݔ, ݏ݁	ݔ ൒ 0െݔ, ݏ݁	ݔ ൏ 0
Funções elementares Gráfico da função ࢌ ࢞ ൌ |࢞|
-4 -3 -2 -1
6
5
4
3
2
1
y
x
1 2 3 4
OS2
Função racional
Seja a função 
racional f(x), definida 
݂ ݔ ൌ ࢞మି૛࢞௫ି૚ 	, o seu 
gráfico é 
representado a 
seguir:
Gráfico da função ݂ ݔ ൌ ࢞మି૛࢞௫ି૚
Gráfico da função ݂ ݔ ൌ ࢞మି૛࢞௫ି૚
1 2 3 4 5 6 7 8 9-3 -2 -1 10
-2
14
12
10
8
6
4
2
y
x
OS3
Dada a função 
݂:Թ → 0,൅∞ , é 
chamada função 
exponencial, de base 
ܽ, a expressão 
definida por: 
݂ ݔ ൌ ܽ௫, onde ܽ ൐ 0 e 
ܽ ്1
Função exponencial de base ࢇ
Os gráficos de quando ܽ ൐ 1 e 
ܽ ൏ 1 são mostrados a seguir:
Gráfico da função ݂ ݔ ൌ ܽ௫
-2 -1 1 2
5
4
3
2
1
y
x
3
ܡ ൌ ݂ ݔ ൌ ሺ૚૛ሻ௫ ܡ ൌ ݂ ݔ ൌ ૛௫ Transformações envolvendo funções
Translação com c>0
y
x
݂ ݔ ൅ ࢉ
݂ ݔ
݂ ݔ െ ࢉ
݂ ݔ ൅ ܋ ݂ ݔ െ ࢉ
Distorção com c>1
y
x
܋	 ∗ ݂ ݔ
݂ ݔ
݂ ݔ
܋
݂ ܋ ∗ ܠ ݂ ݔ/ࢉ
Reflexão de função
y
x
݂ ݔ
െ݂ ݔ
݂ െݔ Combinações de 
funções
Sejam duas funções ࢌ
e ࢍ, com domínios 
respectivamente, A e 
B, podemos fazer as 
seguintes 
combinações:
Combinações de funções
ࢌ േ ࢍ ࢞ ൌ ࢌሺ࢞ሻ േ ࢍሺ࢞ሻ
ࢌ°ࢍ ࢞ ൌ ࢌሾࢍ ࢞ ሿ
ࢌ
ࢍ ࢞ ൌ
ࢌሺ࢞ሻ
ࢍሺ࢞ሻ
ࢌࢍ ࢞ ൌ ࢌ ࢞ ࢍሺ࢞ሻ
Combinações de funções
Sejam as funções ࢌ e 
ࢍ definidas, 
respectivamente, por 
ࢌ ࢞ ൌ ࢞ ൅ ૚ e ࢍ ࢞ ൌ
࢞ଶ ൅ ૛. Encontre:
a. ࢌ°ࢍሺ࢞ሻ
b. ܏°ࢌሺ࢞ሻ
Composição de funções
ࢌ°ࢍ ࢞ ൌ ࢌ ࢍ ࢞ ൌ ࢍ ࢞ ൅ ૚
ࢌ°ࢍ ࢞ ൌ ࢞ଶ ൅ ૛ ൅ ૚ ൌ ࢞ଶ ൅ ૜
܏°ࢌ ࢞ ൌ ࢍ ࢌ ࢞ ൌ
ሾࢌ ࢞ ሿ૛൅૛
ൌ ࢞ ൅ ૚ ૛ ൅ ૛ ൌ ࢞ଶ ൅ ૛࢞ ൅
૚ ൅ ૛
܏°ࢌ ࢞ ൌ ࢞ଶ ൅ ૛࢞ ൅ ૜
Obtenção de ࢌ°ࢍሺ࢞ሻ e ܏°ࢌሺ࢞ሻ
Inversão de funções
Seja ࢌ uma função 
um a um com 
domínio A e imagem 
B. Então sua função 
inversa ࢌି૚ possui 
domínio B e imagem 
A e é definida , para 
qualquer ࢟ ∈ ࡮, por: 
ࢌି૚ ࢟ ൌ ࢞	 ↔ ࢌ ࢞ ൌ ࢟
Função inversa
Dada a função ࢌ ࢞ ൌ
૝࢞ ൅ ૜, obtenha ࢌି૚ ࢞
࢟ ൌ ૝࢞ ൅ ૜ => ࢞ ൌ ૝࢟ ൅ ૜
࢟ ൌ ࢞ି૜૝ => ࢌି૚ ࢞ ൌ
࢞ି૜
૝
Exemplo 1
Na Prática
Uma lanchonete 
vende um salgado 
por R$ 5,00. 
Considere ࢞ a 
quantidade de 
salgados vendidos. 
Qual a quantidade de 
salgados necessária 
para uma venda de 
R$ 730,00?
Aplicação
Receita: ࡾ ࢞ ൌ ૞࢞
ࡾ ࢞ ൌ ૠ૜૙ => ૠ૜૙ ൌ ૞࢞
࢞ ൌ ૠ૜૙૞ 	⇒ ࢞ ൌ ૚૝૟
salgados
Solução
Finalizando
Nessa aula vimos 
como definir uma 
função e encontrar os 
conjuntos domínio e 
imagem 
Também, fizemos as 
representações 
gráficas e obtivemos 
as inversas de 
funções 
Referências
FACCIN, G. M. Elementos de
Cálculo Diferencial
e Integral. Curitiba: 
Intersaberes, 2013.
FÍSICA MAIS MATEMÁTICA. 
Disponível em: 
<http://fisicamaismatemat
ica.blogspot.com.br>. 
Acesso em: 5 dez. 2017.
GEOGEBRA. Disponível em: 
<https://www.geogebra.or
g/?lang=pt_BR015>. 
Acesso em: 5 dez. 2017.